KINEMATYKA METODY ANALIZY RUCHU PŁYNU

KINEMATYKA
Kinematyka zajmuje się relacjami pomiędzy różnymi wielkościami opisującymi ruch
płynu i stanowi przygotowanie do analizy właściwych zagadnień mechaniki płynów.
Kinematyka rozważa dwa przypadki:
a) Układy zamknięte – przez ścianki kontrolne nie przepływa masa (stała
masa układu) inne wielkości zmieniają się,
b) Układy otwarte – przez ścianki układu masa przechodzi (nie musi
zachodzić zasada zachowania masy).
Ponadto wyróżniamy układy:
a) Względne – obserwator dostrzega tylko ruch płynu,
b) Bezwzględne – obserwator obserwuje ruch płynu i naczynia.
METODY ANALIZY RUCHU PŁYNU
Ruch płynu odbywa się w układzie przestrzennym x, y, z, który dodatkowo zmienia
się w czasie. Dlatego analiza modeli płynów obejmować musi czasoprzestrzeń:
x = x(a, b, c, t); y = y(a, b, c, t); z = z(a, b, c, t) gdzie a, b, c to parametry opisujące
położenie elementu płyny w kolejnych chwilach czasu t.
Prędkość elementu płynu stanowi przesunięcie w czasie, czyli:
𝑣𝑥 =
𝑑𝑥
𝑑𝑡
; 𝑣𝑦 =
𝑑𝑦
𝑑𝑡
; 𝑣𝑧 =
𝑑𝑧
𝑑𝑡
,
A przyśpieszenie to zmiana prędkości w czasie:
𝑎𝑥 =
𝑑𝑣𝑥
𝑑𝑡
=
𝑑2 𝑥
𝑑𝑣𝑦
𝑑𝑡
𝑑𝑡
2 ; 𝑎𝑦 =
=
𝑑2 𝑦
𝑑𝑡
2 ; 𝑎𝑧 =
𝑑𝑣𝑧
𝑑𝑡
=
𝑑2 𝑧
𝑑𝑡 2
.
Inne parametry takie jak gęstość, ciśnienie także można wyrazić poprzez współrzędne
położenia a, b, c:
p = p(a, b, c, t);
JB semestr II 2013/2014
ρ = ρ(a, b, c, t), itd.
Opisując dowolne zjawisko w przestrzeni należy znaleźć i rozwiązać związki
pomiędzy p, ρ, vx, vy, vz w czasoprzestrzeni:
p
ρ
vx
vy
vz
= p(x, y, z, t)
= ρ(x, y, z, t)
= vx (x, y, z, t)
= vy (x, y, z, t)
= vz (x, y, z, t) }
Które można zawrzeć w jednym operatorze:
f = f(x,y,z,t)
Porządkując parametry f analizujemy całą czasoprzestrzeń, a analiza o to oparta to
analiza lokalna lub Eulera.
POCHODNA SUBSTANCJALA
W ogólnym przypadku przyrost (zmiana) funkcji f w czasoprzestrzeni opisana jest w
postaci:
𝑑𝑓 =
𝜕𝑓
𝜕𝑡
𝑑𝑡 +
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝑑𝑥 +
𝜕𝑓
𝜕𝑦
𝑑𝑦 +
𝜕𝑓
𝜕𝑧
𝑑𝑧,
Ponieważ:
𝑑𝑥 = 𝑣𝑥 (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 )𝑑𝑡
𝑑𝑦 = 𝑣𝑦(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 )𝑑𝑡} →
𝑑𝑧 = 𝑣𝑧(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)𝑑𝑡
co odpowiada przesunięciu o dx, dy, dz w
czasie dt.
to:
𝑑𝑓 =
𝜕𝑓
𝜕𝑡
𝑑𝑡 +
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝑣𝑥 𝑑𝑡 +
𝜕𝑓
𝜕𝑦
𝑣𝑦 𝑑𝑡 +
𝜕𝑓
𝜕𝑧
𝑣𝑧 𝑑𝑡
Pochodna substancjalna to
𝐷𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)
𝜕𝑡
=
𝜕𝑓
𝜕𝑡
+
𝜕𝑓
𝜕𝑥
pochodna lokalna
JB semestr II 2013/2014
𝑣𝑥 +
𝜕𝑓
𝜕𝑦
𝑣𝑦 +
𝜕𝑓
𝜕𝑧
𝑣𝑧
pochodna konwekcyjna
PODSTAWOWE POJĘCIA TEORII PRZEPŁYWNOŚCI
Przepływ ustalony (stacjonarny):
𝜕𝑓(𝑥,𝑦,𝑧,𝑡)
𝜕𝑡
=0
Funkcja f zależna jest jedynie od parametrów x, y, z.
Przepływ nieustalony (niestacjonarny):
𝜕𝑓
𝜕𝑡
≠0
Linia prądu – to linia która w każdym swym położeniu jest styczna do wektora
prędkości w tym punkcie.
Równanie linii prądu otrzymujemy, gdy spełniony jest warunek:
⃗⃗
𝑣⃑ × 𝑑𝑠⃗ = 0
JB semestr II 2013/2014
𝑖⃗
𝑣⃑ × 𝑑𝑠⃗ = | 𝑣𝑥
𝑑𝑥
𝑗⃗
𝑣𝑦
𝑑𝑦
𝑘⃗⃗
𝑣𝑦
𝑣𝑧 | = 𝑖⃑ |
𝑑𝑦
𝑑𝑧
𝑣𝑧
𝑣
| − 𝑗⃑ | 𝑥
𝑑𝑧
𝑑𝑥
𝑣𝑥
𝑣𝑧
| + 𝑘⃗⃑ |
𝑑𝑥
𝑑𝑧
𝑣𝑦
| = ⃗0⃗
𝑑𝑦
gdy:
𝑣𝑦 𝑑𝑧 − 𝑣𝑧 𝑑𝑦 = 0
𝑣𝑥 𝑑𝑧 − 𝑣𝑧 𝑑𝑥 = 0 }
𝑣𝑥 𝑑𝑦 − 𝑣𝑦 𝑑𝑥 = 0
czyli
𝑑𝑥
𝑣𝑥
=
𝑑𝑦
𝑣𝑦
=
𝑑𝑧
𝑣𝑧
- równanie linii prądu
Tor – to droga jaką opisuje (przebywa) element płynu w czasie.
Równanie toru:
𝑑𝑥
𝑑𝑡
𝑑𝑦
𝑑𝑡
𝑑𝑧
𝑑𝑡
= vx (x, y, z, t)
= vy (x, y, z, t)
= vz (x, y, z, t)
𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧
=
=
= 𝑑𝑡
𝑣𝑥
𝑣𝑦
𝑣𝑧

}
W przepływie ustalonym linia prądu i tor pokrywają się.
Cyrkulacja – to całka krzywoliniowa z iloczynu skalarnego przesunięcia 𝑑𝑠⃗ i wektora
prędkości 𝑣⃗ wzdłuż określonej drogi A-B.
0
0
Г = ∫ 𝑣⃗ ∗ 𝑑𝑠⃗ = ∫ (𝑣𝑥 𝑑𝑥 + 𝑣𝑦 𝑑𝑦 + 𝑣𝑧 𝑑𝑧)
𝐴−𝐵
JB semestr II 2013/2014
𝐴−𝐵
Niezerowa wartość oznacza, że w analizowanym obszarze występuje zawirowanie
cieczy. Wartość dodatnia oznacza, że wirowanie jest zgodne z kierunkiem całkowania.
Ruch wirowy – jest to złożenie przesunięcia elementarnego 𝑑𝑠⃗ i chwilowego obrotu
reprezentowanego przez prędkość kątową 𝜔
⃗⃗.
𝜔
⃗⃗ × 𝑑𝑠⃗ = 0
𝑖⃗
𝑗⃗
𝜔
⃗⃗ × 𝑑𝑠⃗ = |𝜔𝑥 𝜔𝑦
𝑑𝑥 𝑑𝑦
⃗⃗
=0
𝑘⃗⃗
𝜔𝑦
𝜔𝑧 | = 𝑖⃑ |
𝑑𝑦
𝑑𝑧
𝜔𝑧
𝜔
| − 𝑗⃑ | 𝑥
𝑑𝑧
𝑑𝑥
𝜔𝑥
𝜔𝑧
| + 𝑘⃗⃑ |
𝑑𝑥
𝑑𝑧
gdy:
𝜔𝑦 𝑑𝑧 − 𝜔𝑧 𝑑𝑦 = 0
𝜔𝑥 𝑑𝑧 − 𝜔𝑧 𝑑𝑥 = 0 }
𝜔𝑥 𝑑𝑦 − 𝜔𝑦 𝑑𝑥 = 0
czyli
𝑑𝑥
𝜔𝑥
=
𝑑𝑦
𝜔𝑦
=
𝑑𝑧
𝜔𝑧
- równanie linii wirowej
Wirowość – wirowością wektora prędkości 𝑣⃑ nazywamy wektor 𝜔
⃗⃑ o składowych:
𝜔𝑥 =
1 𝜕𝑣𝑧
𝜔𝑦 =
1 𝜕𝑣𝑥
(
2 𝜕z
𝜔𝑧 =
( −
2 𝜕y
−
𝜕𝑣𝑦
𝜕z
𝜕𝑣𝑧
)
𝜕x
1 𝜕𝑣𝑦
𝜕𝑣𝑥
2
𝜕y
( 𝜕x −
)
→
)}
Równanie ciągłości:
𝜕ρ
+ 𝑑𝑖𝑣𝑣⃗ = 0
𝜕t
- gdy ρ = const.
JB semestr II 2013/2014
𝜔
⃗⃗ =
1
𝑟𝑜𝑡𝑣⃗
2
𝜔𝑦
|
𝑑𝑦
𝜕vx 𝜕vy 𝜕vz
𝜕ωx 𝜕ωy 𝜕ωz
+
+
= 0, 𝑎 𝑤 𝑟𝑢𝑐ℎ𝑢 𝑤𝑖𝑟𝑜𝑤𝑦𝑚
+
+
=0
𝜕x
𝜕y
𝜕z
𝜕x
𝜕y
𝜕z
Ruch potencjalny, a ruch wirowy
⃗⃗, to
Jeżeli w obszarze pola prędkości 𝑣⃗ prędkość kątowa chwilowego obrotu 𝜔
⃗⃗ =0
mamy ruch potencjalny, czyli
𝑟𝑜𝑡𝑣⃗ = 0, 𝜔
⃗⃗ =
1
2
𝑟𝑜𝑡𝑣⃗
a to oznacza że ruch potencjalny (bezwirowy) i wirowy wzajemnie się wykluczają.
Ruch potencjalny utrzymywany jest siłami zewnętrznymi posiadającymi potencjał
𝑣𝑥 =
𝜕𝛷
𝜕𝛷
𝜕𝛷
, 𝑣𝑦 =
, 𝑣𝑧 =
, 𝑣⃗∇𝛷
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
gdzie Φ jest potencjałem prędkości.
-rdzeń potencjalny
JB semestr II 2013/2014
RÓWNANIE PĘDÓW STRUMIENIA
II prawo mechaniki mówi, że na punkt materialny o masie m działają siły 𝐹⃗ (od
naprężeń stycznych lub normalnych) to nadają temu punktowi przyśpieszenie 𝑎⃗.
(𝑎⃗ =
𝜕𝑣⃗
)
𝜕𝑡
𝐹⃗ = 𝑚 ∙ 𝑎⃗ = 𝑚
𝜕𝑣⃗
− 𝑑𝑒𝑓. 𝑑𝑙𝑎 𝑢𝑘ł𝑎𝑑𝑢 𝑧𝑎𝑚𝑘𝑛𝑖ę𝑡𝑒𝑔𝑜
𝜕𝑡
Dla dowolnego elementu płynu dmi :
𝑑𝐹⃗𝑖 = 𝑑𝑚𝑖
𝐷𝑣⃗𝑖 𝐷(𝑑𝑚𝑣⃗𝑖 )
1
=
= lim { [(𝑑𝑚𝑖 𝑣⃗𝑖 )𝑡+∆𝑡 − (𝑑𝑚𝑖 𝑣⃗𝑖 )𝑡 ]}
∆𝑡→0 ∆𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
Dla całego płynu:
∑ 𝑑𝐹⃗𝑖 = lim {
∆𝑡→0
1
[∑(𝑑𝑚𝑖 𝑣⃗𝑖 )𝑡+∆𝑡 − ∑(𝑑𝑚𝑖 𝑣⃗𝑖 )𝑡 ]}
∆𝑡
czyli:
∑ 𝑑𝐹⃗𝑖 = lim {
∆𝑡→0
1
[ ∑ (𝑑𝑚𝑖 𝑣⃗𝑖 )𝑡+∆𝑡 − ∑ (𝑑𝑚𝑖 𝑣⃗𝑖 )𝑡 + ∑ ((𝑑𝑚𝑖 𝑣⃗𝑖 )𝑡+∆𝑡 − (𝑑𝑚𝑖 𝑣⃗𝑖 )𝑡 )]}
∆𝑡
2𝑎−2𝑏
1𝑎−1𝑏
Ponieważ:
0
1
lim [ ∑ (𝑑𝑚𝑖 𝑣⃗ 𝑖 )𝑡+∆𝑡 ] = ∬ 𝜌2 𝑣⃗2 𝑣2𝑛 𝑑𝐴2
∆𝑡→0 ∆𝑡
2𝑎−2𝑏
𝐴2
0
1
lim [ ∑ (𝑑𝑚𝑖 𝑣⃗ 𝑖 )𝑡 ] = ∬ 𝜌1 𝑣⃗1 𝑣1 𝑑𝐴1
∆𝑡→0 ∆𝑡
1𝑎−1𝑏
JB semestr II 2013/2014
𝐴1
1𝑎−2𝑎
0
1
𝜕(𝜌𝑣⃗)
lim [ ∑ ((𝑑𝑚𝑖 𝑣⃗ 𝑖 )𝑡+∆𝑡 − (𝑑𝑚𝑖 𝑣⃗ 𝑖 )𝑡 )] = ∭
𝑑𝑉
∆𝑡→0 ∆𝑡
𝜕𝑡
1𝑎−2𝑎
𝑉
Ponadto siły działające wewnątrz kanału na elementy znoszą się i pozostają jedynie te
działające na powierzchniach zewnętrznych A1 i A2 oraz na powierzchni kanału.
Ta druga to R, zaś na powierzchni A1 i A2 działają siły wyrażone jako:
0
0
∬(𝑝⃗1 + 𝜏⃗1 )𝑑𝐴1
∬(𝑝⃗2 + 𝜏⃗2 )𝑑𝐴2
𝑜𝑟𝑎𝑧
𝐴1
𝐴2
a ostatecznie to  siła masowa Fm
Ostatecznie:
0
0
𝑅⃗⃗ + ∬(𝑝⃗1 + 𝜏⃗1 )𝑑𝐴1 + ∬(𝑝⃗2 + 𝜏⃗2 )𝑑𝐴2 + 𝐹⃗𝑚 =
0
𝐴1
0
𝐴2
0
= ∬ 𝜌2 𝑣⃗2 𝑣2𝑛 𝑑𝐴2 − ∬ 𝜌1 𝑣⃗1 𝑣1 𝑑𝐴1 + ∭
𝐴2
𝐴1
𝑉
𝜕(𝜌𝑣⃗)
𝑑𝑉
𝜕𝑡
- równanie pędów (impulsów) strumienia
Upraszczając:
 jeżeli profil prędkości są podobne to naprężenia styczne są takie same i skrócą
się bo są przeciwnie skierowane,
 w przepływie ustalonym brak zmian w czasie,
 jeżeli:
0
0
∬ 𝜌𝑣⃗𝑣𝑛 𝑑𝐴 = 𝑣⃗ ∬ 𝜌𝑣𝑛 𝑑𝐴 = 𝑣⃗ ∙ 𝑚̇
𝐴
𝐴
Otrzymamy równanie: na reakcje kanału na strugę:
𝑅⃗⃗ = 𝑚̇2 𝑣⃗2 + 𝑝2 𝐴2 𝑥⃗2 − (𝑚̇1 𝑣⃗1 + 𝑝1 𝐴1 𝑥⃗1 ) − 𝐹⃗𝑚
JB semestr II 2013/2014
𝑥⃗1 𝑖 𝑥⃗2 - wektory jednostkowe skierowane prostopadle do A1 i A2.
JB semestr II 2013/2014