Zadania 3 – Obliczalność i złożoność

Zadania 3 – Obliczalność i złożoność
Zad. 1. Udowodnij, że poniższe problemy są NP-zupełne.
a) 3SAT
Wejście: formuła logiczna w koniunkcyjnej postaci normalnej, w której każda klauzula ma
długość maksymalnie 3.
Pytanie: Czy formuła jest spełnialna?
→ Pokaż, że problem należy do NP.
→ Dokonaj redukcji z problemu SAT (klauzule mają dowolną długość).
b) k-Klika
Wejście: Graf nieskierowany G=(V,E) zapisany jako lista sąsiedztwa, liczba k.
Pytanie: Czy graf posiada klikę o przynajmniej k wierzchołkach?
→ Pokaż, że problem należy do NP.
→ Dokonaj redukcji z problemu 3SAT.
c) Zbiór niezależny
Wejście: Graf nieskierowany G=(V,E) zapisany jako lista sąsiedztwa, liczba k.
Pytanie: Czy graf posiada zbiór niezależny przynajmniej k wierzchołków? (zbiór niezależny to
taki, w którym żadne dwa wierzchołki nie są połączone krawędzią)
→ Pokaż, że problem należy do NP.
→ Dokonaj redukcji z problemu k-Klika
d) Pokrycie wierzchołkowe
Wejście: Graf nieskierowany G=(V,E) zapisany jako lista sąsiedztwa, liczba k.
Pytanie: Czy graf posiada pokrycie wierzchołkowe maksymalnie k wierzchołków? (pokrycie
wierzchołkowe to podzbiór wierzchołków stykających się z wszystkimi krawędziami grafu)
→ Pokaż, że problem należy do NP.
→ Dokonaj redukcji z problemu zbiór niezależny.
e) Problem komiwojażera
Wejście: Graf nieskierowany G=(V,E) zapisany jako lista sąsiedztwa, c – funkcja
przyporządkujaca wagi każdej krawędzi grafu, k- liczba, maksymalny koszt.
Pytanie: Czy da się przejść raz po każdym wierzchołku tak, że po przejściu przez krawędzie nie
przekroczymy kosztu k?
→ Pokaż, że problem należy do NP.
→ Dokonaj redukcji z problemu cykl Hamiltona.