filtr RC

WSTĘP DO ELEKTRONIKI
Część IV
Czwórniki
Linia długa
Janusz Brzychczyk IF UJ
Czwórniki
Czwórnik (dwuwrotnik) posiada cztery zaciski elektryczne. Dwa z tych zacisków
uważamy za wejście czwórnika, a pozostałe dwa za wyjście.
sygnał wejściowy
(wymuszenie) u (t)
1
u2(t)
czwórnik
wejście
sygnał wyjściowy
(odpowiedź)
wyjście
Sprzężenie wyjścia z wejściem opisywane jest przez funkcję (operator) przejścia,
zwany też transmisją układu lub transmitancją:
u2
odpowiedź
T=
=
wymuszenie u1
Rodzaje czwórników
liniowe – nieliniowe
bierne (pasywne) – aktywne Przykłady czwórników:
u1(t)
wzmacniacz
u2(t) = K u1(t)
K – wzmocnienie układu
u1(t)
prostownik
u1(t)
u2(t) = |u1(t)|
u2(t)
filtr
Czwórniki liniowe
u2(t)
u1(t)
j  t

1
Dla fali sinusoidalnej funkcja przejścia ma postać
u 1  t  = U 1 e
Odpowiedź:
T =∣T∣ e j
j  t1 
j  t1 
j  t 2 
j
u 2  t  = T u 1  t  =∣T∣ e U 1 e
=∣T∣ U 1 e
=U 2 e
Amplituda sygnału wyjściowego:
U 2 =∣T∣ U 1
Przesunięcie fazy: 2−1 = 
W ogólnym przypadku funkcja przejścia zależy od częstości sygnału . T = T  
Funkcję określającą zależność od częstości nazywamy charakterystyką
∣T∣
amplitudową.
Funkcję określającą zależność od częstości nazywamy charakterystyką fazową.

Czwórnik liniowy – filtr sygnałów elektronicznych
Jeżeli sygnał wejściowy jest superpozycją
fal sinusoidalnych o amplitudach ak
a
a1
i częstościach k
u 1  t  = ∑ a k e
a2
a3
j  k tk 
k
  
to dla

∣T ∣
T    = ∣T   ∣ e
j   

napięcie wyjściowe wynosi:
u 2  t  = ∑ T  k  a ke
j  k t k 
∣T∣ a
k
= ∑ ∣T   k ∣ a k e
k
j  k t k   k 

Rodzaje filtrów
∣T∣
Filtr dolnoprzepustowy

Filtr środkowoprzepustowy
Filtr górnoprzepustowy
Filtr środkowozaporowy
Czwórniki liniowe bierne
Czwórniki te zbudowane są z elementów R, L, C.
Rozważamy czwórniki zawierające impedancje Z1 oraz Z2 , połączone według
nastepującego schematu: Dla sygnałów sinusoidalnych:
i(t)
u 1  t  = U 1 e
Z1
u1 (t)
Z2
u2 (t)
j  t 1 
u 2 t  = Z 2    i  t  = Z 2   
u 2  t  = T    u 1  t 
Czwórnik ten nazywany jest
filtrem typu lub też
uogólnionym dzielnikiem napięcia.
T   =
Z2  
Z1   Z 2   
u 1  t 
Z 1   Z2   
Czwórnik R R (dzielnik napięcia)
Dla sygnałów o dowolnych
przebiegach czasowych:
i(t)
R1
u1 (t)
R2
u2 (t)
u2 t  = R2 i  t  = R2
Z 1    = R1 = const   
Z 2    = R2 = const   
T=
R2
R1R2
u1  t 
R1R2
=
R2
R1R2
u1  t 
Czwórnik C R – filtr górnoprzepustowy
– układ różniczkujący
i(t)
u1 (t)
C
u2 (t)
R
1
jC
Z2 = R
Z1 =

Z2
0
R
j  RC
T   =
=
=
=
Z 1Z 2
1
1 j  RC 1 j 
R
0
jC
j
gdzie:
0 =
1
1
=
RC 
 = RC
(stała czasowa)
Czwórnik C R – charakterystyka amplitudowa

0
T   =

1 j
0
j
C
u1 (t)
R
u2 (t)
∣T   ∣ =
∣T ∣
1
0.71
1

0


0
2
 

1
 
2
0
Czwórnik C R – charakterystyka fazowa
C
u1 (t)
R
u2 (t)

 2

j
j
0
0
0
T   =
=
2


1 j
1
0
0
 
 
0
Im T   
    = arctg
= arctg

Re T   

 

2

4
1

0

 
Czwórnik CR : Przechodzenie sygnałów o dowolnym kształcie
i(t)
u1 (t)
Q – ładunek na okładce kondensatora
C
u1  t  =
u2 (t)
R
Q t 
 u2  t 
C
różniczkując względem czasu oraz uwzględniając, że
du1  t 
dt
i  t  du2  t 
=

C
dt
du1  t 
dt
=
u2  t 
RC

u2  t 
, ponieważ otrzymujemy:
i t  =
R
du2  t 
dt
dQ  t 
= i t 
dt
Rozwiązując to równanie różniczkowe znajdujemy
odpowiedź u2(t) na zadany sygnał wejściowy u1(t).
Dla małych stałych czasowych RC, przy powolnych zmianach napięcia w czasie:
du1  t 
dt
≃
u2  t 
RC
czyli
u2  t  ≃ 
du1  t 
dt
Napięcie wyjściowe śledzi zróżniczkowany
sygnał wejściowy. Dlatego nazwa:
układ różniczkujący
Układ różniczkujący :
Przechodzenie impulsów prostokątnych
u1  t  = 0
dla
u1  t  = U
du1  t 
dt
U
t
t0 i tt p
dla
tp
0tt p
u2  t  du2  t 
=

,

dt
sygnał wejściowy
u1 (t)
U
 = RC
u2 (t)
sygnał wyjściowy gdy
 = 0.1t p
Poza punktami t = 0 oraz t = tp :
du1  t 
dt
u2  t  du2  t 
0=


dt
=0
u2  t  = −
= tp
du2  t 
dt
Rozwiązując to równanie z uwzględnieniem
warunków początkowych otrzymujemy:
−t/
u2  t  = U e
dla
t / −t/

u2  t  = U 1− e  e
p
0 t  tp
dla
ttp
 = 10t p
Czwórnik R C – filtr dolnoprzepustowy
– układ całkujący
i(t)
Z1 = R
R
C
u1 (t)
u2 (t)
Z2 =
1
j C
1
Z2
j C
1
1
T   =
=
=
=
Z1Z 2
1
1 j  RC 1 j 
R
0
j C
gdzie:
0 =
1
1
=
RC 
 = RC
(stała czasowa)
Czwórnik R C – charakterystyka amplitudowa
u1 (t)
skala liniowa
∣T∣
R
C
u2 (t)
1
0.71
T   =
1
0

1 j
0
0
1
∣T∣
∣T   ∣ =


1
0
2
0.1
0
∣T∣ ≃ 
0.01
0.01

0
skala log – log
1
1
2
0.1
1
10
100

0
Czwórnik R C – charakterystyka fazowa
u1 (t)
R
C
 
u2 (t)
0
T   =
1

1 j
0
1− j
=

0

1
0

4
−

2
2
 
    = arctg
−
Im T

= −arctg
0
Re T
 
 
1
2

0
Czwórnik R C : Przechodzenie sygnałów o dowolnym kształcie
i(t)
Q – ładunek na okładce kondensatora
R
C
u1 (t)
u2 (t)
u1  t  = Ri  t   u2  t 
du2  t 
dQ  t 
uwzględniając, że otrzymujemy:
i t  =
=C
dt
dt
u1  t  = RC
∣
du2 t 
dt
u2  t  = 
du2  t 
dt
u2  t 
du2  t 
∣
Gdy (duża częstotliwość, duża stała czasowa) wówczas:

≫∣u2  t ∣
u1  t  ≃ 
dt
du2  t 
dt
t
czyli
1
u2  t  ≃ ∫ u1  t'  dt'
t
0
Napięcie wyjściowe śledzi scałkowany
sygnał wejściowy. Dlatego nazwa:
układ całkujący
u1 (t)
sygnał wejściowy
U
Układ całkujący :
Przechodzenie impulsów prostokątnych
u1  t  = 0
t0 i tt p
dla
u1  t  = U
dla
0tt p
u1  t  = 
dt
u2  t  ,
−t/

u2  t  = U e
t p /


−t/ 
−1 e
 = 0.1t p
 = RC
Rozwiązując to równanie z uwzględnieniem
warunków początkowych otrzymujemy:
u2  t  = U  1−e
t
sygnał wyjściowy gdy:
U
du2  t 
u2 (t)
tp
dla
0t tp
dla
ttp
t
tp
U
U
= tp
 = 10t p
Czwórnik Wiena – filtr środkowo­przepustowy
– układ różniczkująco­całkujący
R1
i(t)
C1
u1 (t)
Z1 = R1
Z2 =
R2
C2
1
j C 1
1
1
 jC 2
R2
T   =
u2 (t)
Z2
Z 1Z 2
=
Czwórnik Wiena – filtr środkowo­przepustowy
– układ różniczkująco­całkujący
Symetryczny czwórnik Wiena
R
i(t)
Z 1 = R
C
u1 (t)
R
T   =
Z2
Z 1 Z 2
=
1
Z1
∣T   ∣ =  T T =

=
1
1

 0
9
−
0 
2

1
1
=  j C
Z2 R
C
Z2

u2 (t)
1

 0
3 j
−
0 
1
j C

=
 0
3− j
−
0 


 0
9
−
0 
2


[
Im T
1 0 
    = arctg
= arctg
−

0
Re T
3
 
]
Symetryczny czwórnik Wiena – charakterystyka częstotliwościowa Charakterystyka amplitudowa
1
∣T∣
⅓
∣T   ∣ =

0.1
1

 0
9
−
0 

2
0.01
0.001
Charakterystyka fazowa
[
1 0 
    = arctg
−

0
3

2
]
0
−

2
0.01
0.1
1
10
100
1000

0
0.01
0.1
1
10
100
1000

0

Czwórniki o elementach rozłożonych: Linia długa
l
wejście
wyjście
Zobc
~
x
dx
L dx
R dx
konduktancja
Propagację sygnału w linii
długiej opisują tzw.
równania telegrafistów:
1
G dx
C dx
R, L, C, G odnoszą się do
jednostki długości linii
dx
∂u  x ,t 
∂i  x ,t 
=L
 R i  x ,t 
∂x
∂t
∂i  x ,t 
∂u  x ,t 
=C
 G u  x ,t 
∂x
∂t
u x ,t  , i  x ,t 
– uogólnione napięcie i prąd
(zespolone)
Linia długa
Jeżeli na wejściu linii sygnał sinusoidalny, całkowanie równań telegrafistów daje:
i  x ,t  =
1
x
− x
jt
A1e − A2 e
e
Z0
u  x ,t  =

A e
x
1
fala biegnąca
(od wej. do wyj.)
gdzie:
A1 , A2
Z0 =

− x
 A2 e

e
j t
fala odbita
(od wyj. do wej.)
– stałe całkowania
R j L
G jC
– impedancja charakterystyczna linii
 =   R j  L  G j C  – stała propagacji linii (bezwymiarowa)
Zapisując stałą propagacji w postaci otrzymujemy:
 = a jb
ax
u  x ,t  = A1 e e

j t
amplituda
fali biegnącej
b
x

  A e−ax e j t− b x 
2
amplituda
fali odbitej
Prędkość fali biegnącej i odbitej:
vf =

b
Linia długa
Linie długie (np. kable) są tak projektowane, aby R << L oraz G << C dla używanego
zakresu częstości  Można wtedy taką linię traktować jako linię bez strat : R = 0, G = 0.

Wówczas:
a = 0 oraz b =   LC
amplitudy fal padającej i odbitej nie zależą od x 1

vf = =
nie zależy od 
b  LC

L
C
wartość rzeczywista (rezystancja)
Z0 =
W liniach ze stratami:
ax
−ax
fala padająca i odbita są tłumione (czynniki )
e ,e
prędkości fal zależą od ich częstości
Z0 jest zespolone
Linia długa
W linii jednorodnej fala wsteczna może powstać jedynie w wyniku odbicia fali
od końca linii. Stosunek amplitudy fali odbitej do amplitudy fali padającej
określony jest przez współczynnik odbicia: =
A2
A1
=
Z obc− Z 0
Z obc Z 0
Wyróżnić można następujące przypadki szczególne:
Zobc = Z0  = 0
Mówimy, że linia jest zwarta prawidłowo (lub dopasowana). Brak jest odbić
od końca linii, mamy tylko sygnał od źródła do odbiornika. Zobc =  = 1
Linia rozwarta, sygnał odbija się z taką samą amplitudą.
Zobc = 0  = ­1
Linia jest „krótko zwarta”. Obserwujemy całkowite odbicie sygnału z jego inwersją.
Gdy linia nie jest zwarta prawidłowo odbicia na końcach linii utrudniają
lub uniemożliwiają obserwację właściwego sygnału.
Zastosowania linii długiej
Przesyłanie sygnałów:
ZW
Zobc
~
Do przesyłania sygnałów stosuje się najczęściej kable koncentryczne. Są one tak wykonywane
Z 0 ≃  L/C
aby (kilkadziesiąt – kilkaset omów). Dla uzyskania maksymalnego przekazu mocy
musi być spełniony warunek ZW = Z0 . Aby nie było odbić musi być Zobc = Z0 . W linii bez strat
sygnały są przenoszone bez tłumienia i zniekształceń.
Opóźnianie impulsów – linie opóźniające:
Dla linii bez strat
vf =
1
 LC
l
t  l  = l  LC =  
c
c – prędkość światła
 – przenikalność dielektryczna
izolatora kabla
Dla typowych kabli t(l) ~ 5 ns/m.
Formowanie impulsów:
Przy pomocy linii długiej można dokonać formowania impulsów, a więc zmiany ich kształtu.
Wykorzystuje się efekt odbicia sygnału na końcu linii (np. linii krótko­zwartej) i interferencji
fali odbitej z falą padającą.