Algebra liniowa z geometria analityczna Lista 2: Cia la. Liczby

Algebra liniowa z geometria̧ analityczna̧
Lista 2: Ciala. Liczby zespolone.
1. i) W ciele Z5 obliczyć: a) 2 + 3 · 4, b) 320 − 46 , c) 2−1 , d) 2−8 − 4 · 3−6 .
ii) W ciele Z29 obliczyć: a) 27 · 5 − 19, b) 12−1 , c) 4 · 21−3 + 34 · 5 − 2−6 .
2. W ciele Z17 rozwia̧zać równania: a) 8x = 1, b) 9x = 16, c) −10x = 11, d) x2 +3x+11 = 0.
3. Które z poniższych zbiorów ze zwyklymi dzialaniami dodawania i mnożenia liczb sa̧
cialami:
a) K1 = { ab : a, b ∈ Z i b jest liczba̧ nieparzysta̧},
√
b) K2 = {a + b√2 : a, b ∈ Z},
c) K3 = {a + b √2 : a, b ∈ Q},
d) K4 = {a + b 4 2 : a, b ∈ Q}.
4. W zbiorze K = {x ∈ Q : 0 ≤ x ≤ 1} definiujemy dzialania dodawania i mnożenia:
a · b = min{a, b}.
a + b = max{a, b},
Czy zbiór K z tymi dzialaniami jest cialem?
5. Zbiór K = {a, b, c} z poniższymi dzialaniami dodawania i mnożenia jest cialem:
+
a
b
c
a
a
b
c
b
b
c
a
·
a
b
c
c
c
a
b
W tym ciele rozwia̧zać równania:
a) b + x = c + ab, b) cx = a + c2 − b,
a
a
a
a
b
a
b
c
c
a
c
b
c) (bx + c)c = (a + c)b,
d) (cx − b)c = (a − c−1 )b.
6. a) Podać przyklad ciala takiego, że 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 0.
b) Udowodnić, że jeśli w ciele zachodzi równość 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 0, to 1 + 1 = 0 lub
1 + 1 + 1 = 0.
7. Wykonać dzialania (wynik przedstawić w postaci algebraicznej):
a) (3 − 2i)i + (1 − 3i)(2 + i),
d) zw,
z2
w
,
iz−|w|
z−iw ,
b)
Re z+iIm w
|z|−w
4−i
1+2i
− 2 + 3i,
c) i23 + i533 − 2i−57 +
2−3i
,
2i350
dla z = 3 − 4i, w = 5 + 12i.
8. Znaleźć liczby rzeczywiste x, y spelniaja̧ce równania:
a) x(2 + 3i) + y(4 − i) = −2 + 11i,
c) 1+xi
y−2i = −1 + 2i,
b) (2 + ix)(y − 4i) = 14 − 2i,
2−3i
d) x+iy
x−iy = 2+3i .
9. W liczbach zespolonych rozwia̧zać równania:
a) z 2 +3z = 0,
b)
z+1
z−1
= −1,
c) z+z+i(z−z) = −6+2i,
d) (1+3i)z+4(z−2i) = 1−9i
z+4
z
10. Niech u = z−2i
, v = iz+4
. Na plaszczyźnie zespolonej narysować zbiór wszystkich liczb
zespolonych z, dla których:
a) liczba u jest rzeczywista,
b) liczba u jest czysto urojona,
c) liczba v jest rzeczywista,
d) liczba v jest czysto urojona.
11. Na plaszczyźnie zespolonej narysować zbiory:
a) A = {z ∈ C : Im [(1 + 2i)z − 2 + i] > 0},
b) B = {z ∈ C : Re (z + 2i)2 ≤ 0},
c) C = {z ∈ C : z + i = z + 1},
d) D = {z ∈ C : |z + 3 − 5i| = 2},
e) E = {z ∈ C : 1 ≤ |z + 2 − i| < 3 i − 4 < Im (iz) ≤ −1},
f) F = {z ∈ C : |(2 − i)z − 5 + 10i| < 10},
g) G = {z ∈ C : |z − 2 + 3i| > |z + 1 − i|},
h) H = {z ∈ C : 2 < |z − 2 + i| ≤ 5 i |z + 3i| ≤ |z − 4 − i|}
12. Znaleźć najmniejsza̧ i najwiȩksza̧ wartość modulu liczb należa̧cych do zbioru:
a) A = {z ∈ C : |z + 4 − 3i| ≤ 3},
b) B = {z ∈ C : |z − 1 + i| = |z − 3 − i| i Im z ≤ 0}.