Lim 13
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GRANICE FUNKCJI I ASYMPTOTY - WZORY Regu÷a de L’Hospitala: 0 () () 0 () to lim = lim 0 0 !0 !0 !0 !0 !0 () !0 () !0 () Asymptota pionowa: = 0 jez· eli zachodzi przynajmniej jednen z dwóch warunków: lim+ () = §1 lim¡ () = §1; Jez· eli lim () = lim () = 0 lub lim () = lim () = §1 i istnieje garnica lim !0 !0 () () Asymptota ukośna: = + jez· eli = lim = lim [ () ¡ ] lub = lim = lim [ () ¡ ]. !+1 !+1 !¡1 !¡1 _____________________________________________________________________ GRANICE FUNKCJI - ZADANIA Wyznacz granice funkcji (bez regu÷y de L’Hospitala): 2 + 6 + 8 2 ¡ 6 + 8 4 ¡ 16 83 ¡ 27 ¡3 + 2 + 3 ¡ 4 1. lim 2 ; 2. lim 2 ; 3. lim ; 4. lim ; 5. lim ; !1 + 5 + 4 !4 ¡ 5 + 4 !¡2 3 ¡ 8 !¡1 !32 2 ¡ 3 23 + 1 p p p ¡3 + 2 + 3 ¡ 4 +4¡2 +2 +4¡2 2 ¡ 7 ¡ 3 ¤ ¤ p p p 6. lim ; 7. lim ; 8. lim ; 9 . lim ; 8 . lim ; !¡1 !0 !¡2 !0 !4 22 + 1 7¡¡3 +9¡3 2 + 9 ¡ 5 p 3 p ¡p ¢ ¡p ¢ p +1¡1 3 9¤ . lim ; 10. lim 3 1 + 3 ; 11. lim 1 + + 2 + ; 12.¤ lim 1++2 3 1¡ !¡1 !¡1 !¡1 !0 1 sin 3 cos 4 tan 3 sin2 3 13. lim ; 14. lim ; 15. lim ; 16. lim ; 17. lim ; 18.¤ lim (1 + 3) 2 !0 sin 5 !0 cos 3 !0 tan !0 cos !0 sin 4 !0 1 1 p 1 2 ¤ ¤ ¤ ¤ 2¡ 19. lim ( ¡ 1) ; 20. lim (1 + sin ) ; 21. lim (1 + sin ) ; 22. lim+ 1 + ; 23.¤ lim 1¡ !2 !0 !0 !0 !1 Wyznacz granice jednostronne funkcji (lewosronna̧ i prawostronna̧) µ ¶ ¡1 1 1 1 j¡1j 1 2¡ ; 24. lim§ 2¡ ; 25. lim§ ; 26. lim§ exp ; 27. lim 2 28. lim ; 42 ¡ 5 ¡ 3 + 2 !2 !1 j ¡ 1j !1 !2§ !1§ µ ¶ µ ¶ 1 1 ¡4 21 ¡ 2¡1 ¤ p 29.¤ lim§ exp ; 30. lim exp ; 31. lim 32. lim 42 ¡ 5 ¡ 3 + 2 42 ¡ 5 ¡ 3 + 2 !1 !2§ !4+ !0§ 21 + 2¡1 2 ¡¡16 + 16 ¢ µ ¶ 1 ¡ ¢ 1 1 2 ¡ 3 jj + 2 2 ¡ 4 j ¡ 2j ¡ 4 33. lim§ ; 34. lim§ ( ¡ 1) ¡2 35. lim+ 2 ¡1 + 12 1¡ ; 36¤ . lim§ 2 ; !2 ¡2 !2 !1 !2 j + 3 ¡ 10j Wyznacz granice funkcji (korzystaja̧c ewentualnie(!) z regu÷y de L’Hospitala) ln ¡ 1 ln ( + 1) arcsin ln + 37. lim ; 38. lim ; 39.¤ lim ; 40. lim (ln ¡ ) ; 41. lim ; ! ¡ !0 !0 !1 !1 ln ¡ ¡ ¢ ¡ 2 1 1 42. lim ( ¡ ) ; 43. lim ; 44. lim ¡ ; 45. lim+ ; 46. lim ; 47. lim 1 ¡ 1 ; 48. !1 !1 2 ¡ !1 !1 !1 !0 ¡1 ¢ 2 2 + ¡ 1 ¡1 1 ¡1 1 lim+ ln ; 49. lim+ ; 50. lim¡ ; 51. lim ¡ sin ; 52. lim¡ 3 1 ; 53. lim+ 3 1 ; 54. lim ; !1 ¡ ¡ !0 !0 !0 !0 !0 !0 p ¡ ¢ 1 23 + 32 ¡ 12 + 7 55.¤ lim+ ; 56.¤ lim 32 ¡ 12 ¡ ln ; 57.¤ lim (ln )¡2 ; 58.¤ lim+ (ln ) ; 59.¤ lim+ (ln ) 1¡ ; 2 !1 !1 !1 ¡ ¡ + ¢¡ 2 ¢ !1 !1 60.¤ lim ln 1 + 32 ¡ 2 !1 Wyznacz asymptoty funkcji 23 + 1 3 + 2 ¡ 1 1 2 2 + 61. () = ; 62. () = 63. () = 2 ¡ ; 64. () = ; 65. () = ; 1 ¡ 2 83 + 1 2 ¡ j ¡ 1j 1 ¡ jj (1 ¡ )2 p ¡ ¢ 3 + 22 + 1 66. () = 67. () = 42 + 3 + 1 68.¤ () = ln ( ¡ 1) ; 69¤ () = ln 1 + 1 ; 2 j4 ¡ j GRANICE FUNKCJI - ODPOWIEDZI 3 2; ¤ 2 3; ¡ 12 ; 6. 1; 7. 14 ; 9 16. 0; 17. 16 ; 1. 2. 3. 0; 4. 27; 5. 8. ¡6; 9¤ . 32 ; 8¤ . 53 ; 9¤ . 13 ; 10. ¡1; 11. ¡ 12 ; 3 12. +1 13. 5 ; 14. 1; 15. 3; 18.¤ 3 19.¤ ¡1 ; 20.¤ ; 21.¤ 1; 22.¤ ; 23.¤ ¡1 24. +1 ¡1; 25. +1 +1; 26. +1 +1; 27. +1 0; 28. 0 0; 29.¤ +1 +1; 30.¤ +1 0; 31. 0 32. ¡1 1; 33. 8 0; 34. 35. 0 1; 36¤ . ¡ 17 17 ; 37. 1 ; 38. 1; 39.¤ 1; 40. ¡1; 41. ¡1; 42. ¡1; 43. 2; 44. 0; 45. +1; 46. 1; 47. 1; 48. 0; 49. 0; 50. +1; 51. 0; 52. ¡1; 53. +1; 54. 1; 55.¤ ¡1 1; 56.¤ +1; 57.¤ 1; 58.¤ 0; 59.¤ 1; 60.¤ ln 3 61. " = ¡1 # " = 1 # - = ¡2 &; 62. # = 12 " á = 18 ; 63. # = 1 # . = 2 %; 64. # = ¡1 # " = 3 # . = ¡ 1 = ¡ ¡ 3 &; 65. " = 1 # . = = ¡ ¡ 2 &; 66. # = ¡2 # " = 2 " . = + 2 %; 67. - = ¡2 ¡ 34 = 2 + 34 %; 68.¤ # = 0 = % 69¤ = ¡1 # = 0 " á = 0 ¡!; Objaśnienia, np.: " = 0 # - asymptota pionowa lewostronna górna, prawostronna dolna, . = + % - asymptota ukośna lewostronna (do do÷u), prawostronna (do góry), à = 0 ¡! - asymptota pozioma obustronna. 3