Matematyka 23-27.10.2006 1. Znajdź równanie stycznej i normalnej

Matematyka 23-27.10.2006
1. Znajdź równanie stycznej i normalnej do krzywej:
(a) f (x) =
(b) f (x) =
(c) f (x) =
2x+1
3−x
1
x−1
√
w punkcie (2,5)
d) f (x) = x3 − x w punkcie (-2,-6)
w punkcie ( 12 , −2)
e) f (x) = e−x w punkcie P0 (1, y0 )
2
2x3 + x2 + 1 w punkcie M (1, 2)
2. Znaleźć równanie normalnej do krzywej o równaniu y = x · ln(x) i jednocześnie równoległej do
prostej 2x − 2y + 3 = 0.
3. Wyznacz przedziały monotoniczności oraz ekstrema następujących funkcji:
a) f (x) = 43 x4 − x3 − 9x2 + 7
b) f (x) = xe−
x2
2
d) f (x) =
lnx
x
e) f (x) = x + arc ctg 2x
c) y = x3 + 12x2 + 36x − 50
4. Policz drugą pochodną:
a) f (x) = 7x3 − 6x5
c) f (x) = x2 −
b) f (x) = 2x5 − 6x4 + 2x − 1
d) f (x) =
1
x2
x2
x2 +a2
5. Policz pochodne:
a)
b)
c)
1 2
d3 1 3
dx3 ( 3 x + 2 x + x + 1)
d5
4
3
2
dx5 (ax + bx + cx + dx
4
d4
(1
−
2x)
4
dx
+ e)
6. Wyznacz przedziały w jakich funkcja jest wklęsła / wypukła oraz punkty przegiecia:
a) y = x4 + x3 − 18x2 + 24x − 12
b) y = 3x4 − 8x3 + 6x2 + 12
c) y = x6 − 3x4 + 3x2 − 5
d) y = 2x3 − 9x2 − 24x − 12
7. Wyznacz rónania asymptot podanych funkcji:
a) y =
b) y =
5x
x−3
3x
x−1
+ 3x
8. Wyznacz granice następujących funkcji przy użyciu reguły de l’Hospitala:
a) limx→−1
√
3
√1+2x+1
2+x+x
ex −e−x −2x
x−sin x
ln cos x
limx→0 ln cos 2x
2 −x+1)
limx→∞ ln(x
ln(x3 +x+1)
b) limx→0
c)
d)
9. Zbadaj przebieg zmienności funkcji:
a) y = ex cos x
b) y = (1 + x1 )x
1
c) y = e 1−x2