Zadania przygotowawcze z matematyki Zadanie 1

Zadania przygotowawcze z matematyki
Zadanie 1. Wyznacz wszystkie grupy przemienne (z dokładnościa˛ do izomorfizmu) G
dla których istnieje nieskończona podgrupa cykliczna H ⊂ G indeksu 3.
Zadanie 2. Niech K b˛edzie ciałem skończonym oraz f ∈ K[X] wielomianem o
niezerowym wyrazie wolnym. Uzasadnij, że wielomian X n − 1 jest podzielny przez f
dla pewnej liczby naturalnej n ­ 1.
Zadanie 3. Niech Fp b˛edzie ciałem rz˛edu p, gdzie p liczba pierwsza > 3. Zauważyć,
ze każde 3 różne wektory zbioru
V = {(1, x, x2 )|x ∈ Fp } ∪ {(0, 0, 1)} ⊂ Fp3 .
sa˛ liniowo niezależne. Wykazać, że jeżeli p > 3 to V jest maksymalnym zbiorem
majacym
˛
t˛e własność, czyli, że każdy wektor z przestrzeni linowej Fp3 daje si˛e zapisać
jako kombinacja liniowa co najwyżej 2 wektorów należacych
˛
do V. (Prawdziwa jest
wersja ogólniejsza, gdzie 3 zastapione
˛
jest dowolna˛ liczba˛ naturalna˛ k ­ 3, a także dla
innych ciał.)
Zadanie 4. Niech f : [0, 1] → (0, +∞) b˛edzie funkcja˛ ciagł
˛ a˛ i niech M (x) = sup f (t).
06t6x
Wykazać, że funkcja
ϕ(x) = lim
n→∞
f (x)
M (x)
n
jest ciagła
˛ wtedy i tylko wtedy, gdy f jest funkcja˛ niemalejac
˛ a˛ na przedziale [0, 1].
Zadanie 5. Niech V b˛edzie przestrzenia˛ liniowa˛ wielomianów postaci p(x) = a +
bx + cx2 o współczynnikach rzeczywistych a, b, c. Zdefiniujmy iloczyn skalarny na V
wzorem
Z
1 1
p(x)q(x) dx.
(p, q) =
2 −1
(a) Znajdź baz˛e ortonormalna˛ przestrzeni V składajac
˛ a˛ si˛e z wielomia- nów φ0 (x),
φ1 (x) i φ2 (x) o stopniach odpowiednio 0, 1 i 2.
(b) Użyj odpowiedzi z punktu (a) do znalezienia wielomianu drugiego stopnia
rozwiazuj
˛ acego
˛
zadanie minimalizacji
Z
1
min
p∈V
p(x) − x3
2
dx.
−1
Zadanie 6. Niech f : R → R b˛edzie różniczkowalna. Pokaż, że zbiór punktów y
takich, że f −1 {y} jest nieprzeliczalny ma miar˛e zero.
1