1 Algebra I - e-WMP
Transkrypt
1 Algebra I - e-WMP
1 Algebra I 22 lutego 2012 Liczby zespolone, postać trygonometryczna. 1. Przedstawić w postaci a + bi następujące liczby zespolone: 1−i , 1+i (3 + 4i)(2 − i) + (−5 − 7i)(−2 − 3i), 2−i , 3 + 4i (1 − i)2 , − √ 1 3 3 + i 2 2 (1 + 3i)(8 − i) . (2 + i)2 (1 + i)(1 − i) + (−1 + i)(−1 − i), 2. Wyznaczyć liczby rzeczywiste x, y spełniające równania: x + yi 9 − 2i = x − yi 9 + 2i 1 + yi = 3i − 1, x − 2i (1 + 2i)x + (3 − 5i)y = 1 − 3i, 3. Rozwiązać układy równań: ( (1 + i)z1 + (2 − i)z2 = 2 − i ( (1 − i)z1 − (3 + i)z2 = −3 + 3i , iz1 + (1 + i)z2 = 2 + 2i 2iz1 + (3 + 2i)z2 = 5 + 3i 4. Znaleźć pierwiastki kwadratowe z liczb: 2i, 2 + i, −1 + 3i, 5 − 12i. 5. Rozwiązać równania w ciele liczb zespolonych: z 2 = i, z 2 − z = −1, z 2 − 6z + 13 = 0, z 2 − (1 + i)z + 6 + 3i = 0. 6. Podać i udowodnić wzór na in , n ∈ N. 7. Udowodnić, że liczba zespolona z jest: (a) liczbą rzeczywistą wtedy i tylko wtedy, gdy z̄ = z. (b) liczbą czysto urojoną wtedy i tylko wtedy, gdy z̄ = −z. 8. Wykazać, że: z1 + z2 = z1 + z2 , |z1 · z2 | = |z1 | · |z2 |, z1 · z2 = z1 · z2 , z1 |z1 | = z2 |z2 | , Re(z) ¬ |z|, z 1 z2 = z1 , z2 Im(z) ¬ |z|, zz = |z|2 . 9. Wyznaczyć wszystkie liczby zespolone spełniające: z = z2, iz + (1 − 2i)z = 3 + i, 1+i 2 − 3i = , z z 2z + z = 6 − 5i, zz + z − z = 5 + 2i, i(z + z) + i(z − z) = 2i − 3. 10. Udowodnić, że dla każdych liczb zespolonych z1 , z2 prawdziwa jest tożsamość: 2 2 2 2 |z1 + z2 | + |z1 − z2 | = 2 |z1 | + |z2 | . 1 Definicja 1 Liczbę zespoloną z = a + bi, z 6= 0 można przedstawić w postaci trygonometrycznej z = r(cos φ + i sin φ), gdzie liczbę rzeczywistą r > 0 nazywamy modułem liczby z (r oznaczamy też przez |z|) i obliczamy ze wzoru p r = a2 + b2 , natomiast liczbę rzeczywistą φ nazywamy argumentem liczby z, wyznaczamy ją (z dokładnością do 2kπ, k ∈ Z) z równań a b cos φ = , sin φ = . r r Argument liczby zespolonej z oznaczamy przez arg z. Argumentem głównym liczby z nazywamy ten argument, który leży w przedziale [0, 2π), oznaczamy go przez Arg z. Twierdzenie 2 Niech z1 , z2 ∈ C, n, k ∈ Z. Zachodzą następujące związki: (i) arg(z1 · z2 ) = arg z1 + arg z2 + 2kπ, (ii) arg( zz12 ) = arg z1 − arg z2 + 2kπ, dla z2 6= 0 (iii) arg(z1n ) = n arg z1 + 2kπ. Twierdzenie 3 (Wzór de Moivre’a) Niech z 6= 0, n ∈ N z n = |z|n (cos nφ + i sin nφ). 1. Podać interpretację geometryczną zbiorów (a) {z ∈ C : z = (2 − i)t, 0 ¬ t ¬ 2} (b) {z ∈ C : |z − 1 − 3i| = 2} (c) {z ∈ C : |z + 1| + |z − 1| = 3} (d) {z ∈ C : 0 < 2 Re z < Im z < 3} (e) {z ∈ C : |z 2 + 9| ¬ |z + 3i|} (g) {z ∈ C : Re(z + 1) < 0 ∧ |i − z| ¬ 3} (i) {z ∈ C : π < arg(z 3 ) < π} 2 z2 − 1 (f) {z ∈ C : Im > 0} z−2 z − 2i (h) {z ∈ C : < 1} z+1 π z−1 3π (j) {z ∈ C : < arg < } 4 z−i 4 2. Zbadać i narysować zbiór f −1 (S) := {z : f (z) ∈ S}, jeśli (a) S := {z ∈ C : Re z > 0}, f (z) := z 3 (b) S := {z ∈ C : |z| < 1}, f (z) := 2z−3i 3z+2i 3. Zbadać i narysować zbiór f (S) := {f (z) : z ∈ S}, jeśli (a) S := {z ∈ C : Re z > 0, Im z > 0}, f (z) := (b) S := {z ∈ C : |z| ¬ 2}, f (z) := z−i z+1 z−3i z+4 z+i 4. Niech K := {z ∈ C : |z − 1| ¬ 1}, f (z) := z−i . Znaleźć i narysować zbiór f (K) oraz wyznaczyć maksymalną wartość |f (z)| dla z ∈ K. √ 5. Przedstawić√w postaci√trygonometrycznej liczby zespolone: 1, −2, i, −3i, 1 + i, 3 − i, −2 + √ √ 2i, 1 − (2 + 3)i, 1 − 3 + i(1 + 3), 2 + 3 + i. 6. Pokazać, ze (a + bi)/(a − bi) ma moduł 1 bez obliczania tego iloczynu. √ √ √ 7. Wyznaczyć wszystkie wartości wyrażeń: 1 + i, 3 i, 5 −i √ √ √ 2i3 (1−i)15 3 100 √ 8. Obliczyć: (2 3 − 2i)30 , ( 1−i , (1 − i)50 ( 3 + i)60 , −3(−i) , 5 (−1+i 3)9 1−i ) 2 √ 1−i 3 n . 2 9. Wyrazić: (a) cos 3x przez funkcję cos x (b) sin 3x przez funkcję sin x (c) sin 4x przez funkcje sin x i cos x (d) ctg 5x przez funkcję ctg x 10. Wykorzystując wzór na sumę wyrazów ciągu geometrycznego obliczyć: (a) 1 + cos x + cos 2x + · · · + cos nx, gdzie n ∈ N, x ∈ R (b) 1 + sin x + sin 2x + · · · + sin nx, gdzie n ∈ N, x ∈ R 11. Udowodnić stosując zasadę indukcji matematycznej wzór: z + 2z 2 + · · · + nz n = z 1 − (n + 1)z n + nz n+1 , (1 − z)2 a następnie znaleźć wzory na sumy: (a) cos x + 2 cos 2x + · · · + n cos nx, gdzie n ∈ N, x ∈ R (b) sin x + 2 sin 2x + · · · + n sin nx, gdzie n ∈ N, x ∈ R 3