Średnie dwóch liczb - dowody i zastosowania geometryczne

Średnie dwóch liczb - dowody i zastosowania geometryczne
Andrzej Sendlewski
27 listopada 2009
Wprowadzenie
W matematyce rozważa się wiele rozmaitych średnich danego układu liczb. W nauce szkolnej zazwyczaj dowiadujemy się co to jest średnia arytmetyczna i średnia geometryczna dwóch liczb. Przypomnijmy definicje tych i jeszcze dwóch innych średnich, które będą przedmiotem naszych rozważań.
Dla danych liczb rzeczywistych dodatnich a i b liczbę:
2ab
nazywamy ich średnią harmoniczną,
a+b
√
• G(a, b) = ab nazywamy ich średnią geometryczną,
• H(a, b) =
• A(a, b) =
a+b
nazywamy ich średnią arytmetyczną,
2
• K(a, b) =
s
a2 + b2
nazywamy ich średnią kwadratową.
2
Nietrudno udowodnić za pomocą prostych przekształceń algebraicznych, że zachodzi następujące
Twierdzenie 1 Dla dowolnych liczb rzeczywistych dodatnich a i b prawdziwe są nierówności
H(a, b) 6 G(a, b) 6 A(a, b) 6 K(a, b).
W nierównościach tych mamy równości wtedy i tylko wtedy, gdy a = b.
W rozwiązaniach poniższych zadań znajdziesz między innymi ciekawe dowody geometryczne tego
twierdzenia oraz zastosowania do konstrukcyjnego wyznaczania pierwiastków pewnych równań kwadratowych.
1
Zadania
1. Na rysunku odcinek AB ma długość a, zaś odcinek BC
długość b (a > b). Udowodnij, że:
D
a) BE = H(a, b),
b) BD = G(a, b),
A
S
E
C
B
c) BS = A(a, b),
d) BF = K(a, b).
F
2. Udowodnij, że w trapezie ABCD o podstawach długości
a i b (a > b):
b) długość odcinka MN równoległego do podstaw i dzielącego ten trapez na dwa trapezy do siebie podobne
(ABNM ∼ MNCD, równoważnie DN k MB) jest
równa G(a, b),
b
D
a) długość odcinka KL równoległego do podstaw i przechodzącego przez punkt S przecięcia przekątnych jest
równa H(a, b),
C
L
N
Q
Y
S
K
M
P
X
c) długość odcinka P Q, łączącego środki P i Q ramion
tego trapezu, jest równa A(a, b),
d) długość odcinka równoległego do podstaw i dzielą- A
cego ten trapez na dwa trapezy o równych polach
(SABY X = SXY CD ) jest równa K(a, b).
3. Odcinki o długościach a, b i x są odcinkami zaznaczonymi na
rysunku. Udowodnij, że x = G(a, b).
B
a
x
a
b
4. Mając dane odcinki o długościach a, b i c skonstruuj odcinki o długościach x1 i x2 takie, aby:
a) x1 + x2 = a oraz x1 x2 = b2 ,
b) x1 − x2 = a oraz x1 x2 = b2 (x1 > x2 ),
c) x1 + x2 = a oraz x1 x2 = bc,
d) x1 − x2 = a oraz x1 x2 = bc (x1 > x2 ).
Czy w każdym z przypadków zadanie zawsze ma rozwiązanie?