Seminarium Stochastyczne, pi?

Seminarium Stochastyczne,
Toruń, 24 kwietnia 2009
Asymptotyka stacjonarnego czasu czekania w wielkim obciążeniu
Władysław Szczotka
(Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski)
Stacjonarny czas czekania ω w jednokanałowym systemie kolejkowym z P
dyscypliną obsługi pierwszy przyszedł - pierwszy wyszedł ma postać ω = sup0≤k<∞ kj=1 (vj − uj ),
gdzie {(vk , uk ), k ≥ 1} jest stacjonarnym, ergodycznym ciągiem nieujemnych zmiennych
df
losowych, takich że a = Ev1 − Eu1 < 0. W pewnych sytuacjach vk interpretuje się jako
czas obsługi k-tego klienta, a uk czas między przyjściem k-tego a k + 1-szego klienta.
Wielkość Ev1 /Eu1 nazywa się obciążeniem systemu.
D
Wiadomo, że jeżeli ωn są stacjonarnymi czasami czekania oraz an ↑ 0, to ωn → ∞
i sytuacja ta nazywa się wielkim obciążeniem. Problematyka badania asymptotyki ωn
gdy an ↑ 0 nazywa się teorią wielkich obciążeń. ZwykleProzważa się ją w oparciu o
przedstawienie ωn = sup0≤t<∞ (Xn (t)−βn t), gdzie Xn (t) = [nt]
j=1 (vn,j −un,j −an ), βn (t) =
|an |[nt], t ≥ 0.
D
Wiadomo, że jeżeli dla pewnego ciągu cn ↑ ∞ zachodzi (i)Xn /cn → X w topologi
Skorochoda, gdzie X jest procesem ciągłym stochastycznie, (ii) βn (t)/cn → βt, 0 < β <
D
∞ oraz (iii) {ωn /cn } jest ciasny, to ωn /cn → sup0≤t<∞ (X(t) − βt) ≡ W.
W referacie podamy charakteryzacje warunków ciasności (iii) w przypadku tzw. systemów
GI/GI/1, tzn. gdy dla każdego n ≥ 1, zmienne losowe vn,k , un,k , k ≥ 1 są wzajemnie
niezależne. W przypadku tym X jest procesem Léviego. Pokażemy ponadto, że jeżeli X
jest spektralnie dodatnim procesem Léviego, to istnieje ciąg systemów M/GI/1, takich
D
że zachodzi zbieżność ωn /cn → W. Podamy również przykład, że warunki (i)-(ii) nie
implikują warunku (iii).
1