Niepewności pomiarowe

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW
Z ELEMENTAMI
ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH
I Pracownia Fizyczna IF UJ
październik 2007
POMIAR FIZYCZNY
Pomiar bezpośredni to doświadczenie, w którym przy pomocy
odpowiednich przyrządów mierzymy (tj. porównujemy z jednostką)
interesującą nas wielkość fizyczną np.
pomiar długości przedmiotu linijką
Pomiar pośredni to doświadczenie, w którym wyznaczamy wartość
interesującej nas wielkości fizycznej przez pomiar innych wielkości
fizycznych związanych z daną wielkością znanym związkiem
funkcyjnym np.
pomiar objętości walca poprzez pomiar jego rozmiarów
geometrycznych
V
d 2 h
4
I Pracownia Fizyczna IF UJ
październik 2007
ZAPIS WYNIKÓW POMIARÓW
Wynik pomiaru bez podania dokładności doświadczenia (niepewności
pomiarowej) jest bezwartościowy.
1,34 ± 0,02 m
Zapisując wyniki pomiarów stosujemy następującą konwencję:
podaje się tylko dwie cyfry znaczące niepewności, a jeżeli
zaokrąglenie do jednej cyfry nie zmieni wartości więcej niż o 10% to
podaje się tylko jedną cyfrę
wynik pomiaru obliczamy o jedno miejsce dziesiętne dalej niż
miejsce dziesiętne niepewności, a następnie zaokrąglamy wg.
normalnych reguł do tego samego miejsca dziesiętnego, do którego
zaokrąglono niepewność pomiarową.
I Pracownia Fizyczna IF UJ
październik 2007
Niepewności
Typy niepewności pomiarowych:
• niepewności systematyczne
• niepewności przypadkowe
Błędy pomiarowe a niepewności pomiarowe.
Rodzaje błędów pomiarowych:
• błędy przybliżenia
• błędy grube
Sposoby unikania i zmniejszania błędów pomiarowych.
I Pracownia Fizyczna IF UJ
październik 2007
NIEPEWNOŚCI SYSTEMATYCZNE
Niepewności systematyczne związane są ze skończoną dokładnością przyrządów
pomiarowych i niedoskonałością obserwatora.
• Pomiar przymiarem milimetrowym - Δx = 1mm
Niepewności systematyczne można zmniejszyć:
• stosując doskonalsze przyrządy
• wykonując bardzo starannie pomiary.
Małe niepewności (w stosunku do innych) można zaniedbać.
Niepewności systematycznych nie można wyeliminować!
I Pracownia Fizyczna IF UJ
październik 2007
NIEPEWNOŚCI PRZYPADKOWE
Niepewności przypadkowe występują, gdy wyniki pomiarów zmieniają się od
pomiaru do pomiaru, powodując odchylenie od wartości prawdziwej zarówno
w jedną jak i w drugą stronę.
Metody statystyki pozwalają na oszacowanie niepewności przypadkowych
zarówno jakościowo jak i ilościowo.
•
Prawdziwa wartość mierzonej wielkości - wartość oczekiwana.
• Rozkład prawdopodobieństwa φ(x) wartości mierzonej jest rozkładem
Gaussa.
• Przy skończonej ilości pomiarów, parametry rozkładu Gaussa można
jedynie estymować.
• Szukanie prawdziwej wartości mierzonej wielkości i jej niepewności - to
estymacja wartości oczekiwanej i jej odchylenia standardowego.
I Pracownia Fizyczna IF UJ
październik 2007
ROZKŁAD GAUSSA
Estymator wartości oczekiwanej:
1 n
x   xi
n i 1
Estymator niepewności pojedynczego
pomiaru:
Sx 

1 n
xi  x

n  1 i 1

2
Estymator odchylenia standardowego
średniej arytmetycznej:
Sx 
I Pracownia Fizyczna IF UJ
październik 2007

n
1
xi  x

nn  1 i 1

2
ROZKŁAD STUDENTA-FISHERA
Przy liczbie pomiarów n<10, odchylenie standardowe średniej
arytmetycznej S x przyjmuje zaniżoną wartość. Chcąc otrzymać
poprawną wartość, należy pomnożyć go przez tzw.
współczynnik rozkładu Studenta-Fishera tn . Współczynnik
tn zależy od liczby pomiarów n oraz przyjętego poziomu
ufności , a jego wartość można znaleźć w odpowiednich
tablicach. Poziom ufności  to prawdopodobieństwo, z jakim
wyznaczony przedział zawiera wartość rzeczywistą mierzonej
wielkości. W laboratorium studenckim przyjmuje się zazwyczaj
poziom ufności 0.95.
Sx
I Pracownia Fizyczna IF UJ
październik 2007
CAŁKOWITA NIEPEWNOŚĆ POMIAROWA
Niepewność systematyczna w ujęciu statystycznym:
Sx 
Całkowita niepewność pomiarowa:
1
2
S x  S   x 
3
2
x
I Pracownia Fizyczna IF UJ
październik 2007
x
3

x 2
3
NIEPEWNOŚĆ W POMIARACH POŚREDNICH
Związek funkcyjny pomiędzy mierzonymi wielkościami:
z  f  x1 , x 2 ,..... x n 
Średnia arytmetyczna jako estymator wartości oczekiwanej:

z  f x1 , x 2 ,... x n

Odchylenie standardowe średniej arytmetycznej:
2
2
 f

 f
  f

S z  
S x1   
S x2   .....  
S xn 
 x1   x2

 xn

2
Niepewność maksymalna (występują tylko niepewności statystyczne):
z max
f
f
f

x1 
x2  .... 
xn
x1
x2
xn
I Pracownia Fizyczna IF UJ
październik 2007
TABELE
NAJBARDZIEJ ZWARTY I CZYTELNY ZAPIS WYNIKÓW POMIARÓW
• Zawsze, gdy jest to możliwe wyniki pomiarów zapisujemy i przedstawiamy w
postaci tabel.
• Wartości jednej wielkości zapisujemy w kolumnie.
• Nagłówek kolumny powinien zawierać symbol wielkości i jej jednostkę.
• Wielkość jednostki miary dobieramy tak, aby zapisywane liczby mieściły się w
zakresie 0.1 do 1000.
Czas
t [s]
Natężenie
prądu I [mA]
1,3
0,1
2,0
0,3
2,8
0,6
I Pracownia Fizyczna IF UJ
październik 2007
WYKRESY
dlaczego?
• Pozwalają wyznaczyć wartości pewnych wielkości (zazwyczaj jeden z
parametrów zależności liniowej łączącej dwie wielkości fizyczne).
•
Stanowią poglądową ilustrację wyników doświadczenia.
•
Służą do ustalania empirycznych zależności między dwiema wielkościami.
U  RI
IB
U H  RH
b
I Pracownia Fizyczna IF UJ
październik 2007
WYKRES
najbardziej efektywny sposób przedstawienia wyników pomiarów
• Dobry wykres jest dostosowany do prezentowanego zagadnienia
• Wykresy sporządzamy w układzie kartezjańskim
• Na osiach rozmieszczamy wielokrotności jednostki wielkości wykreślanej.
• Używamy jednostek układu SI lub ich wielokrotności
• Osie opisujemy symbolem i jednostką wielkości fizycznej
• Zakres zmiennej na osi nie musi zaczynać się od zera
• Zakresy osi wykresu należy dobrać tak, aby punkty pomiarowe znajdowały się
na całej powierzchni ograniczonej osiami
• Punkty pomiarowe należy zaznaczać wyraźnie i jednoznacznie
• Wykres powinien być tak wykonany, aby można było z niego łatwo odczytać
przybliżone wartości współrzędnych poszczególnych punktów
• Punktów pomiarowych nie łączymy ze sobą linią łamaną
• Prostokąty niepewności pomiarowych (o ile są dostatecznie duże) nanosimy tak
aby nie zaciemniały informacji zawartych na wykresie
I Pracownia Fizyczna IF UJ
październik 2007
WYKRESY
jak?
Konwencja:
Na osi poziomej odkładana jest zmienna niezależna (przyczyna)
Na osi pionowej odkładana jest zmienna zależna (skutek)
I Pracownia Fizyczna IF UJ
październik 2007
REGRESJA LINIOWA
Wielkości x i y związane zależnością liniową.
12
y=ax+b
a=(1.96 0.05)kΩ
b=(0.08 ±0.01)V
Napięcie U [V]
10
8
r=0.998
6
4
2
1
2
3
4
5
6
Natężenie prądu I [mA]
I Pracownia Fizyczna IF UJ
październik 2007
I Pracownia Fizyczna IF UJ
październik 2007
BŁĘDY GRUBE
Błędy grube to błędy powstające w wyniku pomyłki eksperymentatora
lub w wyniku niesprawności aparatury pomiarowej.
Zwykle są na tyle duże, że można je łatwo zauważyć.
Żeby uniknąć błędów grubych należy starannie zorganizować proces
pomiarowy i używać tylko właściwie wytestowanych przyrządów.
Punkty obarczone błędem grubym odrzucamy.
I Pracownia Fizyczna IF UJ
październik 2007