GW - wykład VI

WYKŁAD VI
KOLINEACJA RODKOWA
Adam wi cicki
KOLINEACJA RODKOWA
Przekształcenie realizowane za pomoc wi zki prostych, które przekształca elementy jednej
płaszczyzny w elementy innego układu płaskiego nazywamy przekształceniem rodkowokolineacyjnym, albo w skrócie kolineacj .
S
1
n
Wierzchołek S wi zki prostych nazywamy
rodkiem kolineacji.
A1
A2
C1
Kraw d k przeci cia płaszczyzn
nazywamy osi kolineacji.
B1
b1
b2
B2
a2
k
C2
n
2
a1
ZALE NO CI GEOMETRYCZNE
1. Ka demu punktowi A1 układu płaskiego n1 jest przyporz dkowany w układzie płaskim n2
jeden i tylko jeden punkt A2, i na odwrót. Przyporz dkowane sobie punkty A1 i A2 nale do
jednego promienia wi zki S.
S
1
n
2. Ka dej prostej a1 układu płaskiego n1 jest
przyporz dkowana w układzie płaskim n2
jedna i tylko jedna prosta a2, i na odwrót.
Przyporz dkowane sobie proste a1 i a2
przynale do jednej płaszczyzny " wi zki S,
a zatem proste a1 i a2 przecinaj si na osi
kolineacji k.
A1
A2
C1
B1
b1
b2
B2
a2
k
C2
n
2
a1
3. Je eli punkt A1 i prosta a1 układu płaskiego
n1 przynale do siebie, to przyporz dkowane
im odpowiednia elementy A2 i a2 w układzie
płaskim n2 równie przynale do siebie..
NIEZMIENNIKI KOLINEACJI RODKOWEJ
1.
Współliniowo
punktów.
2.
Stosunek podziału na prostych równoległych do osi kolineacji.
3.
Stosunek podwójnego podziału odcinka (dwustosunek) b d cy ilorazem stosunków
podziału odcinka A1B1 przez dwa punkty C1 i D1:
S
( A1C1 B1 D1 ) =
A1C1 A1 D1
:
B1C1 B1 D1
jest równy stosunkowi podwójnego podziału
obrazu A2B2 odcinka A1B1 przez obrazy C2 i D2
punktów C1 i D1:
( A2 C 2 B2 D2 ) = A2 C 2 : A2 D2
B2 C 2 B2 D2
n
A1
C1
A2
B1
C2
D1
B2
D2
k
n
PROSTE GRANICZNE
1
n
0
N1°°
N1°°
L2°°
L1
M2°°
S
2
P2°°
:
M1
P1
P2°°
n
g1
B1
A2
B2
N2
n2
k
A1
Odległo rodka kolineacji
S od jednej z prostych
granicznych jest równa
odległo ci osi kolineaji k od
drugiej prostej granicznej.
Wynika st d, e kolineacja
rodkowa mi dzy dwoma
układami płaskimi mo e by
okre lona przez rodek
kolineacji S, o kolineacji k
oraz jedn prost graniczn
g1 lub n1.
POWINOWACTWO OSIOWE
n
powinowactwo osiowe
1
S°°
A1
C1
A2
B1
b1
b2
B2
a2
k
C2
n
2
a1
NIEZMIENNIKI POWINOWACTWA OSIOWEGO
1.
Współliniowo
punktów.
2.
Równoległo
3.
Stosunek podziału odcinka A1B1 przez punkt C2:
prostych.
(A B C ) = A C
1
1
1
1
S°°
1
n
B1C1
A1
jest równy stosunkowi podziału obrazu A2B2
odcinka A1B1 przez obraz C2 punktu C1:
(A B C ) = A C
2
2
2
2
2
B2C2
A2
B1
B2
C1
C2
k
n
PRZYPADKI SZCZEGÓLNE
S
podobie stwo
k°°
A1
B1
k°°
A2
C2
2
n
B2
1
n
C1
PRZYPADKI SZCZEGÓLNE
przystawanie
S°°
k°°
A1
C1
1
n
B1
k°°
A2
C2
2
n
B2