Szeregi liczbowe
Transkrypt
Szeregi liczbowe
WICZENIA Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ ZADANIA SZEREGI LICZBOWE 1. Zbada¢ zbie»no±¢ nast¦puj¡cych szeregów: I (bez stosowania kryteriów zbie»no±ci) a) P+∞ n=1 P+∞ 1 n=1 n(n+1) , q n , b) P+∞ c) n=1 √1 . n II (z denicji) a) 1 1·4 + 1 4·7 + ... + 1 (3n−2)(3n+1) √ P+∞ √ √ n + 2 − 2 n + 1 + n). ( n=1 + . . . , b) III (szereg harmoniczny uogólniony) a) P+∞ 1 n=1 2n−1 , P+∞ √1 n=1 n n+1 , b) P+∞ c) n=1 √ 1 . (2n−1)(2n+1) IV (tw. Cauchy'ego) P+∞ cos xn P+∞ cos nx−cos(n+1)x , b) , a) n=1 n n2 P+∞ Pn=1 +∞ 1 n1 √ d) e) n=1 (−1) n , n=1 n(n+1) c) P+∞ 1 n=1 n , . V (kryteria zbie»no±ci) a) d) g) j) 1+(−1)n , n n=1 P+∞ (n!)22 n=1 n2 , P+∞ 2 1 1 n=1 sin n tg n , P+∞ n2 +1 n=1 ln( n2 ), P+∞ b) e) h) k) 2+(−1)n , n=1 2n P+∞ nx n=1 (1+x2 )n , P+∞ 2n+1 1 n 2 n=1 ( 3n+1 ) , P+∞ n=1 an , P+∞ c) f) i) √ n3 ( 2+(−1)n )n , n n=1 P+∞ nn+ n13 1 n, n=1 ) n P+∞ 1(n+ 3 n n=1 n ( 5 ) , P+∞ gdzie an = n1 dla n = m2 i an = n12 dla n 6= m2 . VI (zbie»no±¢ warunkowa i bezwzgl¦dna) a) d) P+∞ n+1 1 , n=1 (−1) 2n−1 2 P+∞ n n+1 2 , n=1 (−1) n! b) e) P+∞ 1 n n=1 (−1) (2n−1)2 , P+∞ 2n n+1 . n=1 (−1) ( n−1 )n2 c) P+∞ 1 n+1 , n=1 (−1) ln(n+1) n +∞ +∞ 2. Wykaza¢, »e je±li szeregi P+∞ n=1 an i n=1 bn s¡ zbie»ne, to dla α, β ∈ R zbie»ny jest szereg n=1 (αan + βbn ) oraz P +∞ X P (αan + βbn ) = α n=1 +∞ X an + β n=1 +∞ X bn ). n=1 Czy twierdzenie odwrotne jest prawdziwe? 3. Wykaza¢, »e je±li szereg P+∞ n=1 an . P+∞ n=1 |an | jest zbie»ny, to zbie»ny jest te» szereg 1 +∞ 2 2 4. Pokaza¢, »e je±li szeregi +∞ n=1 an i n=1 bn s¡ zbie»ne, to zbie»ne s¡ te» szeregi: P P+∞ P+∞ |an | 2 a) +∞ n=1 |an bn |, b) n=1 (an + bn ) , c) n=1 n . P 5. Pokaza¢, »e: P ∞ ∞ ∞ X xn X y n X (x + y)n · = . n! n=0 n! n! n=0 n=0 6. Zbada¢ zbie»no±¢ szeregów: a) 1 + 12 + 13 − 14 − 51 − 61 + 17 + 18 + 19 − . . . , P+∞ ln100 n P+∞ (−1) n(n−1) 2 c) sin πn , b) n n=1 n=1 2 n 4 2 πn √ P+∞ cos n+1 P+∞ 2 2 d) e) n=1 ln2 n , n=1 sin(π n + k ). 7. Znale¹¢ kwadrat szeregu P+∞ n=1 (−1)n+1 √ n . Czy jest to szereg zbie»ny? 8. Pokaza¢, »e: a) b) 2 P n q n = +∞ n=0 (n + 1)q P+∞ (−1)n 1 = 1. n=0 n! n! P+∞ n=0 P+∞ n=0 CIGI I SZEREGI FUNKCYJNE 9. Zbada¢ jednostajn¡ zbie»no±¢ ci¡gu: a) fn (x) = xn (1 − xn ), 0 ≤ x ≤ 1 1 ,0<x≤1 b) fn (x) = nx c) gn (x) = x12 , 0 < x < 1 d) hn (x) = x(1 − n1 ), 0 < x < 1 e) gn hn , gn jak w c), hn jak w d). 10. Dany jest ci¡g fn : [a; b] −→ R zbie»ny jednostajnie do f . Pokaza¢, »e ci¡g {|fn |} zbiega jednostajnie do |f |. 11. Czy je±li ci¡g {|fn |} jest zbie»ny jednostajnie to ci¡g {fn } jest zbie»ny jednostajnie lub punktowo? 12. Dany jest ci¡g fn : [a; b] −→ R funkcji ci¡gªych zbie»ny jednostajnie do f . Pokaza¢, »e ∀x0 ∈[a;b] ∀{xn }⊂[a;b] lim xn = x0 ⇒ lim (fn (xn )) = f (x0 ). n→+∞ n→+∞ 13. Poda¢ przykªad ci¡gu funkcyjnego funkcji ci¡gªych zbie»nego punktowo do f i ci¡gu xn → x0 takiego, »e limn→+∞ (fn (xn )) 6= f (x0 ). 2 14. Zbada¢ zbie»no±¢ i zbie»no±¢ jednostajn¡ ci¡gów funkcyjnych: √ q a) fn (x) = n( x + n1 − x), x ∈ (0; +∞) b) fn (x) = arctan nx, x ∈ R √ c) fn (x) = n 1 + xn , x ∈ [0; +∞) d) fn (x) = nx(1 − x)n , x ∈ [0; 1] √ √ e) fn (x) = x + n + 1 − x + n, x ∈ R+ f) fn (x) = xn (1 − xn ), x ∈ [0; 1] 15. Zbada¢ zbie»no±¢ i zbie»no±¢ jednostajn¡ szeregów: P 1 a) +∞ n=1 x2 +n2 , x ∈ R (−1)n n=1 x+2n b) P+∞ c) P+∞ d) P+∞ e) f) g) n=1 , x ∈ (−2; +∞) sin(nx) √ n n ,x∈R , n x∈ n=0 (1 − x)x P+∞ x2 n=1 n4 +x4 x ∈ R P+∞ xn n=1 n x ∈ [0; 1) P+∞ 1 n=1 x2 −n2 x ∈ R [0; 1] , , , +∞ 16. Pokaza¢, P+∞ »e je±li fn : (a; b) −→ R, n=1 |fn (x)| jest zbie»ny jednostajnie, to n=1 fn (x) jest zbie»ny jednostajnie. P 17. Wyznaczy¢ promie« zbie»no±ci szeregu pot¦gowego, zbada¢ zbie»no±¢ na ko«cach przedziaªu: P xn a) +∞ n=1 n n n n b) +∞ n=1 (2 + (−1) ) x P xn c) +∞ n=1 n2 P d) P+∞ n=1 (n − 1)3n−1 xn−1 3