5. Ruch harmoniczny i równanie falowe

5. Ruch harmoniczny i równanie falowe
Mamy dwie niewa»kie spr¦»yny o wspóªczynnikach spr¦»ysto±ci, odpowiednio, k1 i
k2 . Wyznaczy¢ wspóªczynnik spr¦»ysto±ci ukªadu tych dwóch spr¦»yn w przypadku, gdy
s¡ one poª¡czone: a) szeregowo, b) równolegle.
5.1.
Na pªaskiej powierzchni w pewnej odlegªo±ci od pionowej ±ciany spoczywa ciaªo
o masie m. Mi¦dzy ciaªem a ±cian¡ umieszczono poziomo spr¦»yn¦ o wspóªczynniku
spr¦»ysto±ci k (spr¦»yna jest przyczepiona do ±ciany i do ciaªa). W chwili t = 0 ciaªo
odchylono od poªo»enia równowagi o x0 i nadano mu pr¦dko±¢ v0 . Znale¹¢ zale»no±¢
wychylenia, pr¦dko±ci i przyspieszenia ciaªa od czasu. Ile wynosi okres drga«, amplituda
i faza pocz¡tkowa wychylenia masy m? Tarcie zaniedba¢.
[1] 8.1.
5.2.
W spoczywaj¡c¡ mas¦ poª¡czon¡ ze spr¦»yn¡ jak w zadaniu 5.2 uderza lec¡ce
poziomo z pr¦dko±ci¡ v ciaªo o masie m, zderzenie jest niespr¦»yste. Znale¹¢ zale»no±¢
wychylenia mas od czasu. Ile b¦dzie wynosiª okres drga«? Tarcie zaniedba¢.
[1] 8.2.
5.3.
Jako przykªad ruchu periodycznego nieharmonicznego rozwa»y¢ ruch piªki odbijaj¡cej si¦ idealnie spr¦»y±cie od podªogi. Wszystkie opory mechaniczne pomin¡¢. Jak
zale»y okres tego ruchu od amplitudy? Sporz¡dzi¢ wykres zale»no±ci poªo»enia piªki od
czasu.
[2] Zadania i problemy z zyki, tom III, I.1.
5.4.
Na niewa»kiej spr¦»ynie wisi kulka. Gdy do kulki dodano jeszcze pewien ci¦»arek,
okazaªo si¦, »e cz¦sto±¢ drga« zmieniªa si¦ dwukrotnie, a punkt równowagi przesun¡ª si¦
o 8 cm. Znale¹¢ cz¦sto±¢ drga« kulki zawieszonej na spr¦»ynie.
[2] Zadania i problemy z zyki, tom III, I.2.
5.5.
Obliczy¢ cz¦sto±¢ drga« ci¦»arka o masie m, zawieszonego na dwóch niewa»kich
spr¦»ynach poª¡czonych szeregowo o wspóªczynnikach spr¦»ysto±ci k1 i k2 .
[2] Zadania i problemy z zyki, tom III, I.4.
5.6.
Na niewa»kiej spr¦»ynie o staªej spr¦»ysto±ci k i dªugo±ci swobodnej l0 , wisi klocek
cz¦±ciowo zanurzony w cieczy o g¦sto±ci ρ. Górny koniec spr¦»yny zamocowany jest na
wysoko±ci H nad poziomem cieczy. Klocek ma mas¦ m, wysoko±¢ h i przekrój poprzeczny
s. Znale¹¢ ruch klocka wychylonego z poªo»enia równowagi, je±li podczas ruchu klocek
jest zawsze zanurzony cz¦±ciowo w cieczy.
[2] Zadania i problemy z zyki, tom III, I.7.
5.7.
5.8. Klocek o masie m zamocowano mi¦dzy dwiema spr¦»ynami o takich samych dªugo±ciach swobodnych l0 i ró»nych wspóªczynnikach spr¦»ysto±ci k1 i k2 . Szeroko±¢ klocka
zaniedbujemy. Odlegªo±¢ mi¦dzy punktami zamocowania spr¦»yn wynosi L > 2l0 . W
pewnej chwili spoczywaj¡cemu klockowi nadano pr¦dko±¢ v . Znale¹¢ zale»no±¢ poªo»enia
klocka od czasu, je±li porusza si¦ on bez tarcia.
1
[2] Zadania i problemy z zyki, tom III, I.15.
Dwie jednakowe kulki o masie m poª¡czono spr¦»yn¡ o staªej spr¦»ysto±ci k i dªugo±ci
swobodnej l0 , a nast¦pnie ka»d¡ z kul naªadowano takim samym ªadunkiem q . Znale¹¢ zale»no±¢ poªo»enia kulek od czasu, je±li w chwili pocz¡tkowej kulki znajduj¡ si¦ w odlegªo±ci
l0 jedna od drugiej i ich pr¦dko±ci s¡ równe zeru. Zaªo»y¢, »e amplituda drga« jest du»o
mniejsza od l0 .
[2] Zadania i problemy z zyki, tom III, I.18.
5.9.
Podaj ogóln¡ posta¢ równania ruchu dla przypadku nietªumionego oscylatora harmonicznego, o cz¦sto±ci wªasnej ω0 , wymuszanego siª¡
5.10.
F (t) = F0 sin(ωt).
Uwzgl¦dnij warunki pocz¡tkowe:
a) x(0) = x0 i
b) x(0) = 0 i
dx
dt
dx
dt
= v0 dla t = 0,
= 0 dla t = 0.
Dla punktu b) przedyskutowa¢ przypadek, kiedy ω → ω0 oraz ω << ω0 .
[2] Zadania i problemy z zyki, tom III, I.24.
5.11.
Klasyczne równanie falowe w jednym wymiarze ma posta¢
1 ∂ 2 ψ(x, t)
∂ 2 ψ(x, t)
−
= 0.
∂x2
v2
∂t2
Przedstawi¢ to równanie w nowych zmiennych ξ = x+vt, η = x−vt i pokaza¢, »e dowolne
jedo rozwi¡zanie daje si¦ zapisa¢ w postaci sumy fal biegn¡cych w lewo i w prawo, czyli
ψ(x, t) = ψ1 (x + vt) + ψ2 (x − vt).
[2] Zadania i problemy z zyki, tom III, IV.8.
Znale¹¢ rozwi¡zania klasycznego równania falowego w postaci tzw. fal stoj¡cych,
czyli funkcji o rozdzielonych zmiennych typu ψ(x, t) = A(x)T (t) z periodyczn¡ zale»no±ci¡
od czasu. Wyznaczy¢ zwi¡zek dyspersyjny ω(k), ª¡cz¡cy cz¦sto±¢ drga« z liczb¡ falow¡ k
fali stoj¡cej oraz znale¹¢ mo»liwe cz¦sto±ci fal stoj¡cych na odcinku struny o dªugo±ci L
zamocowanym na obu ko«cach.
[2] Zadania i problemy z zyki, tom III, IV.19.
5.12.
5.13.
Wykaza¢, »e ogólne równanie fali pªaskiej w postaci
ψ(~r, t) = A cos(ωt − ~k · ~r + φ)
speªnia równanie falowe (przypadek trójwymiarowy).
[1] 8.28
2
6. Elementy teorii kinetycznej gazów
Znale¹¢ warto±¢ najbardziej prawdopodobn¡ energii drobin gazu doskonaªego.
[3] 3.2.4.
6.1.
Znale¹¢ warto±¢ ±redni¡ energii kinetycznej drobin gazu oraz ciepªo wªa±ciwe jednoatomowego gazu doskonaªego o temperaturze T .
[3] 3.2.6.
6.2.
Znale¹¢ warto±¢ ±redni¡ pr¦dko±ci drobin gazu doskonaªego.
[3] 3.2.7.
6.3.
Znale¹¢ warto±¢ ±redni¡ kwadratu pr¦dko±ci drobin gazu doskonaªego i porówna¢ z
kwadratem warto±ci ±redniej pr¦dko±ci (zad. 6.3).
[3] 3.3.4.
6.4.
Znaj¡c funkcj¦ rozkªadu energii drobin gazu doskonaªego, znale¹¢ funkcj¦ rozkªadu
warto±ci bezwzgl¦dnych p¦dów. Korzystaj¡c z tej funkcji, obliczy¢ ±redni¡ warto±¢ p¦du.
[3] 3.3.8.
6.5.
3
7. Model atomu wedªug Bohra
Opieraj¡c si¦ na modelu atomu wg Bohra znale¹¢ promie« n-tej orbity elektronu w
atomie wodoru, pr¦dko±¢ i caªkowit¡ energi¦ elektronu na n-tej orbicie.
[1] 20.1.
7.1.
Wyznaczy¢ dªugo±¢ fali promieniowania emitowanego przez atom wodoru przy przej±ciu elektronu z orbity n na orbit¦ k .
[1] 20.2.
7.2.
Przej±cie elektronu z n-tej orbity na orbit¦ k =1 zachodzi z emisj¡ fotonu o dªugo±ci
λ = 1.02610−7 m. Znale¹¢ promie« n-tej orbity.
[1] 20.3.
7.3.
Znale¹¢ dla dwóch pierwszych orbit atomu wodoru warto±¢ siªy przyci¡gania kulombowskiego mi¦dzy elektronem i j¡drem oraz nat¦»enie pola elektrycznego wytworzonego
przez j¡dro w odlegªo±ci równej promieniowi pierwszej i drugiej orbity.
[1] 20.4.
7.4.
Ile razy zwi¦kszy si¦ promie« orbity elektronu w atomie wodoru b¦d¡cego w stanie
podstawowym (n=1) przy wzbudzeniu go kwantem o energii Eν = 12.09 eV ?
[1] 20.5.
7.5.
W atomie wodoru elektron przeskakuje z drugiej orbity na pierwsz¡. Wyznaczy¢
zmian¦ warto±ci p¦du elektronu oraz zmian¦ jego energii kinetycznej przy tym przeskoku.
[1] 20.6.
7.6.
Wykaza¢, »e cz¦stotliwo±¢ fali ±wietlnej emitowanej przez atom wodoru przy przej±ciu elektronu z n+1 na n-t¡ orbit¦ d¡»y, przy du»ych n, do cz¦stotliwo±ci obiegu elektronu
na n-tej orbicie.
[1] 20.8.
7.7.
4
8. Elementy mechaniki kwantowej
8.1.
Rozpatrujemy nast¦puj¡ce zagadnienie na warto±ci wªasne (λ parametr wªasny):
!
dy(x)
d
p(x)
+ q(x)y(x) = λρ(x)y(x),
dx
dx
α1 y(a) + α2 y 0 (a) = 0,
x ∈ [a; b],
β1 y(b) + β2 y 0 (b) = 0,
gdzie p(x), q(x) i ρ(x) s¡ rzeczywistymi funkcjami, a αi , βi , (i = 1, 2), s¡ parametrami
rzeczywistymi, funkcja ρ(x) ma staªy znak na odcinku [a; b]. Pokaza¢, »e
• wszystkie warto±ci wªasne rozpatrywanego zagadnienia s¡ rzeczywiste,
• wszystkie warto±ci wªasne rozpatrywanego zagadnienia s¡ niezdegenerowane,
• funkcje wªasne odpowiadaj¡ce ró»nym warto±ciom wªasnym s¡ ortogonalne na odcinku [a; b] z wag¡ ρ(x).
Znale¹¢ warto±ci wªasne i unormowane funkcje wªasne poni»szych zagadnie« Sturma
Liouville'a (λ warto±¢ wªasna).
8.2.
y 00 (x) + λy(x) = 0,
x ∈ [0; a],
y(0) = 0,
y 0 (a) = 0,
(1)
y 00 (x) + λy(x) = 0,
x ∈ [a; b],
y(a) = 0,
y(b) = 0,
(2)
x ∈ [0; a],
y 0 (0) = 0,
y 0 (a) = 0.
(3)
y 00 (x) + λy(x) = 0,
Znale¹¢ dozwolone energie i unormowane funkcje wªasne cz¡stki poruszaj¡cej si¦
w polu siªy o potencjale
8.3.
+∞ dla −∞ < x < 0
dla 0 < x < a
V (x) =  0

+∞ dla a < x < +∞.



[3] 6.2.2
8.4.
Niech Ψ(x, t) jest funkcj¡ speªniaj¡c¡ zale»ne od czasu równanie Schrödingera
"
∂Ψ(x, t)
h̄2 ∂ 2
+ V (x, t) Ψ(x, t) = ih̄
−
.
2
2m ∂x
∂t
#
(4)
Pokaza¢, »e je»eli potencjaª V (x, t) jest rzeczywisty, wówczas z równania (4) wynika równanie ci¡gªo±ci
∂j(x, t) ∂ρ(x, t)
+
= 0,
(5)
∂x
∂t
gdzie
"
#
h̄
∂Ψ(x, t)
2
∗
ρ(x, t) = |Ψ(x, t)| ,
j(x, t) = Im Ψ (x, t)
.
m
∂x
5
[1] http://www.mif.pg.gda.pl/zz/
[2] Zadania i problemy z zyki, tom III, M. Baj, G. Szei«ska, M. Szyma«ski, D. Wasik
[3] http://www.mif.pg.gda.pl/zz/Zbior zadan z zyki Cz II.pdf
6