58 Pojecie rozk ladu prawdopodobienstwa EX2 − (EX)2 + EY2 − (EY
Transkrypt
58 Pojecie rozk ladu prawdopodobienstwa EX2 − (EX)2 + EY2 − (EY
58 Pojȩcie rozkladu prawdopodobieństwa EX2 − (EX)2 + EY 2 − (EY)2 = var(X) + var(Y), gdzie skorzystaliśmy z uwagi 3.3.3, co daje wlasność (1) twierdzenia. Podobnie var(aX) = E(aX)2 − (E(aX))2 = a2 EX2 − a2 (EX)2 , co daje (2). Wreszcie, ponieważ wartość oczekiwana ze stalej jest ta̧ stala̧, mamy (3). Przyklad 3.3.5 Weźmy rozklad z Przykladu 3.3.1, tzn. X ma rozklad dyskretny, n gdzie xn = n, pn = e−λ λn! dla danej liczby dodatniej λ i liczb calkowitych nieujemnych n. Jak wiemy, wtedy EX = λ. Obliczymy drugi moment dla tego rozkladu. Ponieważ 2 EX = ∞ 2 −λ λ ne n=0 −λ e ∞ n=1 2λ n n n! n n! =e −λ = λe −λ ∞ n2 n=0 ∞ n=1 n λn = n! λn−1 = (n − 1)! Podstawiaja̧c m = n − 1 dostaniemy −λ λe ∞ ∞ ∞ λm λm λm −λ −λ = λe + λe = (m + 1) m m! m! m! m=0 m=0 m=0 λEX + λe−λ eλ = λ2 + λ. Sta̧d var(X) = λ2 + λ − λ2 = λ.