b. całkowanie numeryczne w przestrzeni dwuwymiarowej
Transkrypt
b. całkowanie numeryczne w przestrzeni dwuwymiarowej
Dodatek B CAŁKOWANIE NUMERYCZNE W PRZESTRZENI DWUWYMIAROWEJ 1 B. CAŁKOWANIE NUMERYCZNE W PRZESTRZENI DWUWYMIAROWEJ Rozwiązania całki I = ∫∫A f(x,y) dxdy można dokonać łatwiej, jeżeli wpierw dokonamy transformacji tego wyrażenia do układu współrzędnych naturalnych ξ i η. Ponadto granice każdej z całek powinny być równe -1 lub +1. Pole dA = dxdy musi być zamienione zmiennymi dξ i dη. Rysunek B.1 przedstawia nieskończenie małe pole dA w układzie współrzędnych naturalnych ξ i η. Wektor r określa położenie punktu A w układzie współrzędnych kartezjanskich x i y : r = x + y = xi + yj , (B.1) Rys. B.1. Elementarne pole dA w układzie współrzędnych naturalnych Przyrost tego wektora ze względu na zmienne naturalne wynosi : δr δx δy = ⋅i + ⋅ j, δξ δξ δξ δr δx δy = ⋅i + ⋅ j. δη δη δη (B.2) Jeżeli pomnożymy wyrażenia (D.Z1 ) i (D.Z2 ) odpowiednio przez dξ i dη, to uformujemy boki czworokąta (rys.B.1) o infinitezymalnym polu dA. Jego wielkość wyznaczamy na podstawie potrójnego produktu wektorowego : Tomasz Łodygowski, Witold Kąkol – Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki konstrukcji inżynierskich Alma Mater Dodatek B CAŁKOWANIE NUMERYCZNE W PRZESTRZENI DWUWYMIAROWEJ δr δr dA = ⋅ dξ ⋅ ⋅ dη ⋅ k , δη δξ 2 (B.3) co po podstawieniach (B.2) prowadzi do δx δy δy δx dA = ⋅ − ⋅ ⋅ dξdη , δξ δη δξ δη (B.4) δx δξ dA = δx δη (B.5) lub w postaci wyznacznika do δy δξ ⋅ dξdη = J ⋅ dξdη , δy δη gdzie J jest macierzą jakobianu. Tak więc nowa postać wyjściowego wyrażenia całkowego jest następująca : 1 1 I= ∫ ∫ f ( ξ ,η ) ⋅ J ⋅dξdη . (B.6) −1 − 1 Konsekwentne stosowanie kwadratur Gaussa prowadzi do znalezienia całki w postaci: n n I = ∑∑ α jα k f ( ξ j η , k ) ⋅ J ( ξ j ,η k ) (B.7) k =1 j =1 gdzie a., a są współczynnikami wag dla punktów o współrzędnych (ξ, η ). Położenie punktów Gaussa dla n=1,2,3 i 4 pokazano na rysunku B.2. Tomasz Łodygowski, Witold Kąkol – Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki konstrukcji inżynierskich Alma Mater Dodatek B CAŁKOWANIE NUMERYCZNE W PRZESTRZENI DWUWYMIAROWEJ 3 Rys. B.2. Punkty Gaussa dla elementu czworokątnego Rys. B.3. Punkty Gaussa dla elementu trójkątnego Punkty próbne i wagi dla trójkąta Dla trójkąta o polu powierzchni A przy zastosowaniu współrzędnych naturalnych ξ1 ξ2 ξ3 całkowanie numeryczne odbywa się według formuły n I = A∑ α j ⋅ f ( ξ 1ξ 2ξ 3 ) j (B.8) j =1 Rysunek B. 3 przedstawia schematycznie położenie punktów całkowania dla n = 1,3,4 i 6, zaś w tablicy B.1 dodatkowo zestawiono współczynniki wag αj, odpowiadające tym punktom. δ 1 = 0.816847 , β 1 = 0.091576 , 27 γ1 = − , 48 γ 3 = 0.10995174 , δ 2 = 0.108103, β 2 = 0.44595 , 25 γ2 = , 48 γ 4 = 0.2238159. Tomasz Łodygowski, Witold Kąkol – Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki konstrukcji inżynierskich Alma Mater Dodatek B CAŁKOWANIE NUMERYCZNE W PRZESTRZENI DWUWYMIAROWEJ 4 Tablica B.1 Położenie punktów Gaussa i wartości wag dla różnych rzędów całkowania n 1 3 Rząd Liniowy kwadratowy sześcienny 4 stopnia Punkty a a b c a b c d a b c d e f ξ1 ,ξ2 ,ξ3 1/3, 1/3, 1/3 1/2, 1/2, 0 0, 1/2, 1/2 1/2, 0, 1/2 1/3, 1/3, 1/3 0.6, 0,2, 0.2 0.2, 0.6, 0.2 0.2, 0.2, 0.6 δ1, β1, β1 β1, δ1, β1 β1, β1,δ1 δ2,β2, β2 β2, δ2, β2 β2, β2, δ2 Tomasz Łodygowski, Witold Kąkol – Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki konstrukcji inżynierskich αj 1 1/3 1/3 1/3 γ1 γ2 γ3 γ4 γ3 γ3 γ3 γ4 γ4 γ4 Alma Mater