Kombinatoryka w liceum

Kombinatoryka
w liceum
n
HALINA BERA
L
ekcję wg tego konspektu (z modyfikacjami treści zadań) realizuję od lat
w klasie IV liceum. Równie dobrze
może on być wykorzystany w przyszłym
roku szkolnym w klasie III zreformowanego liceum (z rozszerzoną matematyką).
n Temat
Rozwiązywanie zadań ugruntowujących
poznane pojęcia z kombinatoryki.
Czas: 45 min.
n Cele lekcji
A) Ogólne:
o powtarzać i utrwalać poznane wcześniej definicje i wzory z zakresu kombinatoryki,
o ćwiczyć umiejętność wyboru właściwej
drogi do rozwiązania każdego zadania,
o dobierać zadania o treści realistycznej;
o uatrakcyjniać proces uczenia się anegdotą, dowcipem czy opowiadaniem związanym jednak tematycznie z lekcją,
o wyrabiać umiejętność współpracy w
grupie.
B) Operacyjne (efekty) – po skończonej lekcji uczeń potrafi:
o
odróżniać, które z pojęć i który wzór
należy zastosować do rozwiązania danego zadania;
o stosować terminologię właściwą dla
omawianego zagadnienia;
5/2004
o
sprawnie wykonywać obliczenia stosując rachunek pamięciowy i kalkulator;
o wyciągać i formułować wnioski.
n Metody pracy:
praca w grupach;
o praca pod kierunkiem z elementami
dyskusji;
o rozmowa nauczająca z elementami
anegdoty.
o
n Środki dydaktyczne:
kartka z anegdotami i zagadkami;
o kartki dla poszczególnych grup z treścią zadań;
o karty pracy dla grup; koperty z zadaniami domowymi.
o
n Typ lekcji:
lekcja ćwiczeniowa.
n Realizowane ścieżki edukacyjne:
1. Edukacja filozoficzna:
Stawianie pytań, definiowanie i argumentacja. Dyskusja.
2. Edukacja czytelnicza i medialna:
Nawiązanie do literatury polskiej, zachęcanie do korzystania ze zbiorów bibliotecznych oraz samodzielnej analizy tekstów.
3. Edukacja patriotyczna i obywatelska:
Dobór zadań o treści patriotycznej, np.
związanych ze znanym sportowcem polskim, klubem poselskim itd.
I
n Tok lekcji
wstępna
Czynności ucznia
1. Wzajemne powitanie, podział klasy na Uczniowie dzielą się na grupy, wybierają
grupy, sprawdzenie zadania domowego.
lidera, zgłaszają ewentualne problemy
z zadaniem domowym.
2. Powtórzenie wiadomości teoretycznych:
Odpowiadają na pytania nauczyciela, zaś
o Czym zajmuje się kombinatoryka?
odpowiednie wzory zapisują na tablicy.
o Co oznacza symbol n! ?
o Kiedy stosujemy permutację z powtórzeniami, a kiedy bez (wzory)?
o Kiedy stosujemy wariacje z powtórzeniami, a kiedy bez (wzory)?
o Pojęcie, wzór i własności kombinacji bez
powtórzeń. Symbol Newtona.
o Na czym polega reguła mnożenia?
realizacyjna
Faza
lekcji Czynności nauczyciela
3. Podanie tematu lekcji.
Zapisują temat lekcji.
4. Rozdanie grupom kartek z zadaniem Każdy uczeń otrzymuje kartkę z treścią
wielowątkowym z fabułą pod tytułem: Przy- zadania; grupa otrzymuje jedną kartę odjęcie urodzinowe Doroty (Załącznik nr 1). powiedzi. Grupa pracuje, a lider wpisuje
odpowiedzi na kartę. Kolejno liderzy odczytują rozwiązania: 1a) 7!, 1b) 3! × 4! .
6
2) C 82. 3) C49
. 4) 7! .5a) C72. 5b) C31 × C41 + C32.
6) C 64. 7) osoba ® pokój, czyli W38 = 38.
8) V82 = 8 × 7 lub bezpośrednio z reguły
mnożenia.
5. Informacja o tym, że Julian Tuwim pisał
felietony matematyczne. Zawarł je w książce Cicer cum caule czyli groch z kapustą.
Odczytanie jednej z nich (Załacznik nr 2, ciekawoska 1). Rozmawiamy o tym kto jeszcze stosuje kombinatorykę, np. Polski Monopol Loteryjny.
Uczniowie słuchają czytanego przez nauczyciela tekstu. Później rozmawiają na
temat różnych kombinatorycznych niespodzianek.
6. Rozdanie grupom kartek z 3 zadaniami Uczniowie rozwiązują zadania w gru(Załącznik nr 3).
pach. Kartkę z rozwiązanym zadaniem
lider przekazuje nauczycielowi.
Odpowiedzi do zadań:
Zad. 1a) W 83 = 83 = 512 sposobów
b) V83 = 8!
5! = 8 × 7 × 6 = 336
c) P3 = 3! = 6
II
matematyka
końcowa
3
1
Zad. 2a) C13
× C39
3
1
4
b) C13
× C39
+ C13
2
1
1
c) C13
× C13
× C13
Zad. 3.
2. = 49; Odp. n = 8.
Równanie Cn2 + Cn-1
7. Odczytanie innego opowiadania Juliana
Tuwima (Załącznik nr 2, ciekawoska 2).
Uczniowie słuchają potem dyskutują na
temat przedstawionego problemu.
8. Podsumowanie lekcji i wylosowanie
zestawu zadań do domu. Oprócz 3 zadań
w zestawie uczniowie będą musieli odpowiedzieć na pytania:
1) Na ile sposobów mogli wylosować
jeden z 5 zestawów zadań domowych?
2) Na ile sposobów ja mogłam ułożyć te
zestawy (5 zestawów po 3 zadania)?
Liderzy otwierają koperty i dzielą w
grupie zestawy (w każdej jest zestaw
dla każdego ucznia).
9. Podziękowanie i zakończenie lekcji.
Załącznik nr 1
Przyjęcie urodzinowe Doroty. Na przyjęciu urodzinowym Doroty spotkało się w
jej trzypokojowym mieszkaniu 4 chłopców
i 4 dziewczyny (łącznie z Dorotą).
5. Na ile sposobów Dorota może wybrać
w sposób losowy dwie osoby do pomocy
w kuchni:
a) w sposób dowolny,
b) tak, aby wśród wybranych osób była
chociaż jedna dziewczyna?
1. Oblicz, na ile sposobów goście mogą
wejść „gęsiego” do tego mieszkania:
a) w sposób dowolny;
b) tak, aby dziewczyny weszły przed
chłopcami, bo są oni przecież dżentelmenami.
6. Grupa w kuchni robi kanapki, kładąc
na każdą z nich po 4 różne plasterki spośród produktów: ser, szynka, pomidor,
ogórek, jajko i pasztet. Ile rodzajów kanapek powstanie? Kolejność układania
plasterków jest nieistotna.
2. Po wejściu do mieszkania każdy wita
się z każdym przez podanie ręki. Ile będzie powitań?
3. Jednym z prezentów jaki otrzymała
Dorota był kupon na jeden zakład „Dużego lotka”. Oblicz, na ile sposobów ofiarodawca mógł wypełnić ten kupon (wybiera się 6 liczb z 49).
7. W czasie przyjęcia telewizja transmituje sprawozdanie ze skoków narciarskich, którymi wszyscy się interesują. Wiedząc, że w każdym pokoju jest telewizor, oblicz na ile sposobów uczestnicy spotkania mogą rozdzielić się w tych pokojach, aby obejrzeć skoki Adama Małysza.
4. Wszyscy uczestnicy przyjęcia wybierają
miejsce przy okrągłym stole. Na ile sposobów mogą to uczynić?
8. Wszyscy uczestnicy przyjęcia wysyłają
sobie nawzajem kartki z wakacji. Ile będzie kartek?
5/2004
III
Załącznik nr 2. Materiały dla nauczyciela
Ciekawostka 1.
14 osób jadało codziennie obiady przy
podłużnym stole. Wszyscy zajmowali zawsze to samo miejsce. Pewnego dnia siedzący na szarym końcu najmłodszy ze stołowników wystąpił z projektem, by miejsca zajmować za każdym razem inaczej,
aż do wyczerpania wszystkich możliwych
rozmieszczeń. Po obiedzie starszy pan,
nauczyciel matematyki w gimnazjum, zaprosił młodego człowieka na kawę.
– Więc Pan chciałby przesadzać 14
osób codziennie inaczej, aż do wyczerpania wszystkich możliwości, czy tak?
– Tak jest proszę pana.
– I co pan sądzi, że to tak długo będzie trwało, aż Pan te wszystkie możliwości wyczerpie?
– No nie wiem... może nawet parę tygodni... ale musi być sprawiedliwość.
– Owszem, musi być – odrzekł fundator kawy i zaczął coś obliczać ołówkiem
na marmurze stolika. Po paru minutach
powiedział:
– Ale będzie to panie drogi trwało –
niech Pan słucha: Dwieście trzydzieści
osiem milionów osiemset czterdzieści
cztery tysiące sześćset trzydzieści trzy lata.
Osłupiałem, myśląc, że mam do czynienia z wariatem.
Ciekawostka 2.
Tuwim opisuje również przygody i zagadki z życia doktora Przypadka.
Pewnego razu doktor Przypadek zapowiedział swoim uczniom sprawdzian.
– Dam wam do przygotowania 12 zadań, na sprawdzianie będzie 10 spośród
nich – wyjaśnił doktor Przypadek.
– Czy można mieć gotowce? – zażartował jeden z uczniów.
Doktor Przypadek chwilę zastanawiał
się.
IV
– Mogą być, ale w takim razie – tu
Przypadek lekko się uśmiechnął – na
sprawdzianie będzie tylko 6 zadań. Przypominam, że praca ma być oddana na
jednej kartce i bez żadnych skreśleń.
Doktor Przypadek przekonany był, że
przygotowanie 924 gotowców przerasta
możliwości uczniów. A jednak mniej ambitni, ale inteligentni uczniowie zauważyli, że wystarczy 220 gotowców. Na czym
polegała ich sztuczka?
Załącznik nr 3.
Zadanie 1. Trzy osoby ruszyły windą
z parteru w bloku ośmiopiętrowym. Oblicz, na ile sposobów mogą one:
a) opuścić windę w sposób dowolny;
b) wysiąść na różnych piętrach,
c) wysiąść z windy na ósmym piętrze?
Zadanie 2. Z talii 52 kart losujemy 4 karty. Ile jest możliwych wyników losowania,
jeśli wśród nich mają być:
a) trzy kiery,
b) co najmniej trzy kiery,
c) dwa kiery, jeden pik i jeden trefl.
Zadanie 3. Na turnieju szachowym każdy
z uczestników rozegrał z każdym po jednej partii, po czym jeden z uczestników
turnieju się wycofał. Pozostali rozegrali
jeszcze każdy z każdym po jednej partii.
Łącznie rozegrano 49 partii.
Ilu było uczestników na początku tego
turnieju?
Załącznik nr 4. Zadanie domowe
I
1. Ile dzielników naturalnych ma liczba:
2 × 3 × 7 × 11 × 17?
2. Pewien klub poselski liczy 8 posłów.
Na ile sposobów można w sposób losowy
matematyka
wybrać posła sprawozdawcę i jego zastępcę, w razie gdyby ten nie mógł uczestniczyć w obradach Sejmu?
3. Dziecko sprawne manualnie, ale nie
umiejące czytać rozsypało litery słowa
SKAKANKA. Ile różnych słów (mających
sens lub nie) może ono ponownie ułożyć?
II
1. Na okręgu zaznaczono 6punktów. Ile
istnieje wielokątów o wierzchołkach
w tych punktach?
2. Ile jest wszystkich liczb trzycyfrowych
o różnych cyfrach podzielnych przez 5?
3. Ile różnych wyników możemy otrzymać przy;
a) trzykrotnym rzucie kostką sześcienną,
b) rzucie trzema różnokolorowymi kostkami?
III
1. Czy wśród 1000 osób muszą być dwie
osoby mające te same inicjały? (Pierwsze
litery imienia i nazwiska). Przyjmij, że
alfabet ma 24 litery.
2. Na ile sposobów można z grupy 2 kobiet i 3 mężczyzn wybrać 3-osobową delegację, tak aby w jej skład weszła chociaż jedna kobieta?
3. Ile różnych 3-kolorowych chorągiewek
można skleić mając do dyspozycji paski
w 8 kolorach, jeśli barwy w chorągiewce
nie mogą się powtarzać?
IV
1. W pojemniku znajduje się 6 kul białych, 6 kul czarnych oraz 6 zielonych. Na
ile różnych sposobów możemy wyjąć
z pojemnika 3 kule, tak by otrzymać kule
w dwóch kolorach?
2. Ile samochodów można zarejestrować
używając tablic, na których najpierw są
3 litery z 24 literowego alfabetu, a następnie 3 cyfry.
3. Ile jest różnych rozkładów kart w brydżu? (Talia ma 52 karty, każdy z 4 graczy
dostaje13).
V
1. Na peronie czeka na pociąg 5 osób.
Podjeżdża skład złożony z 7 wagonów. Ile
jest sposobów na rozmieszczenie tych pasażerów dokładnie w dwóch wagonach?
2. W pudełku znajdują się patyczki długości: 3 cm , 4 cm, 5 cm, 6 cm i 7 cm. Wybieramy trzy. Na ile sposobów możemy to zrobić, tak by można z nich ułożyć trójkąt?
3. Na ile sposobów można uporządkować
zbiór liczb : 1, 2, 3, ..., 19 tak, aby iloczyn
każdych dwóch kolejnych był liczbą parzystą?
q
HALINA BERA
nauczycielka w ZSP nr 1 oraz
w Społecznym Liceum Ogólnokształcącym w Kwidzynie
LITERATURA
[1] Krzysztof Kłaczkow, Marcin Kurczab i Elżbieta Świda, Podręcznik i zbiór zadań do klas
III–IV;
5/2004
[2] Marek Zakrzewski i Tomasz Żak, Kombinatoryka, prawdopodobieństwo i zdrowy rozsądek;
[3] Anna Zalewska i Edward Stachowski, I Ty zostaniesz Euklidesem, klasa IV.
V