Efekt naskórkowy (skin effect)

Efekt naskórkowy (skin effect)
Rozważmy cylindryczny przewód o promieniu a i o nieskończonej długości. Przez
przewód płynie prąd I = I0 cos ωt. Dla niezbyt dużych częstości ω możemy zaniedbać prąd przesunięcia, co jest równoważne pominięciu efektu wypromieniowania energii przez przewód w postaci fali elektromagnetycznej. Gęstość prądu oraz
natężenia pól elektrycznego i magnetycznego zapisujemy w formie zespolonej, z
harmoniczną zależnością od czasu eiωt .
Prawa Faraday’a i Ampera dla pól wewnątrz przewodu wynoszą:
⃗
∂B
⃗
∇ × E⃗ = −
= −iωµµ0 H
(1)
∂t
gdzie σ – przewodnictwo właściwe, µ – względna przenikalność magnetyczna materiału, z którego wykonano przewód. Dla rotacji we współrzędnych cylindrycznych obowiązują następujące wzory:
A
∂A
⃗ )z = φ + φ , ( A
⃗ )φ = − ∂Az
(A
(2)
r
∂r
∂φ
Zakładając, że przewód skierowany jest wzdłuż osi z, równania (1) w układzie
cylindrycznym można zapisać jako:
⃗ =⃗ȷ = σ E⃗ ,
∇×H
dE
H dH
+
=σE ,
= iωµµ0 H
(3)
r
dr
dr
gdzie H = Hφ , E = Ez . Różniczkując drugie z równań (3) po r, możemy zapisać
równanie różniczkowe dla natężenia pola elektrycznego
d 2 E 1 dE
+
= iωµµ0 σ E
(4)
dr 2 r dr
√
√
√
oznaczając q = −iωµµ0 σ = ϵ k, gdzie ϵ = −i = e−iπ/4 , k = ωµµ0 σ mamy
d 2 E 1 dE
+
+ q2 E = 0
dr 2 r dr
Wprowadzając zmienną x = qr otrzymujemy równanie
(5)
d 2 E 1 dE
+
+E =0
(6)
dx 2 x dx
Jest to równanie Bessela zerowego rzędu. Jego ogólnym rozwiązaniem jest kombinacja liniowa funkcji Bessela pierwszego i drugiego rodzaju A J0 (x) + B Y0 (x).
Funkcję Bessela drugiego rodzaju Y0 musimy odrzucić, ponieważ Y0 (0) = ∞. Pole
1
elektryczne na osi przewodu, dla r = 0, nie może być nieskończenie duże. Pole
elektryczne wewnątrz przewodu wynosi więc
E = C J0 (qr)
(7)
gdzie C = const. Korzystając z drugiego z równań (3) możemy obliczyć natężenie
pola magnetycznego wewnątrz przewodu
H=−
σ dE
σ dE
=−
2
q dr
q dx
(8)
Korzystając ze wzoru na pochodną funkcji Bessela J0′ (x) = −J1 (x) otrzymujemy
H=
σC
J1 (qr)
q
(9)
Na podstawie równań (3) można sprawdzić, że równanie różniczkowe dla H jest
rzeczywiście równaniem Bessela rzędu 1. Zgodnie z całkową wersją prawa Ampera wartość natężenia pola magnetycznego na powierzchni przewodu powinna
wynosić
H(a) =
I
2πa
(10)
Stąd stała całkowania C wynosi
C=
qI
2πa σ J1 (qa)
(11)
Ostatecznie, natężenia pól elektrycznego i magnetycznego wewnątrz przewodu
wynoszą
E(r) =
qI J0 (qr)
,
2πa σ J1 (qa)
H(r) =
I J1 (qr)
2πa J1 (qa)
(12)
Zgodnie z różniczkowym prawem Ohma gęstość prądu wewnątrz przewodu wynosi
j(r) = σ E(r) =
qI J0 (qr)
2πa J1 (qa)
(13)
Stosunek gęstości prądu wewnątrz przewodu do gęstości prądu na jego powierzchni, dla r = a
2
1
ka=1
|j(r)| / |j(a)|
ka=2
ka=3
5
10
0
0
r/a
30
1
Rysunek 1: Wartość bezwględna gęstości prądu | j(r)| wewnątrz przewodu, w stosunku do jej wartości | j(a)| na powierzchni
j(r)
J0 (qr) J0 (ξ · ϵ ka)
=
=
j(a) J0 (qa)
J0 (ϵ ka)
(14)
gdzie ξ = r/a < 1. Mamy do czynienia z funkcjami Bessela od zespolonego argumentu, co fizycznie oznacza, że w różnych odległościach od osi przewodu zależność gęstości prądu od czasu jest przesunięta w fazie. W argumencie funkcji
√
Bessela występuje bezwymiarowa stała ka = ωµµ0 σa, zależna od promienia
przewodu a, częstości prądu ω oraz od stałych materiałowych σ i µ metalu, z którego wykonany jest przewód.
Na rysunku 1 przedstawiono wartość bezwględną stosunku gęstości prądu wewnątrz przewodu do jej wartości na powierzchni, dla kilku wybranych wartości
parametru ka. Można zauważyć, że dla dostatecznie dużych wartości ka, prąd
praktycznie w całości płynie po powierzchni przewodu. Efekt ten zwany jest
efektem naskórkowym (ang. skin effect).
W poniższej tabelce przedstawiono wartości parametru ka, dla przewodu o
średnicy 1 mm, dla wybranych częstotliwości prądu. Dla miedzi σ = 5,8 · 107 S/m,
µ = 1. Dla stali σ = 1,0 · 107 S/m, µ = 1000.
3
f
50 Hz 10 kHz
miedź
0,08
1
stal
1
14
100 MHz
100
1400
Efekt naskórkowy ma duże znaczenie praktyczne w elektrotechnice. Dla prądów
wysokiej częstotliwości opór przewodnika pochodzi w całości od cienkiej warstwy
materiału na powierzchni. Ponieważ miedź i aluminium, z którego wykonywane są
przewody elektryczne, mają tendencję do utleniania się, opór ten może być znacznie większy, niż wynikało by to z wartości przewodnictwa właściwego czystego
metalu. Można także zauważyć, że większa część metalu wewnątrz przewodu nie
bierze w ogóle udziału w przesyłaniu prądu elektrycznego, a zwiększanie średnicy przewodu nie prowadzi do zmniejszenia jego oporu. Dla prądów wysokiej
częstotliwości stosuje się więc często przewód w postaci plecionki złożonej z wielu cienkich przewodów (niem. Litzdrat, ang. litzwire).
Zależność impedancji przewodu od częstotliwości prądu
Na podstawie wzorów (12) możemy napisać wyrażenie na zespolony wektor Poyn⃗∗
tinga S⃗ = 21 E⃗ × B
S(r) =
1
1 qI J0 (qr) I ∗ J1∗ (qr)
E(r) B(r)∗ =
=
2
2 2πa σ J1 (qa) 2πa J1∗ (qa)
(15)
1 |I|2 J0 (qr) J1∗ (qr)
=
2 (2πa)2 σ |J1 (qa)|2
Na powierzchni przewodu zespolony wektor Poyntinga jest skierowany do wewnątrz powierzchni i wynosi
S(a) =
|I|2
J0 (qa)
1
2
2 (2πa) σ J1 (qa)
(16)
Zgodnie z twierdzeniem Poyntinga strumień zespolonego wektora Poyntinga przez
powierzchnię boczną A przewodu jest równy zespolonej mocy czynnej P i biernej
Q wydzielanej wewnątrz przewodu
∫
⃗ = P + iQ
S⃗ · d A
(17)
A
4
gdzie P = 21 |I|2 R oraz Q = 21 |I|2 ωL. Przy zaniedbaniu prądu przesunięcia moc
bierna w przewodzie jest związana z energią pola magnetycznego, stąd impedancja
przewodu ma charakter indukcyjny (jej część urojona jest większa od zera). Jeżeli
wykonywać obliczenia w odniesieniu do jednostki długości przewodu, to całkę z
wektora Poyntiga po powierzchni bocznej przewodu można zapisać jako
∫
2
⃗ = 2πa S(a) = |I| J0 (qa)
S⃗ · d A
(18)
4πa σ J1 (qa)
A
Zespolona impedancja przewodu na jednostkę długości wynosi więc
q J0 (qa)
(19)
2πa σ J1 (qa)
Oznaczając przez R0 = 1/(σπa2 ) opór omowy przewodu na jednostkę długości,
możemy ostatecznie napisać
Z(ω) = R + iωL =
R + iωL qa J0 (qa)
=
(20)
R0
2 J1 (qa)
Rysunek 2 przedstawia zależność oporu i indukcyjności przewodu w zależności od
√
bezwymiarowego parametru ka = ωµµ0 σa. Jak należało się spodziewać, dla bardzo niskich częstości prądu opór przewodu liczony na jednostkę długości wynosi
R0 , a część urojona impedancji dąży do zera.
Iloraz funkcji Bessela występujący w równaniu (20) dla małych argumentów
można zapisać w przybliżeniu jako
x J0 (x)
x2
≈1−
dla |x| ≪ 1
(21)
2 J1 (x)
8
Stąd dla niskich częstotliwości R ≈ R0 , natomiast część urojona impedancji wynosi
w przybliżeniu
iωL
(qa)2 1
≈−
= ωµµ0 σa2
R0
8
8
(22)
Mamy więc zależność
µµ0
R0
µµ0 σa2 =
= 0,5µ · 10−7 H/m
(23)
8
8π
Jest to tak zwana indukcyjność wewnętrzna przewodu, którą wcześniej wyznaczyliśmy obliczając energię W zgromadzoną w polu magnetostatycznym prądu stałego
wewnątrz przewodu i porównując ją ze wzorem z elektrotechniki W = 21 LI 2 .
L≈
5
3
2
Z / R0
R / R0
1
ω L / R0
0
0
1
2
3
4
5
ka
Rysunek 2: Zależność części rzeczywistej i urojonej impedancji przewodu od bezwymiarowego parametru ka.
***
Należy pamiętać, że dla bardzo wysokich częstotliwości prąd przesunięcia nie jest
już do zaniedbania. Impedancja przewodu jest wówczas określona przez proces
emisji fali elektromagnetycznej. Przewód pełni wówczas rolę anteny. Do obliczania impedancji można dalej stosować wzór (17), ale należy do niego wstawić wektor Poyntinga cylindrycznej fali elektromagnetycznej emitowanej przez przewód z
prądem.
6