Pobierz - Leksykon Matematyków Polskich

Pobierz - Leksykon Matematyków Polskich

Dzieªo naukowe Kazimierza Kuratowskiego
Kazimierz Kuratowski jest autorem 172 prac naukowych, dwóch monograi
i dwóch podr¦czników akademickich.
Napisaª 35 artykuªów o historii i orga-
nizacji matematyki w Polsce i w dwóch ksi¡»kach zebraª wspomnienia z »ycia matematycznego i prywatnego.
Byª promotorem dziewi¦ciu prac doktors-
kich: Stanisªawa Ulama (1933), Samuela Eilenberga (który byª tak»e uczniem
Karola Borsuka) (1936), Romana Sikorskiego (1949), Jerzego Jaronia (1958),
Stanisªawa Mrówki (1959), Ryszarda Engelkinga (1961), Moniki Caªczy«skiejKarªowicz (1966), Józefa Krasinkiewicza (1971) i Janusza Kaniewskiego (1977).
Lista tych, którzy na jego wykªadach, pracach i ksi¡»kach uczyli si¦ uprawiania matematyki i przedstawiania swoich wyników byªaby znacznie dªu»sza.
Pisaª i mówiª wyj¡tkowo precyzyjnie, zwi¦¹le i prosto, z dyskretnym wdzi¦kiem.
Precyzja i zwi¦zªo±¢ wynikaªy z jasno±ci jego umysªu oraz z nawyku ±cisªego,
logicznego my±lenia.
Prostot¦ osi¡gaª dzi¦ki gª¦bokiej analizie i umiej¦tno±ci
docierania do sedna problemu. Wdzi¦k byª jego tajemnic¡, zwi¡zan¡ zapewne z
cz¦sto przeze« przywoªywan¡ analogi¡ miedzy matematyk¡ i muzyk¡ oraz poezj¡.
Wykªady wyra¹nie sprawiaªy mu przyjemno±¢, ich doskonaªo±¢ zdawaªa si¦ wypªywa¢ z natchnienia i naturalnej swobody. W±ród warszawskich studentów kr¡»yªo
powiedzenie, »e jego wykªad przepisany z tablicy stanowiªby wzorowy podr¦cznik.
I byªa to prawda, ale sªuchacze nie wiedzieli, »e ten podr¦cznik istniaª to
byªy notatki profesora.
Wszystko, co mówiª byªo doskonale przygotowane i na
ogóª starannie spisane. Ci, którzy nie mieli szcz¦±cia go sªucha¢, mog¡ pozna¢
szczególny, osobisty styl jego wykªadu obcuj¡c z dwutomow¡ Topologi¡; ta mistrzowska synteza topologii ogólnej dzieªo »ycia wielkiego uczonego wci¡» pozostaje arcydzieªem literatury matematycznej. Najwa»niejsze prace Kazimierza
Kuratowskiego zostaªy zebrane w ksi¡»ce K. Kuratowski, Selected papers PWN
1988, zawieraj¡cej tak»e omówienie caªo±ci jego dorobku naukowego ([11] i [27],
liczby w klamrach odsyªaj¡ do cz¦±ci Literatura). Bardziej szczegóªowe przedstawienie dorobku w dziedzinie topologii mo»na znale¹¢ w [12]. Pisz¡c niniejsze
opracowanie uznali±my za wªa±ciwe skoncentrowanie si¦ na dokonaniach naukowych Kazimierza Kuratowskiego, które w naszym odczuciu miaªy najwi¦kszy
wpªyw na rozwój matematyki.
Cytuj¡c prace Kuratowskiego, podajemy dat¦
publikacji i kolejn¡ liter¦, odsyªaj¡c do cz¦±ci Lista publikacji.
1. Operacja domkni¦cia i Lemat Kuratowskiego-Zorna.
W roku 1922, w trzecim tomie Fundamenta Mathematicae ukazaªo si¦ siedem
prac Kuratowskiego. Wyniki dwóch z nich, [1922e] i [1922d], dotycz¡ce podstaw
topologii i teorii mnogo±ci, weszªy na trwaªe do literatury z tych dziedzin.
Praca [1922e], stanowi¡ca cz¦±¢ rozprawy doktorskiej Kuratowskiego przedstawionej w 1920r.
w Uniwersytecie Warszawskim, zawiera cztery aksjomaty
operacji domkni¦cia i opis, w terminach operacji domkni¦cia, podstawowych poj¦¢ topologicznych.
Aksjomaty Kuratowskiego zostaªy uznane w pó¹niejszym
1
okresie za jedn¡ z najlepszych denicji przestrzeni topologicznych.
Ich rola w
ksztaªtowaniu si¦ wspóªczesnego j¦zyka topologii jest ciekawie opisana w artykule
G.H. Moore'a [23].
F przyporz¡dkowuj¡ce ka»deX ustalonego zbioru E zawieraj¡cy X zbiór F (X) ⊂ E i pokazuje,
»e dla ka»dego A ⊂ E , w±ród zawieraj¡cych A jako element rodzin podzbiorów E ,
zamkni¦tych ze wzgl¦du na dziaªanie F oraz operacj¦ sumy dowolnej podrodziny,
W pracy [1922d] Kuratowski rozpatruje funkcje
mu podzbiorowi
istnieje rodzina najmniejsza, która jest dobrze uporz¡dkowana relacj¡ inkluzji, a
jej suma jest punktem staªym funkcji
F.
Kuratowski wyprowadziª z tego twierdzenia nast¦puj¡c¡ zasad¦ maksimum
(terminologia pojawiªa si¦ w pó¹niejszej literaturze): je±li
K
jest pewn¡ rodzin¡
podzbiorów ustalonego zbioru zamkni¦t¡ ze wzgl¦du na sumy podrodzin dobrze
uporz¡dkowanych relacj¡ inkluzji, to
K
zawiera element maksymalny ze wzgl¦du
na inkluzj¦.
W [1922d] pokazano, »e odwoªanie si¦ do tej zasady pozwala wyeliminowa¢
indukcj¦ pozasko«czon¡ z dowodów szeregu wa»nych twierdze« w topologii i teorii
funkcji rzeczywistych.
Zasad¦ maksimum dla rodzin podzbiorów ustalonego zbioru odkryª ponownie
Max Zorn, publikuj¡c w 1935r. prac¦, w której zast¡piª t¡ zasad¡ (sformuªowan¡
w nieco sªabszej wersji ni» u Kuratowskiego) szereg rozumowa« algebraicznych,
opartych na indukcji pozasko«czonej. Zorn zapowiedziaª te», »e w kolejnej pracy
wyka»e równowa»no±¢ zasady maksimum z pewnikiem wyboru i zasad¡ dobrego
uporz¡dkowania, ale ostatecznie, takiego dowodu nie opublikowaª.
W roku 1939 Bourbaki pisaª w kontek±cie zasady maksimum o twierdzeniu
Zorna i wyprowadziª z niej lemat fundamentalny, który byª odpowiednikiem
(dla zbiorów cz¦±ciowo uporz¡dkowanych), twierdzenia Kuratowskiego o punkcie
staªym (zob.
[6]).
Jednak»e pó¹niej przyznaª priorytet w sformuªowaniu tej
zasady Kuratowskiemu (zob. [7]). Obecnie, w literaturze zasad¦ maksimum dla
rodzin zbiorów cz¦sto nazywa si¦ Lematem Kuratowskiego-Zorna.
Interesuj¡ce informacje historyczne, zwi¡zane z ró»nymi wariantami zasady
maksimum w teorii mnogo±ci, zawiera artykuª P.J. Campbella [8].
Znaczenie
pracy Kuratowskiego [1922d] w teorii mnogo±ci jest te» ciekawie omówione w
artykule A. Kanamori [17].
2. Continua nieprzywiedlne, rozcinanie pªaszczyzny, jednosprz¦gªo±¢
i charakteryzacja sfery dwuwymiarowej.
Continua nieprzywiedlne mi¦dzy dwoma punktami minimalne continua ª¡cz¡ce te punkty, zostaªy wprowadzone w roku 1909 przez L. Zorettiego w badaniach
poj¦cia linii. Wkrótce potem L.E.J. Brouwer pokazaª, »e continua nieprzywiedlne
na pªaszczy¹nie mog¡ mie¢ bardzo zªo»on¡ struktur¦, co przyci¡gn¦ªo uwag¦ wielu
wybitnych matematyków, w czasach formowania si¦ topologii mnogo±ciowej.
Druga cz¦±¢ rozprawy doktorskiej Kuratowskiego [1922f ] i jej kontynuacja
2
[1927c] zawieraj¡ gª¦bok¡ analiz¦ continuów nieprzywiedlnych. Gªównym wynikiem tych prac, uzyskanym wspólnie z Bronisªawem Knasterem w [1927c], jest
twierdzenie o rozkªadzie continuum nieprzywiedlnego na warstwy fundamentalne tranches fondamentales (okre±lenie fondamentales pojawiªo si¦ w pó¹niejszej pracy Kuratowskiego [1928c]).
X to elementy maksymalne, w sensie
X , które s¡ przeliczalnymi sumami nietrywial-
Warstwy fundamentalne continuum
inkluzji, w rodzinie podcontinuów
nych continuów nierozkªadalnych (tzn.
nie daj¡cych si¦ przedstawi¢ w postaci
sumy dwóch continuów, z których »adne nie zawiera si¦ w drugim) lub brzegowych w
X.
Kuratowski pokazuje w [1922f ], »e dla continuum
punktami
a i b, w rodzinie continuów w X
X
zawieraj¡cych
nieprzywiedlnego mi¦dzy
a, które s¡ domkni¦ciami
swoich wn¦trz, uzupeªnionej zbiorem pustym, inkluzja jest porz¡dkiem liniowym
maj¡cym typ porz¡dkowy pewnego zbioru domkni¦tego w [0,1]. Z tym liniowo
uporz¡dkowanym zbiorem continuów zwi¡zane jest w [1927c] w naturalny sposób
przeksztaªcenie ci¡gªe z
fundamentalnymi
X
na odcinek lub w punkt, którego warstwy s¡ warstwami
X.
To prowadzi do twierdzenia Knastera i Kuratowskiego, »e dla continuum
X
nieprzywiedlnego mi¦dzy dwoma punktami, przestrzeni¡ rozkªadu póªci¡gªego
X
górnie
na warstwy fundamentalne jest albo odcinek albo punkt, przy czym
spo±ród wszystkich takich liniowych rozkªadów póªci¡gªych górnie
X
na con-
tinua, rozkªad na warstwy fundamentalne jest najsubtelniejszy.
Twierdzenie Knastera i Kuratowskiego znacznie wzmocniªo wyniki H. Hahna,
L. Vietorisa i W.A. Wilsona o liniowych rozkªadach pewnych continuów nieprzywiedlnych. W szczególno±ci, je±li opisana w [1922f ] liniowo uporz¡dkowana rodzi-
X nieprzywiedlnym mi¦dzy a i b ma typ odcinka,
to warstwy fundamentalne X pokrywaj¡ si¦ z wyró»nionymi przez Vietorisa
Schichten: dwa punkty z X le»¡ w tej samej warstwie fundamentalnej wtedy
i tylko wtedy, gdy nie s¡ porównywalne w relacji p ≺ q oznaczaj¡cej, »e mo»na
poª¡czy¢ a z p oraz b z q rozª¡cznymi continuami w X .
W pracy [1928c], Kuratowski dowodzi, »e dla continuum X na pªaszczy¹nie,
na continuów w continuum
które jest wspóln¡ granic¡ dwóch obszarów, przestrze« rozkªadu póªci¡gªego
X
górnie
na warstwy fundamentalne jest albo punktem, albo okr¦giem, przy czym
jest to rozkªad najsubtelniejszy spo±ród cyklicznych rozkªadów póªci¡gªych górnie
X
na continua.
Inny niezwykle efektowny wynik z tej pracy orzeka, »e continuum na pªaszczy¹nie, które jest wspóln¡ granic¡ trzech obszarów jest albo nierozkªadalne, albo te»
jest sum¡ dwóch continuów nierozkªadalnych.
Wa»nym poj¦ciem topologicznym, wyró»nionym niezale»nie przez Kuratowskiego i Vietorisa w roku 1926 jest jednosprz¦gªo±¢ continuum
»e je±li
X
X,
która oznacza,
jest sum¡ dwóch continuów, to ich przeci¦cie jest spójne (nazwa unico-
herent pojawiªa si¦ w jednej z pó¹niejszych prac Kuratowskiego, Vietoris u»ywaª
terminu ohne Henkel).
3
Kuratowski pokazaª w [1926b], »e dla continuum peanowskiego
X
(tzn. ci¡gªe-
go obrazu odcinka), jednosprz¦gªo±¢ jest równowa»na wªasno±ci, któr¡ Phragmén i Brouwer udowodnili dla sfery dwuwymiarowej:
dopeªnienia continuum w
X
brzeg ka»dej skªadowej
jest continuum.
W pracy [1929a] (której wyniki byªy prezentowane na Mi¦dzynarodowym Kongresie Matematycznym w Bolonii w 1928 r.), Kuratowski podaje pi¦kn¡ charak2
teryzacj¦ topologiczn¡ sfery dwuwymiarowej S : continuum peanowskie X jest
2
homeomorczne z S wtedy i tylko wtedy, gdy »aden punkt nie rozcina X oraz
ka»de continuum niejednosprz¦gªe w
X
rozcina
X.
Continua peanowskie speªniaj¡ce drugi z tych warunków nazywane s¡ w [1929a]
continuami Janiszewskiego, dla podkre±lenia zwi¡zków z podstawowymi wynikami
2
Z. Janiszewskiego o rozcinaniu S .
2
Dowodz¡c homeomorczno±ci z S , Kuratowski pokazuje, »e w przestrzeniach
Janiszewskiego bez punktów rozcinaj¡cych zachodzi twierdzenie Jordana oraz
ka»dy punkt ma baz¦ otocze« zªo»onych z obszarów o brzegach homeomorcznych
2
z okr¦giem, a nast¦pnie odwoªuje si¦ do topologicznej charakteryzacji S otrzymanej trzy lata wcze±niej przez Irmgard Gawehn.
3. Grafy niespªaszczalne.
Jednym z najcz¦±ciej cytowanych twierdze« Kuratowskiego jest podana w
[1930d] charakteryzacja grafów, które zanurzaj¡ si¦ w pªaszczyzn¦. Frank Harary
opatrzyª swoj¡ monogra¦ z teorii grafów [15] dedykacj¡-czterowierszem:
To Kazimir Kuratowski
Who gave
K5
and
K3,3
To those who thought planarity
Was nothing but topology
(zob. tak»e [16]).
Graf
K5
to graf o pi¦ciu wierzchoªkach, którego ka»de dwa wierzchoªki s¡
poª¡czone kraw¦dzi¡; wierzchoªki grafu
K3,3
dziel¡ si¦ na dwie trzyelementowe
grupy, przy czym ka»dy wierzchoªek z danej grupy ª¡czy si¦ kraw¦dzi¡ z ka»dym
wierzchoªkiem z drugiej grupy i nie ª¡czy z »adnym wierzchoªkiem ze swojej grupy.
Kuratowski udowodniª, »e graf nie zanurza si¦ w pªaszczyzn¦ wtedy i tylko
wtedy, gdy zawiera jeden z grafów
K5
lub
K3,3
(w [1930d], grafy
K5
i
K3,3
s¡
opisane geometrycznie).
W istocie, Kuratowski pokazaª wi¦cej: »e continuum peanowskie zawieraj¡ce
co najwy»ej sko«czenie wiele topologicznych kopii okr¦gu i nie zanurzaj¡ce si¦ w
pªaszczyzn¦, zawiera topologicznie jeden z grafów
K5
lub
K3,3 .
Kilka lat pó¹niej, S. Claytor wykazaª, »e dowolne continuum peanowskie, które
nie zanurza si¦ w sfer¦ dwuwymiarow¡, zawiera topologicznie
K5 , K3,3 lub jedn¡ z
dwóch krzywych opisanych przez Kuratowskiego w [1930d], w uwadze dotycz¡cej
zakresu jego twierdzenia.
4
Interesuj¡ce informacje historyczne zwi¡zane z twierdzeniem Kuratowskiego
mo»na znale¹¢ w pracy J.W. Kennedy'ego, L.V. Quintasa i M.M. Sysªy [18].
4. Zbiory dwuspójne, przeksztaªcenia w nerwy pokry¢ oraz parametryzacje, zanurzenia i uzwarcenia w teorii wymiaru.
Zbiory dwuspójne zbiory spójne, które nie maj¡ nietrywialnego rozkªadu na
dwa rozª¡czne zbiory spójne, byªy wyró»nione przez Knastera i Kuratowskiego
we wnikliwym studium poj¦cia spójno±ci [1921d]. Jeden ze zbiorów dwuspójnych
opisanych w [1921d] zostaª zaliczony przez P.S. Aleksandrowa i B.A. Pasynkowa w
ich monograi z teorii wymiaru [2] do najznakomitszych przykªadów w topologii
teorio-mnogo±ciowej.
Ten zbiór mioteªka Knastera-Kuratowskiego, powstaje przez dodanie punktu
w niesko«czono±ci do zbioru
K
punktów
(x, y)
na pªaszczy¹nie, gdzie
x
nale»y
C , y ≥ 0 oraz y jest wymierne, je±li x jest ko«cem przedziaªu
przylegªego do C i y jest niewymierne, w przeciwnym razie. Zbiór K nie zawiera
nietrywialnych podzbiorów spójnych, ale mioteªka K ∪ {∞} jest spójna, a wi¦c i
do zbioru Cantora
dwuspójna.
Mioteªka Knastera-Kuratowskiego inspirowaªa wiele konstrukcji w topologii
ogólnej.
Zbiory dwuspójne pojawiªy si¦ tak»e nieoczekiwanie w badaniach dy-
namiki eksponenty w dziedzinie zespolonej: J.C. Mayer pokazaª w 1990 r., »e zbiór
z
1
e pªaszczyzny zespolonej nie zawiera
ko«ców zbioru Julii dla przeksztaªcenia
e
nietrywialnego zbioru spójnego, ale po dodaniu do niego punktu w niesko«czono±ci otrzymuje si¦ zbiór spójny (zob. [9]).
Wa»nym wkªadem Kuratowskiego do teorii wymiaru jest rozwini¦cie metody
kategorii Baire'a w odpowiednich przestrzeniach funkcyjnych, wprowadzonej do
tej dziedziny przez W. Hurewicza.
Wzmacniaj¡c pewne twierdzenie Hurewicza, Kuratowski pokazaª w [1932c],
»e je±li
F
jest zbiorem domkni¦tym
zwartej przestrzeni metrycznej
tryzacje ci¡gªe
X
X,
n-wymiarowym, bez punktów izolowanych, w
to typowe, w sensie kategorii Baire'a, parame-
na zbiorze Cantora, maj¡ w ka»dym punkcie krotno±¢
≤ n + 1.
W pracach [1937d] i [1938d], Kuratowski pogª¦bia fundamentalne dla teorii
wymiaru twierdzenia o zanurzaniu i uzwarcaniu dowodz¡c, »e dla
n-wymiarowej
przestrzeni metrycznej o±rodkowej X , typowe w sensie kategorii Baire'a przef : X → [0, 1]2n+1 przeprowadza X na zbiór o domkni¦ciu
ksztaªcenie ci¡gªe
n-wymiarowym,
przy czym wymiar lokalny punktu
równy wymiarowi lokalnemu
x
w
f (x)
w przestrzeni
f (X)
jest
X.
Podstawowym narz¦dziem w tych dwóch pracach s¡ tzw.
κ-przeksztaªcenia w
nerwy otwartych pokry¢ przestrzeni, wprowadzone niezale»nie przez Hurewicza i
Kuratowskiego w roku 1933. Wykorzystanie
κ-przeksztaªce«
upro±ciªo aproksy-
macj¦ przestrzeni topologicznych wielo±cianami, zapocz¡tkowan¡ w pracach P.S.
Aleksandrowa i okazaªo si¦ bardzo u»yteczne w zagadnieniach przedªu»ania przeksztaªce« ci¡gªych.
5
Jedno z takich twierdze« o przedªu»aniu orzekaj¡ce, »e ka»de przeksztaªcenie
f : A → Y okre±lone na domkni¦tym podzbiorze przestrzeni metrycznej
∗
∗
∗
o±rodkowej X ma ci¡gªe przedªu»enie f : X → Y , gdzie Y otrzymuje si¦ przez
doª¡czenie do Y wielo±cianu niesko«czonego o wymiarze ≤ dim(X \A), udowodniª
ci¡gªe
Kuratowski w [1935a].
5. Rzutowo±¢ powierzchni Lebesgue'a, zwi¡zek operacji logicznych
z deskryptywn¡ zªo»ono±ci¡ zbiorów i twierdzenia o redukcji.
Podstawowymi obiektami badanymi w deskryptywnej teorii mnogo±ci s¡ zbiory
N
borelowskie w kostce Hilberta [0, 1] , ich ci¡gªe obrazy zbiory analityczne,
N
dopeªnienia zbiorów analitycznych w [0, 1] zbiory koanalityczne, oraz zbiory
pojawiaj¡ce si¦ na kolejnych poziomach hierarchii rzutowej ci¡gªe obrazy zbiorów
N
koanalitycznych, ich dopeªnienia w [0, 1] , itd.
Bardzo wa»n¡ rol¦ w rozwoju deskryptywnej teorii mnogo±ci odegraªa opublikowana przez H. Lebesgue'a w 1905 r.
konstrukcja funkcji wielu zmiennych,
parametryzuj¡ca funkcje rzeczywiste wszystkich klas Baire'a. N. Šuzin w swojej
fundamentalnej monograi o zbiorach analitycznych [20] po±wi¦ciª wiele miejsca
szczegóªowej analizie funkcji Lebesgue'a, wyra»aj¡c przypuszczenie, »e ze wzgl¦du
na indukcj¦ pozasko«czon¡ na której opiera si¦ konstrukcja, wykres tej funkcji
wychodzi poza hierarchi¦ rzutow¡.
Jednak»e, Kuratowski pokazaª w niezwykle pomysªowej pracy [1936f ], »e
nawet znacznie ogólniejsze konstrukcje przez indukcj¦ pozasko«czon¡ nie wyprowadzaj¡ poza klas¦ zbiorów rzutowych. W kolejnej, wspólnej z Johnem von Neumannem pracy [1937a], Kuratowski wykazaª, »e powierzchnia Lebesgue'a jest w
istocie przeci¦ciem zbioru analitycznego i koanalitycznego (nie b¦d¡c ani analityczna, ani koanalityczna).
Powstanie tych wa»nych i efektownych prac opisaª Kuratowski w Notatkach
do autobiograi na str. 184-185.
Aby przedstawi¢ twierdzenie Kuratowskiego i von Neumanna, oznaczmy przez
2
Q
przestrze« funkcji
t : Q → {0, 1}
okre±lonych na zbiorze liczb wymiernych, z
topologi¡ zbie»no±ci punktowej (homeomorczn¡ ze zbiorem Cantora), niech W O
Q
b¦dzie zbiorem funkcji t ∈ 2 , których no±niki s¡ dobrze uporz¡dkowane i niech,
dla
t ∈ W O, t b¦dzie liczb¡ porz¡dkow¡,
t. Zbiór W O jest koanalityczny.
która jest typem porz¡dkowym no±nika
funkcji
Powierzchni¦ Lebesgue'a otrzymuje si¦ prosto ze zbioru L, który powstaje w
Q
wyniku nast¦puj¡cej konstrukcji. Ustalmy ci¡g funkcji borelowskich fn : 2 →
2Q , przeksztaªcaj¡cych W O w W O, przy czym fn (t) < t, dla t ∈ W O ró»nych
fn (0) = 0. Dla ustalonych przestrzeni metrycznych zupeªnych i o±rodX, Y , zbioru borelowskiego A ⊂ X × Y oraz ci¡gu funkcji borelowskich
gn : X → Y istnieje dokªadnie jeden zbiór L ⊂ W O × X × Y (okre±lony przez
indukcj¦ pozasko«czon¡ ze wzgl¦du na typ t no±nika funkcji t ∈ W O ) taki, »e
sekcje L(t, x) = {y : (t, x, y) ∈ L} speªniaj¡ nast¦puj¡ce warunki: L(0, x) = A(x)
od zera i
kowych
6
oraz
L(t, x) = Limsupn L(fn (t), gn (x)).
Kuratowski i von Neumann udowodnili, »e ka»dy taki zbiór L jest przeci¦ciem
Q
pewnego zbioru analitycznego w 2 ×X ×Y i zbioru koanalitycznego W O×X ×Y .
Bardzo wa»n¡ rol¦ w rozwoju deskryptywnej teorii mnogo±ci odegraªa praca
Kuratowskiego i Tarskiego [1931b], gdzie struktura logiczna pewnych formuª
zostaªa powi¡zana z poªo»eniem w hierarchii rzutowej zbiorów opisywanych przez
te formuªy. Y.N. Moschovakis napisaª w monograi Descriptive Set Theory [24],
»e w tej fundamentalnej pracy po raz pierwszy zostaªy zauwa»one zwi¡zki mi¦dzy
deskryptywn¡ teori¡ mnogo±ci i logik¡ a H. Rogers, w klasycznym dziele Theory of recursive functions and eective computability [29], po±wi¦ciª metodzie
opisanej w [1931b] osobn¡ cz¦±¢ The Tarski-Kuratowski algorithm.
W kolejnej pracy [1931c] zwi¡zanej z tym podej±ciem, Kuratowski ustala
zªo»ono±¢ borelowsk¡, lub rzutow¡, wielu naturalnych zbiorów pojawiaj¡cych si¦
w topologii i teorii funkcji rzeczywistych.
Problematyka ta jest wci¡» przed-
miotem zainteresowania matematyków o ró»nych specjalno±ciach.
Istotn¡ rol¦ w ksztaªtowaniu si¦ struktury wspóªczesnej deskryptywnej teorii
mnogo±ci odegraªa te» praca Kuratowskiego [1936e], gdzie wyodr¦bniona zostaªa
zasada redukcji mo»liwo±¢ wpisywania w przeliczalne pokrycia przestrzeni
zbiorami danej klasy przeliczalnych pokry¢ rozª¡cznych zbiorami tej klasy, wyst¦puj¡ca zarówno w hierarchii borelowskiej, jak i rzutowej. Kuratowski wskazaª
na ±cisªe zwi¡zki zasady redukcji z podstawowymi twierdzeniami o oddzielaniu w
deskryptywnej teorii mnogo±ci.
6. Niemierzalno±¢
2ℵ0 .
Stefan Banach i Kazimierz Kuratowski udowodnili w [1929c] twierdzenie gªosz¡ce, »e przy zaªo»eniu Hipotezy Continuum na rodzinie wszystkich podzbiorów
prostej rzeczywistej nie mo»na okre±li¢ nietrywialnej, bezatomowej miary przeliczalnie addytywnej, zapocz¡tkowuj¡c tym wynikiem niezwykle wa»ny nurt bada«
w teorii mnogo±ci (nie wiadomo, czy zdanie przecz¡ce tezie tego twierdzenia jest
niesprzeczne z aksjomatami ZFC). Okoliczno±ci powstania tego twierdzenia opisaª
Kuratowski w Notatkach do autobiograi na str.95.
Wkrótce potem Stanisªaw Ulam ucze« Kuratowskiego, w rozprawie doktorskiej (obronionej na Politechnice Lwowskiej w 1933r.)
pokazaª, »e ka»da
bezatomowa, przeliczalnie addytywna miara okre±lona na rodzinie wszystkich
podzbiorów zbioru mocy
ℵ1
jest trywialna i zast¡piª Hipotez¦ Continuum w
twierdzeniu Banacha-Kuratowskiego znacznie sªabsz¡ hipotez¡ o liczbach kardynalnych.
Bardzo owocn¡ ide¡ Banacha i Kuratowskiego, na której oparli swój dowód,
(Aij ) o przeliczalℵ
zbioru F o mocy 2 0 ,
byªo okre±lenie, przy zaªo»eniu Hipotezy Continuum, macierzy
nie wielu wierszach i kolumnach, zªo»onej z podzbiorów
której ka»dy wiersz jest rozbiciem
F
na zbiory rozª¡czne, a przeci¦cia sko«czonych
sum zbiorów wybranych z ka»dego wiersza s¡ przeliczalne (Banach i Kuratowski
7
ℵ
rozwa»aj¡ w tym celu zbiór F mocy 2 0 w przeliczalnej pot¦dze liczb naturalnych
N
N , maj¡cy co najwy»ej przeliczalne przeci¦cie z ka»dym zbiorem zwartym w NN
Aij = {f ∈ F : f (i) = j}).
Dowód Ulama niemierzalno±ci ℵ1 opieraª si¦ na konstrukcji macierzy o przeliczalnie wielu wierszach i ℵ1 kolumnach, zªo»onej z podzbiorów zbioru F o mocy
ℵ1 takiej, »e zbiory w ka»dym wierszu s¡ parami rozª¡czne, a suma zbiorów w
ka»dej kolumnie wyczerpuje F z dokªadno±ci¡ do zbioru przeliczalnego.
i przyjmuj¡
7. Metoda KKM, miara niezwarto±ci, twierdzenie KuratowskiegoUlama i selekcje mierzalne.
Du»y wpªyw na zastosowania twierdzenia Brouwera o punkcie staªym miaªa praca Knastera, Kuratowskiego i Mazurkiewicza [1929d], zawieraj¡ca nowy
dowód tego twierdzenia. Gªównym elementem dowodu Knastera, Kuratowskiego
i Mazurkiewicza jest twierdzenie (wyprowadzone z pewnego kombinatorycznego
twierdzenia E. Spernera) orzekaj¡ce, »e je±li wierzchoªkom
v0 , . . . , vn sympleksu ∆
A0 , . . . , An w ∆ tak, »e ka»da ±ciana sympleksu rozpi¦ta na wierzchoªkach vi0 , . . . , vik jest pokryta zbiorami Ai0 , . . . , Aik ,
to pewien punkt z ∆ nale»y do wszystkich zbiorów Ai .
przyporz¡dkowane s¡ zbiory domkni¦te
F
W 1961 r., Ky Fan uogólniª to twierdzenie, wyró»niaj¡c przeksztaªcenia
: X → 2E przyporz¡dkowuj¡ce punktom zbioru X w przestrzeni liniowo-
topologicznej
E
ka»dego sko«czonego ukªadu
F (x1 ), . . . , F (xk )
F (x) w E w
punktów x1 , . . . , xk
zbiory domkni¦te
taki sposób, »e uwypuklenie
w
X
le»y w sumie zbiorów
takie przeksztaªcenia nazywane s¡ w literaturze KKM-prze-
ksztaªceniami, na cze±¢ autorów [1929d].
Ky Fan wywnioskowaª z [1929d], »e
je±li jedna z warto±ci KKM-przeksztaªcenia jest zwarta, to przeci¦cie wszystkich
warto±ci tego przeksztaªcenia jest niepuste. KKM-przeksztaªcenia znalazªy wa»ne
zastosowania w ró»norodnych zagadnieniach matematyki (zob. [10] i [14]).
W metrycznej teorii punktów staªych, a tak»e w zagadnieniach przenormowania przestrzeni Banacha, bardzo u»yteczna okazaªa si¦ miara niezwarto±ci zbiorów w przestrzeniach metrycznych, wprowadzona przez Kuratowskiego w [1930e]
kres dolny liczb
δ,
dla których dany zbiór mo»na rozbi¢ na sko«czenie wiele
zbiorów o ±rednicach mniejszych ni»
δ
(zob. [13] i [22]).
Cz¦sto wykorzystywane jest te» udowodnione w [1932d] twierdzenie Kuratowskiego-Ulama, b¦d¡ce odpowiednikiem dla kategorii Baire'a w przestrzeniach metrycznych o±rodkowych twierdzenia Fubiniego z teorii miary, oraz jego pó¹niejsze
liczne uogólnienia (zob. [26]).
Równie» twierdzenie Kuratowskiego i Rylla-Nardzewskiego o selekcjach mierzalnych [1965a], dzi¦ki swojej prostocie i ogólno±ci, jest bardzo cz¦sto stosowane.
Zagadnieniom selekcji mierzalnych dla multifunkcji i selektorów mierzalnych
dla rozkªadów przestrzeni po±wi¦ciª Kazimierz Kuratowski wi¦kszo±¢ publikacji
w ostatnim okresie swojej dziaªalno±ci naukowej.
8. Monograa Topologie i jej kolejne wydania.
8
Pierwsze wydanie Topologie I Kuratowskiego ukazaªo si¦ w roku 1933 (trzeci
tom serii Monograi Matematycznych).
Niezwykle trafny dobór tematyki, klarowno±¢ i wywa»enie proporcji sprawiªo,
»e Topologie I staªa si¦ wzorcem prezentacji poj¦¢ i metod topologii mnogo±ciowej stosowanych w teorii funkcji rzeczywistych i w analizie funkcjonalnej.
W kolejnych wydaniach, znacznie rozbudowany zostaª materiaª dotycz¡cy
przeksztaªce« w wielo±ciany oraz cz¦±¢ po±wi¦cona deskryptywnej teorii mnogo±ci.
Wydana w 1966r. w j¦zyku angielskim przez Academic Press Topology, vol.
I jest poszerzon¡ wersj¡ czwartego wydania Topologie I z 1958r. (w szczególno±ci, dodane s¡ rozdziaªy o parazwarto±ci przestrzeni metrycznych i zwi¡zanych
z ni¡ twierdzeniach metryzacyjnych).
Drugi tom dzieªa Kuratowskiego Topologie II ukazaª si¦ w 1950r. (dwudziesta pierwsza pozycja serii Monograi Matematycznych).
Jak pisze we wst¦pie
autor, wydanie tego tomu byªo mo»liwe dzi¦ki temu, »e po wybuchu wojny w
roku 1939, r¦kopis ksi¡»ki udaªo si¦ przesªa¢ do Szwajcarii profesorowi Wavre z
Uniwersytetu w Genewie (zob.
Notatki do autobiograi Kuratowskiego, str.
104).
Rozdziaªy Topologie II po±wi¦cone poj¦ciu spójno±ci, teorii continuów i
topologii pªaszczyzny stanowi¡ mistrzowskie podsumowanie jednego z gªównych
nurtów topologii mnogo±ciowej okresu mi¦dzywojennego, do którego matematyczna szkoªa warszawska wniosªa wielki wkªad.
W kolejnych wydaniach Topologie II, cz¦±¢ po±wi¦cona przestrzeniom euklidesowym zostaªa wzbogacona u»yciem grup kohomotopii Karola Borsuka.
Drugi tom Topology, opublikowany przez Academic Press w 1968 jest istotnym rozszerzeniem wydania Topologie II z 1961r. W szczególno±ci, poj¦cie
zwarto±ci jest tu omówione w peªnej ogólno±ci.
Dwutomowa monograa Kuratowskiego dzieªo wybitne, zaliczaj¡ce si¦ do
±wiatowej klasyki literatury matematycznej niew¡tpliwie ustaliªa kanon w wielu
fundamentalnych dziedzinach topologii mnogo±ciowej.
9