Zbiór zadań maturalnych – opracował Mirosław Gil UWAGA!!!

Transkrypt

Zbiór zadań maturalnych – opracował Mirosław Gil
SPIS TREŚCI
OBLICZENIA PROCENTOWE ..............................................................................................................2
Wartość bezwzględna, wektory, funkcje, własności liczb, geometria analityczna...................................6
Planimetria ..............................................................................................................................................24
Stereometria ............................................................................................................................................34
Funkcja logarytmiczna i wykładnicza ...................................................................................................41
Zadania z parametrem.............................................................................................................................48
Zbiory punktów.......................................................................................................................................55
Ciągi liczbowe ........................................................................................................................................56
Prawdopodobieństwo ..............................................................................................................................63
Trygonometria.........................................................................................................................................68
Wielomiany.............................................................................................................................................75
Zadania do samodzielnego rozwiązania .............................................................................................77
Statystyka ................................................................................................................................................80
Pochodna.................................................................................................................................................83
Zadania na dowodzenie...........................................................................................................................85
Zadania z informatora .............................................................................................................................90
ZADANIA DO POWTÓRKI .................................................................................................................95
FUNKCJE ...........................................................................................................................................95
LICZBY ..............................................................................................................................................96
CIĄGI..................................................................................................................................................97
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA.....................................................................................98
STEREOMETRIA ..............................................................................................................................99
PLANIMETRIA................................................................................................................................101
GEOMETRIA ANALITYCZNA .....................................................................................................102
RÓWNANIA, NIERÓWNOŚCI, UKŁADY....................................................................................103
Zadania różne........................................................................................................................................106
UWAGA!!!
Zadania, których numer zapisałem pogrubioną czcionką dotyczą poziomu
rozszerzonego, pozostałe – poziomu podstawowego.
Mirosław Gil
1
OBLICZENIA PROCENTOWE
Zad.1 a) lasy państwowe stanowią 78,5% ogólnej powierzchni lasów w Polsce., wynoszącej 8780ha. Jaką powierzchnię
mają lasy państwowe? Wynik podaj z dokładnością do 10ha.
b) sosna i modrzew rosną na powierzchni 6060ha, podczas gdy lasy iglaste zajmują powierzchnię 6780ha. Jaki procent
lasów iglastych porastają sosny i modrzewie? Wynik podaj z dokładnością do 1%.
c) buki starsze niż 80 lat rosną na powierzchni 110ha, co stanowi 30% lasów bukowych. Jaka jest powierzchnia lasów
bukowych? Wynik podaj z dokładnością do 1ha.
Zad.2 Do egzaminu przystąpiło 125 dziewcząt i 160 chłopców, a zdało go 76% dziewcząt i 62,5% chłopców.
Czy egzamin zdało więcej dziewcząt, czy chłopców?
Jaki procent przystępujących do egzaminu zdało go?
Zad.3 Gdy w pewnej klasie nieobecnych było 9 uczniów, to frekwencja wynosiła 64%.
a) Ilu uczniów należy do tej klasy?
b) Ilu uczniów tej klasy musiałoby być nieobecnych, aby frekwencja wynosiła 88%?
Zad.4 Skuteczność rzutów koszykarza jest wyrażana w procentach stosunkiem liczby celnych rzutów do wszystkich
oddanych. W pierwszym meczu skuteczność pewnego koszykarza wyniosła 30%. W drugim meczu ten sam zawodnik trafił
do kosza 16 razy na 20 podjętych prób, dzięki czemu jego skuteczność po dwóch meczach wzrosła do 50%.
a) Jaką skuteczność miał ten zawodnik w drugim meczu?
b) Ile rzutów oddał w pierwszym meczu?
Zad.5 Koncentrat soku zawiera 80% czystego soku. Ile potrzeba tego koncentratu, by otrzymać 5 litrów napoju o
zawartości 20% czystego soku?
Zad.6 Dwie krawędzie prostopadłościanu wydłużono o 20%. O ile procent wydłużono trzecią krawędź, jeżeli tak
otrzymany prostopadłościan ma objętość o 116% większą od początkowego?
Zad.7 Cenę towaru obniżono dwukrotnie o 10%.
O ile procent obniżona została cena początkowa?
O ile procent należy podnieść obecną cenę, by wrócić do ceny początkowej?
Zad.8 Na konto o oprocentowaniu 15% w stosunku rocznym wpłacono na dwa lata 800zł i.
a) Jaki będzie stan konta po upływie tego czasu?
b) Jakie powinno być oprocentowanie rocznej lokaty, aby po wpłaceniu 800zł i po upływie dwóch lat mieć na koncie
1000zł? Odpowiedź podaj z dokładnością do 1%.
c) Po upływie dwóch lat od wpłaty stan konta oprocentowanego 20% w stosunku rocznym wynosi 936 zł. Jaka była
wysokość wpłaty?
Zad.9 Pan Kowalski wpłacił 2000zł na pięcioletnią lokatę o oprocentowaniu 12% w stosunku rocznym. Ile procent wypłaci
po pięciu latach bez płacenia 20% odsetek od zysku, a ile po zapłaceniu odsetek?
Zad.10 Leszek wpłacił pewną sumę pieniędzy na konto o zmiennym oprocentowaniu. Odsetki wynosiły: za pierwszy rok
14%, za drugi 12%, trzeci 10%, czwarty 11%. Po czterech latach wypłacił cała kwotę. O ile procent wypłacił więcej niż
wpłacił na początku?
Zad.11 Pan Kowalski planując wakacje postanowił założyć lokatę , wpłacając do banku 2000zł na okres jednego roku. Ma
do wyboru trzy rodzaje lokat:
A – oprocentowanie w stosunku rocznym 5%, kapitalizacja odsetek po roku,
B – oprocentowanie w stosunku rocznym 4,8%, kapitalizacja odsetek co pól roku,
C – oprocentowanie w stosunku rocznym 4,6%, kapitalizacja odsetek co kwartał.
Oceń wykonując odpowiednie obliczenia, która lokata jest najkorzystniejsza.
Zad.12 Pan Oszczędny wpłacił na dwuletnią lokatę 20000 PLN, przy czym na tej lokacie odsetki dopisywane są po każdym
roku. Po dwóch latach oszczędzania stan konta wynosi 21383,12 PLN. Ile wynosi oprocentowanie tej lokaty?
Zad.13 W 2003 roku zarobki pani Zosi były o 20% niższe od zarobków jej męża, ale w następnym roku Zosia awansowała
i zarobki jej męża były o 20% niższe od zarobków pani Zosi. O ile procent wzrosły pani Zosi w stosunku do roku
poprzedniego?
Mirosław Gil
2
Zad.14 Litr benzyny kosztuje 4zł, a litr gazu 2zł. Można przyjąć, że samochód spala o 50%więcej gazu niż benzyny na
100km. Pan Kowalski postanowił założyć w swoim samochodzie instalację gazową. Koszt założenia wynosi 2000zł.
Samochód pana Kowalskiego spala 5 litrów benzyny na 100km.
a) Jaki jest koszt przejechania 10000km, jeżeli silnik pracuje na benzynę, a jaki gdy pracuje na gaz?
b) Po przejechaniu ilu kilometrów różnica między kosztem jazdy samochodem pracującym na gaz a pracującym na
benzynę wyniesie tyle ile kosztuje założenie instalacji gazowej?
Zad.15 Abonament miesięczny za telefon wynosi 50zł. Dodatkowo za każdą rozpoczętą minutę należy zapłacić 15 groszy.
a) Znajdź wzór funkcji, która liczbie minut przyporządkowuje miesięczną opłatę za telefon.
b) Oblicz po ilu minutach rozmowy opłata za telefon przekroczy 100zł.
c) Gdyby opłata za minuty rozmowy podrożała o 20%, a abonament o 10%, to o ile minut krócej niż w punkcie a)
rozmawialibyśmy płacąc 100zł?
Zad.16 grudnia wpłacono 5000zł na konto ze stopą procentową 6% rocznie. Odsetki są kapitalizowane co pół roku. Od 1
lipca oprocentowanie konta zmieniło się. Jaka była nowa stopa procentowa, jeżeli 1 stycznia następnego roku klient miał
na koncie 5272,60zł?
Zad.17 Kwotę 10000zł wpłacono na roczną lokatę terminową o stałym oprocentowaniu p%. Po roku od dochodu z lokaty
zapłacono 20% podatku i okazało się, że na koncie lokaty jest 10400zł. Oblicz p.
Zad.18 Pewną kwotę pieniędzy ulokowano w dwóch bankach na rok. Po roku, po odliczeniu 20% podatku od odsetek,
odebrano z obu banków 26960zł. Oblicz kwotę każdej lokaty, jeżeli roczna stopa procentowa dla lokat w pierwszym banku
była równa 5%, a w drugim 4% i jeżeli kwota odsetek w pierwszym banku była dwa razy większa niż kwota odsetek w
drugim banku.
1
Zad.19 Jeżeli roczna inflacja jest równa i%, to wartość 1 zł po roku jest równa
1
równa 980zł. Oblicz inflację roczną, wynik podaj z dokładnością do 0,01%.
i
100
zł. Po roku wartość 1000zł była
Zad.20 Pewien towar po dwukrotnej podwyżce o 5% kosztuje 88,2 zł. Ile kosztował ten towar przed podwyżkami?
Zad.21 W stopie do lutowania jest 65% ołowiu i 35% cyny. Do wyprodukowania pewnej ilości stopu zużyto 0 3 kg więcej
ołowiu niż cyny. Ile zużyto ołowiu, a ile cyny?
Zad.22 Planując wakacje rodzina Kowalskich przeznaczyła pewną kwotę na wyżywienie. W pierwszym tygodniu wydano
30% zaplanowanej kwoty, w drugim tygodniu o 60 zł mniej niż w pierwszym, w trzecim połowę reszty pieniędzy. Na
czwarty tydzień zostało 270 zł. Oblicz kwotę, którą rodzina Kowalskich przeznaczyła na wyżywienie.
Zad.23 Kaseta kosztowała 30 zł. Po dwukrotnej podwyżce o ten sam procent jej cena wzrosła do 36,30 zł. O Jaki procent
dokonywano kolejnych podwyżek ceny kasety?
Zad.24 Wysokość prowizji przy każdej zawieranej transakcji kupna lub sprzedaży akcji jest uzależniona od wartości
transakcji. Zależność tą przedstawia tabela:
Wartość transakcji
do 500 zł
od 500,01 zł do 3000 zł
od 3000,01 zł do 8000 zł
od 8000,01 zł do 15000zł
powyżej 15000 zł
Wysokość prowizji
15 zł
2% wartości transakcji + 5 zł
1,5% wartości transakcji + 20 zł
1% wartości transakcji + 60 zł
0,7% wartości transakcji + 105 zł
Klient zakupił 530 akcji w cenie 25 zł za jedną akcję. Po roku sprzedał kupione akcje po 45 zł za sztukę. Oblicz ile zarobił
na tych transakcjach po uwzględnieniu prowizji, które zapłacił.
Mirosław Gil
3
Zad.25 Na konto państwa Kowalskich wpływa miesięcznie 3200 zł. Na diagramie przedstawiono strukturę planowanych
miesięcznych wydatków. oblicz ile procent danej kwoty stanowią miesięczne wydatki na wyżywienie
oblicz, ile pieniędzy wydają państwo Kowalscy łącznie na gaz i energię oraz na czynsz.
czynsz(400
zł)
gaz i
energia(14%)
wyżywienie
ubrania(12%)
inne (5%)
Zad.26 Na poniższej fakturze podatek VAT został naliczony od wartości netto. Uzupełnij tabelę
Lp.
artykuł
J.m.
ilość
1
2
3
4
Szampon
Odżywka
Konfitura
czekolada
szt.
szt.
szt.
szt.
1
2
3
5
Cena
Jednostkowa
Bez podatki
VAT (zł)
8,85
6,50
Wartość
Netto
(zł)
8,85
19,50
Podatek VAT
%
22
22
7
7
Kwota
(zł)
Wartość z
Podatkiem
(zł)
24,30
1,05
Razem
Zad.27 Marek wpłacił 1000 zł na konto o oprocentowaniu 12% p.a. Po roku wypłacił 1000zł, pozostawiając odsetki. Po
kolejnym roku wypłacił kwotę równą pozostawionym uprzednio odsetkom, a na koncie zostawił tylko odsetki od tych
odsetek. Ile Marek może zyskać postępując tak dostatecznie
Zad.28 Cena akcji pewnej firmy wynosiła początkowo 10zł, a potem spadała o 20% dziennie. Czy 60zł wystarczy na
kupowanie dowolnie długo po jednej akcji tej firmy dziennie?
Zad.29 Tomek Sawyer pomalował pewnego dnia 15m płotu, a każdego następnego dnia o 10% mniej. Cały płot ma
długość 140m. Czy Tomek zdoła go pomalować?
Mirosław Gil
4
Zad.30 Zmieszano 3,5 litra roztworu 20-procentowego kwasu solnego z 3 litrami 40-procentowego kwasu solnego.
Obliczyć stężenie procentowe mieszaniny.
Zad.31 W jakim stosunku należy zmieszać dwa roztwory cukru o stężeniach 7% i 18%, aby otrzymać roztwór 13procentowy ?
Zad.32 Cena 1 l paliwa została zmniejszona o 15%. Po dwóch tygodniach dokonano kolejnej zmiany ceny paliwa
zwiększając ją o 15%. O ile procent końcowa cena paliwa różni się od początkowej?
Zad. 33 Mamy 5 kg kwasu siarkowego o stężeniu 15%. Ile kg kwasu siarkowego o stężeniu 10% należy dolać, aby
otrzymać kwas o stężeniu 13%?
Zad. 34 W jednym naczyniu było a litrów p-procentowego kwasu siarkowego, w drugim zaś b litrów q procentowego
kwasu siarkowego. Z obu naczyń odlano równe objętości roztworów, a następnie roztwór odlany z drugiego naczynia
wlano do pierwszego, a odlany z pierwszego wlano do drugiego. Okazało się, że po wymieszaniu stężenia w obu
naczyniach były jednakowe. Jaką ilość roztworu odlano z naczyń.
Zad. 35 W dwu naczyniach znajduje się roztwór kwasu siarkowego. W pierwszym naczyniu roztwór jest 5-procentowy, a
w drugim40-procentowy. Po ile litrów należy wziąć z każdego naczynia, aby po zmieszaniu pobranych roztworów
otrzymać 140 litrów 30-procentowego roztworu?
Zad. 36 Zmieszano 3,5 litra roztworu 20-procentowego kwasu solnego z 3 litrami 40-procentowego kwasu solnego.
Obliczyć stężenie procentowe mieszaniny.
Mirosław Gil
5
Wartość bezwzględna, wektory, funkcje, własności liczb, geometria analityczna
Definicja wartości bezwzględnej
Interpretacja wartości bezwzględnej
Rozwiąż korzystając z interpretacji : │x│=3; │x-3│=2; │x+2│=3; │x-4│<2; │x+3│>2 itp.
Rozwiąż algebraicznie : │x│=2; │x-4│=7; │x+5│=1; │x-6│<2; │x+7│>1
Rozwiąż : │x│=0; │x-3│=0; │x+2│≤0; │x-4│≥0; │x+3│>0; │x+4│<0
Rozwiąż równania i nierówności : │2x-4│+│x+3│=8; │x+4│-│x-3│< 12; │x-2│+│x+1│>7;
Zapisz za pomocą wartości bezwzględnej następujący przedział x  (1;5); x  (-∞;5>  <7; ∞)
WEKTORY
Definicja wektora
Działania na wektorach na płaszczyźnie (a+b, a-2b, 1/2a+5/7b...)
Wektor w układzie współrzędnych :
współrzędne – na osi, w XOY, długość wektora, kąt między wektorami, warunek równoległości i prostopadłości wektorów
działania na wektorach – dodawanie, odejmowanie, iloczyn przez liczbę, iloczyn skalarny
pole trójkąta
FUNKCJA LINIOWA
Różne postaci funkcji liniowej
Związek równania z wektorami : wektor kierunkowy i prostopadły
Warunki prostopadłości i równoległości prostych (postać kierunkowa, ogólna)
Metoda wyznaczników(z trzema niewiadomymi), układ równań z parametrem
Zad.37 Dana jest funkcja f(x) = – x2 + 6x – 5. Naszkicuj wykres funkcji i podaj jej zbiór wartości. Podaj rozwiązanie
nierówności f(x) > 0.
Zad.38 Rozwiąż nierówność x + 1 > (x + 1)(x – 4).
Zad.39 Korzystając tylko z definicji funkcji rosnącej uzasadnij, że funkcja
w przedziale (-  ; 0).
Zad.40 Dana jest funkcja
a)
b)
c)
d)
e)
f ( x) 
1
jest rosnąca
x2
 x  2 dla x  1;1)
f ( x)  
2
 x  1 dla x  1;3 
sprawdź, czy liczba a = (0,25)-0,5 należy do dziedziny funkcji f(x)
oblicz f(2) i f(3)
sporządź wykres funkcji f(x)
podaj rozwiązanie równania f(x) = 0
zapisz zbiór wartości funkcji f(x)
Zad.41 Funkcja f jest określona wzorem f(x) = ax2 + bx + 1 dla x  R.
a) wyznacz wzór tej funkcji tak, aby f(1) = 2 i f(2) = –1
b) dla wyznaczonych a i b rozwiąż nierówność f(x) > 1
Zad.42 Dana jest funkcja f określona za pomocą zbioru par uporządkowanych: {(x; x 2 + 1): x  N+ i x <7}
a) sporządź wykres tej funkcji i określ jej zbiór wartości
b) wyznacz wszystkie argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartość 37.
Zad.43 Niech f(x)= x2 – 6x + 12. Rozwiąż nierówność f(x) – 19 >0. Wyznacz równanie obrazu wykresu funkcji f w
symetrii względem prostej o równaniu a) x = 6; b) y = 1
Zad.44 Funkcja kwadratowa f(x) = 2x2 + bx + c jest malejąca w przedziale (-  ;4) i rosnąca w przedziale
(4;  ), a iloczyn jej miejsc zerowych wynosi 12.
a) Wyznacz współczynniki b i c
b) nie wyznaczając miejsc zerowych oblicz x12  x 22 .
Mirosław Gil
6
Zad.45 Funkcja kwadratowa f()x = ax2 + bx – 3, gdzie b > 0 posiada dwa różne miejsca zerowe, których iloczyn wynosi
(–3). Wiedząc, że funkcja ta przyjmuje najmniejszą wartość równą (– 4), wyznacz współczynniki a i b oraz miejsca zerowe
funkcji.
Zad.46 Sprowadź wyrażenie |x – 1| + |x|– |–x + 1| do najprostszej postaci, gdy x
 (0; 1).
Zad.47 Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji f(x) = (5 – x)(x – 1) w przedziale <0;7>.
Zad.48 Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji f(x) = (2x + 1)(x – 2) w przedziale <-2 ;2>.
Zad.49 Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji kwadratowej f. Na podstawie wykresu:
a) zapisz w postaci przedziałów liczbowych zbiór rozwiązań nierówności f(x) < 3
b) określ i zapisz największą i najmniejszą wartość funkcji f w przedziale <0;3>
c) zapisz wzór funkcji f w postaci iloczynowej
Zad.50 Wykres funkcji f(x) = ax2 + bx + c przechodzi przez punkty A(-2; 6), B(8; 16), a wierzchołek paraboli będącej
wykresem tej funkcji należy do prostej y = -2x + 2.
a) wyznacz współczynniki a, b, c
b) narysuj wykres funkcji f, która ma dwa miejsca zerowe
c) odczytaj z wykresu liczbę rozwiązań równania |f(x)| = m w zależności od parametru m.
Zad.51
Zbadaj
monotoniczność
funkcji
wyrażonej
wzorem
f ( x)  2  x  sgnx   3 ,
gdzie
 1 dla x  0

sgn x   0 dla x  0 .
1 dla x  0

Zad.52 Rozwiąż równania: a)
x  1  x  1 ; b) │x – 2│+│x│=│2x – 7│+1; c) │x – 1│– 2│x+3│+x+7=0;
d) │x+1│–│x│+3│x–1│–2│x–2│= x+2; e)
2 x 1  3  5
Zad.53 Wyznacz zbiór A  B, jeśli A={x  R: |x – 2| < 2 } i B={x  R: x2 – x – 6 < 0 }.
Zad.54 Narysuj wykres funkcji f(x) = 2|x| – x2 , a następnie, korzystając z niego podaj wszystkie wartości x, dla których
funkcja f przyjmuje maksima lokalne oraz minima lokalne.
Mirosław Gil
7
Zad.55 Podstawa AB trapezu ABCD jest zawarta w osi Ox, wierzchołek D jest punktem przecięcia paraboli o równaniu
1
y   x 2  x  6 z osią Oy. Pozostałe wierzchołki trapezu również leżą na tej paraboli. Oblicz pole trapezu.
3
Zad.56 Dany jest punkt F = (0; –3) i prosta k o równaniu y = 2. Aby wyznaczyć równanie postaci y = f(x), które spełniają
współrzędne punktu M = (x;y) równoodległego od punktu F i prostej k, postępujemy następująca:
 zapisujemy odległość |MF| punktu M od punktu F oraz odległość d(M;k) punktu M od prostej k
MF 
0  x 2   3  y 2
, d M .k   y  2
0  x2   3  y 2

y2

zapisujemy warunek równości tych odległości

przekształcamy równanie , podnosząc obie strony do kwadratu (obie strony są nieujemne) x2 + (–3 – y)2 = (y – 2)2
a następnie do postaci
y
1 2 1
x  .
10
2
Postępując analogicznie, rozwiąż następujące zadanie :
Dany jest punkt F = (0; 2) i prosta k o równaniu y = 3. Wyznacz równanie postaci y = f(x), które spełniają współrzędne
punktu M = (x;y) równoodległego od punktu F i prostej k.
Zad.57 Wyznacz zbiór punktów x osi liczbowej, takich, że suma ich odległości od punktów 1 i 3 jest mniejsza od 4.



Zad.58 Wykres funkcji f(x) = |x| przesunięto o wektor u  2;3 i otrzymano wykres funkcji y = g(x).
a) Napisz wzór funkcji y = g(x).
b) Wyznacz jej miejsca zerowe.
c) Zbadaj liczbę rozwiązań równania |g(x)| = m w zależności od parametru m.
d) Narysuj wykres funkcji k → k(m), gdzie k oznacz liczbę rozwiązań danego równania.
Zad.59 Punkt B = (-2; -1) jest jednym z końców odcinka AB. Punkt M = (2; 1) należy do odcinka AB i 3|AM| = |AB|.
Oblicz współrzędne punktu A.
Zad.60 Narysuj wykres funkcji o własnościach:
a) dziedziną funkcji jest zbiór <–4; 7>
b) f(–4) = 3; f(–1) = f(3) = 0; f(7) = –4; f(1) = –2
c) zbiorem wartości jest przedział <–4; 3>
d) funkcja jest rosnąca w przedziale(1;3), malejąca w przedziałach (–4;1); (3;7)
Zad.61 Dana jest funkcja f(x) = |x – 1| – |x + 2| dla x  R
a) wyznacz zbiór wartości funkcji dla x   ;2
b) naszkicuj wykres funkcji
c) podaj jej miejsca zerowe
d) wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie f(x) = m nie ma rozwiązania.

x 2  y 2  9
Zad.62 Rozwiąż układ równań 
 x y 2

.
 x 1

Zad.63 Rozwiąż układ  y  x  1 .
y  x2 1

 y  x 1
x  y  1  0
..
Mirosław Gil
8
Zad.65 Dla jakich wartości parametru m układ równań:
znakach?
mx  2 y  3
ma jedno rozwiązanie będące parą liczb o różnych

 2x  y  1
Zad.66 Zbadaj liczbę rozwiązań układu równań w zależności od parametru m
mx  y  m
.

 x  my  m
Zad.67 Obwód prostokąta ma 60 cm. Oblicz jego wymiary wiedząc, że prostokąt ten ma maksymalne pole.
Zad.68 Dane są funkcje liniowe f(x) = – x + 3 i g(x) = –x – 4 i punkt M(–1; 2).Prosta o równaniu x = m przecina wykres
tych funkcji odpowiednio w punktach A i B. Wyznacz wartość parametru m tak, aby suma kwadratów odległości punktów
A i B od punktu M była najmniejsza.
Zad.69 Dla jakich wartości parametru m wektory o współrzędnych [2m,1] i [m, -8] są a) prostopadłe, b) równoległe.
Zad.70 Dana jest prosta l o równaniu
y
3
x  2 oraz punkt A=(-3; -2). Wykres funkcji liniowej f jest prostopadły do
2
prostej l, punkt A należy do wykresu funkcji f. Wyznacz wzór i miejsce zerowe funkcji f.
Zad.71 Dany jest wektor
wektora


AB   3;4 oraz punkt A = (1; -2). Oblicz współrzędne punktu B oraz współrzędne i długość

v  2  AB .
Zad.72 W prostokątnym układzie współrzędnych naszkicuj figurę F, gdzie
F  x; y  : x  R  y  R  3 x  y  2. Oblicz pole figury F.
Zad.73 Dane są zbiory


A  x  R : x  4  7, B  x  R : x 2  0 . Zaznacz na osi liczbowej zbiór A, zbiór B
oraz zbiór C = B – A.


1
 B, A – B, B – A, jeżeli A   x  R : x   1 oraz B  x  R : 6  x 2  x 2  x .
2


12
3


 n  N  oraz B  1 ;4  .
Zad.75 Wyznacz A  B, jeżeli A   x : x 
n 1
4



Zad.74 Wyznacz A

Zad.76 W układzie współrzędnych dane są punkty A = (–2; 2) i B = (4;4)
a) wyznacz równanie prostej AB
b) prosta AB i prosta o równaniu 9x – 6y – 26 = 0 przecinają się w punkcie C. Oblicz współrzędnie punktu C.
Zad77 Aby wyznaczyć równanie symetralnej odcinka o końcach A(–1; 4) i B(3; –2) postępujemy w następujący sposób:
- wybieramy dowolny punkt P(x;y) należący do symetralnej odcinka AB i korzystamy z własności symetralnej odcinka:
|AP| = |BP| → |AP|2 = |BP|2
- ponieważ |AP|2 = (x+1)2 + (y – 4 )2 oraz |BP|2 = (x –3)2 + (y + 2 )2 , więc (x+1)2 + (y – 4 )2 = (x –3)2 + (y + 2 )2
- przekształcamy otrzymane równanie do prostszej postaci i otrzymujemy równanie 2x – 3y + 1 = 0, które jest równaniem
symetralnej odcinka AB.
Postępując w analogiczny sposób, wyznacz równanie symetralnej odcinka o końcach: C(4;6); D(6; –2).
Zad.78 Opisz za pomocą układu nierówności zbiór punktów należących do trójkąta ABC o wierzchołkach A(0;0), B(5; –3),
C(5;3)
Zad.79 Proste o równaniach x + y + 1 = 0, x – y – 3 = 0 oraz oś odciętych zawierają boki trójkąta. Oblicz obwód tego
trójkąta. Uzasadnij, że trójkąt ten jest prostokątny i oblicz pole koła opisanego na nim koła.
Mirosław Gil
9
Zad.80 Prosta o równaniu 5x + 4y – 10 = 0 przecina oś Ox układu współrzędnych w punkcie A oraz oś rzędnych w punkcie
B. Oblicz współrzędne wszystkich punktów C leżących na osi Ox i takich, że trójkąt ABC ma pole równe 35.
Zad.81 Okrąg o środku w punkcie S = (3; 7) jest styczny do prostej o równaniu y = 2x – 3.. Oblicz współrzędne punktu
styczności. (odp. x=23/5; y=31/5)
Zad.82 Dany jest punkt C = (2;3) i prosta o równaniu y = 2x – 8 będąca symetralną odcinka BC. Wyznacz współrzędne
punktu B. Wykonaj obliczenia.
Zad.83 W roku 2005 na uroczystości urodzin zapytano jubilata, Ole ma lat. Jubilat odpowiedział: „Jeśli swój wiek sprzed
10 lat pomnożę przez swój wiek za 11 lat, to otrzymam rok mojego urodzenia”. Ułóż odpowiednie równanie, rozwiąż je i
zapisz w którym roku urodził się jubilat.
Zad.84 Rozwiąż równanie 423 – 329 x = 164∙(44)4.
Zad.85 Samochód przebył w pewnym czasie 210 km. Gdyby jechał ze średnią prędkością o 10 km/h większą to czas
przejazdu skróciłby się o pół godziny. Oblicz z jaką średnią prędkością jechał samochód.
Zad.86 Turysta pokonał trasę 112 km, przechodząc każdego dnia tą samą liczbę kilometrów. Gdyby mógł przeznaczyć na
tę wędrówkę o 3 dni więcej, to w ciągu każdego dnia mógłby przechodzić o 12 km mniej. Ile kilometrów dziennie
przechodził turysta? (odp. 28km).
Zad.87 Ze Szczecina do Częstochowy wyruszyły dwie pielgrzymki: piesza i rowerowa. Pielgrzymka piesza wyruszyła
pierwsza, pokonując każdego dnia 26km. Po 8 dniach wyruszyła pielgrzymka rowerowa, pokonując pierwszego dnia 54km,
a każdego następnego o 2 km mniej niż poprzedniego. Pielgrzymki spotkały się dopiero na Jasnej Górze. W którym dniu i
w jakiej odległości od miejsca wyjazdu pielgrzymka rowerowa dogoniła pielgrzymkę pieszą. (odp. po 13 dniach, 546 km)
Zad.88 Odległość między dwiema stacjami kolejowymi jest równa 48 km. Pociąg ekspresowy przebywa tę trasę o 6 minut
krótszym niż pociąg pospieszny. Średnia prędkość pociągu ekspresowego jest o 16 km/h większa od średniej prędkości
pociągu pospiesznego. Oblicz średnią prędkości obu pociągów na tej trasie w km/h.
Zad.89 Rozwiąż równanie
x  3 2 3  2 2   3  2
2.
Zad.90 Aby uzyskać napój owocowy należy zmieszać syrop z wodą w stosunku 1 : 3. Ile jest syropu, a ile wody w 0,75 l
tego napoju?
Zad.91 Wykaż bez użycia kalkulatora i tablic, że
3
5 2  7  3 5 2  7 jest liczbą całkowitą.
3
3
3
3
3
można obliczyć w następujący sposób:


 ... 

1  4 4  7 7  10
301  304 304  307
4  1 7  4 10  7
304  301 307  304
sumę zapisujemy w następującej postaci S 


 ... 

1 4
47
7  10
301  304 304  307
Zad.92 Sumę
S
każdy składnik tej sumy przedstawiamy jako różnicę ułamków
1   7
4   10
7 
301   307
304 
 4
 304
S 







  ...  


 4  1 4  1   7  4 7  4   10  7 10  7 
 304  301 304  301   307  304 307  304 
1   1
1 
 1 1 1 1 1 
 1
S  1            ...  



,
 4   4 7   7 10 
 301 304   304 307 
1 1 1 1 1
1
1
1
1
1
306
więc S  1     
.
 ... 



 1

4 4 7 7 10
301 304 304 307
307 307
4
4
4
4
Postępując w analogiczny sposób, oblicz sumę S 


 ... 
1  5 5  9 9  13
281  285
Stąd
Mirosław Gil
10
3
Zad.93 Dane są liczby: a 
1
 
9
i b  27   5 .
3
3 34
1 2 3
a) przedstaw liczbę a w postaci x  y 3 , gdzie x i y są liczbami wymiernymi
b) zapisz liczbę b w postaci potęgi liczby 3 o wykładniku ułamkowym
c) suma liczb a i b stanowi 80% pewnej liczby c. Wyznacz liczbę c.
Zad.94 Upraszczając pierwiastek kwadratowy z liczby
Postępujemy następująca:
52  2  5 
27  10 2  25  10 2  2 
27  10 2 , zapisujemy ją w postaci kwadratu sumy dwóch liczb.
2
 2
2

5  2 
2
 5 2  5 2
Przeanalizuj ten przykład, a następnie, stosując analogiczne postępowanie, uprość
a) 22  12 2
b) 11  6 2 .
Zad.95 Równanie postaci
C
5
160
ustala zależność między temperaturą wyrażoną w stopniach Celsjusza (C)
F 
9
9
oraz Fahrenheita (F).
a) oblicz, ile stopni w skali Fahrenheita ma woda wrząca w temperaturze 1000 C
b) wyznacz taką temperaturę, przy której liczba stopni w skali Celsjusza jest równa liczbie stopni w skali
Fahrenheita.
Zad.96 Suma liczb a i b jest równa
17 , a ich różnica wynosi
7 . Oblicz wartość wyrażenia 4a2b2.
Zad.97 Porównaj liczby: a) 320, 230, 1010; b) 2613, 526, 339.
rozwiązaniem równania.
Zad.99 Dane są liczby


x 5  1  2 x 3  5 a następnie oblicz wartość wyrażenia 3m2 – 4m, gdzie m jest
x  4 5  8;
y  5  1 . Sprawdź, czy liczba
Zad.100 Sprowadź do najprostszej postaci wyrażenie
1 1
 jest liczbą wymierną.
x y
4
 5 i opuść wartość bezwzględną
5 3
x y
2x  3y
.
 1, oblicz
2 y  3x
2x  2 y
1
1
3
Zad.102 Oblicz wartość wyrażenia x  3 wiedząc, że x   3 .
x
x
Zad.101 Wiedząc, że
Zad.103 Liczbę 42 przedstaw w postaci sumy dwóch składników tak, aby różnica ich kwadratów była
równa 168.
Zad.104 Liczbę 2005 przedstaw w postaci różnicy dwóch liczb, tak by suma kwadratów tych liczb była najmniejsza.
Zad.105 Suma trzech liczb rzeczywistych dodatnich jest równa 13. Druga liczba jest trzy razy większa od pierwszej.
Wyznacz te liczby tak, aby suma ich kwadratów była najmniejsza.
Zad.106 Wiadomo, że 1,5849 jest przybliżeniem liczby 100,2 z zaokrągleniem do czterech miejsc po przecinku. Wyznacz
przybliżenie liczby

4
10 5 z zaokrągleniem do 1 miejsca po przecinku.
Mirosław Gil
11
Zad.107 Stosując wzory skróconego mnożenia rozłóż na czynniki wyrażenie 1 – a2 + 2ab – b2.
Zad.108 Które z liczb
3x2 – 10x < 0 i
 ; 2 3; 3.1; 3, 33; 3
x  22  x  x 


5 x 5 
1
?
5
7
należą do iloczynu rozwiązań nierówności:
62
Zad.109 Dla jakiej wartości parametru m punkty A, B, C są współliniowe, jeżeli A=(–2; 4); B=(2m; m – 2);
C=(8; –1)?
Zad.110 Wyznacz zbiór liczb, dla których ma sens wyrażenie:
2x  8 
1
.
x 3
2
Zad.111 Dwa pociągi wyjechały z miast A i B oddalonych od siebie o 540 km. Pociąg jadący z miasta A wyjechał o
godzinę wcześniej niż pociąg jadący z miasta B i jechał z prędkością o 9 km/h mniejszą. Pociągi te minęły się w połowie
drogi. Oblicz z jakimi prędkościami jechały te pociągi.
Zad. 112 Pociąg wyruszył w drogę o 16 minut później niż przewidywał rozkład jazdy, po czym na drodze 80 km nadrobił
opóźnienie jadąc z prędkością o 10 km/h większą niż przewidywał rozkład jazdy. Jaka była przewidywana prędkość
pociągu?
Zad.113 Samochód przejechał 180 km, jadąc ze stałą prędkością. Gdyby jechał z prędkością o 30 km/h większą, to czas
przejazdu skróciłby się o godzinę. Z jaką prędkością jechał samochód?
Zad.114 Dwaj rowerzyści wyruszyli jednocześnie w drogę, jeden z A do B, drugi z B do A i spotkali się po jednej
godzinie. Pierwszy z nich przebywał w ciągu godziny o 3 km więcej niż drugi i przyjechał do celu o 27 minut wcześniej
niż drugi. Jakie były prędkości obu rowerzystów i jaka jest odległość AB ?
Zad.115 Droga z miasta A do miasta B ma długość 474 km. Samochód jadący z miasta A do miasta B wyrusza godzinę
później niż samochód z miasta B do miasta A. Samochody te spotykają się w odległości 300 km od miasta B. Średnia
prędkość samochodu, który jechał z miasta A, liczona od chwili wyjazdu z A do momentu spotkania, była o 17 km/h
mniejsza od średniej prędkości drugiego samochodu liczonej od chwili wyjazdu z B do chwili spotkania. Oblicz średnią
prędkość każdego samochodu do chwili spotkania.
Zad. 116 Jaki prostokąt o obwodzie 20 cm ma najkrótszą przekątną?
Zad. 117 Okno ma kształt prostokąta zakończonego na górze trójkątem równobocznym. Obwód okna wynosi
2 m. Jaka powinna być długość podstawy prostokąta, aby powierzchnia okna była największa?
Zad.118 Właściciel sklepu kupił w hurtowni koszulki płacąc za nie 720 zł. Gdyby każda kosztowała o 2zł mniej, to za tę
samą kwotę mógłby kupić o 5 koszulek więcej. Oblicz ile koszulek kupił właściciel sklepu i po ile płacił za koszulkę.
Zad.119 Funkcję f(x) = 5x2 – 20x + 2 przedstaw w postaci kanonicznej i iloczynowej. Określ najmniejszą i największą
wartość tej funkcji w przedziale <0; 3>.
Zad.120 Wykresy funkcji f(x) = ax+b i
g ( x)  a 
b
przecinają się w punkcie (-0,5; 4).Znajdź współczynniki
x
a i b, a następnie narysuj te wykresy i wyznacz współrzędne ich drugiego punktu przecięcia.
Zad.121 Narysuj wykres funkcji
f ( x) 
odczytaj zbiór rozwiązań nierówności f(x) > 1.
monotoniczności.
x 2  4 x
f ( x)  
 2x 1
2x  4
, a następnie rozwiąż równanie f(x) = 1. Korzystając z wykresu
x 3
dla x  0
. Sporządź wykres funkcji, podaj miejsca zerowe i przedziały
dla x  0
Mirosław Gil
12
Zad.123 Funkcja kwadratowa f ma tylko jedno miejsce zerowe, przyjmuje największą wartość dla argumentu –4, a do jej
wykresu należy punkt A(1; -50). Napisz wzór tej funkcji w postaci ogólnej. (odp. y = –2x2 – 16x – 32)
Zad.124 Dane są zbiory A={x  R: │x – 4│> 7}; B={x  R: x2 > 0}; C=(– ∞; – 2)  (8; ∞) i D=(– 4; 10). Zaznacz na osi
liczbowej zbiór A, zbiór B oraz zbiór D – C.
Zad.125 Jeden bok kwadratu zawiera się w prostej o równaniu 2x - y = 2 , a wierzchołkiem jest punkt A = (1,5) . Oblicz
współrzędne pozostałych wierzchołków i pole kwadratu .
Zad.126 Dane są równania prostych zawierających boki równoległoboku : 3x + 5y - 19 = 0 i 3x - 9y + 51 = 0 oraz
równanie prostej zawierającej jedną z jego przekątnych 3x - 2y - 5 = 0. Znaleźć równanie prostej zawierającej drugą
przekątną równoległoboku i obliczyć jego pole .
Zad.127 Punkty A(-2, 4); B(-2,-2); C(5,-3); D(1,4) są wierzchołkami czworokąta. Oblicz współrzędne punktu przecięcia się
przekątnych tego czworokąta.
Zad.128 Na trójkącie o wierzchołkach A=(5,5) , B= (-2,4) , C=(-1,-3) opisano okrąg O(S,r) . Wyznaczyć równanie okręgu
oraz stosunek pola trójkąta ABC do pola koła K(S,r) .
Zad.129 W okrąg o równaniu x2 +y2 –2x-4=0 wpisany jest kwadrat o wierzchołku A(2,2).
a) Napisać równanie przekątnych tego kwadratu.
b) Obliczyć współrzędne pozostałych wierzchołków kwadratu.
c) Napisać równanie okręgu symetrycznego do danego względem prostej 4x+2y-19=0.
  x 2  3x dla x p 1
f ( x)   2
2 x  x  1 dla x  1
a)Obliczyć miejsca zerowe funkcji f.
b)Wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji f w przedziale <-2;2>
 3 
A   x :  1 i B  x : x  1  3
 x 
zaznacz te zbiory na osi liczbowej, przedstaw zbiory A  B ; A  B w postaci sumy przedziałów liczbowych.
Zad.131 Dane są zbiory liczb rzeczywistych:
2m  3
( m ≠ 2 ) przyjmuje wartości całkowite?
m2
2 m  3 2( m  2)  1 2( m  2)
1
1
Rozwiązanie: w 
, aby w  C, to (m – 2) musi być



 2
m2
m2
m2
m2
m2
Zad.132 Dla jakich m  C wyrażenie
w
dzielnikiem liczby 1, czyli ( m – 2)  {-1; 1}.
m–2=1
lub
m – 2 = -1
m=3
lub
m = 1.
Odp. Wyrażenie przyjmuje wartości całkowite dla m = 1 lub m = 3.
Korzystając z powyższego rozwiązania i postępując analogicznie, sprawdź dla jakich m C wyrażenie
w
4m  1
przyjmuje wartości całkowite?
m 1
Zad.133 Wyznacz wszystkie liczby całkowite , dla których wartość wyrażenia
Zad.134 Funkcja f dana jest wzorem
f ( x) 
9 x

 4  x  1
jest liczbą całkowitą.
3x  2 x 2  3x  2
2
3
2x  1
. Wykaż, że do wykresu funkcji f należą dokładnie 4 punkty o
x2
współczynnikach całkowitych. Wyznacz współrzędne tych punktów.
Mirosław Gil
13
x


B  x : x  R 
 0 i A  x : x  R  x  1  2
x3


zaznacz te zbiory na osi liczbowej, przedstaw zbiory A  B ; A  B w postaci sumy przedziałów liczbowych.
Zad.135 Dane są zbiory:
Zad.136 Dana jest funkcja f ( x ) 
x3  2x 2  x  2
x2  x  2
a) przedstaw wzór funkcji f w najprostszej postaci
b) narysuj wykres funkcji f
c) narysuj wykres funkcji g(x) = f(x) – |f(x)| i podaj jej zbiór wartości.
h( x ) 
a
dla x ≠ 0. Wiadomo, że do wykresu funkcji h należy punkt P = (2; 5).
x
a) Oblicz wartość współczynnika a
b) Ustal, czy liczba h(π) – h(-π) jest dodatnia czy ujemna
c) Rozwiąż nierówność h(x) > 5
f ( x) 
2x
. Oblicz f(x + 4) oraz f(f(x)).
x4
Zad.139 Punkty A = ( 7 , 7 ) , B = ( 0 , 8 ) , C = ( -2 , 4 ) wyznaczają trójkąt ABC .
a) Wyznacz równanie okręgu opisanego na tym trójkącie .
b ) Oblicz pole trójkąta ABC .
c ) Czy trójkąt ten jest prostokątny ?
Zad.140 Dane są punkty A(6;-3), B(1;2) i C(2m2 – 18m – m2). Wyznacz wszystkie wartości m, dla których proste AB i AC
są prostopadłe. (odp. 3; -3; -0,5)
Zad.141 Dane są punkty A = (1; -3), B = (-3; 10), C = (2; -1), D = (4; -4). Wyznacz takie liczby
 i  aby



AB  α  AC  β  DC
Zad.142 Wyznacz cosinus kąta między wektorami [-6; 8] i [1;2].
Zad.143 Mając dane punkty A =(2; 4), B = (-2; -3), C = (4; 1)


a) na osi odciętych wyznacz taki punkt P, aby PA  PB
b) oblicz pole trójkąta ABC
c) na prostej 2x + y – 3 = 0 wyznacz taki punkt D, aby pole trójkąta ACD było równe 20.
d) wyznacz równanie symetralnej odcinka AB
e) wyznacz równanie prostej zawierającej wysokość poprowadzoną do podstawy AB
f) wyznacz równanie prostej zawierającej środkową poprowadzoną z wierzchołka C.
Zad.144 Dany jest trójkąt o wierzchołkach : A(-2;1), B(-1;-6), C(2;5). Posługując się rachunkiem wektorowym obliczyć
cosinus kąta pomiędzy dwusieczną kąta A i środkową boku BC. Wykonać rysunek.
Zad.145 Oblicz pole trójkąta o wierzchołkach A = (1;2) , B = (5;-1) , C = (7;4). Wyznacz taki punkt D, aby punkty ABCD
tworzyły równoległobok.
Zad.146 Dane są punkty A(3,5), B(2,-3) oraz prosta p o równaniu y=3.
a)Wyznaczyć współrzędne punktu C leżącego na prostej p , równoodległego od punktów A i B.
b) wyznaczyć współrzędne punktu K leżącego na prostej p, wiedząc, że K jest wierzchołkiem trapezu ABOK (O początek
układu współrzędnych ) .
c) Obliczyć pole czworokąta, którego wierzchołki leżą na osiach układu współrzędnych i należą do okręgu o średnicy AB.
Zad.147 Dane są trzy punkty A(1,1);B(9,5);C(5,8).
a) Wyznaczyć współrzędne punktu D tak, aby czworokąt ABCD był trapezem, którego kąt przy wierzchołku A jest
prosty.
b) Wyznaczyć cosinus kąta przy wierzchołku B trapezu ABCD.
c) Wyznaczyć współrzędne punktu K tak, aby trapez ABCK (AB||CK) był równoramienny.
Mirosław Gil
14
Zad.148 Wyznaczyć równanie prostej prostopadłej do danej y = x + 2 i leżącej w równej odległości od dwóch danych
punktów A(-1; 1 ) i B(3; 3). Sporządzić rysunek.
Zad.149 Dane są punkty A(2,2) i B(-1,4). Wyznaczyć długość rzutu prostokątnego odcinka AB na prostą o równaniu 12x +
5y = 30. Sporządź rysunek.
2 x  3 y  13
 3x  y  3
Zad. 151 W układzie współrzędnych przedstaw zbiór punktów opisany wzorem: 2│x│- y = 4 ; 3x + 4│y│ = 12 ;
│x│ - 2│y│= -6
Zad. 152 W układzie współrzędnych przedstaw:
 y  2x  2
x y 1


a)2 x  3 y  6  0 b) x  y  2 c) x  y  4 d ) x  y  x e) x  y  x  y  4
 y  x 1
 y2


f ) y  x  2  x 1
g) y  4  x  2
Zad. 153 Za pomocą układu nierówności przedstaw wnętrze trójkąta o wierzchołkach A(1,3); B(5,-1); C(5,5).
Zad. 154 Krótszą podstawa trapezu jest AB, gdzie A(3;1) i B(6;2) . Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków,
jeżeli wiadomo, że dłuższa podstawa ma długość CD=2AB i punkt P(1;2) jest środkiem odcinka CD.
Zad. 155 Punkty A(3;1) i B(1;-3) są wierzchołkami trójkąta o polu 3. Środek ciężkości trójkąta należy do osi OX. Wyznacz
Współrzędne wierzchołka C.
Zad. 156 Oblicz pola kwadratów, których dwa wierzchołki mają współrzędne : (-1;1) i (2;1).
Zad. 157 Niech P będzie środkiem ciężkości trójkąta równobocznego ABC. Wyznacz wektory

zależności od wektorów AB

AP
i

BP w

i AC
Zad. 158 Wyznacz punkt A’ symetryczny do punktu A(4;-1) względem prostej 2x + y – 2 = 0.
Zad. 159 Dwie wysokości trójkąta ABC, gdzie A(3;4) zawarte są w prostych o równaniach : 7x - 2y = 1 i
2x – 7y = 6. Oblicz współrzędne pozostałych wierzchołków trójkąta.
Zad. 160 Prosta l przechodzi przez punkty P= (-1; 9 ) i S = (2;-3 ), prosta k ma równanie 2x -y +3m -1=0. Znajdź takie
wartości parametru m , aby punkt przecięcia prostych l i k należał do wnętrza prostokąta o wierzchołkach A = (1;-2 ) ; B =
( 3;-2 ) ; C = ( 3; 1 ) ; D = ( 1; 1 ) .
Zad. 161 W sali ustawiono krzesła i trzyosobowe ławki. Ogólna liczba tych sprzętów jest równa 268. Do sali weszło 480
osób. Po zajęciu miejsc siedzących stosunek liczby osób stojących do liczby osób siedzących okazał się większy od
ale mniejszych od
41
. Ile ławek i ile krzeseł było na sali ?
160
39
,
160
Zad.162 Rozwiąż równania i nierówności:
a)x2  2x  3  3 x  1



2

e) x 2  3 x  2 x 2  3 x  8  0
i) 4 x  2  4 x  2  4
2
m ) x 2  5 x  2 x 2  5 x  24

q)




b) x 2  5 x  6  0


f ) x2  5x x2  5x  2  8
j) 5 x  7  3x  1  x  3
n) 2 x  3  x  9
c) x 4  8 x 2  9  0
d ) x 4  13 x 2  36  0
g)x  2x  1  2
k ) x 4  x 2  20  0
o) 4  x 2  x
h) x  2  x  9
l)x4  2x2  8  0
p)x  x  3  9
3  x  x 1
Mirosław Gil
15
Zad.163 Narysuj wykresy funkcji :
a) y   x2  4 x  5
d ) y  x2  x 
 2  x 2
g) y   2
 x  1
x
2

2
 1  4x2
dla
x0
dla
b) y  4 x  x 2  2
c) y  x 2  4 x  5
e) y  x 2  9  x 2  4  5
f ) y  x2  x2  4  4  x2
h) y  x 2  4  x 2
x0
Zad.164 Narysuj wykres funkcji f (x) = 2 – І4x – 4І. Posługując się wykresem funkcji f (x), odczytaj liczbę rozwiązań
równania f(x) = m w zależności od parametru m .
Zad.165 Boki trójkąta zawarte są w prostych o równaniach : x + 2y = 4 , 2x - 3 = y , 3x - 2y - 2 = 0 . Wyznaczyć :
a) trójkąt ABC
b) długość obwodu trójkąta
c) wartość jego pola
d) cosinus jednego z kątów tego trójkąta .
Zad.166 Dane są proste k: y = 0,75 x - 0,5 , l: 4x + 3y + 14 = 0 . Przez punkt A = (1,-6) poprowadzono prostą m
prostopadłą do prostej l. Oblicz pole czworokąta, którego boki są zawarte w prostych k,l,m i osi OX..
Zad.167 Dane są okręgi o równaniach K1 : x 2+y2+6x+5=0 i K 2 :x2+y2-12x+8y+27=0
a)Wyznaczyć współrzędne środka i stosunek jednokładności , w której obrazem okręgu K 1jest okrąg K2.
b)Napisać równania stycznych do okręgu K1przechodzących przez początek układu współrzędnych .
c)Okrąg K2 o środku O2 przecina oś OX w punktach A i B (OB.>OA). Na prostej O2B wyznaczyć punkt P o dodatnich
współrzędnych tak, aby pole trójkąta AO2P równało się 36.
Zad.168 Obliczyć tangens kąta utworzonego przez przekątne czworokąta o wierzchołkach A(1,1), B(2,0), C(2,4), D(0,6).
Rozwiązanie zilustrować rysunkiem.
Zad.169 Punkty K(1;1); L(2; 3); M(-1; 4) są środkami boków trójkąta ABC. Znajdź współrzędne wierzchołków.
Zad.170 Przekątne rombu są równoległe do osi układu współrzędnych. Mając dane współrzędne dwóch kolejnych
wierzchołków rombu, wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków.
Zad.171 Punkty K(1;2) i L(3;4) dzielą odcinek AB na trzy równe odcinki. Oblicz współrzędne punktów A i B.
Zad.172 Wyznaczyć i narysować zbiór złożony z punktów (x,y) płaszczyzny spełniających warunek
x2 + y2 = 8│x│+│y│.
2 x
1
Zad.173 Wiedząc, że f ( x ) 
rozwiąż nierówność  
x
3
f ( x)
1
Zad.174 Dane są punkty A = (-2; 1), B = (-8; 0), C = (-9; 3), D = (2; 8). Wyznacz takie liczby
 i  aby



AD  α  BC  β  AC
Zad.175 Wyznacz sinus kąta między wektorami {4; - 3] i [3; 1].
Zad.176 Mając dane punkty A =(-2; 3), B = (5; 0), C = (2; -5)


a) na osi odciętych wyznacz taki punkt P, aby PA  PB
c) na prostej 2x - y – 2 = 0 wyznacz taki punkt D, aby pole trójkąta ACD było równe 30.
d) wyznacz równanie symetralnej odcinka AB
e) wyznacz równanie prostej zawierającej wysokość poprowadzoną do podstawy AB
f) wyznacz równanie prostej zawierającej środkową poprowadzoną z wierzchołka C.
Mirosław Gil
16





 


Zad.177 W czworokącie ABCD dane są wektory AB  2;1 ; BC  3;3 ; CD   4;1 . . Punkty K i M są
środkami boków CD oraz AD. Posługując się rachunkiem wektorowym obliczyć pole trójkąta KMB. Wykonać rysunek.
Zad.178 Dany jest okrąg o środku w punkcie (2; 1) i promieniu 17 . Punkty A i B są punktami przecięcia się okręgu z
osią OX. Punkt C leży na prostej 3x – y + 3 = 0, a pole trójkąta ABC jest równe 24. Oblicz współrzędne punktu C.
Zad.179 W układzie współrzędnych dane są dwa punkty A(-1;-2) i C(3;4).
a) Na osi OX znaleźć taki punkt P, aby kąt APC był prosty.
b) Wyznaczyć współrzędne takich punktów B i D, aby czworokąt ABCD był rombem, którego wierzchołek D leży
na osi OY.
c) Na prostej x-y-6=0 znaleźć taki punkt E, aby pole trójkąta ACE było równe 17.
Zad.180 Dane są punkty A(1,2) i B(-1,3). Napisz równanie prostej, do której te punkty należą oraz równanie symetralnej
odcinka AB.
Zad.181 Oblicz pole równoległoboku , którego boki są odcinkami prostych : x - 5y - 9 = 0 ,
x - 5y + 9 = 0 , x + y + 3 = 0 , x + y - 9 = 0 .
Zad.182 Rozwiąż nierówność x-1+ 2-x < 3 - x .
Zad.183 Dane są punkty A(4,2) i B(-6,4). Wyznaczyć długość rzutu prostokątnego odcinka AB na prostą o równanie 3x 5y = 15.Sporządź rysunek.
Zad.184 Sporządź wykresy funkcji
1
 x  1  x  1  c) y  2 x  x  1  2 d ) y  x  1  2
2
x  3 y  1
2 x  y  9
a ) y  x  1 b) y 
Zad.186 W układzie współrzędnych wyznacz punkty spełniające układy nierówności
2 x  y  2  0

x  2 y  2  0
x2 1  y x 1


1  y  0  x  3  1
2 x  y  4

 x0
3 x  2 y  6

 y0
x  2 x  2y


 3 x  2 y 

4
2

2
  x  2 y   1 ( x  1) 2  2 y ( y  1)  4

2
2
Zad.187 Pole trójkąta ABC jest równe 3. Dane są punkty A(3;1) i B(1;-3). Wierzchołek C leży na osi rzędnych (odciętychrozpatrz 2 przypadki). Podaj jego współrzędne.
Zad.188 Oblicz pole trójkąta wiedząc, że jego wierzchołki są punktami przecięcia prostych określonych równaniami: x +
7y – 44 = 0; 3x + y – 12 = 0; -2x + y + 13 = 0.
Zad.189 W układzie współrzędnych dane są punkty A(0,-2), B(8,2), C(4,5).
a) Obliczyć sinus najmniejszego z kątów trójkąta ABC oraz pole tego trójkąta.
b) Czworokąt ABCD jest trapezem, którego kąt BAD jest prosty. Wyznaczyć współrzędne punktu D.
c) Punkt E leży na symetralnej odcinka AB i pole trójkąta ABE jest równe 50. Wyznaczyć współrzędne
punktu E.
Zad.190 Obliczyć tangens kąta utworzonego przez przekątne czworokąta o wierzchołkach A(1,1), B(2,0), C(2,4), D(0,6).
Rozwiązanie zilustrować rysunkiem.
Zad.191 Niech A będzie zbiorem wszystkich liczb x, które spełniają równość │x – 3│+ │x – 1│ = 2. Niech B będzie
zbiorem wszystkich punktów na osi liczbowej, których suma odległości od punktów 4 i 6 jest niewiększa niż 4. Zaznacz na
osi liczbowej zbiory A i B oraz wszystkie punkty, które należą jednocześnie do obu zbiorów.
Zad.192 Wyznacz przedział otwarty o końcach, których odległość od punktu 0 jest trzy razy większa niż ich odległość od
punktu 1.
Mirosław Gil
17
4 x 2  12x  9  3  x  6
Zad.193 Rozwiąż graficznie i algebraicznie równanie
Zad.194
Stosując odpowiednie podstawienie(w podpunkcie a)
2
t  x  8 , dla x > – 8), rozwiąż równanie
2
a ) x  6 x  8  13  0 b)2 x  5 x  3 2 x  5 x  13  15  0
Zad.195 Wyznacz wszystkie wartości parametru p, dla których równanie │x+3│+│2 –x │= p ma dokładnie dwa
rozwiązania.
Zad.196 Narysuj wykres funkcji, określ dziedzinę i zbiór wartości f ( x)  16 x 2  32 x  16  2 x  1
Zad.197 Wykaż, że dla a  2;3 zachodzi równość
a 2  6a  9
a 2  4a  4

 2.
3 a
a2
Zad.198 Wykaż, że jeżeli suma trzech liczb jest podzielna przez 3, to także suma ich sześcianów jest podzielna przez 3.
Zad.199 W układzie współrzędnych narysuj zbiór punktów:
a) │x│=│y│– x b)│x – y│–│x + y│> 4 c) y = │x + 2│– │x – 1│ d) y = │4 –│x + 2││ e)│x│– │y│> 8
f)
 3x  5 y  8

2 x  3 y  12
Zad.200 Rozwiąż nierówności a) │x+3│+│x –1│<5│
d) x –7 > 2x + 3 > 3x + 2
b) │x+1│+│2 –x │< 3 –x
c) │2│x│+1│< 4
Zad.201 Wyznacz zbiór punktów na osi liczbowej, których suma odległości od punktu 1 i punktu 3 jest mniejsza od 6.
Zad.202 Rozwiąż algebraicznie i graficznie nierówność
a)
x 3  3 x
b)
x 3  3 x
Zad.203 Dane są punkty A=(2; 3) oraz B=(5; 4). Na prostej y = 5 wyznacz punkt C tak, aby łamana ACB miała jak
najmniejszą długość. Odpowiedź uzasadnij.

A  x; y  : x  0; y  0 i B  x; y  : y   3 x  3
wyznacz na płaszczyźnie współrzędnych zbiór A  B
oblicz współrzędne środka największego okręgu zawartego w zbiorze A  B .

Zad.205 Funkcja g jest określona w zbiorze wszystkich liczb rzeczywistych w następujący sposób: jeśli
x x  k; k  1) dla pewnej liczby całkowitej k, to g(x) = kx – k – 1.
a) Narysuj wykres funkcji g w przedziale <-2; 0)
b) Uzasadnij, że g nie ma miejsc zerowych
c) Rozwiąż równanie g(x) = 2010.
Zad.206 Funkcja f określona jest wzorem
f ( x) 
1
 1 . Rozwiąż nierówność f(x) > f(2 – x).
x 1
Zad.207 Dane są funkcje g(x) = ax + b oraz h(x) = bx + a. Wiadomo, że g jest rosnąca, a h malejąca. a) wyznacz pierwszą
współrzędną punktu przecięcia wykresów tych funkcji; b) oblicz liczby a i b wiedząc, że wykresy funkcji g i h są prostymi
prostopadłymi, a punkt ich przecięcia leży na osi odciętych.
f ( x) 
1
 1 . Rozwiąż nierówność f(x) > f(2 –x).
x 1
Zad.209 Dana jest funkcja f(x) = 0,5x2 – 2. Narysuj w przedziale (–5; 5) wykres funkcji
funkcji g.
Mirosław Gil
g ( x) 
f ( x)
f ( x)
. Zapisz dziedzinę
18
Zad.210 Narysuj wykres funkcji f(x) =│ │x – 1│ – 3│ a następnie na podstawie wykresu podaj liczbę rozwiązań równania
f(x) = m w zależności od parametru m.
Zad.211 Uprość wyrażenia
a)
b)
c)
d)
 1  m2 1  m2   1  m 1  m 
m

:


 odp.
2
2  
1  m2
1 m 1 m  1 m 1 m 
2a 2  ab  3b 2
2a 2  5ab  3b 2
 4a
a 3  8 4a 2  8a  16  16
a2

 :
 3

odp.
2
a 4
4
 a  2 a 8
 a2
3
2
2  a 1
1
2  a  a  2a
2a
 3
 2

odp.
:
2
2
a  a 1 a  a 1 1 a 
a 1
a  a 1
Zad.212 Rozwiąż nierówności:
a)
b)
c)
d)
e)
3x 2  4 x  4
1
x2  x  2
2x  3
2
x2  1
14
10

3
2
x  5x  6 2  x
2x  1
1

2
x x2 2
4x  5
x
x2
x3
f)
0
x3  2 x 2  x  2
x 2 3x  1
g)
1
4  x2
2 x 2  7 x  29
h) 1  2
2
x  2 x  15
1
1
i)
x2  3  x 
x
x
Zad.213 Oblicz:
a)
b)
c)
4
 

3
1


4
  4  1    14
 
4   3    4  2 2 3 



 2 2   


1
4
4
  14
   
 
4
3
9  3 3   9  3 3 3 

 

1
1 2

1 2
1 2
 4  7 2    4  7 2  
 
 




 


 
 
 
2
d)
1
1

1 2
1 2




 3  5 2    3  5 2  
 
 

 
 


e)
1
 5  1  2 
  3
1
8

12      2  3  9 2 
3 


1
Zad.214 Punkt B = (–1; 9) należy do okręgu stycznego do osi Ox w punkcie A = (2; 0). Wyznacz równanie tego okręgu.
Zad.215 Wyznacz współrzędne punktu symetrycznego do punktu A=(–5; 1) względem prostej o równaniu
y = –2x + 1.
Mirosław Gil
19
Zad.216 Dane są trzy punkty A=(-4; -2), B=(2; 2), C=(-3; 3). Punkt M jest środkiem odcinka AB.
a) oblicz współczynnik kierunkowy prostej CM
b) oblicz długość odcinka CM.
Zad.217 Na prostej o równaniu 2x – 3y – 6 = 0 znajdź współrzędne takiego punktu, którego suma kwadratów odległości od
osi układu współrzędnych jest najmniejsza.
Zad.218 Na prostej o równaniu 2x – 3y + 4 = 0 wyznacz punkt, którego odległość od punktu (0; 0) jest najmniejsza. Oblicz
tą najmniejszą odległość.
Zad.219 W układzie współrzędnych zaznaczono punkty A = (2; 0) i B = (4; 0). Wyznacz wszystkie możliwe położenia
punktu C, dla których trójkąt ABC jest trójkątem równoramiennym o polu równym 3.
Zad.220 W układzie współrzędnych dane są dwa punkty A = (–2; 2) i B = (4; 4).
a) wyznacz równanie symetralnej odcinka AB
b) prosta AB i prosta o równaniu 3x – 2y – 11 = 0 przecinają się w punkcie C. Wyznacz punkt C.
Zad.221 Dane są punkty: B=(6; –1); C=(4; 5); D=(–4; –1). Znajdź współrzędne takiego punktu A, że czworokąt ABCD jest
trapezem, w którym kąt CBA jest prosty. Oblicz pole trapezu.
Zad.222 Punkty A(1,5); B(14,31); C(4,31) są wierzchołkami trójkąta. Prosta zawierająca wysokość tego trójkąta
poprowadzona z wierzchołka C przecina prostą AB w punkcie D. Oblicz długość odcinka BD.
Zad.223 Punkty A i B są punktami przecięcia się paraboli y = x2 – 4x + 5 z prostą 2x + y – 8 = 0. Wyznacz równanie
okręgu przechodzącego przez A i B, którego środek leży na prostej x + y – 1 = 0. ( odp. x2 + y2 + 6x – 8y – 15 = 0)
Zad.224 Dane są punkty A=(2; 1); B=(4; 1); C=(0; 5)
a) opisz trójkąt za pomocą układu nierówności
c) wyznacz wartości funkcji trygonometrycznych kąta CAB
Zad.225 Na płaszczyźnie XOY zilustruj zbiór rozwiązań układu nierówności i wskaż wszystkie pary liczb całkowitych
 x y40

dodatnich spełniających ten układ  x  2 y  2  0 .
x  2 y  2  0

Zad.226 Dane są współrzędne jednego końca odcinka A=(-4; 3) i środek tego odcinka S=(2; 1). Wyznacz współrzędne
punktu B oraz równanie prostej przechodzącej przez punkt B i nachylonej do osi odciętych pod kątem 60 0.
Zad.227 Środek S okręgu należy do prostej l o równaniu x – y + 2 = 0. Punkty A(3; 0) i B(-1; 2) należą do tego okręgu.
Wyznacz równanie okręgu. Wyznacz współrzędne takiego punktu Należącego do danego okręgu, że




AC  AB AC  0 . Wyznacz równania stycznych k i m do danego okręgu takich, że B  k i A  m oraz oblicz tangens
jednego z kątów, pod jakimi przecinają się te styczne.
y  x 1

2
2
x  y  2x  4 y  1  0
a następnie podaj interpretację geometryczną tego układu
i oblicz pole większego z obszarów ograniczonych wykresami tych równań.
Zad.229 Dany jest okrąg o równaniu x2 + y2 – 2x + 6y + 5 = 0. Napisz równania stycznych do danego okręgu i
prostopadłych do prostej o równaniu x – 2y = 0. Oblicz pole trójkąta ABS, gdzie A, B są punktami przecięcia się stycznych
z prostą o równaniu 3x – y + 4 = 0, a S jest środkiem danego okręgu.
Zad.230 Dane są punkty A(6; -2), B(0; 4), C(-8; -4). Wyznacz współrzędne punktu D, który należy do prostej o równaniu
y = -8 i do okręgu opisanego na trójkącie ABC.
Mirosław Gil
20
Zad.231 Napisz równanie okręgu o środku S = (10; –3) stycznego do prostej o równaniu y = –0,75x + 2.
Zad.232 Wykaż, że jeśli a ≠ b, to równanie
x 2  y 2  ax  by 
środka i długość promienia tego okręgu.
ab
 0 jest równaniem okręgu. Wyznacz współrzędne
2
Zad.233 Określ położenie punktu A(– 1; – 2) względem okręgu x2 + y2 – 4x + 6y – 3 = 0.
Zad.234 Określ położenie prostej o równaniu x – 2y – 7 = 0 i okręgu o równaniu x2 + y2 – 4y + 2y – 20 = 0.
Zad.235 W układzie współrzędnych dane są punkty : A(-9;-2), B(4;2). Wyznacz współrzędne punktu C, leżącego na osi
OY, tak że kąt ACB jest kątem prostym.
Zad.236 Mając dane A(1;3), B(4;2) i
Zad.237 Dane są wektory

AC4;6. Oblicz pole trójkąta ABC.


a  3;1 oraz b   2;4 . Oblicz pole trójkąta, którego bokami są dane wektory oraz
współrzędne i długość wektora



w  3 a 2 b
Zad.238 Punkt A(4; 3) należy do okręgu o, który jest styczny do prostej y – 1 = 0 w punkcie B(2; 1). Napisz równanie
okręgu o oraz równania stycznych do tego okręgu, do których należy punkt C(0; 0).
Zad.239 Na trójkącie o wierzchołkach A(5; 5), B(-2; 4), C(-1; -3) opisano okrąg. Wyznacz równanie okręgu oraz stosunek
pola trójkąta do pola koła opisanego na tym trójkącie.
Zad.240 Dane są punkty A(0; -1), B(2; 3). Na prostej o równaniu x + 1 = 0 wyznacz punkt C tak, aby trójkąt ABC miał
najmniejszy obwód.
Zad.241 Napisz równania prostych przechodzących przez początek układu współrzędnych i stycznych do okręgu o
równaniu x2 + y 2 + 8y + 12 = 0.
Zad.242
a)

W
układzie
współrzędnych

A  x; y  : x  R  y  R  3 x  y  1
2
B  x; y  : x  R  y  R  x 2   y  1  1


b)
zaznacz
zbiór
A∩B,
gdy
A  x; y  : x  R  y  R  x  y  2
. Oblicz pole
B  x; y  : x  R  y  R  x 2  y 2  0


figury A∩B.
Zad.243 Wyznacz równanie okręgu o środku A=(2; 3), stycznego do prostej o równaniu x – 2y + 1 = 0.
Zad.244 Dla jakich wartości parametru m punkt przecięcia się prostych o równaniach y = 2x – 2m – 6 oraz y = x + m + 3
należy do koła o środku S=(9; 12) i promieniu r = 5?
Zad.245 Dany jest punkt P=(0; 4) i okrąg o równaniu x2 + y2 – 6x + 4 = 0. Znajdź równania stycznych do tego okręgu i
przechodzących przez punkt P oraz miarę kąta ostrego między tymi stycznymi.
Zad.246 Dane są punkty A=(1; 1), B=(6; 2). Na prostej l o równaniu y – 4 = 0, wyznacz punkt C, tak aby trójkąt ABC miał
najmniejszy obwód.
Zad.247 Punkty A= (1; 1); B= (5; 5); C=(3; 5) są wierzchołkami trapezu równoramiennego ABCD nie będącego
równoległobokiem, w którym AB║CD. Wyznacz równanie osi symetrii tego trapezu i oblicz pole trapezu.
Zad.248 Wyznacz równanie okręgu o środku A = (2; 3), stycznego do prostej o równaniu x – 2y + 1 = 0.
Zad.249 Wiadomo, że okrąg jest styczny do prostej o równaniu y = 2x – 3 w punkcie A=(2; 1) i styczny do prostej
y = 0,5x + 9 w punkcie B=(–4; 7). Oblicz promień okręgu.
Zad.250 Figurę geometryczną F opisaną nierównością x2 + y2 + 2x – 4y + 1 < 0 odbito symetrycznie względem
osi y. Oblicz pole figury będącej sumą figury F i jej obrazu w podanej symetrii.
Mirosław Gil
21
Zad.251 Punkty A=(2; 7) i B=(8; 15) są przeciwległymi wierzchołkami rombu o polu równym 25. Wyznacz współrzędne
pozostałych wierzchołków.
Zad.252 Odcinek o końcach w punktach A=(2; -3) i B=(6; 1) jest podstawą trójkąta równoramiennego, którego jedno z
ramion zawiera się w prostej x + 2y – 8 = 0. Wyznacz trzeci wierzchołek i pole trójkąta.
Zad.253 Rozpatrujemy wszystkie prostokąty o polu równym 6, których dwa sąsiednie boki są zawarte w osiach Ox i Oy
układu współrzędnych. Wyznacz równanie krzywej będącej zbiorem tych wierzchołków rozpatrywanych prostokątów,
które nie leżą na żadnej a osi układu współrzędnych. Narysuj tą krzywą.
Zad.254 Dane są punkty A=(2; -3) i B=(6; 1). Na prostej y = – 2 znajdź taki punkt C, aby pole trójkąta było równe 8.
Zad.255 Dane są punkty A=(-4; 32) i B=(-36; 16).Wykaż, że koło o średnicy AB jest zawarte w II ćwiartce prostokątnego
układu współrzędnych.
Zad.256 Na prostej AB wyznacz taki punkt C, tak aby │AC│:│BC│ = 2 : 1, gdy A=(1; 4), B=(7; 13).
Zad.257 W trójkącie ABC dane są: wierzchołek A = (-1; 1) wektor

1

AC  3;3 i środek S   2;2  boku AB. Znajdź
2

współrzędne wierzchołków B i C oraz równanie prostej zawierającej wysokość tego trójkąta opuszczoną z wierzchołka C.
y4


Zad.258 Oblicz pole figury opisanej układem nierówności a )  y  x 3  4
x 2  y 2  8 y  4

x2  2

c) y  x  3 .
 y  x 1

 y  2x  5

b)  y  x  6
 3 y 5

Zad.259 Punkty A(1;-3) i B(5;-1) są końcami podstawy trójkąta równoramiennego ABC, którego pole jest równe 15.
a) Wyznacz współrzędne wierzchołka C
b) Oblicz pole koła opisanego na tym trójkącie.
Zad.260 Dany jest punkt P(-1;0) i prosta l o równaniu x – 3y + 5 = 0
a) Wyznacz równanie prostej l’ , która jest obrazem prostej l w symetrii względem punktu P. Oblicz odległość
między prostymi l i l’.
b) Okrąg O, którego promień ma długość √10, jest styczny do prostej l i przechodzi przez punkt P. Znajdź równanie
okręgu O wiedząc, że jego środek należy do prostej o równaniu y = -2x + 3.
c) Punkt P jest punktem przecięcia się przekątnych rombu ABCD, którego wierzchołki A i B należą do prostej l.
Odcięta punktu A jest równa 1. Oblicz długość boku tego rombu.
Zad.261 Punkty A(1;2) i B(5;6) są przeciwległymi wierzchołkami rombu ABCD. Pole tego rombu jest równe 32.
a) Oblicz współrzędne pozostałych wierzchołków tego rombu
b) Napisz równanie okręgu wpisanego w ten romb.
Zad.262 Znajdź równanie okręgu, który jest obrazem okręgu o równaniu x2 + y2 – 4x – 2y – 4 = 0 w jednokładności o
środku O = (0;0) i skali s = - 2. (odp. (x + 4)2 + ( y + 2)2 = 36)
a) Oba okręgi przecinają się w punktach A i B. Wiedząc, że A = (2;-2), znajdź współrzędne punktu B.
(odp. B = (-0,4; 2,8))
b) Oblicz pole czworokąta, którego wierzchołkami są środki okręgów oraz punkty A i B. (odp. 18)
Zad.263 Dany jest punkt A(0;-1) oraz proste 3x – y + 18 = 0 i x + y – 2 = 0 przecinające się w punkcie B.
Dwa boki równoległoboku zawierają się w danych prostych, a jednym z jego wierzchołków jest punkt A.
a) Napisz równania prostych zawierających pozostałe boki równoległoboku.
b) Wyznacz współrzędne takiego punktu na osi OX, aby kąt APB był prosty.
c) Oblicz długość promienia okręgu opisanego na trójkącie, którego wierzchołkami są punkty przecięcia danych
prostych z osią OX i punkt B.
Mirosław Gil
22
Zad.264 Wyznacz równanie obrazu okręgu o równaniu x2 + y2 + 2x – 4y + 1 = 0 w:
a) symetrii względem osi Ox
b) symetrii względem osi Oy
c) symetrii względem punktu A(-3; 5)
d) symetrii względem prostej y = 5
e) symetrii względem osi prostej x = -5
f) prostej o równaniu y = 2x – 3
g) w jednokładności o środku O(-4;2) i skali k = –3.
Zad.265 Znaleźć równanie obrazu okręgu (x +1)2 + (y – 3)2 = 1 w jednokładności o środku S(1;2) i skali k = –2.
Zad.266 Odcinek CD jest obrazem odcinka AB w jednokładności o skali k < 0.
Wiedząc, że A(-2; 0), B(0; -2), C(3; 4), D(7; 0) wyznacz:
a) równanie prostej przechodzącej przez punkt A i jego obraz w tej jednokładności
b) równanie prostej przechodzącej przez punkt B i jego obraz w tej jednokładności
c) współrzędne środka tej jednokładności
Zad.267 W układzie współrzędnych dany jest punkt A(4; 2). Wyznacz równanie tej cięciwy okręgu o równaniu
x2 + y2 – 12x – 6y + 20 = 0, której punkt A jest środkiem.
a) Wyznacz równanie okręgu stycznego do obu osi układu współrzędnych i przechodzącego przez punkt A
b) Punkt A jest wierzchołkiem rombu ABCD, którego jeden z boków zawiera się w prostej o
równaniu x – 2y = 0.
c) Wiedząc, że środkiem symetrii rombu jest punkt S(7; 6), obliczyć pole oraz cosinus kąta rozwartego rombu.
 4 x 2  y 2  2 y  1  0
Zad.268 Pary liczb (x; y) spełniające układ równań 
są współrzędnymi wierzchołków
2
 x  y40
czworokąta wypukłego ABCD
a) wyznacz współrzędne punktów A, B, C, D
b) wykaż, że czworokąt ABCD jest trapezem równoramiennym
c) wyznacz równanie okręgu opisanego na czworokącie ABCD
 x 2  y 2  6 x  2 y  8  0
Zad.269 Dany jest układ równań 
. Nie rozwiązując układu , wyznacz liczbę jego
 x 2  y 2  4 x  4 y  0
rozwiązań. Odpowiedź uzasadnij.
Zad.270 Punkty A(7; 8) i B( - 1; 2) są wierzchołkami trójkąta ABC, w którym kąt BCA ma miarę 90 0.
wyznacz współrzędne wierzchołka C, wiedząc, że leży on na osi OX, napisz równanie obrazu okręgu opisanego na
trójkącie ABC w jednokładności o środku w punkcie P=(1; 0) i skali k = -2.
Zad.271 Oblicz miarę kąta między stycznymi do okręgu x2 + y2 +2x – 2y – 3 = 0 poprowadzonymi przez punkt A=(2;0).
(odp.900).
Mirosław Gil
23
Planimetria
Zad.272 Pole prostokąta, w którym jeden bok jest o 1 cm dłuższy od drugiego wynosi 30 cm2. Oblicz promień okręgu
opisanego na tym prostokącie. Wynik podaj z dokładnością do 0,01 cm.
Zad.273 Na trapezie opisano okrąg, którego średnica jest jedną z podstaw trapezu. Przekątna trapezu ma długość 12, a
długość okręgu wynosi 13π. Oblicz pole trapezu.
Zad.374 Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego jest dłuższa od jednej przyprostokątnej o 1 cm i od drugiej o 32 cm.
Oblicz długości boków tego trójkąta.
Zad.275 Wielkość prostokątnego ekranu telewizora określa długość jego przekątnej wyrażona w calach. Oblicz, o ile
procent zwiększymy powierzchnię ekranu, jeśli długość przekątnej wynoszącą 21 cali powiększymy do 32 cali, zachowując
stosunek długości boków prostokąta. Wynik podaj z dokładnością do 0,1%.
Zad.276 Zaplanowano zalesić ugór w kształcie trójkąta równoramiennego, którego długość najdłuższego boku na planie w
skali 1 : 1500 jest równa 12cm i jeden z kątów ma miarę 1200. W szkółce leśnej zamówiono sadzonki, w ilości
pozwalającej obsadzić obszar wielkości 40 arów. Oblicz, czy zamówiona ilość sadzonek jest wystarczająca do zalesienia
ugoru.
Zad.277 Trapez równoramienny o obwodzie równym 20cm jest opisany na okręgu. Wiedząc, że przekątna trapezu ma
długość
41 cm, oblicz pole tego trapezu.
Zad.278 Koncert paliwowy podnosił dwukrotnie cenę benzyny, pierwszy raz o 10%, a drugi raz 5%. Po obu tych
podwyżkach jeden litr benzyny kosztuje 4,62 zł. Jaka była cena benzyny przed omawianymi podwyżkami?
Zad.279 Dany jest prostokąt o bokach a i b. Zmniejszamy długość boku a o 10% oraz zwiększamy długość boku b o 20%.
a) ile procent zwiększy się pole prostokąta?
b) Wyznacz długość boku b, dla której nowy prostokąt będzie miał taki sam obwód jak prostokąt wyjściowy, jeżeli
wiadomo, że bok a ma długość 30cm.
Zad.280 Dany jest prostokąt o bokach a i b oraz prostokąt o bokach c i d. Długość boku c to 90% długości boku a. Długość
boku d to 120% boku b. Oblicz ile procent pola prostokąta o bokach a i b stanowi pole prostokąta o bokach c i d.
Zad.281 Okno na strychu ma kształt trójkąta równoramiennego, w którym suma długości podstawy i wysokości
opuszczonej na tą podstawę wynosi 3m. Oblicz jaki obwód musi mieć okno, aby przepuszczało jak najwięcej światła?
Zad.282 Czy istnieje czworokąt, którego boki mają długości:
a) 1; 3; 10; 15
b) 2; 4; 10; 15
c) 3; 27; 10; 15
d) 4; 30; 10; 15?
Zad.283 Wyznacz położenie punktów styczności okręgu wpisanego w trójkąt o bokach 3,4,5 do boków tego trójkąta.
Zad.284 Dłuższa przekątna rombu ma długość 12 cm, a jego bok ma długość 8cm. Oblicz miarę kąta, jaki tworzy ta
przekątna z bokiem.
Zad.285 Stosunek długości boków równoległoboku wynosi 0,75, a suma długości obu wysokości wynosi 14. Wyznacz
długości wysokości równoległoboku.
Zad.286 Oblicz obwód i pole trójkąta równoramiennego ABC, w którym │AC│=│BC│=30 i tangens kąta CAB wynosi
0,75.
Zad.287 W trójkącie prostokątnym długość jednej z przyprostokątnych wynosi 2 10 , a wysokość opuszczona z
wierzchołka kąta prostego wynosi 6. Oblicz długości pozostałych boków trójkąta oraz promień okręgu wpisanego w ten
trójkąt. Wyznacz przybliżone miary kątów ostrych trójkąta.
Mirosław Gil
24
Zad.288 Obserwator stoi na klifie przy brzegu morza widzi dwie żaglówki płynące w jego kierunku w jednej linii. W
momencie, gdy obserwator widzi je pod kątem 200 i 100 do poziomu widy, odległość między żaglówkami wynosi 200m.
oblicz na jakiej wysokości od poziomu wody znajduje się obserwator. Wynik podaj z dokładnością do dziesiątych metra.
100
200
200m
Zad.289 Kąty ostre trapezu mają miary α i β. W trapez wpisano okrąg o promieniu r. Oblicz pole i obwód trapezu.
Zad.290 Trójkąt równoramienny o podstawie 16 i ramionach 17 podzielono odcinkiem równoległym do podstawy na dwie
figury o równych polach. Oblicz wysokość powstałego trapezu.
Zad.291 W trójkącie równoramiennym ABC, w którym │AC│=│BC│=10cm, wysokość poprowadzona z wierzchołka C
jest równa 5cm. Oblicz miary kątów tego trójkąta. Odpowiedź podaj w stopniach.
Zad.292 Ostrokątny trójkąt równoramienny ABC o podstawie AB jest wpisany w okrąg o środku S, przy czym kąt SAB ma
miarę 400 . Oblicz Mierę kąta CAB.
Zad.293 Pole trójkąta jest równe
między tymi bokami.
55 3 cm2, a dwa boki mają długość 20cm i 11cm. Wyznacz miarę kąta zawartego
Zad.294 W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości 3cm i 7cm. Wyznacz miary kątów ostrych tego trójkąta.
Wynik podaj w zaokrągleniu do pełnych stopni.
Zad.295 W kwadracie o boku a umieszczono romb, którego dwa przeciwległe wierzchołki są dwoma przeciwległymi
wierzchołkami kwadratu. Pole rombu jest 3 razy mniejsze od pola kwadratu. Jaką długość ma bok rombu?
Zad.296 W trójkąt prostokątny wpisujemy prostokąt w taki sposób, że dwa jego boki są zawarte w przyprostokątnych, a
jeden wierzchołek leży na przeciwprostokątnej. Długości przyprostokątnych wynoszą 5cm i 12cm. Jakie wymiary
powinien mieć prostokąt, aby jego pole było największe?
Zad.297 Trapez prostokątny, w którym różnica długości podstaw wynosi 3, opisany jest na okręgu o promieniu 2. Oblicz
odległość środka okręgu od wierzchołków trapezu.
Zad.298 Długość boku trójkąta wynosi 5, tangensy kątów przylegających do tego boku są równe 4/3 i 2. Oblicz pole i
obwód tego trójkąta.
Zad.299 W trapezie o podstawach 12 i 8 poprowadzono przekątne przecinające się w punkcie P. Odległość punktu P od
krótszej podstawy wynosi 2. Oblicz pole trapezu.
Zad.300 Na okręgu o promieniu r opisano trapez równoramienny ABCD o dłuższej podstawie AB i krótszej CD. Punkt
styczności S dzieli ramię BC tak, że CS : SB = 2 : 5. Oblicz długość ramienia tego trapezu oraz cosinus kąta CBD.
Zad.301 Odcinki o długościach:
2 3;3  3; 3 2 są bokami trójkąta.
a) Wyznacz miarę największego kąta tego trójkąta i oblicz długość wysokości poprowadzonej z wierzchołka tego kąta.
b) Oblicz długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie.
Zad.302 Oblicz miary kątów dowolnego czworokąta wpisanego w okrąg o promieniu R  5 2 , wiedząc ponadto, że
jedna z przekątnych tego czworokąta ma długość 10, zaś iloczyn sinusów wszystkich jego kątów wewnętrznych
równa się
3
.
8
Mirosław Gil
25
Zad.303 W trapezie opisanym na okręgu kąty przy podstawie mają miary 300 i 600, a długość wysokości tego trapezu jest
równa 6. Sporządź odpowiedni rysunek i oznacz jego elementy. Oblicz pole trapezu oraz długości jego podstaw.
Zad.304 Dany jest trójkąt, którego dwa boki mają długości 8cm i 12cm, kąt zawarty między tymi bokami ma miarę1200.
Oblicz długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie.
Zad.305 Obiekty A i B leżą po dwóch stronach jeziora. W terenie dokonano pomiarów i ich wyniki przedstawiono na
rysunku (kąt C = 300 , kąt B = 1300 ). Odległość między obiektami B i C jest równa 400m. Oblicz odległość w linii prostej
między obiektami A i B i podaj wynik z dokładnością do 1m.
Zad.306 W trójkącie jeden z kątów ma miarę 1200. Długości boków tego trójkąta są kolejnymi wyrazami ciągu
arytmetycznego, którego suma wynosi 30. Wyznacz stosunek długości promienia okręgu opisanego na tym trójkącie do
długości promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt.
Zad.307 Oblicz cosinus kąta między przekątnymi sześcianu. Sporządź rysunek i zaznacz ten kąt.
Zad.308 Średnica koła o promieniu r = 6 jest podstawą trójkąta równobocznego. Wykonaj odpowiedni rysunek. Oblicz
stosunek pola części trójkąta leżącej wewnątrz koła do pola części trójkąta leżącej na zewnątrz koła.
Zad.309 Oblicz pole czworokąta wypukłego ABCD, w którym kąty wewnętrzne mają miary: A = 900; B = 750;
C = 600; D = 1350, a boki AB i AD mają długości 3 cm.
Zad.310 Dany jest trójkąt o bokach długości 1; 1,5; 2. Oblicz cosinus i sinus kąta leżącego naprzeciw najkrótszego boku
tego trójkąta.
Zad.311 Na kole opisany jest romb. Stosunek pola koła do pola rombu wynosi
Zad.312 W trójkącie ABC są dane AC = 10; BC =
miarę kąta ACB.
 3
8
. Wyznacz miarę kąta ostrego rombu.
10 2 . Promień okręgu opisanego na tym trójkącie R = 10. Oblicz
Zad.313 Trójkąt prostokątny ABC, w którym kąt BCA = 900 i kąt CAB = 300, jest opisany na okręgu o promieniu
Oblicz odległość wierzchołka C od punktu styczności tego okręgu z przeciwprostokątną.
3.
Zad.314 Dany jest trapez, w którym podstawy mają długości 4 cm i 10 cm oraz ramiona tworzą z dłuższą podstawą kąty o
mierze 300 i 450. Oblicz wysokość tego trapezu.
Zad.315 Podstawy trapezu równoramiennego mają długości 4 i 10, a jego obwód wynosi 26. Oblicz odległość punktu
przecięcia się jego przekątnych od dłuższej podstawy.
Mirosław Gil
26
Zad.316 Dany jest trójkąt prostokątny równoramienny ABC, w którym AB = 8 cm i AC = BC. Na wysokości CD
poprowadzonej z wierzchołka kąta prostego wybieramy punkt E, przez który rysujemy prostą równoległą do boku AB.
Prosta ta przecina bok AC w punkcie F i bok BC w punkcie G. Wyznacz tak długość odcinka DE, aby pole trójkąta DGF
było największe.
Zad.317 Liczba przekątnych wielokąta wypukłego, w którym jest n boków i n > 3 wyraża się wzorem
P ( n) 
n(n  3)
2
Wykorzystując ten wzór:
a) oblicz liczbę przekątnych w dwudziestokącie wypukłym
b) oblicz ile boków ma wielokąt wypukły, w którym liczba przekątnych jest pięć razy większa od liczby boków
c) sprawdź, czy prawdziwe jest następujące stwierdzenie: Każdy wielokąt wypukły o parzystej liczbie boków ma
parzystą liczbę przekątnych. Odpowiedź uzasadnij.
Zad.318 Janek przeznaczył na zakup działki 26000zł. Do jednej z ofert dołączono rysunek dwóch przyległych działek w
skali 1 : 1000. Jeden metr kwadratowy gruntu w tej ofercie kosztuje 35 zł. Oblicz, czy przeznaczona kwota wystarczy na
zakup działki P2.
Zad.319 Szkic przedstawia kanał ciepłowniczy, którego przekrój poprzeczny jest prostokątem. Wewnątrz kanału znajduje
się rurociąg składający się z trzech rur, każda o średnicy zewnętrznej 1m. Oblicz wysokość i szerokość kanału
ciepłowniczego. Wysokość zaokrągli do 0,01m.
Zad.320 Punkty A, B, C należą do okręgu o promieniu 9 cm. Środek tego okręgu należy do odcinka AB i sinus kąta ABC
jest równy 0,(5). Oblicz pole trójkąta ABC.
Mirosław Gil
27
Zad.321 Dwa okręgi o promieniu 8 są styczne zewnętrznie. Ze środka jednego z nich poprowadzono styczne do drugiego
okręgu. Oblicz pole zacieniowanej figury.
.
A
B
Zad.322 Wierzchołki trójkąta równobocznego ABC są punktami paraboli y = –x2 + 6x. Punkt C jest jej wierzchołkiem. A
bok AB jest równoległy do osi Ox. Sporządź rysunek w układzie współrzędnych i wyznacz współrzędne wierzchołków
tego trójkąta.
Zad.323 Dany jest trapez o podstawach a i b, gdzie a > b. Wyznacz długość odcinka łączącego środki przekątnych tego
trapezu.
Zad.324 Długości boków prostokąta są równe 3 cm i 5 cm. Oblicz pole prostokąta do niego podobnego o obwodzie 64 cm.
Zad.325 Dane są odcinki o długościach a i b (a > b) oraz kąt α. Wyprowadź wzór na pole trapezu równoramiennego o
podstawach a i b oraz kącie α. Dla jakich α pole trapezu jest równe polu trójkąta o bokach a i b oraz kącie α między tymi
bokami, jeżeli
a  1 5
i b  2?
Zad.326 W kwadrat ABCD wpisano kwadrat EFGH, jak na rysunku. Wiedząc, że AB = 1 oraz tangens kąta AEH równa się
0,4. Oblicz pole kwadratu EFGH.
G
D
C
F
H
A
E
B
Zad.327 W trójkącie ABC dane są BC = 3a i cosinus kąta BAC wynosi 0,8. Oblicz promień okręgu opisanego na tym
trójkącie.
Mirosław Gil
28
Zad.328 Ala i Beata mieszkają przy tej samej ulicy w odległości 750m od siebie. Ulica jest równoległa do ulicy, przy
której mieszkają Czarek i Darek. Domy chłopców znajdują się w odległości 2km od siebie. Czarek ma o 1,6km dalej do
sklepu niż Beata. Ile metrów do sklepu ma Beata?
sklep
B
A
Cz
D
Zad.329 W dowolnym trójkącie ABC punkty M i N są odpowiednio środkami boków AC i BC (rys.1)
Korzystając

z

własności

wektorów

i


działań
na
wektorach,
zapisujemy
równości

(1) MN  MA AB BN oraz (2) MN  MC  CN Po dodaniu równości (1) i (2) stronami, otrzymujemy






2 MN  MA MC  AB  BN  CN




ponieważ MC   MA oraz CN   BN , więi






2 MN  MA MA AB  BN  BN


2 MN  AB

1 
MN  AB
2
Wykorzystując własności iloczynu wektora przez liczbę, ostatnią równość można zinterpretować następująca: odcinek
łączący środki dwóch boków dowolnego trójkąta jest równoległy do trzeciego boku tego trójkąta, zaś jego długość jest
równa połowie długości tego boku.
Mirosław Gil
29
Przeprowadzając analogiczne rozumowanie, ustal związek między wektorami

 
MN oraz  AB



i DC  ,

wiedząc, że czworokąt ABCD jest dowolnym trapezem, zaś punkty M i N odpowiednio środkami ramion AD i BC tego
trapezu (rys.2). Podaj interpretację otrzymanego wyniku.
Zad.330 Długości boków równoległoboku wynoszą 5 cm i 8 cm, a kąt między nimi ma miarę 60 0. Oblicz długość dłuższej
przekątnej.
Zad.331 Jaką długość ma cięciwa okręgu o średnicy 20 cm odpowiadająca kątowi środkowemu 1500?
Zad.332 Długości boków trójkąta wynoszą 7 cm i 10 cm, a jego pole S = 28 cm2. Oblicz długość trzeciego boku tego
trójkąta.
Zad.333 Na okręgu o promieni r = 3 opisano trapez, którego ramiona mają długości 8 cm i 14 cm. Oblicz pole trapezu.
Zad.334 W trójkącie prostokątnym o przeciwprostokątnej 12 cm dwusieczna jednego z kątów ostrych dzieli
przyprostokątną w stosunku 1 : 3. Oblicz pole tego trójkąta.
Zad.335 Dwa boki trójkąta mają długości 8 cm i 12 cm. Miara kąta między tymi bokami wynosi 1200. Oblicz promień
okręgu opisanego na tym trójkącie.
Zad.336 W trapezie ABCD wpisanym w okrąg o promieniu 6 przekątna AC zawarta jest w dwusiecznej kąta BAD, a
długość podstawy AB jest dwa razy większa od długości podstawy CD. Oblicz pole trapezu.
Zad.337 W trójkącie ABC dane są A=(-2,1), B=(1,3) oraz H=(1,2; 4,2), gdzie H jest punktem przecięcia prostych
zawierających wysokości tego trójkąta. Wyznacz równanie okręgu opisanego na trójkącie ABC.
Zad.338 W trójkącie ABC, którego pole wynosi 16, boki AC i BC mają odpowiednio długości 5 i 8. Korzystając z
twierdzenia kosinusów, oblicz długość boku AB.
Zad.339 W równoległoboku o polu 72 przekątne mają długości 20 i 12. Oblicz długość dłuższego boku tego
równoległoboku.
Zad.340 Dany jest trójkąt prostokątny równoramienny ABC, w którym AB = 8 cm i AC = BC. Na wysokości CD
poprowadzonej z wierzchołka kąta prostego wybieramy punkt E, przez który rysujemy prostą równoległą do boku AB.
Prosta ta przecina bok AC w punkcie F i bok BC w punkcie G. Wyznacz tak długość odcinka DE, aby pole trójkąta DGF
było największe.
Zad.341 W trójkącie ABC dane są BC = 3a i cosinus kąta BAC wynosi 0,8. Oblicz promień okręgu opisanego na tym
trójkącie.
Mirosław Gil
30
Zad.342 W trójkącie ABC dane są AB = 4√3, AC = 4, kąt ACB = 120 0. Na bokach AB, BC, CA dane są odpowiednio
punkty M, N, P, środki boków.
a) oblicz obwody i pola trójkątów ABC i MNP
b) oblicz długości środkowych trójkąta ABC oraz MNP
c) na bokach dowolnego trójkąta ABC dane są odpowiednio punkty M, N, P takie, że
AM:MB = BN:NC = CP:PA = k. Wyznacz k, jeżeli pole trójkąta MNP = 0,28 pola trójkąta ABC.
Zad.343 W trójkącie ABC dane są długości boków AB=4, AC=6 i długość środkowej AA’ = 10 .
Oblicz długość trzeciego boku. Oblicz stosunek długości promienia okręgu opisanego na tym trójkącie do długości
promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt
Zad.344 Na okręgu o środku w punkcie S opisano trapez prostokątny ABCD o podstawach AB i CD i kątach prostych przy
wierzchołkach A i D. Odległości SB i SC są równe odpowiednio 8 i 4. Oblicz pole trapezu.
Zad.345 W trójkącie ABC długości boków mają się do siebie jak 4:5:6. Udowodnij, że w tym trójkącie cos 2   cos  ,
gdzie  ,  to miary kątów wewnętrznych trójkąta ABC.
1
BM  MC .
3
Zad.346 W trójkącie równobocznym ABC o polu 163 na boku BC obrano punkt M tak, że
Oblicz sinus kąta MAB oraz długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt MAB. Jakie długości mają odcinki, na które
symetralna odcinka AM dzieli bok AB.
Zad.347 Wysokość CC1 trójkąta ABC jest równa 4 i dzieli podstawę AB na dwie części AC1 i C1 B takie,
że AC1 : C1B =1:8.
a) Obliczyć długości boków trójkąta ABC zakładając, że kąt przy wierzchołku C jest prosty.
b) Obliczyć tangens kąta przy wierzchołku C, zakładając, że iloczyn tangensów kątów przy wierzchołkach A i B jest równy
8.
c) Obliczyć długość odcinka równoległego do wysokości CC1 , dzielącego pole trójkąta ABC na połowy.
Zad.348 Środek S okręgu wpisanego w trapez ABCD jest odległy od wierzchołka B o BS = 4, a krótsze ramię BC ma
długość BC = 5. Punkt styczności okręgu z krótszą podstawą dzieli ją w stosunku 1:2. Obliczyć pole tego trapezu.
Zad.349 W trójkąt prostokątny wpisano okrąg, a w okrąg ten wpisano podobny trójkąt prostokątny. Wyznaczyć cosinusy
kątów ostrych trójkąta, jeśli wiadomo, że stosunek pól obu trójkątów wynosi 9.
Zad.350 Przez środek boku trójkąta równobocznego poprowadzono prostą tworzącą z tym bokiem kąt ostry  i dzielącą
ten trójkąt na dwie figury, których stosunek pól wynosi 1 : 4. Wyznacz tg .
Zad.351 W trójkącie ABC długości boków wynoszą odpowiednio 2 cm, 3 cm, 4 cm. Oblicz sumę długości wysokości
trójkąta ABC oraz stosunek długości promienia okręgu opisanego na tym trójkącie do długości promienia okręgu
wpisanego w ten trójkąt.
Zad.352 W trapezie opisanym na okręgu długości boków nierównoległych wynoszą 3 cm i 5 cm, a odcinek łączący środki
tych boków dzieli trapez na dwie figury, których stosunek pól wynosi 5:11. Oblicz długości podstaw trapezu.
Zad.353 Obwód trapezu równoramiennego wynosi 116 cm. Oblicz pole trapezu, jeżeli długości ramienia i podstaw tego
trapezu tworzą w tej kolejności ciąg arytmetyczny rosnący, a długość odcinka łączącego środki dwóch boków
nierównoległych trapezu jest równa 41 cm.
Zad.354 Pole trójkąta prostokątnego jest równe 63 cm2. Wysokość opuszczona z wierzchołka kąta prostego dzieli kąt
prosty w stosunku 1:2. Oblicz długości środkowych w tym trójkącie.
Zad.355 Miara kąta C w trójkącie ABC wynosi 60o.Dwusieczna kąta C przecina bok AB w punkcie takim, że
AD = 3 i BD = 6. Wyznacz miary kątów i długości boków tego trójkąta.
Zad.356 Długości dwóch boków trójkąta wpisanego w okrąg o promieniu R są odpowiednio równe
Oblicz Długość trzeciego boku trójkąta.
Mirosław Gil
2
R oraz R 3 .
3
31
Zad.357 Długości boków trójkąta są odpowiednio równe a i b ( 5 i 4). Oblicz długość trzeciego boku, jeżeli kąt leżący
naprzeciw niego jest 2 razy większy od kąta leżącego naprzeciw boku b.
Zad.358 Rozwiąż trójkąt ABC ( wyznacz długości wszystkich boków i miary wszystkich kątów ) , wiedząc, że kąt C = 60 o
i dwusieczna kąta C przecina bok AB w punkcie M takim, że AM = 5 i MB = 10.
Zad.359 W trójkącie dane są długości boków b i c oraz jego pole S = 0,4 bc. Oblicz długość boku a.
Zad.360 Długości boków trójkąta są trzema kolejnymi liczbami naturalnymi. Miara największego kąta jest dwa razy
większa od miary najmniejszego kąta. Oblicz pole trójkąta.
Zad.361 W trójkącie prostokątnym dwusieczna kąta prostego dzieli przeciwprostokątną w stosunku 1 : 3. W jakim
stosunku wysokość dzieli przeciwprostokątną ?
Zad.362 W trójkącie ABC dane są AC = 26, BC = 4, kąt B = 600. Wyznacz miary kątów i długości boków tego trójkąta.
Zad. 363 W trójkącie ostrokątnym dane są miary trzech kątów α, β, γ oraz promień okręgu wpisanego w ten trójkąt r.
Oblicz pole trójkąta, którego wierzchołkami są punkty styczności okręgu.
Zad. 364 W trójkącie równoramiennym suma długości ramienia i wysokości opuszczonej na podstawę wynosi 4, a kąt przy
podstawie równy jest 300. Oblicz pole trójkąta.
Zad. 365 Oblicz pole trapezu równoramiennego, którego ramię jest równe 3, jedna z podstaw jest dwa razy większa od
drugiej, a przekątna dzieli kąt przy podstawie na połowy.
Zad. 366 Ze środków boków kwadratu o boku długości 4 cm zakreślono okręgi o promieniu 2 cm. Oblicz pole czterolistnej
rozety utworzonej przez łuki tych okręgów wewnątrz kwadratu.
Zad. 367 Boki równoległe trapezu mają długości a i b. Oblicz długość odcinka równoległego do tych boków, który dzieli
pole trapezu na połowy.
Zad.368 W trójkącie ABC długości boków AB i BC wynoszą odpowiednio 3 19 i 9, natomiast miara kąta
wewnętrznego przy wierzchołku C wynosi 1200. Oblicz pole tego trójkąta oraz pole okręgu opisanego i wpisanego w ten
trójkąt.
Zad.369 Trójkącie ABC dane są: a; 2a – długości boków, kąt między nimi γ oraz pole trójkąta
długość trzeciego boku trójkąta.
P
12 2
a . Wyznacz
13
Zad.370 W trójkąt równoramienny wpisano okrąg i poprowadzono styczną do okręgu równoległą do podstawy trójkąta.
Pole utworzonego w ten sposób trapezu stanowi 0,64 pola trójkąta, Oblicz cosinus kąta pomiędzy ramionami trójkąta.
Zad.371 Na okręgu opisano pięciokąt o bokach 3; 4; 5; 6; 7 (w tej kolejności). Wyznacz położenie punktów styczności
okręgu do boków tego trójkąta.
Zad.372 Na okręgu opisano pięciokąt o bokach a; b; c; d; e (w tej kolejności). Wykaż, że wówczas b + d < a + c + e.
Zad.373 W trójkącie równoramiennym ABC, w którym │AC│=│BC│ wysokość CE jest dwa razy dłuższa od wysokości
AD. Oblicz cosinusy wszystkich kątów wewnętrznych trójkąta ABC.
Zad.374 Z punktu A leżącego na okręgu poprowadzono dwie cięciwy równej długości AK i AM. Wiedząc, że
KM = 4 i że punkty K i M dzielą okrąg na dwie części w stosunku 1:5, oblicz pole koła ograniczonego tym okręgiem.
Zad.375 Wykaż, że jeżeli w trapez równoramienny można wpisać okrąg, to pole powierzchni tego trapezu wyraża się
wzorem P = c2 sinα, gdzie α jest miarą kąta ostrego trapezu, a c długością ramienia.
Zad.376 Oblicz długość pasa transmisyjnego łączącego dwa koła o średnicach 20cm i 140cm. Środki kół są oddalone od
siebie o 232cm. Wynik zaokrąglij do 1cm.
Mirosław Gil
32
Zad.377 Na poniższym rysunku przedstawiony jest trójkąt równoboczny i kwadrat. Oblicz stosunek pola trójkąta do pola
kwadratu (odp. 1
2 3
)
3
450
Zad.378 W prostokącie ABCD mamy dany stosunek boków
AB
BC

12
. Przekątne prostokąta przecinają się
5
w punkcie O. Oblicz stosunek promieni okręgów wpisanych w trójkąty ABO i BCO.
Zad.379 W prostokącie ABCD wierzchołek D połączono odcinkami ze środkami E i F odpowiednio boków AB i BC, zaś
M i N to punkty przecięcia się tych odcinków z przekątną AC (M leży na DE, a N na DF)
uzasadnij, że odcinki AM, MN, NC są jednakowej długości
uzasadnij, że trójkąty AEM i CNF mają równe pola.
Zad.380 Pole wycinka koła o promieniu 3cm jest równe 2 cm2 . Oblicz miarę łukową kąta środkowego tego wycinka.
Zad.381 Proste zawierające ramiona BC i DA trapezu ABCD przecinają się w punkcie S. Dane są │AB│= 6; │CD│= 2
oraz obwód trójkąta SDC jest równy
18 . Oblicz obwód trójkąta SAB.
Zad.382 W pewnym trapezie kąty przy dwóch przeciwległych wierzchołkach mają miary α oraz 90 0 + α. Jedno z ramion
trapezu ma długość t. Wyznacz różnicę długości podstaw trapezu.
Zad.383 Czworokąt ABCD jest wpisany w okrąg. Dane są │BC│= a; │CD│= b; │kątDAB│= α
Wyznacz długość przekątnej BD.
Zad.384 W czworokącie ABCD dane są │AB│=2; │BC│=
tego czworokąta.
3 ; │CD│= 3; │DA│= 4; │kątDAB │= 600. Oblicz pole
Zad.385 Punkt D jest punktem wewnętrznym trójkąta ABC. Wykaż, że
2(│AD│+│BD│+│CD│) > │AB│+│BC│+│CA│.
Zad.386 Pole rombu jest równe 24cm2. Jedna z przekątnych jest o 2 cm dłuższa od drugiej. Oblicz pole koła wpisanego w
ten romb oraz sinus kąta ostrego rombu.
Zad.387 Pole trapezu wynosi
trapez.
4 3  6 2 , a kąty ostre mają miary 600 i 450. Oblicz promień okręgu wpisanego w ten
Zad.388 Na okręgu o promieniu r opisano trapez równoramienny ABCD o dłuższej podstawie AB i krótszej CD. Punkt
styczności K dzieli ramię BC tak, że │CK│:│KB│= 2 : 3.
a) wyznacz długość ramienia trapezu
b) oblicz cosinus kąta CBD.
Zad.389 Podstawa AB trójkąta równoramiennego ABC ma długość 8 i kąt BAC ma miarę 30 0 . Oblicz długość środkowej
AD tego trójkąta.( odp. 4 21 ).
3
Mirosław Gil
33
Stereometria
Zad.390 Podstawą graniastosłupa jest romb o przekątnych 10cm i 24cm. Krótsza przekątna bryły jest nachylona do
płaszczyzny podstawy pod kątem, którego cosinus wynosi
V=2400cm3, P=1280cm2 )
5
. Oblicz objętość i pole powierzchni graniastosłupa. (odp.
5
Zad.391 W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym pole podstawy jest równe 100, a pole ściany bocznej jest równe 65.
Oblicz objętość ostrosłupa.
Zad.392 W stożek o średnicy podstawy 12 i kącie rozwarcia 900 wpisano kulę. Oblicz objętość tej kuli.
(odp.


288 5 2  7 )
Zad.393 Powierzchnia boczna stożka po rozwinięciu jest ćwiartką koła o promieniu 16 cm. Oblicz pole powierzchni
całkowitej i objętość tego stożka. (
V
64 15 3
cm , P  80cm 2 )
3
Zad.394 Podaj wymiary graniastosłupa prawidłowego czworokątnego o największym polu powierzchni bocznej, jeżeli
wiesz, że suma długości wszystkich jego krawędzi wynosi 1,6m. (odp. a = 10cm; H = 20cm )
Zad.395 Punkty K, L i M są środkami krawędzi BC, GH i AE sześcianu ABCDEFGH o krawędzi długości 1. Oblicz pole
trójkąta KLM. (odp. 0,375 3 )
Zad.396 Obwód podstawy stożka jest równy 6π cm. Tworząca stożka jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem
α. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość stożka.
Zad.397 Wysokość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 8. Krawędź boczna jest nachylona do płaszczyzny
podstawy pod kątem 400 . Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Zad.398 W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym spodek wysokości jest odległy od wierzchołka podstawy o d, a kąt między
wysokością ostrosłupa i krawędzią boczną jest równy α. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej ostrosłupa.
Zad.399 W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź podstawy ma długość a, a kąt między przeciwległymi
krawędziami bocznymi ma miarę 2α. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Zad.400 W graniastosłupie czworokątnym prawidłowym przekątna o długości m jest nachylona do podstawy pod kątem α.
Wiadomo, że sinα = 0,2. Wyznacz objętość tego graniastosłupa.
( odp.
V
12 3
24  8 3 2
m ; P
m )
125
25
Mirosław Gil
34
Zad.401 Prostokąt ABCD obracając się wokół boku AB zakreślił walec w1. Ten sam prostokąt obracając się wokół boku
AD zakreślił walec w2 . Otrzymane walce mają równe pola powierzchni całkowitej. Wykaż, że prostokąt ABCD jest
kwadratem.
Zad.402 Trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej 12 obracamy dookoła prostej zawierającej przeciwprostokątną.
Wiedząc, że jeden z kątów ostrych trójkąta ma miarę 30 0, oblicz objętość otrzymanej bryły.
Zad.403 Trapez prostokątny o podstawach 6 i 9 oraz kącie ostrym 450 obraca się wokół krótszej podstawy. Oblicz objętość
i pole powierzchni otrzymanej bryły.
Zad.404 Rozwinięcie powierzchni bocznej walca jest kwadratem. Oblicz stosunek objętości walca do objętości kuli
opisanej na tym walcu.
Zad.405 W stożek o promieniu podstawy 3 i wysokości 9 wpisano walec. Oblicz wymiary walca, wiedząc, że jego objętość
jest 4,5 razy mniejsza od objętości stożka.
Zad.406 Przekrój osiowy stożka jest trójkątem prostokątnym. Kula wpisana w stożek ma objętość 8cm3. Oblicz objętość
stożka.
Zad.407 Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego, jeżeli promień okręgu opisanego na jego podstawie wynosi
R i ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem α.
Zad.408 Sześcian podzielono płaszczyzną przechodzącą przez krawędź podstawy na dwie bryły, z których jedna ma pięć
ścian, a druga sześć. Pole powierzchni całkowitej bryły, która ma 5 ścian jest równe połowie pola powierzchni całkowitej
sześcianu. Znajdź tangens kąta nachylenia płaszczyzny przecinającej do płaszczyzny podstawy.
Zad.409 W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym pole powierzchni bocznej jest równe sumie pól obu podstaw. Oblicz
cosinus kąta nachylenia przekątnej ściany bocznej do sąsiedniej ściany bocznej. (odp.
cos α 
3 13
)
13
Zad.410 Płaszczyzna przechodząca przez przekątną dolnej podstawy i jeden z wierzchołków górnej podstawy
graniastosłupa czworokątnego prawidłowego odcina ostrosłup o polu powierzchni całkowitej S. Oblicz pole powierzchni
całkowitej graniastosłupa , jeżeli kąt przy wierzchołku otrzymanego przekroju jest równy α.
Zad.411 Podstawą graniastosłupa prostego jest romb o kącie ostrym α. Krótsza przekątna graniastosłupa jest równa d i
tworzy ze ścianą boczną kąt β. Oblicz objętość graniastosłupa. (odp. a = 4; H = 12)
Zad.412 Krótsza przekątna graniastosłupa sześciokątnego prawidłowego tworzy z płaszczyzną podstawy kąt o mierze 60 o.
Przekątna ściany bocznej ma długość 4√10. Oblicz objętość graniastosłupa oraz cosinus kąta między krótszymi
przekątnymi wychodzącymi z jednego wierzchołka.
Zad.413 W graniastosłupie prostym podstawa jest kwadratem o boku a , zaś przekątna graniastosłupa tworzy ze ścianą
boczną kąt  . Oblicz objętość graniastosłupa.
Zad.414 W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź podstawy i wysokość mają długość a . Obliczyć
promień kuli wpisanej w ten ostrosłup . Wykonać odpowiedni rysunek .
Zad.415 Czworościan foremny ABCS o krawędzi długości a przecięto płaszczyzną przechodzącą przez krawędź AB
i środek krawędzi nie mającej punktów wspólnych z tą krawędzią . Oblicz pole otrzymanego przekroju .
Zad.416 Podstawą graniastosłupa prostego jest trójkąt równoramienny, którego pole wynosi 16 , a kąt między ramionami
ma miarę 30 . Długość wysokości graniastosłupa stanowi 25% długości obwodu jego podstawy . Oblicz pole powierzchni
całkowitej i objętości tego graniastosłupa .
Zad.417 W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź podstawy ma długość a , zaś krawędź boczna jest trzy razy od
niej dłuższa . Wyznaczyć pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa .
Zad.418 Dany ostrosłup przecięto płaszczyzną zawierającą jego wysokość i krawędź boczną . Wyznaczyć pole
otrzymanego przekroju . Wyznaczyć cosinus kąta utworzonego przez dwie sąsiednie ściany boczne danego ostrosłupa .
Mirosław Gil
35
Zad.419 Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny.
a) Pole powierzchni całkowitej danego ostrosłupa Pc=864 i pole powierzchni bocznej Pb=540. Obliczyć objętość tego
ostrosłupa.
b) Krawędź boczna jest dwa razy dłuższa od krawędzi podstawy, a suma długości wszystkich krawędzi danego ostrosłupa
jest równa 48. Obliczyć cosinusy kątów dwuściennych tego ostrosłupa.
c) Pole powierzchni bocznej danego ostrosłupa jest równe P, zaś kąt ściany bocznej przy wierzchołku ostrosłupa ma miarę
2α. Wyznaczyć pole przekroju tego ostrosłupa płaszczyzną zawierającą przekątną podstawy i wierzchołek ostrosłupa.
Zad.420 Dany jest prawidłowy graniastosłup trójkątny, w którym suma długości wszystkich krawędzi jest
równa 24.
a) Obliczyć pole powierzchni bocznej i objętość danego graniastosłupa jeśli suma pól obu podstaw tego graniastosłupa jest
równa 2√3.
b) Obliczyć cosinus kąta między przekątną ściany bocznej a sąsiednią ścianą boczną, jeśli krawędź podstawy jest sześć
razy krótsza od krawędzi bocznej.
c) Obliczyć największą możliwą objętość danego graniastosłupa. (pochodna).
Zad.421 W stożku dana jest miara kąta rozwarcia α oraz pole przekroju osiowego P
a)Obliczyć objętość kuli wpisanej w ten stożek, jeśli α=600 i P=12 3 (odp. r = 2)
b)Obliczyć objętość i pole powierzchni bocznej stożka
c)Wiadomo, że  =1200. Stożek przecięto płaszczyzną równoległą do płaszczyzny podstawy. Obliczyć odległość tej
płaszczyzny od wierzchołka stożka wiedząc , że pole otrzymanego przekroju jest równe 75  .
Zad 422 Pewien zakład przetwórstwa warzywnego używa do pakowania towaru puszek w kształcie walców dwojakiego
rodzaju: jedne mają promień podstawy R=10cm i wysokość H=20cm, a drugie promień podstawy R=2,5cm i wysokość
H=5cm. Puszki pakowane są w sześcienne kartony o krawędzi 20cm, w jednakowych ilościach w każdym rzędzie.
a)Kiedy karton jest lepiej wykorzystany : czy przy pakowaniu puszek większych czy mniejszych? Odpowiedź uzasadnić.
b)Jaka jest różnica kosztów opakowania, w zależności od wielkości puszek , jeżeli 1cm. kwadratowy blachy
kosztuje 10 gr. Obliczenia wykonać dla jednego kartonu i wynik podać z dokładnością do 1zł.
c)Zaprojektować puszkę w kształcie walca, aby przy danej objętości V zużyć do jej produkcji jak najmniej
materiału.
Zad.423 Dany jest sześcian o krawędzi a. Jedną z jego krawędzi bocznych przedłużono o odcinek długości 2a i koniec tego
odcinka połączono z wierzchołkami dolnej podstawy sześcianu. Powierzchnia powstałego w ten sposób ostrosłupa o
wysokości 3a wycina z sześcianu ostrosłup ścięty.
a) Oblicz pole powierzchni całkowitej ostrosłupa ściętego.
b) Oblicz objętość ostrosłupa ściętego.
Zad.424 Wyznacz i porównaj pola powierzchni brył obrotowych otrzymanych przez obrót sześciokąta foremnego o boku a
dookoła następujących osi:
a) prostej przechodzącej przez środki przeciwległych boków sześciokąta,
b) prostej zawierającej dłuższą przekątną sześciokąta,
c) prostej zawierającej bok sześciokąta.
Zad.425 Krawędzie boczne graniastosłupa prostego, którego podstawą jest równoległobok ABCD oznaczono: AA1, BB1,
CC1 oraz DD1. Każda z tych krawędzi ma długość 8 cm. Obwód równoległoboku ABCD wynosi 36 cm. Przekątne
graniastosłupa mają długości 18 cm i 2√33 cm. Oblicz pole równoległoboku ABCD.
Zad.426 Dany jest czworościan foremny ABCD, którego krawędź ma długość a. Punkt K jest środkiem wysokości DD 1
tego czworościanu.
a) Wyznaczyć miarę kąta AKB.
b) Wyznaczyć stosunek długości promienia kuli wpisanej w dany czworościan do długości wysokości tego czworościanu.
c) Płaszczyzna równoległa do podstawy czworościanu i przechodząca przez punkt K dzieli go na dwie bryły. Obliczyć
stosunek objętości otrzymanych brył.
Zad.427 W ostrosłupie prawidłowym sześciokątnym o podstawie ABCDEF i wierzchołku S dane są: pole ściany bocznej
równe 40 cm2 i cos(<ASB)=0,6
Oblicz:
a) objętość ostrosłupa ABCDEFS
b) pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa
c) odległość spodka wysokości ostrosłupa od ściany bocznej.
Mirosław Gil
36
Zad.428 Dany jest trójkąt ostrokątny ABC, w którym wysokości AA1 i BB1 przecinają się w punkcie M, i AA1=6
i AMB = 150o. Obliczyć objętość bryły powstałej przez obrót trójkąta AA1C dokoła prostej AC.
Zad.429 Podstawą ostrosłupa jest trójkąt równoboczny o boku 2a. Jedna ze ścian bocznych jest trójkątem o ramieniu 4a
i jest prostopadła do płaszczyzny podstawy.
a) Obliczyć tangens kąta nachylenia najdłuższej krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy.
b) Obliczyć pole przekroju ostrosłupa płaszczyzną przechodzącą przez jego wierzchołek i środki dwóch krawędzi
podstawy, które nie należą do prostopadłej ściany bocznej.
c) Obliczyć cosinus kąta między przystającymi ścianami bocznymi.
Zad.430 W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym, k jest długością krawędzi bocznej,  kątem którego ramiona
zawierają sąsiednie krawędzie boczne.
a)Obliczyć pole powierzchni tego ostrosłupa
b)Obliczyć objętość ostrosłupa .
c)Obliczyć miarę kąta dwuściennego utworzonego przez dwie sąsiednie ściany boczne, jeśli  =450.
Zad.431 Wysokość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest trzy razy dłuższa od promienia kuli wpisanej w ten
ostrosłup. Obliczyć cosinus kąta pomiędzy sąsiednimi ścianami bocznymi tego ostrosłupa.
Zad.432 Pole powierzchni bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe S, zaś kąt płaski przy wierzchołku
ma miarę α. Oblicz pole przekroju tego ostrosłupa płaszczyzną wyznaczoną przez przekątną podstawy i wierzchołek
ostrosłupa.
Zad.433 W prawidłowym ostrosłupie czworokątnym długość krawędzi bocznej jest równa długości krawędzi podstawy, a
pole ściany bocznej jest równe 72√3.
a) Oblicz objętość ostrosłupa oraz wyznacz odległość środka wysokości ostrosłupa od ściany bocznej.
b) Oblicz pole przekroju ostrosłupa płaszczyzną przechodzącą przez środki dwóch sąsiednich krawędzi podstawy i
wierzchołek ostrosłupa.
Zad.434 Rysunek przedstawia dach budynku w rzucie poziomym. Każda z płaszczyzn nachylona jest do płaszczyzny
poziomej pod kątem 30o. Długość dachu wynosi 18 m, a szerokość 9 m. Obliczyć pole powierzchni dachu oraz całkowitą
kubaturę strychu w tym budynku.
Zad.435 Wysokość ostrosłupa trójkątnego prawidłowego wynosi h, a kąt między wysokościami ścian bocznych jest równy
2α. Obliczyć pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa. Sporządzić odpowiednie rysunki.
Zad.436 Tworząca stożka ma długość l i widać ją ze środka kuli wpisanej w ten stożek pod kątem α. Obliczyć objętość i
kąt rozwarcia stożka. Określić dziedzinę kąta α.
Zad.437 Krawędzie oraz przekątna prostopadłościanu tworzą cztery kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego. Wyznaczyć
sumę długości wszystkich krawędzi tego prostopadłościanu, jeśli przekątna ma długość 7 cm.
Zad.438 Z wierzchołka ostrosłupa prawidłowego trójkątnego poprowadzono wysokości dwóch ścian bocznych. Miara kąta
między tymi wysokościami jest równa α. Wiedząc, że pole powierzchni bocznej ostrosłupa jest równe S, oblicz jego
objętość. Dla jakich α zadanie ma rozwiązanie?
Zad.439 Z wierzchołka ostrosłupa prawidłowego trójkątnego poprowadzono wysokości dwóch ścian bocznych. Miara kąta
między tymi wysokościami jest równa 60o, a krawędź boczna tego ostrosłupa ma długość
4 3
.
3
a) Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.
b) Oblicz pole powierzchni przekroju danego ostrosłupa płaszczyzną przechodzącą przez krawędź jego
podstawy i nachyloną do płaszczyzny podstawy pod kątem 30o.
Zad.440 Podstawą ostrosłupa jest prostokąt o polu 9 dm2. Dwie ściany boczne ostrosłupa są prostopadłe do płaszczyzny
podstawy, a dwie pozostałe są nachylone do płaszczyzny podstawy pod kątami 300 i 600 . Sporządź rysunek ostrosłupa i
zaznacz na nim dane kąty i oblicz objętość ostrosłupa.
Mirosław Gil
37
Zad.441 Dach wieży ma kształt powierzchni bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, którego krawędź podstawy
ma długość 4m. Ściana boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 600.
a) sporządź rysunek i zaznacz na nim podane w zadaniu wielkości
b) oblicz ile dachówek należy kupić, aby pokryć dach, wiedząc, że do pokrycia 1m2 potrzeba 24 dachówki. Przy
zakupie należy doliczyć 8% dachówek na zapas.
Zad.442 Wysokość walca jest o 6 większa od średnicy jego podstawy, a jego pole powierzchni całkowitej jest równe 378π.
Oblicz objętość walca.
Zad.443 Pole powierzchni całkowitej prawidłowego ostrosłupa trójkątnego równa się 144 3 , a pole jego powierzchni
bocznej 96 3 . Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Zad.444 Wśród wszystkich graniastosłupów prawidłowych sześciokątnych, w których suma długości wszystkich krawędzi
jest równa 24, jest taki, który ma największe pole powierzchni bocznej. Oblicz długość krawędzi podstawy tego
graniastosłupa. (odp. 1)
Zad.445 Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny, w którym długość krawędzi podstawy równa się a. kąt między
krawędzią boczną i krawędzią podstawy ma miarę 45 0. Ostrosłup przecięto płaszczyzną przechodzącą przez krawędź
podstawy i środek przeciwległej jej krawędzi bocznej. Sporządź rysunek ostrosłupa i zaznacz otrzymany przekrój. Oblicz
pole tego przekroju.
Zad.446 Metalową kulę o promieniu długości 10 cm oraz stożek, w którym średnica i wysokość mają długości
odpowiednio 16cm i 12cm, przetopiono. Z otrzymanego metalu wykonano walec o średnicy
tego walca.
8 3
cm. Oblicz wysokość
3
Zad.447 W stożku tworząca o długości 5 cm jest nachylona do płaszczyzny jego podstawy pod kątem o mierze 400. Oblicz
objętość kuli opisanej na tym stożku. Wynik podaj z dokładnością do 0,001 cm3.
Zad.448 Wyznacz miarę kąta między ścianą boczną i płaszczyzną podstawy ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego
wiedząc, że pole jego podstawy jest równe 6 3 , a pole powierzchni bocznej ostrosłupa jest równe 12.
Zad.449 Dane są dwie bryły: stożek, w którym długość promienia podstawy jest równa 4dm i wysokość ma długość
18

dm
oraz ostrosłup prawidłowy czworokątny, w którym krawędź podstawy ma długość 4 3 dm. Wiedząc, że objętości brył są
równe, wyznacz kąt nachylenia ściany bocznej ostrosłupa do podstawy.
Zad.450 Pole powierzchni całkowitej stożka jest trzy razy większe od pola jego podstawy. Oblicz miarę kąta rozwarcia
tego stożka.
Zad.451 Pole powierzchni bocznej ostrosłupa prawidłowego trójkątnego równa się
a 2 15
, gdzie a oznacza długość
4
krawędzi podstawy tego ostrosłupa. Zaznacz na rysunku kąt nachylenia ściany bocznej ostrosłupa do płaszczyzny
podstawy i oblicz cosinus tego kąta z dokładnością do 10 .
Zad.452 Dany jest graniastosłup czworokątny prosty ABCDEFGH o podstawach ABCD i EFGH oraz krawędziach
bocznych AE, BF, CG, DH. Podstawa ABCD jest rombem o boku długości 8 cm i kątach ostrych A i C o mierze 600.
Przekątna graniastosłupa CE jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 60 0. Oblicz objętość tego graniastosłupa.
Zad.453 Kapsuła lądownika ma kształt stożka zakończonego w podstawie półkulą o tym samym promieniu co promień
podstawy stożka. Wysokość stożka jest o 1 m większa niż promień półkuli. Objętość stożka stanowi
kapsuły. Oblicz objętość kapsuły lądownika.
2
objętości całej
3
Zad.454 Krawędź podstawy i wysokość ściany bocznej poprowadzona z wierzchołka ostrosłupa prawidłowego
czworokątnego mają długości 2a.Oblicz cosinus kąta dwuściennego między sąsiednimi ścianami bocznymi.
Mirosław Gil
38
Zad.455 W trójkącie ABC dane są AC=8, BC=3 kąt ACB=60 0. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej bryły
powstałej po obrocie trójkąta ABC dookoła boku BC.
Zad.456 Sześcian o krawędzi a przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i nachyloną do płaszczyzny
podstawy pod kątem o mierze

3
. Sporządź odpowiedni rysunek. Oblicz pole otrzymanego przekroju.
Zad.457 Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny ABCDS, o podstawie ABCD i wierzchołku S. Pole trójkąta ABS jest
równe 6 dm2. punkty E i F są odpowiednio środkami krawędzi AB i BC. Cosinus kąta ESF wynosi 0,75.
Oblicz długość wysokości i objętość ostrosłupa ABCDS. Wyznacz tangens kąta nachylenia przekroju ESF do podstawy
ostrosłupa.
Zad.458 W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym pole powierzchni bocznej równa się sumie pól obu podstaw. Oblicz
cosinus kąta nachylenia przekątnej ściany bocznej do sąsiedniej ściany bocznej. Jakim procentem objętości danego
graniastosłupa jest objętość stożka, którego podstawa jest wpisana w jedną z podstaw graniastosłupa, a wierzchołek jest
środkiem drugiej podstawy?
Zad.459 Dany jest prawidłowy ostrosłup trójkątny o krawędzi bocznej długości 12 cm. Na przekroju tego ostrosłupa
płaszczyzną zawierającą krawędź boczną i wysokość ostrosłupa opisano okrąg długości 6√3 cm.
a) oblicz cotangens kąta między krawędzią boczną a płaszczyzną podstawy ostrosłupa
b) wyznacz objętość i pole powierzchni ostrosłupa.
Zad.460 W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem o
mierze α. Odległość spodka wysokości ostrosłupa od krawędzi bocznej ostrosłupa je st równa d. Oblicz objętość i pole
powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.
Zad.461 W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem
600 . Odległość środka podstawy od krawędzi bocznej wynosi
ostrosłupa.
6 dm. Oblicz objętość i pole powierzchni bocznej tego
Zad.462 W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny jest
równy 2 . Ostrosłup przecięto płaszczyzną przechodzącą przez krawędź podstawy i nachyloną do podstawy pod kątem
 . Oblicz pole otrzymanego przekroju, wiedząc, że długość krawędzi podstawy ostrosłupa jest równa 10.
Zad.463 Stosunek pola podstawy stożka do pola powierzchni kuli wpisanej w ten stożek wynosi 0,75. Wykaż, że przekrój
osiowy stożka jest trójkątem równobocznym.
Mirosław Gil
39
Zad.464 Dany jest stożek obrotowy. Przekrój osiowy stożka jest trójkątem, w którym kąt przy podstawie ma miarę α, a
pole równa się P. Wyznacz pole powierzchni całkowitej tego stożka.
Stosunek pola powierzchni bocznej danego stożka do jego powierzchni całkowitej wynosi s.
a) Oblicz sinus kąta między wysokością stożka a jego tworzącą. Dla jakich wartości s są spełnione warunki zadania?
(odp.
sin α 
1 s
)
s
b) Dany stożek wpisano w kulę o promieniu R. Wyznacz wymiary stożka o możliwie największej objętości.
(pochodna)
Zad.465 Ostrosłup prawidłowy czworokątny przecięto płaszczyzną przechodzącą przez wierzchołek ostrosłupa i środki
dwóch sąsiednich krawędzi podstawy. Przekrój jest trójkątem równobocznym. Oblicz miarę kąta między płaszczyznami
sąsiednich ścian ostrosłupa. ( odp. 1200 )
Zad.466 W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy jest równy
3α, a krawędź podstawy ma długość a. Przez krawędź podstawy i środki rozłącznych z nią krawędzi bocznych
poprowadzono płaszczyznę. Płaszczyzna ta jest nachylona do podstawy pod kątem α. Oblicz pole otrzymanego przekroju.
(odp.
P
3 2 sin 3α
)
a
4 sin 4α
Zad.467 Oblicz objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego, opisanego na kuli o promieniu R.
Zad.468 Podstawą graniastosłupa jest równoległobok o bokach długości 4 i 2 oraz dłuższej przekątnej długości
Długość krótszej przekątnej bryły wynosi
2 7.
2 15 . Oblicz objętość graniastosłupa. ( odp. 48)
Zad.469 Podstawą ostrosłupa ABCDS jest kwadrat ABCD o boku długości 4. Odcinek DS jest wysokością ostrosłupa i ma
długość 6. Punkt M jest środkiem odcinka DS. Oblicz pole przekroju ostrosłupa płaszczyzną BCM.
Zad.470 Trójkąt ABC jest podstawą ostrosłupa ABCS. Punkt M jest środkiem boku AB i │AM│=│MC│. Odcinek AS
jest wysokością tego ostrosłupa. Wykaż, że kąt SCB jest prosty.
Zad.471 Podstawą ostrosłupa ABCDS jest prostokąt ABCD, w którym │AB│=1; │BC│= 2 . Wszystkie krawędzie
boczne tego ostrosłupa mają długość 1. Wyznacz wartość dowolnej funkcji trygonometrycznej kąta między dwiema
sąsiednimi ścianami bocznymi tego ostrosłupa.
Zad.472 Podstawą czworościanu ABCS jest trójkąt prostokątny ABC o przeciwprostokątnej AB = 20cm i przyprostokątnej
BC = 16cm. Krawędź CS jest prostopadła do płaszczyzny podstawy i ma długość równą AC. Punkty K,L,M,N są
odpowiednio środkami krawędzi AC, BC, BS, AS. Oblicz pole przekroju czworościanu płaszczyzną KLMN.
Zad.473 Wszystkie krawędzie ostrosłupa prawidłowego czworokątnego mają długość
miarę kąta między sąsiednimi ścianami bocznymi tego ostrosłupa.
4 3 . Oblicz cosinus i przybliżoną
Zad.474 W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź podstawy ma długość 4. Kąt nachylenia płaszczyzny
podstawy do płaszczyzny przechodzącej przez krawędź podstawy i środek krawędzi bocznej ma 30 0. oblicz kąt nachylenia
przekątnej ściany bocznej do sąsiedniej ściany bocznej. (odp.
sin β 
6
)
4
Zad.475 Prostokąt o wymiarach 5 i 12 zgięto wzdłuż przekątnej tak, płaszczyzny zawierające obie części prostokąta są
prostopadłe. Po zgięciu wierzchołki prostokąta wyznaczają czworościan. Oblicz objętość czworościanu i pole powierzchni
kuli opisanej na tym czworościanie. (odp.
V
600
; P  169π )
13
Mirosław Gil
40
Zad.476 Krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość a, wysokość ściany bocznej wynosi 2a.
Oblicz pole przekroju ostrosłupa płaszczyzną zawierającą krawędź podstawy i przechodzącą przez środki sąsiednich
3a 2 6
a 6
krawędzi bocznych. (odp.c = 1,25a; P 
).
; h
8
2
Zad.477 W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym przekątna podstawy ma długość d i tworzy z przekątną ściany
bocznej wychodzącej z tego samego wierzchołka kąt o mierze α. Obli cz objętość tego graniastosłupa. (odp.
a
d
1
1
; H  d tg 2  1; V  d 2 tg 2  1 )
2
4
2
Zad.478 Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny o krawędzi podstawy a. Krawędź boczna jest nachylona do płaszczyzny
podstawy pod kątem α. Przez krawędź podstawy i środek rozłącznej z nią kra wędzi bocznej poprowadzono płaszczyznę.
Oblicz pole otrzymanego przekroju.
Zad.479 Dach wieży ma kształt powierzchni bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, którego krawędź podstawy
ma długość 4m. Ściana boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 600.
a) sporządź rysunek i zaznacz na nim podane wielkości
b) oblicz ile sztuk dachówek należy kupić, aby pokryć dach, wiedząc, ze do pokrycia 1m2 potrzebne są 24 dachówki.
Przy zakupie należy doliczyć 8% dachówek na zapas.
Zad.480 W graniastosłupie prawidłowym sześciokątnym płaszczyzna BFA’ zawiera przekątne sąsiednich ścian bocznych,
wychodzących z tego samego wierzchołka, jest nachylona do podstawy graniastosłupa pod kątem 60 0. Pole przekroju
graniastosłupa tą płaszczyzną wynosi
(odp.
a  4; H 
8 3 . Oblicz objętość graniastosłupa.
a 3
)
2
Zad.481 Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny ABCDS o podstawie ABCD. W trójkącie równoramiennym ACS
stosunek długości podstawy do długości ramienia jest równy |AC| : |AS| = 6 : 5. Oblicz sinus kąta nachylenia ściany
bocznej do podstawy. (odp. 4 82 )
41
Zad.482 Suma długości wszystkich krawędzi graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa 60. Wysokość jest o 2
większa od długości boku podstawy. Przez przekątną ściany bocznej i środek krawędzi bocznej, niezawierającej się w tej
ścianie, poprowadzono płaszczyznę, Oblicz pole w ten sposób otrzymanego przekroju.
Mirosław Gil
41
Funkcja logarytmiczna i wykładnicza
Zad.483 Liczby dodatnie spełniają warunek: log4a = log3b = log2c = 2. Oblicz
abc .
Zad.484 Rozwiąż równanie log5 (log4 (log2 x)) = 0
Zad.485 Narysuj wykres funkcji f(x) = log3x, a następnie, wykonując odpowiednie przekształcenia geometryczne, narysuj
wykres funkcji g ( x )  log 1 9 x  18 .
3
Zad.486 Logarytm dziesiętny pewnej liczby naturalnej wynosi w przybliżeniu 7,813. Ile cyfr ma ta liczba? Wiedząc, że
log3 = 0,477 oblicz ile cyfr ma liczba 32005. (odp. 8 cyfr, 957 cyfr).
Zad.487 Funkcja f jest funkcją wykładniczą. Określ liczbę rozwiązań równania f( x – 1) = m w zależności od parametru m.
Odpowiedź uzasadnij.
Zad.488 Dane są funkcje f ( x )  3
x 2 5 x
i
większe od wartości funkcji g ?
1
g ( x)   
9
2 x 2 3 x  2
. Dla jakich argumentów x wartości funkcji f są
Zad.489 Wyznacz wszystkie wartości x, dla których liczby 1; log2(2x – 2); log2(2x + 10) są kolejnymi wyrazami ciągu
arytmetycznego.
2
9; 3 x  ; 9 x
9
Zad.490 Wyznacz wszystkie wartości x, dla których liczby
są kolejnymi wyrazami ciągu
geometrycznego.
2 cos x 
1
.
2
Zad.492 Rozwiąż równanie 22x – 4·2x = 0.
Zad.493 Wykres funkcji f(x) = loga x przechodzi przez punkt P=(4; -2). Rozwiąż równanie (f(x))2 – 16 = 0.
Zad.494 Dana jest funkcja f(x) =(2x2-1)(x-4).
a)Rozwiązać równanie f(cosx)=0.
b)Rozwiązać nierówność f(2x)<2x-4.
c)Wyznaczyć dziedzinę funkcji g(x)=log(f(x))
Zad.495 Rozwiąż układ równań
log x 10  log y 10  5

5

 log x  log y  4
Zad.496 Znaleźć iloczyn AB zbiorów liczb rzeczywistych A = x: x + 3 2
,
B = x: log3 (x + 3)  0.
Zad.497 Dana jest funkcja f(x) =(2x2-1)(x-4).
a) Rozwiązać równanie f(cosx)=0.
b) Rozwiązać nierówność f(2x)<2x-4.
c) Wyznaczyć dziedzinę funkcji g(x)=log(f(x)).
Mirosław Gil
42
Zad.498 Dana jest funkcja f ( x )  log 1
3
x2  2x  1
.
x 1
a)Rozwiązać równanie f ( x )  1
b)Rozwiązać nierówność f ( x )  0.
c)Dla jakich wartości k równanie f ( x )  log 1 ( x  k ) ma pierwiastki?
3
Zad.499 Dana jest funkcja f(x)=log x .
a) Rozwiązać równanie f(x-3)- log 2 = log 5 – f(x+6).
b) Rozwiązać nierówność f2(x) + 3 f(x) – 4 > 0.
c) Naszkicować wykres funkcji g(x)=
| f ( x  1) |
.
f ( x  1)
Zad.500 Dane są funkcje f (x) = log 2 (x + 10) - log 2 (x + 6) i g (x) = log 2 (2x + 3).
a) Rozwiązać równanie f (x) - g (x) = 0.
b) Wyznaczyć wszystkie argumenty, dla których funkcja f przyjmuje wartości mniejsze od 2.
c) Wyznaczyć wszystkie wartości parametru a, dla których równanie f (x) - log 2 (a - x) = 0 ma dwa różne
rozwiązania.
Zad.501 Dane są funkcje f(x) = 3x + k + 3x – k oraz g(x) = 4x + k – 22x – 2k
a) Dla k = 0,5 rozwiązać równanie f(x) = 49x
b) Rozwiązać nierówność f(x) > g(x) dla k = 0,5
c) Wyznaczyć wszystkie wartości k, dla których równanie g(x) = 4 2x – k ma pierwiastki.
Zad.502 Dane są liczby :
5

3 1
1
 3 3
a1  log  3, a 2  log 1  , a3  2 0,1 , a 4 
, a5    , a 6  2
3
3 1
5
  
2 1

2 1
a) Która z podanych liczb jest rozwiązaniem równania log22 x + 1,9 log2 x = 0,2 ?
b) Uzasadnić, które z podanych liczb są większe od 1, które mniejsze od 1, a które równe 1 ?
c) Rozwiązać nierówność (x – a1) (x – a2) (x – a3) (x – a6)  0
Zad.503 Dla jakich wartości parametru m dziedziną funkcji f(x) = log2 [mx2 + (m + 3)x + 4] jest zbiór liczb rzeczywistych?
Zad.504 Wyznacz dziedzinę funkcji
g ( x)  x  3  log 2 5  x  .
g ( x)  log x2 3 x 3  4 x 2  x  4 .


Zad.506 Rozwiąż nierówność log2 (9 – 2x) > 3 – x.
Zad.507 Rozwiąż równanie log3(log9x) = log9(log3x)
Zad.508 Dane są funkcje f ( x )  3 x i g ( x )  6 x  2 x 1  8
a) Rozwiązać równanie:
 f ( x)2  6 f ( x)  27.
b) Sporządzić wykres funkcji
h( x)  1  f ( x  1) . Korzystając z wykresu funkcji h wyznaczyć liczbę pierwiastków
równania h(x)=a w zależności od parametru a .
c) Rozwiązać nierówność 4 f ( x ) < g(x).
Mirosław Gil
43
Zad.509 Dana jest funkcja f ( x )  log 1 x
2
a)Rozwiązać równanie f(x+1)-f (x+2 )=-3
b)Wyznaczyć dziedzinę funkcji
f x  3  2
g ( x) 
c)Naszkicować wykres funkcji h(x)=2-f(x+2). Wymienić, jakie przekształcenia wykresu funkcji f należy kolejno wykonać,
aby otrzymać wykres funkcji h.
5x


 2
  8  432 x  oraz
Zad.510 Wyznacz zbiory A, B, A ∩ B, gdzie A   x  R : 
 2 






B   x  R : 2 log 1  x  1  1  log 1  x  1
3
3


log x
Zad.511 Narysuj wykresy funkcji : a) y  2 2 ; b) y = 2│3 - x│; y = │- 3x – 2 + 1│; y = log 2 │x│- 1 ;
y = log 2 │x + 2│- 3 ; y = log (x – 1)2 ; y = │log2 (x – 2)2│
Zad.512 Wyznacz dziedzinę funkcji f ( x ) 
Zad.513 Liczby


1
 log 4 x 2  5x  6  2 x  3 .
2
1

3, log 2 2 x  4 x , log 2  2 2 x 1   w podanej kolejności są kolejnymi wyrazami ciągu
4

arytmetycznego. Wyznacz ten ciąg. Oblicz sumę 11 początkowych wyrazów tego ciągu o numerach nieparzystych.
Zad.514 Dla jakich x liczby
log 2 27, log 2 x, log 2
1
w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny ?
x
Zad.515 Dla jakich x liczby log 2, log (2x – 1), log (2x + 3) tworzą w podanej kolejności ciąg arytmetyczny?
Zad.516 Dane są log 3 = a, log 2 = b. Wyznacz log 6 oraz log5 6 za pomocą a i b
Zad.517 Rozwiąż nierówność 64x < 6∙(8 x) – 8
Zad.518 Rozwiąż nierówność


log 1 x 2  1  log 1 5  x   log 1 3x  1
3
3
Zad.519 Zaznacz na płaszczyźnie zbiór
3
F  x; y  : x  R  y  R  log 0,5  x  1  2  y  0. Napisz
równanie osi symetrii figury F.
Zad.520 Dla jakich wartości parametru m równanie x 2  2 x  log 0 , 5
pierwiastki?
m 2  3m  4
 0 ma dwa różne dodatnie
m 1
Zad.521 Dane są funkcje: f(x) = log4 cos 2x i g(x) = log4 sin x.
a) Rozwiąż nierówność f(x) + g(x) < 0.
b) Wyznacz zbiór wartości funkcji g.
c) Rozwiąż równanie : f(x) + 2g(x) + 1,5 = 0.
1
Zad.522 Rozwiąż nierówność  
5
 x2 
log 3 

 x 
 1.
Zad.523 Wyznacz te wartości parametru a, dla których równanie 9 x  a  3 x 1 ma dwa różne rozwiązania.
Mirosław Gil
44
Zad.524 Dana jest funkcja f(x) = x – 3
a) rozwiąż równanie |x – 5|log2f(x) = 2x – 10
b) rozwiąż nierówność
 x 2
log f ( x ) 
 1
 x6
c) wyznacz wszystkie wartości parametru k, dla których równanie |f(x) – 4| = k2 – 3k – 2 ma dwa pierwiastki różnych
znaków.
Zad.525 Wyznacz dziedzinę i naszkicuj wykres funkcji f danej wzorem f(m) = x 1·x2, gdzie x1,x2 są różnymi pierwiastkami
równania (m + 2)x2 – (m + 2)2 x + 3m + 2 = 0.

f ( x)  log x 4 x  12  2 x  32

Zad.527 Wyznacz wszystkie liczby rzeczywiste spełniające równanie 5  x 

A  x : x  R  log
2
11  x   log 2 1  x   0
x3 4 x2  x6
1

.
oraz B  x : x  R  x 3  9 x
Zapisz zbiory A i B za pomocą przedziałów liczbowych. Zaznacz na osi liczbowej zbiór A – B.
Zad.529 Dana jest funkcja f (x) = cos x.
a) Wyznaczyć zbiór wartości funkcji g (x) = 2 + sin x - f (x).
b) Rozwiązać równanie f (/2 - x) + 3f (x) - 1 = 0.
c) Wyznaczyć wszystkie wartości t [ -,], dla których równanie log 1 ( x  1)  log 1 x  f ( 2t )  0 ma rozwiązanie.
3
3
Zad.530 Dane są funkcje : f(x) = 4x i h(x) = 5 6x + 4 9x
a) Rozwiązać równanie 9f(x) = h(x)
b) Rozwiąż nierówność
4  f ( x)  9 f ( x)  2
c) Dla jakich wartości m równanie f(x – m) = f(x2 + 1) ma dwa pierwiastki o różnych znakach?
Zad.531 W nieskończonym ciągu geometrycznym pierwszy wyraz a 1 = log x 3 oraz iloraz q = log x 3 . Znaleźć
wszystkie liczby x , dla których suma wyrazów tego ciągu jest mniejsza od 4 .
Zad.532 Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których nierówność
1 + log5(x2 + 1) > log5(mx2 + 4x + m)jest spełniona dla wszystkich liczb rzeczywistych x.
Zad.533 Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla którego równanie 25 x – 5x+2 – 2log0,5m=0 ma dokładnie jedno
rozwiązanie.
Zad.534 Podaj liczbę rozwiązań równania 2x(2 –│x│) = log0,5m w zależności od parametru m.
Zad.535 Wykaż (przyjmując odpowiednie założenia), że logab + logba > 2
Zad.536
Wyznacz
wszystkie
wartości
parametru
log x  1  logm x  1  2  0 jest mniejsza od 3.
m,
dla
których
każda
liczba
spełniająca
równanie:
2
m
Mirosław Gil
45
a)
4 x – 2 x+1 – 8 ≤ 0.
b)
5x + 15 ( 2-5x )-1 < 0
c)
5x + (5x -5 ) (5x +5 ) (1 -5x )-1 > 0 .
d)
3 sinx sinx = 2+3cosx cosx .
5  ( 2 sin
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)2
2
x 2
)  7  2 sin
2
x
6 0
log(x – 5) – log(3 + 2x) = 1
log0,5 (x - 1) + log0,5 (x - 2) < log0,5 (x + 2)
log2(3x - 1) = log4(3x + 55)
log2 ( x + 1) > log (x + 1) 16
logx x2 - 1 0
log 2 ( 1 – x ) + log 4 ( x + 4 ) = log 4 ( x3 – x2 – 3x + 5) + 0,5
log 2x -3 (3x2 -7x +3 ) < 2
log(x – 1,5)2(x2 + 3)  log(x – 1,5)2 (4x)
(log 125 3)(log x 5)+ (log 9 8)(log 4 x) > 1
log
2
x


 2
log x 2

p) log x 1  6 x 2  1
1
2 x 1
q) x
 2
x
r )( 0 , 5 )
s)
t)
x 1
x 1

1
32
1
1

log  x   log  log x
2
2

xlogx-1=100 (x > 0)
x – log5 = xlog5 + 2log2 – log(1 + 2x)
v)
log 1 3x  7   1
2
w)
log3x  1
0
log 2 x
Zad.538 Dane jest równanie zmiennej x z parametrem m R, (m + 1)(0,25)x – 4m(0,5)x + m + 1 = 0. Wyznacz wszystkie
wartości parametru m, dla których to równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych.
Zad.539 Dla jakich wartości m, pierwiastki x1 i x2 równania 5
nierówność
x1- 1 +
x2-1>
x (x +1)
 25
0,5m (m-1)
= 5
x
2
 1250,5(mx
+ m+1)
spełniają
0.
Zad.540 Zaznaczyć na wykresie zbiór punktów (x,y) płaszczyzny spełniających warunek a)
b)log xy │y│ ≥ 1


log x  2 x  x  2 
1
.
2


f ( x)  log 3 x 1 x 3  x 
log  x  y   x  y   1
1
4 8
x
Mirosław Gil
46
Zad.543 Dla jakich wartości x szósty wyraz rozwinięcia dwumian
2

log103x

 2
x2log3
5

m
jest równy 21,
jeżeli wiadomo, że współczynniki drugiego, trzeciego i czwartego wyrazu rozwinięcia tworzą odpowiednio pierwszy, trzeci
i piąty wyraz ciągu arytmetycznego ?
Zad.544 Dla jakich wartości parametru k równanie log kx = 2log (x+1) ma dokładnie jedno rozwiązanie ?
Zad.545 Dla jakich wartości parametru m równanie : (2 log0,5 m – 1) x2 – 2x + log0,5 m = 0 ma co najmniej jeden
pierwiastek rzeczywisty?
x 2  2 x  log 1 (a 2  7)  0.
Zad.546 Dane jest równanie
2
a) Wyznacz wartość a, dla których istnieją rzeczywiste pierwiastki tego równania.
c) Dla jakich wartości a pierwiastki równania x1 i x2 spełniają nierówność
Zad.547
Rozwiąż
x
równania
x
1
1
a )    2   8  0 b) log 2  x  3  2 log 4 x  2
4
2
d)
1
g ) 
2
logx+3(12x2 + 28x + 24) < 3
2
x  2 x 1, 5
2
1
   2
2
i
x
9 28  3 x 
 2   
4 x
5  x 2
c)
e) log8(2x + 4x) – 1 = log8(2x
1
h) log 2 5 x  x 
1
log x 1 2

2

Zad.548 Dla jakich wartości parametru m liczby:
log 2 m;
geometrycznego?
i )3
log 4
nierówności
2
– 1
x 2 5 x
– 0,25) f) log2x(x2 – 5x + 6) > 1
1
 
9
2 x 2 3 x  2
8
; 1 są trzema kolejnymi wyrazami ciągu
m

x
 2 dla x  0

Zad.549 Zbadaj ciągłość funkcji określonej wzorem: log 2 x dla x  0;2 
 2 3
 x  2 x dla x  2
Zad.550 Wiedząc, że
a) log23 = a i log52 = b oblicz log65
b) log2 = a oblicz log5 oraz log125
c) log122 = b oblicz log616
Zad.561 Udowodnij, że dla dowolnych dodatnich i różnych od jedności liczb a i n spełniona jest równość:
1
1
1
1


 ... 
 55 log n a .
log a n log a 2 n log a 3 n
log a n n
Zad.562 Wyznacz wszystkie liczby całkowite k, dla których funkcja f(x) = x 2 – 2k x + 2k + 1,25 przyjmuje wartości
dodatnie dla każdej liczby rzeczywistej x.
Mirosław Gil
47
Zadania z parametrem
Zad.563 Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie mx 2 – 3(m+1)x + m = 0 nie ma rozwiązań w
zbiorze liczb rzeczywistych.
Zad.564 Funkcja f przyporządkowuje każdej liczbie naturalnej n > 1 największą liczbę całkowitą spełniającą nierówność
x2 – 3nx + 2n2 < 0 o niewiadomej x. Wyznacz wzór funkcji f.
Zad.565 Zbiór A jest zbiorem tych wartości parametru m, dla których funkcja f(x) = (m – 1)x2 + x + m + 1 ma dwa różne
miejsca zerowe. Zbiór B jest zbiorem rozwiązań nierówności |2m + 3| > 2. Wyznacz
A  B oraz A – B.
Zad.566 Dana jest funkcja f(x) = ax + 4
a) Wyznacz a, dla której miejscem zerowym funkcji jest liczba –1.
b) Wyznacz wartość a, dla której prosta będąca wykresem funkcji f jest nachylona do osi OX pod kątem 600.
c) Wyznacz wartość a, dla której równanie f(x) = 2a + 4 ma nieskończenie wiele rozwiązań.
Zad.567 Dane jest równanie postaci a2x – 1 = x + a, w którym niewiadomą jest x. Zbadaj liczbę rozwiązań równania, w
zależności od parametru a.
Zad.568 Wyznacz liczbę rozwiązań równania ax + 49 = a 2 – 7x w zależności od parametru a.
Zad.569 Sporządź wykres funkcji
f ( x) 
x4
, a następnie korzystając z tego wykresu, wyznacz wszystkie wartości
x2
parametru k, dla których równanie f(x) = k, ma dwa rozwiązania, których iloczyn jest liczbą dodatnią.
Zad.570 Funkcja homograficzna f określona jest wzorem za parametrem p: f ( x ) 
Dla p = 1 zapisz wzór funkcji w postaci
f ( x)  k 
px  3
,
x p
pR i
p  3.
m
, gdzie k i m są liczbami rzeczywistymi. Wyznacz wszystkie
x 1
wartości parametru p, dla których w przedziale (p; +  ) funkcja f jest malejąca.
Zad.571 Dane są punkty A = (m; 1), B = (4; m), C = (5; 3), D = (2; 1). Wyznacz wartość parametru m, dla którego wektory
AB i CD są prostopadłe, a dla jakiej wartości są równoległe.
Zad.572 Dla jakiej wartości parametru m układ równań : 3x - (m - 1)y = 3 i mx - 2y = -2 jest nieoznaczony ? Podać
interpretację geometryczną tego układu w zależności od parametru m .
Zad.573 Dla jakich wartości α rozwiązaniem układu równań
liczb x , y spełniająca warunek x2+ y - 1 = 0 ?
x sin α -
Zad.574 a) Przeprowadź dyskusję istnienia i liczby rozwiązań układu równań : (sin α -1)x +y = 1oraz
(-2sinα)x + (2sinα +1)y =sin α, z niewiadomymi x,y w zależności od wartości parametru α  (0; 2π)
b) Dla jakich wartości α   0;2  rozwiązaniem układu jest para liczb ujemnych , a dla jakich α   0;2  rozwiązaniem
układu jest para liczb nieujemnych ?
Zad.575 Dla jakich wartości parametru m punkt przecięcia się prostych danych równaniami : x - y = m2 + 2m i
x + y = m2 - 4 należy do prostokąta o wierzchołkach :
A = ( 0;-4 ); B = ( 10;-4 ); C = ( 10;1 ); D = ( 0;1) ?
Zad.576 Para ( x;y ) jest rozwiązaniem układu równań x - y = -1 –m oraz 2x -y = 2m. Dla jakich wartości parametru m
punkt P = ( x;y ) należy do koła o promieniu r = 5 i środku w początku układu współrzędnych ?
Zad.577 Wiedząc, że wykres funkcji y = ax + b przechodzi przez punkt A=(6; 4), określ dla jakich wartości parametru a
wykresy funkcji y = │x – 2│+ 2 0raz y = ax + b nie mają punktów wspólnych.
Zad.578 Naszkicuj wykres funkcji y = x2 – 4│x│ – 5. Na podstawie wykresu podaj liczbę rozwiązań równania
x2 – 4│x│ – 5 = m w zależności od parametru m.
Mirosław Gil
48
Zad. 579 Rozwiąż układ równań (m + 1)x - my = 4 oraz 3x - 5y = m , w którym m jest parametrem, przeprowadź
dyskusję istnienia liczby rozwiązań. Dla jakich wartości parametru m rozwiązaniem układu jest para liczb x , y , że
x/y > 1 ?
Zad. 580 Dla jakich wartości α ,gdzie   0;2 , rozwiązaniem układu równań x - y = 1 oraz 2x - y = cos α jest para
liczb x i y taka, że x + y = - 2tgαctgα ?
Zad. 581 Dla jakich wartości parametru m rozwiązaniem układu : x + y = m i 3x - 2y = 2m -1 jest taka para liczb
(x ;y ) , że a) |x| < 0,5 i |y| < 0,5 b) |x|+ |y| < 1
Zad.582 Dane jest równanie (m + 1)x2 + (m + 1)x + 1 = 0 z niewiadomą x i parametrem m. Zbadaj liczbę rzeczywistych
rozwiązań danego równania w zależności od wartości parametru m, naszkicuj wykres funkcji f, gdzie

 2 x1  x 2  2 rozw.

f (m)    2 x0  m 1 rozw.
 1
m
brak rozw.

 3
Zad.583 Zbadaj liczbę rozwiązań układu równań w zależności od parametru m:
mx  3 y  3
 x  2y  p  0
 x  my  1
a)
b) 
c)
2
3 x  my  3
2 x  py  3  0
mx  y  m
mx  m 2 y  3m
f )
 mx  4 y  6
 mx  y  m
d )
2
 x  my  m
 4 x  3my  2
e) 
mx  3 y  1  0
Zad.584 Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których rozwiązania układu spełnia warunek
mx  4 y  cos 2 10 0  cos 2 1000  m

2 x  2 y  1

2x  m  5
 0 jest spełniona przez wszystkie liczby rzeczywiste x
Zad.585 Dla jakich wartości parametru m nierówność
3x  m  5
x > 0 i y < 0,
takie, że │x│<2.
Zad.586 Dla jakich wartości parametru m równanie x2 – (m + 3)x + m + 2 = 0 ma dwa różne pierwiastki?
Zad.587 Dobierz tak wartość parametru m, aby wykresy funkcji f(x) = x2 + mx – 1 i g(x) = – 2x + 3 przecinały się w
punkcie o odciętej x = 1. Dla wyznaczonej wartości parametru m określ przedział, w którym wartości funkcji f są mniejsze
od wartości funkcji g.
Zad.588 Dla jakich wartości parametru b równanie y = 0,5x2 – bx + 2 opisuje parabolę, dla której wierzchołek leży nad osią
odciętych?
Zad.589 Wykaż, że dla m=3 nierówność x2 + (2m – 3)x + 2m + 5 > 0 jest spełniona przez wszystkie liczby rzeczywiste x.
Zad.590 Pewną parabolę y = ax2 + bx + c przesunięto o wektor
Znajdź a,b,c.

v  3;5 i otrzymano parabolę y = 2(x – 1)2 + 4.
Zad.591 Jednym z miejsc zerowych funkcji kwadratowej f jest liczba 5, maksymalny przedział, w którym funkcja jest
malejąca to <2; ∞). Największa wartość funkcji w przedziale < –8; –7> jest równa (–24). Wyznacz wzór funkcji i narysuj
jej wykres.
Zad.592 Dla jakich wartości parametru m równanie m sinx + 2 = 2m – 4 ma rozwiązania? (odp. <2;6> )
Mirosław Gil
49
Zad.593 Dla jakich wartości parametru m równanie ( 2m 2 + m - 1 )x2 + ( 5-m )x - 6 = 0 ma dwa różne pierwiastki
jednakowych znaków .
Zad.594 Dla jakich wartości parametru m rzeczywiste pierwiastki równania 2x 2 - ( m-1 )x + m+ 1 = 0 są liczbami
ujemnymi ?
Zad.595 Dla jakich wartości parametru m suma kwadratów dwóch różnych pierwiastków równania
x2 +(m – 5)x + m – 7 = 0 jest najmniejsza?
Zad.596 Dla jakich wartości parametru m równanie -x2 + mx - m2 + 2m - 1 = 0 ma dwa rzeczywiste pierwiastki takie, że
ich suma jest o 1 większa od iloczynu ?
Zad.597 Dla jakich wartości parametru α z przedziału < 0;2π > istnieją dwa różne pierwiastki x 1 i x2 równania
x2 - ( sinα- 1 )x + sin2α - 1 = 0 spełniające warunki : x1+x2 > -1 x1 x2 < 0 ?
Zad.598 Funkcja f (x)= x2 - px + q ma dwa miejsca zerowe , których suma kwadratów równa się 15. Dla x = -5 funkcja
przyjmuje wartość 5. Jaka jest najmniejsza wartość funkcji f ?
Zad.599 Dla jakich wartości parametru m pierwiastki x1 i x2
x12 + x22 = 2 ( x1 + x2 ) ?
równania x2 + mx + 4 = 0 spełniają warunek
Zad.600 Dla jakiej wartości parametru k suma kwadratów pierwiastków równania x2 + ( k -3 )x +k - 5 = 0 jest
najmniejsza ?
Zad.601 Zbadaj, dla jakich wartości m równanie ( m -2 )x4 -2 ( m + 3 )x2 + m + 1=0 ma cztery różne pierwiastki ?
Zad.602 Dla jakich wartości parametru t pierwiastki równania
cosinusowi tego samego kąta ostrego ?
x2 + 1/ t x + t2 = 0 są odpowiednio równe sinusowi i
Zad.603 Dane jest równanie x2 - ( m + 1 )x + 1,2 m = 0
a) Dla jakich m jeden pierwiastek tego równania jest równy sinusowi , a drugi cosinusowi tego samego kąta ostrego ?
b) Przy wyznaczonym m podaj miarę kąta ostrego spełniającego warunek zadania .
Zad.604 Dla jakich wartości parametru m pierwiastki rzeczywiste równania x 2 + 5mx + m2 + m +3 = 0 spełniają
warunek x12 + x22  3x1x2 ?
Zad.605 Dla jakich wartości parametru m suma odwrotności pierwiastków równania
x2 + ( 2-3m )x + 2m2 - 5m -3 = 0 mają wartość ujemną ?
Zad.606 Dla jakich wartości parametru m pierwiastki równania ( 2m + 1 )x2 - ( m + 3 )x + 2m + 1 = 0 spełniają warunek
x1-1 + x2-1 > 1 ?
Zad.607 Dana jest funkcja f(x)=x2 +(3m-2)x+m+2.
a)Dla jakich wartości m najmniejsza wartość funkcji f jest większa od 1?
b)Dla jakich wartości parametru m suma kwadratów pierwiastków równania f(x)=0 jest niewiększa od 8?
c)Dla m=-2 wyznaczyć zbiór wartości funkcji f oraz sporządzić wykres funkcji y=f(x).
Zad.608 Dana jest funkcja kwadratowa f(x)=x2-2kx+k2-1.
a) Dla k=1 rozwiązać algebraicznie i graficznie nierówność f(x)-|x| 0.
b) Suma kwadratów pierwiastków równania f(x)=0 jest równa 100. Obliczyć k.
c) Wyznaczyć wszystkie wartości parametru k, dla których funkcja f ma dwa miejsca zerowe należące do przedziału (-2;4).
Zad.609 Dana jest funkcja f(x)=x2+kx+9-k
a) Dla k=0 wyznaczyć najmniejszą `wartość funkcji g(x)=f(f(x)).
b) Wyznaczyć wszystkie wartości parametru k, dla których wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji f leży ponad
osią odciętych
c) Suma kwadratów pierwiastków równania f(x)=0 równa się 6. Wyznaczyć wartość parametru k.
Mirosław Gil
50
Zad.610 Dana jest funkcja f(x)=(a+1)x2 +2(a+1)x+3-a2
a)Dla a=2, bez obliczania pierwiastków, obliczyć sumę ich kwadratów.
b)Wyznaczyć zbiór wszystkich wartości parametru a, dla których funkcja ta ma miejsce zerowe.
c)Wyznacz zbiór wszystkich wartości parametru a, dla których funkcja f jest dodatnia w całej dziedzinie.
Zad.611 Dana jest funkcja f (x) = ( x –a ) 2 [a ( x – a )2 -a – 1 ].
a) Dla a = 2 rozwiązać równanie f ( x) =2.
b) Dla a = - 1 rozwiązać nierówność f(x) <-1.
Zad.612 Znaleźć wszystkie wartości parametru p, dla których równanie px4 – 4x2 + p + 1 = 0.ma dwa różne rozwiązania.
Zad.613 Dany jest układ równań
z parametrem p  R.
y  p ( x  5)

2
 2
2
2
2
 x  y  10 x  y  9  0




Podaj interpretację geometryczną tego układu oraz liczbę rozwiązań układu w zależności od parametru p.
Zad.614 Dana jest funkcja f(x) = (m – 2)x2 + 2mx + 4m – 1 .
a) Wyznaczyć zbiór wartości funkcji f wiedząc, że prosta o równaniu x = -2 jest osią symetrii jej wykresu
b) Stosując wzory Viete’a oblicz sumę sześcianów pierwiastków równania f(x) = 0 wiedząc, że suma tych
pierwiastków równa się 2/3.
Zad.615 Napisz równanie stycznej do paraboli : a) y2 = 8x i przechodzącej przez punkt A(-2;0)
b) y2 = 8x i równoległej do prostej x + y – 5 = 0
Zad.616 Znaleźć równanie stycznej do elipsy : a) 9x2 + 16y2 = 144 i równoległej do prostej x + y = 1
b) 18x2 + 32y2 = 576 w punkcie M = (4;3)
Zad.617 Napisz równanie stycznej do hiperboli :
a) 4x2 - y2 = 36 i prostopadłej do prostej 2x + 5y – 11 = 0
b) 4x2 - y2 = 4 i przechodzącej przez punkt A(1;4)
Zad.618 Napisz równanie stycznej do paraboli :
a) y2 = 36x i przechodzącej przez punkt A(0;3)
b) y2 = 16x i prostopadłej do prostej x + 2y – 15 = 0
Zad.619 Wyznaczyć wszystkie wartości parametru rzeczywistego m, dla których osią symetrii wykresu funkcji
p(x) = (m2 – 2m)x2 – (2m – 4)x +3 jest prosta x = m. Wykonać rysunek.
Zad.620 Rozwiąż graficznie i algebraicznie układy równań:
 x 2  y 2  25  x 2  y 2  4
x  y  2


 2
2
 xy  48
 2 xy  24
x  y  0
 x 2   y  1 2  8
 xy  24
x  y 4



x  y 1

 x  y  10
 xy  3
 x  y  1  x 2  xy  y 2  7
nie rysowa ć
 2
 2
2
2
 x  y  1 2 x  xy  y  5
 y  x2 1
2 x 2  3 x  y  5
 2

2
x  y  1
 2x  5  y
Zad.621 Znaleźć punkt należący do paraboli y2 = 4x, którego odległość od prostej 2x – y + 4 = 0 jest najmniejsza. Oblicz
tę odległość, a następnie napisać równanie stycznej do tej paraboli, prostopadłej do danej prostej. Wykonać rysunek.
Zad.622 Rozwiąż układ równań, podaj interpretację geometryczną tego układu i wykonaj odpowiedni rysunek
 x 2  y 2  50

x  2  y  2   9
Zad.623 Napisz równanie stycznej do paraboli y2 = 6x w punkcie (6;-6)
Mirosław Gil
51
Zad.624 W układzie współrzędnych dana jest prosta l o równaniu 2x + y + 1 = 0 oraz dwa punkty
A = (1; 0) i B = (-1; 2).
a) Na symetralnej odcinka AB znaleźć taki punkt C, którego suma odległości od punktów A i B wynosi 210.
b) Wyznaczyć współrzędna punktu D należącego do prostej l tak, aby pole trójkąta ABD było równe 4.
c) Obliczyć długość promienia okręgu stycznego do osi odciętych w punkcie A i stycznego do prostej l .
(odp. do punktu c :
r


3 5 1
4
lub r 


3 5 1
)
4
Zad.625 Dany jest punkt A = (1; -3) Z punktu A poprowadzono styczną do okręgu o równaniu
x2 + y2 + 6x – 8y = 0.
a) Oblicz odległość punktu A od punktu styczności.
b) Dany jest punkt E = (2; 2) oraz punkt F, który leży na prostej o równaniu 2x + y – 2 = 0. Pole trójkąta AEF jest
równe 8. Oblicz współrzędne punktu F.
c) Wiedząc, że prosta 2x – y = 0 zawiera jedną z przekątnych kwadratu ABCD, wyznaczyć współrzędne
wierzchołków B, C i D tego kwadratu.
Zad.626 Zbadaj jakie jest położenie prostej 2x – y – 9 = 0 względem elipsy 12x2 + 36y2 = 432
Zad.627 Wyznacz zbiór wartości funkcji
a)
b)
f ( x)  3 x 2  2 x  4 dla x   1;2
f ( x)  log 1 (sin x)
c)
x   1;2
  
f ( x)  3 dla x    ; 
 4 2
2x2  6x  1
f ( x) 
2x2  4
2
2
f ( x)  32  x dla
tgx
d)
e)
Zad.628 Dane są: punkt A = (3; -2), punkt B = (-1; 0) i prosta k o równaniu x – y + 1 = 0
a) Oblicz cosinus kąta, jaki tworzy prosta k z prostą AB
b) Czy na prostej k istnieją punkty P takie, że trójkąt ABP jest prostokątny ?
c) Oblicz współrzędne wierzchołków C i D czworokąta ABCD wpisanego w okrąg, dla którego prosta k jest osią
symetrii.
Zad.629 Wyznacz zbiór wartości funkcji
a)
b)
c)
d)
e)
f ( x)  2 x 2  4 x  5 dla x   2;3
f ( x)  log 2 (cos x)
f ( x)  41 2 x dla x   1;2
  
f ( x)  3ctgx dla x   ; 
4 2
x2  x  1
f ( x) 
x2  1
Zad.630 Dana jest funkcja f(x) = x3 – (m – 2)x + 2.
a) Dla m = 3 wyznaczyć zbiór wszystkich liczb całkowitych ujemnych spełniających nierówność
b) f(x)  2x2 + 4x – 8.
c) Dla m = 1 rozwiązać równanie f(x) = 8(x + 1).
d) Zbadać liczbę pierwiastków równania f(x) = 0 w zależności od parametru m.(pochodna)
 a 2 x  8 y  12a
Zad.631 Dany jest układ równań 
. Dla jakich wartości parametru a rozwiązanie
a  1x  2 y  3
(x; y) tego układu spełnia warunek x + y > 0 i a  C. Dla a = -2 rozwiąż ten układ graficznie i algebraicznie.
Mirosław Gil
52
Zad.632 Dla jakich wartości parametru m nierówność x2 – 2(m + 1)x + 2m2 + 3m – 1 > 0 jest prawdziwa dla każdej liczby
rzeczywistej x ? (odp. m<-2 lub m>1)
Zad.633 Dla jakich wartości parametru m nierówność
3
rzeczywistej x ? (odp. (-3;2))
x 2  mx  2
 2 jest prawdziwa dla każdej liczby
x2  x  1
Zad.634 Dla jakich wartości parametru m równanie (m + 1)x2 – 4mx + m + 1 = 0 ma dwa różne pierwiastki dodatnie?
(odp. m<-1 lub m>1)
Zad.635 Dla jakich wartości parametru m równanie 4mx2 – 4(1 – 2m)x + 9m – 8 = 0 ma dwa pierwiastki o jednakowych
znakach? (odp.<-0,2;0) lub (1/3; 1>)
Zad.636 Dla jakich wartości parametru m dwa różne pierwiastki rzeczywiste równania
x2 – 2mx + m2 – 1 = 0 należą do przedziału (–2; 4)? (odp. (-1;3))
Zad.637 Dla jakich wartości parametru m równanie x2 + (2m + 6)x + 4m + 12 = 0 ma dwa pierwiastki większe od ( –1)?
(odp. nie ma takiego m)
Zad.638 Dla jakich wartości parametru m liczba 2 leży między pierwiastkami równania
x2 + 4mx + 3m2 = 0? (odp. (-2; -2/3))
x m
1
 
 2 ma dwa różne pierwiastki spełniające warunek
m x mx
 1  17   1  17 
x1  x2
  1;

 4 ?(odp. m    1;
 

x1 x2
4
4

 

Zad.639 Dla jakich wartości parametru m równanie
Zad.640 Dla jakich wartości parametru m kwadrat różnicy pierwiastków równania x 2 + mx + 45 = 0 jest równy 144?
Znajdź te pierwiastki. (odp. m= –18, x1=3, x2=15 lub m=18, x1= –3, x2= –15)
Zad.641 Dla jakich wartości parametru m suma sześcianów pierwiastków równania
x 2  3x 
2m
 8 35 
 0 jest większa od (–9)? (odp. m   ;  ).
m3
 3 13 
Zad.642 Dla jakich m równanie x2 + (3m – 2)x = – m – 2 na dwa różne pierwiastki, których suma odwrotności jest
dodatnia?
Zad.643 Dane jest równanie x2 + bx + c = 0 z niewiadomą x. Wyznacz wartości b i c tak, aby były one rozwiązaniami
danego równania.
Zad.644 Dane jest równanie x2 + mx + m – 1 = 0 z niewiadomą x. Uzasadnij, że dla każdej liczby całkowitej m wszystkie
rozwiązania tego równania są liczbami całkowitymi.
Zad.645 Dany jest trójmian kwadratowy
m  2x 2  x
1
10  m  1 . Przedstaw iloczyn dwóch różnych pierwiastków
2
tego trójmianu jako funkcję zmiennej m. Narysuj wykres tej funkcji i podaj jej zbiór wartości.
(odp.
f ( m) 
0,5m  1
; m   3;3  {2}
m2
Zad.646 Funkcja f(m) przyporządkowuje każdej wartości parametru m liczbę rozwiązań równania
(m – 2)x2 + 2(2m – 3)x + 5m – 6 = 0. Podaj wzór funkcji f(m) i narysuj jej wykres.
0 m   ;1  3;  

m  {1;2;3}
(odp. k ( m)  1
)
2
m  1;3  {2}

Mirosław Gil
53
Zad.647 Przedział
2
 3 
  ;0  jest zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności  m z niewiadomą x. Oblicz m.
x
 2 
Zad.648 Znajdź liczbę x, która spełnia jednocześnie równanie
 a  xa  x   a
x 3  lim
x
x3 > x.
2
i nierówność
Zad.649 Wyznacz wartość α, dla których równanie x 2 + 2x sinα – cos2α = 0 ma dwa różne rozwiązania, których suma
sześcianów jest równa 0. (odp. α=kπ)
Mirosław Gil
54
Zbiory punktów
Zad.650 Znaleźć równania dwusiecznych kąta pomiędzy prostymi x + y – 4 = 0 oraz 7x – y – 7 = 0.
(odp. 2x – 6y + 13 = 0 lub 12x + 4y + 27 = 0)
Zad.651 Znaleźć zbiór środków okręgów stycznych zewnętrznie do okręgu x2 + y2 = 4 i równocześnie stycznych do prostej
y + 2 = 0.
Zad.652 Znaleźć równanie zbioru punktów, których odległość od punktu F(3;0) jest równa odległości od prostej o
równaniu x + 3 = 0. Narysuj tą krzywą. (odp. y2 = 12x)
Zad.653 Znaleźć zbiór środków wszystkich okręgów stycznych do osi odciętych i do okręgu x2 + y2 = 9.
(odp.
y
1 2 3
x  ;
6
2
1
3
y   x2  ;
6
2
y  0)
Zad.654 Napisać równanie linii będącej zbiorem wszystkich punktów (x;y), których odległości od okręgu
x2 + y2 = 8x i od punktu M(6;0) są równe. Narysuj tę linię.
Zad.655 Znajdź zbiór punktów, dla których stosunek odległości od A(-2;0) i B(2;0) jest równy √3.
Zad.656 Znaleźć zbiór środków wszystkich cięciw okręgu x2 + y2 = 9 przechodzących przez punkt A(0;-1).
Zad.657 Znaleźć równanie zbioru punktów, których suma kwadratów odległości od punktów A(2;0) i B(0;2) jest równa
kwadratowi odległości między punktami A i B.
Zad.658 Znaleźć zbiór środków okręgów stycznych zewnętrznie do okręgu (x – 2)2 + y2 = 4 i równocześnie stycznych do
prostej osi OX.
Zad.659 Znaleźć równanie zbioru punktów, których stosunek odległości od punktu A(2;0) i od prostej
x = 8 wynosi 0,5.
Zad.660 Znaleźć równanie zbioru punktów, których suma odległości od danych punktów A(-3;0) i B(3;0) jest równa 10.
Zad.661 Znaleźć zbiór środków wszystkich okręgów stycznych zewnętrznie do okręgu x 2 + y2 +4y – 60 = 0 i jednocześnie
stycznych do prostej y = -6. Sporządź rysunek.
Zad.662 Znaleźć zbiór środków wszystkich cięciw elipsy 4x2 + 9y2 = 36 przechodzących przez punkt A(0;2).
Zad.663 Znaleźć równanie linii, której każdy punkt jest jednakowo odległy od osi OX i punktu P(2;4).
Zad.664 Znaleźć równanie zbioru punktów, których suma kwadratów odległości od punktów A(-3;0) i B(3;0) jest równa
50.
Mirosław Gil
55
Ciągi liczbowe
1
; 1 są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego.
1 2
Zad.665 Sprawdź, czy liczby
8  1;
Zad.666 Sprawdź, czy liczby
5  3 ; 2;
Zad.667 Wyznacz wszystkie wyrazy ciągu
(a1; x; a2) jest ciągiem geometrycznym.
an 
5  3 są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego.
7n  11
mniejsze od 1. Sprawdź, czy istnieje taka liczba x, że
2n  3
Zad. Liczby x, y, 19 w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny, przy czym x + y = 8. Oblicz x i y. (odp. x=-1; y=9).
Zad.668 Dany jest ciąg geometryczny, a którym a1 = 12, a3 = 27.
a) Ile jest ciągów spełniających podane warunki? Odpowiedź uzasadnij.
b) Oblicz wyraz a6 tego ciągu, który jest rosnący. Wynik podaj w postaci ułamka dziesiętnego.
Zad.669 Pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego wynosi 25, a drugi 22. Wyznacz wzór na sumę n początkowych wyrazów
tego ciągu. Ile początkowych wyrazów ciągu trzeba wziąć, aby otrzymać możliwie największą sumę? Ile wynosi ta suma?
Zad.670 Herszt zbójców dzieli złote monety pomiędzy siebie i pięciu kompanów. Najpierw każdemu daje po jednej i sobie
bierze jedną. W następnej kolejce znów daje każdemu po jednej, a dla siebie bierze dwie. W następnej kolejce znowu
każdemu po jednej, a sobie trzy, itd. Po kilku następnych kolejkach monety kończą się. Herszt zebrał w sumie połowę
wszystkich monet. Ile monet było do podziału?
a) (2x + 1) + (2x + 4) + (2x + 7)+…+(2x + 28) = 155.
b) 20 + 14 + 8 + … + x = –110
Zad.672 Sprawdź, że szereg
1  3   1  3   1  3   ... jest zbieżny i oblicz jego sumę.
Zad.673 Dla jakich a szereg
a  5  1 
2
3
4
1
1

 ... jest zbieżny?
a  5 a  52
Zad.674 Dany jest ciąg (an) określony wzorem an = 2n2 + 2n – 3. Między którymi kolejnymi wyrazami tego ciągu różnica
wynosi 48?
Zad.675 Sprawdź, który z podanych niżej sposobów przyznawania kieszonkowego jest korzystniejszy w skali roku.
Sposób I: W styczniu dostajesz 50zł, co miesiąc kieszonkowe wzrasta o tę samą kwotę tak, że w grudniu otrzymasz 200zł
kieszonkowego.
Sposób II: w styczniu dostajesz 0,50zł i co miesiąc kwota się podwaja.
Zad.676 poufną wiadomość zna 8 osób. Zakładając, że co kwadrans od każdego z wtajemniczonych osób wiadomość
poznają nowe dwie osoby, oblicz:
a) ile co najmniej kwadransów potrzeba, aby poufną znajomość znało ponad 1000 osób?
b) w którym kwadransie poufną wiadomość poznają dokładnie 8192 nowe osoby?
Zad.677 Znajdź taką liczbę całkowitą m, dla której szereg (m – 7) + (m – 7)2 +(m – 7)3 +… jest zbieżny i oblicz jego sumę
dla tej liczby.
Zad.678 Dany jest ciąg określony wzorem
an   1
n
2n
. Oblicz a2 i a5.
n2
Zad.679 Liczbę naturalną tn nazywamy n-tą liczbą trójkątną, jeżeli jest ona sumą n kolejnych początkowych liczb
naturalnych. Liczbami trójkątnymi są zatem liczby: t1 = 1; t2 = 1 + 2 = 3; t3 = 1 + 2 + 3 = 6,
t4 = 1 + 2 + 3 + 4 = 10.
a) Stosując tą definicję wyznacz liczbę t17.
b) Ułóż odpowiednie równanie i zbadaj, czy liczba 7627 jest liczbą trójkątną.
c) Wyznacz największą czterocyfrową liczbę trójkątną.
Mirosław Gil
56
Zad.680 Dany jest ciąg (an), gdzie a n 
ciągu.
5n  6
dla każdej liczby naturalnej n U>U 1. Zbadaj monotoniczność tego
10n  1
Zad.681 Dany jest rosnący ciąg geometryczny, w którym a1 = 12, a3 = 27.Wyznacz iloraz tego ciągu. Zapisz wzór, na
podstawie którego można obliczyć wyraz an. Oblicz wyraz a6.
Zad.682 Zauważ, że
12 = 1
22 = 1 + 2 + 1
32 = 1 + 2 + 3 + 2 + 1
Stosując wzór na sumę kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego uzasadnij, że
n2 = 1 + 2 + 3 +...+ (n – 1) + n + (n – 1) + ...+ 3 + 2 + 1.
Zad.683 Dany jest ciąg (an) o wyrazie ogólnym
an 
5  3n
, n = 1,2,3,...
7
sprawdź na podstawie definicji, czy ciąg jest ciągiem arytmetycznym. Oblicz, dla jakiej wartości x liczby
a4, x2 + 2, a11 są kolejnymi wyrazami tego samego ciągu geometrycznego
Zad.684 Nieskończony ciąg liczbowy (an) jest określony wzorem an = 4n – 31 , n = 1,2,3,... .Wyrazy ak, ak+1, ak+2 danego
ciągu powiększono odpowiednio o 1, o 3 i o 23. W ten sposób otrzymano trzy pierwsze wyrazy pewnego ciągu
geometrycznego. Wyznacz k oraz czwarty wyraz ciągu geometrycznego.
Zad.685 Pożyczkę w wysokości 8700 zł zaciągniętą w banku należy spłacić w 12 ratach, z których każda następna jest
mniejsza od poprzedniej o 50 zł. Oblicz wysokość pierwszej i ostatniej raty.
Zad.686 Ciąg (an) określony jest wzorem an = n3 – 10n2 + 31n – 30. Wiedząc, że a2 = 0 wyznacz wszystkie pozostałe
wyrazy tego ciągu równe zero.
Zad.687 Wszystkie liczby naturalne dwucyfrowe, podzielne przez 6 są kolejnymi wyrazami pewnego ciągu rosnącego.
Wykaż, że jest to ciąg arytmetyczny, zapisz wzór ogólny na n-ty wyraz tego ciągu. Oblicz ile wyrazów ma ten ciąg, oblicz
sumę piętnastu początkowych wyrazów tego ciągu.
Zad.688 Ania przeczytała książkę w ciągu 13 dni., przy czym każdego dnia czytała o taką samą liczbę stron więcej niż w
dniu poprzednim. Ile stron miała ta książka, jeżeli wiadomo, że w trzecim dniu przeczytała 28 stron, a w ostatnim 68?
Zad.689 Dziesiąty wyraz pewnego ciągu geometrycznego równa się 10. Oblicz iloczyn dziewiętnastu początkowych,
kolejnych wyrazów tego ciągu.
Zad.690 Suma n początkowych, kolejnych wyrazów ciągu (an) jest obliczana ze wzoru Sn = n2 + 3n, n  N+.
Wyznacz an . Wykaż, że ciąg ten jest ciągiem arytmetycznym.
Zad.691 W konkursie przyznano nagrody na łączną kwotę 12400zł. Najwyższa nagroda wynosiła 6400zł, a najniższa
400zł. Wiadomo ponadto, że iloraz wartości dowolnych dwóch kolejnych nagród był taki sam. Ile nagród przyznano?
Zad.692 Ciąg liczbowy (an) jest określony dla każdej liczby naturalnej n > 1wzorem an = (n – 3)(2 – p2), p  R.
a) Wykaż, że jest to ciąg arytmetyczny. Dla p = 2 oblicz sumę a 20 + a21 + a22 +...+a40
b) Wyznacz wszystkie wartości p, dla których ciąg (bn ) określony wzorem bn = an – pn jest stały.
Zad.693 Nieskończony ciąg liczbowy (an) jest określony wzorem
an  2 
1
, n = 1,2,3,... .
n
a) Oblicz ile wyrazów tego ciągu jest mniejszych od 1,975.
b) Dla pewnej liczby x trzywyrazowy ciąg (a2; a7; x) jest arytmetyczny. Oblicz x.
Zad.694 Dany jest ciąg (an),w którym suma n początkowych wyrazów wyraża się wzorem Sn = –n2 + 13n
wykaż, że jest to ciąg arytmetyczny. Oblicz a 2007. Oblicz a20 + a21 + a22 + ... + a100. Wyznacz liczbę n, dla której an = 0
Zad.695 Dany jest rosnący ciąg geometryczny w którym a1 = x; a2 = 14 i a3 = y. Oblicz x i y, jeżeli wiadomo,
że x + y = 35.
Mirosław Gil
57
Zad.696 Dany jest ciąg (an),w którym suma n początkowych wyrazów wyraża się wzorem Sn = 2n2 + n
wykaż, że jest to ciąg arytmetyczny. Oblicz sumę 50 początkowych wyrazów tego ciągu o numerach parzystych a 2 + a4 +
a6 + ... + a100 .
Zad.697 Dany jest rosnący ciąg geometryczny (an), w którym a1 = 6, a3 = 24. Wyznacz wzór na n-ty wyraz tego ciągu.
Oblicz x, jeżeli wiadomo, że liczby a2 + 1; 0,25a5; 3x + 2 tworzą ciąg arytmetyczny.
Zad.698 Wykaż, że jeśli długości kolejnych boków czworokąta opisanego na okręgu tworzą ciąg arytmetyczny, to ten
czworokąt jest rombem.
Zad.699 Wyznacz wszystkie wartości k  R, dla których pierwiastki wielomianu W(x) = (x2 – 8x + 12)(x – k)są trzema
kolejnymi wyrazami rosnącego ciągu geometrycznego.
Zad.700 W ciągu arytmetycznym suma wyrazu czwartego i ósmego wynosi 12, a wyraz ósmy jest o 6 większy od wyrazu
piątego. Wyznacz wzór na n-ty wyraz tego ciągu. Oblicz sumę a22 + a23 + a24 +...+ a42.
Zad.701 Wykaż, że ciąg określony wzorem an = 8·2-n jest ciągiem geometrycznym.
Zad.702 Określ, które wyrazy ciągu opisanego wzorem
an 
2n
są niemniejsze od 0,375.
2n  10
Zad.703 Uczeń przygotowujący się do matury rozwiązał w ciągu tygodnia 3 zadania. W każdym następnym tygodniu
rozwiąże o 2 zadania więcej niż w poprzednim. Po ilu tygodniach liczba rozwiązanych zadań przekroczy 1000?
Zad.704 Wykaż, że jeżeli ciąg (an) jest nieskończonym ciągiem arytmetycznym, to ciąg (b n) o wyrazie ogólnym
bn = an +2an+1 + 4an+2 też jest ciągiem arytmetycznym.
Zad.705 Jedno z rozwiązań równania (ax – b)(cx + 1) = 0 z niewiadomą x wynosi 4. Liczby a, b, c tworzą ciąg
arytmetyczny, którym pierwszy wyraz jest o 6 większy od trzeciego. Znajdź drugie rozwiązanie tego równania.
Zad.706 Pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego wynosi 30, różnica r = -3, a ostatni wyraz stanowi 0,125 sumy wszystkich
poprzednich wyrazów. Znajdź liczbę wyrazów i sumę wyrazów tego ciągu. Oblicz n, dla których suma n początkowych
wyrazów ciągu jest dodatnia
Zad.707 Wyrazy nieskończonego ciągu arytmetycznego (a n) spełniają warunki a5 – a3 = 6 i a8 = 26.
wyznacz wzór na n-ty wyraz ciągu. Rozwiąż równanie Sn – S10 = 485. Wyznacz k, dla których wyrazy a k, ak+4, a8k w
podanej kolejności są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego.
Zad.708 Iloczyn piątego i jedenastego wyrazu ciągu geometrycznego jest równy 4. Oblicz iloczyn piętnastu początkowych
kolejnych wyrazów tego ciągu.
Zad.709 Liczby
2
9; 3 x1 ; 3 x są trzema kolejnymi wyrazami malejącego ciągu geometrycznego. Oblicz x.
Zad.710 Wyraz ogólny ciągu (an) dany jest wzorem
an 
2n  7
n 1
a) Który wyraz ciągu (an) równa się 177/80?
b) Ile wyrazów danego ciągu należy do przedziału ( 9/5; 19/10 ) ?
c) Na podstawie definicji wykazać, że granicą ciągu (an) jest liczba 2.
Zad.711 Dana jest funkcja f (x)= 4-3x
a) Wykazać , że ciąg f (1), f(3), f (5),...,f(2n-1)...gdzie n  N  jest ciągiem arytmetycznym. Zbadać monotonność tego
ciągu.
b)Wyznaczyć współczynniki a i b funkcji y = ax +b, tak aby ciąg f(1), f(3), f(5),...,f(2n-1)...był ciągiem arytmetycznym o
wyrazie pierwszym a1=5 i różnicy r=4
c)Dla jakich wartości x nieskończony ciąg geometryczny o wyrazach 1, (4 -3x)2, (4 -3x)4, (4 -3x)6... jest zbieżny?
Zad.712 Dany jest ciąg opisany wzorem an = 3n-28.
a)Wykazać, że (an) jest ciągiem arytmetycznym i obliczyć sumę wszystkich ujemnych wyrazów tego ciągu.
b)Ile wyrazów tego ciągu należy do przedziału <-12,110) .
c)Dla jakiej wartości n wyrazy an , an+1,an+2 danego ciągu powiększone odpowiednio o 1, 4 i 19 utworzą kolejne
wyrazy ciągu geometrycznego?
Mirosław Gil
58
Zad.713 Dany jest ciąg (an) o wyrazie ogólnym an= 5 + ( n-1)(k-k2 ), gdzie k jest parametrem.
a)Wykazać ,że (an) jest ciągiem arytmetycznym. Dla jakich wartości k jest on malejący?
b) dla k = 2 obliczyć sumę wyrazów od dwudziestego do trzydziestego włącznie.
c) wiadomo , że liczba wyrazów ciągu (an) jest równa 100 i k = 0,5. Dla jakiej wartości m stosunek wyrazu stojącego na
miejscu m licząc od początku, do wyrazu stojącego na miejscu m licząc od końca tego ciągu jest równy
30
.
109
Zad.714Trzy kolejne początkowe wyrazy ciągu arytmetycznego (an) spełniają warunek a1 + a2 + a3 =6.
a) Wyznaczyć ogólny wyraz takiego ciągu, w którym a1  a2 a3 = -10.
b) Jeżeli do pierwszego wyrazu ciągu (an) dodamy liczbę 5, a do drugiego i trzeciego wyrazu liczbę 1, to otrzymamy
trzy liczby tworzące ciąg geometryczny. Wyznaczyć liczby tworzące ciąg geometryczny.
c) Wiedząc, że S10 – S7 = 69 ,gdzie Sn oznacza sumę częściową ciągu (an) .Obliczyć a5 + a6.
Zad.715 Wszystkie wyrazy ciągu geometrycznego (bn) są dodatnie i spełniony jest warunek
2b1 - b2 = b12 + b22.
a) Wyznacz iloraz tego ciągu tak, aby suma jego czterech pierwszych wyrazów była największa. Oblicz tę
największą sumę.
b) Wyrazy a1, ..., a10 pewnego nieskończonego ciągu (an) spełniają warunki:
a1 + a3 + a5 + a7 + a9 = 20,
a2 + a4 + a6 + a8 + a10 = 15.
Wiedząc, że nieskończony ciąg (bn) określony wzorem
wyrazów ciągu bn.
bn  4 3an  5 jest ciągiem geometrycznym. Oblicz sumę wszystkich
Zad.716 O ciągu (xn) dla n ≥ 1 wiadomo, że:
a) ciąg (an) określony wzorem
b) x1+ x2 + x3+…+ x10 = 145
Oblicz x1 . (odp. 1)
an  3x n dla n ≥ 1jest geometryczny o ilorazie q = 27
Zad.717 Ciąg (4; x; y) jest ciągiem geometrycznym malejącym. Ciąg (y; x + 1; 5) jest ciągiem arytmetycznym. Wyznacz x.
Zad.718 W ciągu arytmetycznym suma 100 początkowych wyrazów o numerach nieparzystych jest równa 1000, a suma
100 początkowych wyrazów o numerach parzystych jest równa 800.Wyznacz wyraz pierwszy i różnicę tego ciągu.
Zad.719 Długości boków trójkąta są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Obwód tego trójkąta jest równy 21, zaś
cosinus największego kąta w tym trójkącie wynosi -1/10. Wyznacz długości boków tego trójkąta.
Zad.720 Wyznacz największą liczbę naturalną p, dla której ciąg (an) dany wzorem
an 
pn 3
jest malejący.
n 1
Zad.721 Pierwszy wyraz nieskończonego ciągu geometrycznego (an) jest równy 8. Wyznacz iloraz tego ciągu wiedząc, że
ciąg (8; a2 + 1; a3) jest malejącym ciągiem arytmetycznym.
a) Wyznacz wyrazy ciągu (an), które mają wartość większą niż :
2
2
 4  7  4  7 


Zad.722 Suma n początkowych wyrazów ciągu liczbowego (an) określona jest wzorem Sn = 2n2 – 14n (n  N +)
obliczyć trzydziesty pierwszy wyraz ciągu (an)
a) Na podstawie definicji wykazać, że (an) jest ciągiem arytmetycznym
b) Wyznaczyć trzy kolejne wyrazy tego ciągu, spełniające warunek : kwadrat środkowego wyrazu jest o 48 mniejszy
od różnicy kwadratów wyrazów z nim sąsiadujących.
Zad.723 Suma czterech początkowych wyrazów rosnącego nieskończonego ciągu arytmetycznego (an) równa się 0, zaś
suma kwadratów tych czterech wyrazów wynosi 80. Wyznacz wzór na wyraz ogólny ciągu (an).
Zad.724 Różne od zera liczby a, b, c, d są kolejnymi początkowymi wyrazami pewnego ciągu geometrycznego.
a) Obliczyć iloraz tego ciągu wiedząc, że suma drugiego i czwartego wyrazu jest trzy razy większa od sumy pierwszego i
trzeciego
wyrazu.
b) Dla a=9 i b=3 obliczyć sumę logarytmów o podstawie 3 dziesięciu początkowych kolejnych wyrazów danego ciągu.
c) Obliczyć a, b, c, d, jeśli a+b+c=26, zaś liczby a+2, b+4 i c-2 w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny.
Mirosław Gil
59
Zad.725 Dany jest ciąg arytmetyczny (an), w którym a1=3 i r=5.
a) Suma pewnych trzech kolejnych wyrazów ciągu (an) jest równa 354. które to wyrazy?
b) Liczby b1=an-2, b2=an-2, b3=an+2+4 są wyrazami ciągu geometrycznego (bn). Wyznaczyć bn.
c) Lewa strona równania 3+8+13+...+an=308 jest sumą n początkowych kolejnych wyrazów danego ciągu (a n).
Wyznaczyć n.
3 p

Zad.726 Wyraz ogólny ciągu liczbowego (an) jest określony wzorem a n  
3 p
2 n 3
a) Wykazać, że ciąg (an) jest ciągiem geometrycznym.
b) Wyznaczyć wszystkie wartości parametru p, dla których istnieje suma wszystkich wyrazów ciągu (an). Wyznaczyć
tę sumę.
c) Wyznaczyć wszystkie wartości parametru p, dla których ciąg (an) jest malejący.
Zad.727 Trzy liczby, których suma wynosi 26, tworzą ciąg geometryczny. Jeżeli do tych liczb dodamy odpowiednio 1, 6,
3, to nowe liczby utworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz te liczby.
Zad.728 Długości boków trójkąta są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, a miary jego kątów trzema
kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Oblicz kąty trójkąta.
Zad.729 Nieskończony ciąg liczbowy (an) jest określony wzorem : an = 2 – 3n, n  N +.
Niech Sk oznacza sumę k początkowych kolejnych wyrazów ciągu (a n).
a) Wyznaczyć najmniejszą wartość k spełniającą nierówność S k < - 100.
b) Wyznacz wzór ciągu
bn  a n 
n 1
, n N 
1  4  7  ...  (3n  2)
c) Liczby an-4 , an , 2(an+5 – 1) są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu geometrycznego.
Wyznacz ten ciąg geometryczny.
k2
k2
k 2  4k ,
 2k ,
 k ,... , k  R
Zad.730 Dany jest nieskończony ciąg geometryczny
2
4
a) Wyznaczyć wszystkie wartości k, dla których dany ciąg jest ciągiem rosnącym.
b) Pierwszy, drugi i czwarty wyraz danego ciągu, w podanej kolejności, są trzema kolejnymi wyrazami pewnego
ciągu arytmetycznego. Wyznaczyć k.
Zad. 731 Wiedząc, że liczby : - 3, x – 1, - (x – 1)3 tworzą ciąg arytmetyczny, oblicz x.
Zad.732 Wyrazy ciągu arytmetycznego (an) spełniają warunki : a2 + a4 = 8 i a7 = 16.
a) Wyznacz wyraz ogólny tego ciągu
b) Wiadomo, że wyrazy ak , ak+1 , ak+5 ciągu (an), wzięte w tej kolejności, są trzema kolejnymi wyrazami pewnego
ciągu geometrycznego. Wyznaczyć k.
c) Sumy częściowe S8 i Sn tego ciągu spełniają warunek Sn - S8 = 140. Wyznaczyć n.
Zad.733 Pierwszy, trzeci i jedenasty wyraz ciągu arytmetycznego o różnicy r  R - 0 są kolejnymi wyrazami ciągu
geometrycznego o ilorazie q. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których funkcja f określona
f(x) = x2 + mx + q osiąga minimum, którego wartość jest większa od (- 21).
Zad.734 Dany jest wielomian W(x)=x3+12x2-16x-192. Wyznacz wzór na wyraz ogólny rosnącego nieskończonego ciągu
arytmetycznego
(an),
którego
trzema
początkowymi
wyrazami
są
pierwiastki
wielomianu
W(x)
Zad.735 W nieskończonym ciągu geometrycznym zbieżnym suma wyrazów o numerach nieparzystych jest równa 36, a
suma wyrazów o numerach parzystych wynosi 12. Wyznacz ten ciąg.
Zad.736 Wyznacz wszystkie wartości x, dla których liczby: cos2x; 0,5sin2x; –sin2x są kolejnymi wyrazami ciągu
arytmetycznego.
Zad.737 Trójkąt T1 ma pole S. Łącząc środki boków trójkąta T 1otrzymujemy trójkąt T2,…, łącząc środki boków trójkąta
Tn otrzymujemy trójkąt Tn+1.Niech ciąg (an) będzie określony jako pole trójkąta T n. Podaj wzór ciągu (an) i uzasadnij go.
Zad.738 Boki trójkąta równobocznego o polu S podzielono na trzy równe części i na środkowych z nich zbudowano
trójkąty równoboczne, itd. Oblicz sumę pól wszystkich trójkątów.
Mirosław Gil
60
Zad.739 Zbadaj monotoniczność oraz oblicz granicę ciągu
an 
3n !
3n  1!
.
Zad.740 Suma wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego zbieżnego wynosi 28.Suma wyrazów ciągu o numerach
parzystych wynosi 12. Wyznacz iloraz oraz pierwszy wyraz ciągu.

a) x  2  1 
c) lim cos 3x  cos 3x   ...  cos 3x 
n
2 n 1
2
1
9
 ... 
2
x2
log 4

log 8

b)1  log 8 x 2  log 8 x 2
  log x 
2
8

2 3
 ... 
3
5
Zad.742 Wyznacz pierwsze trzy wyrazy ciągu geometrycznego wiedząc, że są one dodatnie, ich suma jest równa 21 oraz
7
.
12
b1  2

 n  3
 oraz bn  
Zad.743 Dane są dwa ciągi an  
. Oblicz a4 – b4.
 n 1
bn1  2bn  3, dla n  1
suma ich odwrotności jest równa
Zad.744 Suma trzech liczb tworzących ciąg geometryczny wynosi 13. Jeśli dodamy do nich kolejno 1; 5; 23, to ponownie
otrzymamy ciąg geometryczny. Znajdź te liczby.
Zad.745 Liczba 3 jest miejscem zerowym funkcji kwadratowej f(x) = 15x2 + bx + c. Ciąg (15; b; c) jest arytmetyczny.
Oblicz współczynniki b i c.
Zad.746 Dany jest ciąg
an 
5n  6
10(n  1)
a) udowodnij, ze ten ciąg jest malejący
b) oblicz granicę tego ciągu
c) podaj największą liczbę a i najmniejszą b takie, że a < an < b.
Zad.747 Wiedząc, że dla pewnego ciągu geometrycznego (a n) o wyrazach dodatnich prawdziwa jest równość S14=5S7,
oblicz iloraz tego ciągu.
Zad.748 Ciąg geometryczny określony jest wzorem an = 31 – n dla n > 1.
a) oblicz iloraz tego ciągu
b) oblicz log3a1 + log3a2 + log3a3 +…+ log3a100
Zad.749 Wykaż, że jeżeli b, c, 2b – a są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, to liczby ab, b 2, c2 są kolejnymi
wyrazami ciągu arytmetycznego.
Zad.750 Wykaż, że jeżeli długości boków trójkąta prostokątnego tworzą rosnący ciąg arytmetyczny, to różnica tego ciągu
jest równa promieniowi okręgu wpisanego w ten trójkąt.
a1  3


1
Zad.751 Ciąg opisany jest wzorem rekurencyjnym: 
. Wyznacz wzór na n-ty wyraz tego ciągu.
a n 1  a n 

nn  1
1 3n
Zad.752 Suma n początkowych wyrazów pewnego ciągu (an) jest równa S n   
.Wykaż, że
4 4
a1  a2  a3  a4  ...  an  3
n  n 1
2
 2 n
Zad.753 Oblicz:
a) 9+99+999+…+9999999999;
b) 3+33+333+…+3333333333 ( zapisz jako 1/3 wartości wyrażenia z punktu a);
c) 7+77+777+…+7777777777…7(n siódemek)
d) 1+11+111+…+1111111111…1(n jedynek)
Mirosław Gil
61
Zad.754 Pole kwadratu K jest równe 8. Środki boków tego kwadratu połączono, tworząc czworokąt C 1. Następnie
połączono środki czworokąta C1 tworząc czworokąt C2. W ten sposób utworzono czworokąty C3, C4, C5,…
Suma pól czworokątów K + C1 + C2 + C3 +…+ Cn jest równa 15,75. Znajdź liczbę n.
 n  2  n  3 



2  3 

Zad.755 Oblicz granicę a ) lim
n
 n  4

n
 4 
Zad.756 Wykaż, że trzy wyrażenia
arytmetyczny.
1 m
;
1 n
  1   1  2  1 3

n 1           ... 
 2 2 2


.
b) lim
4
n
n 1
2
mn
;
2n
m  n2
, gdzie n  1 i n  0
n  n2
Mirosław Gil
tworzą ciąg
62
Prawdopodobieństwo
Zad.757 Rzucamy trzy razy symetryczną kostką do gry. Opisz zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych, a następnie oblicz
prawdopodobieństwo, że w każdym rzucie liczba oczek będzie większa od numeru rzutu.
Zad.758 Ze zbioru liczb {1,2,3,…,7} losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo
wylosowania liczb, których suma jest podzielna przez 3.
Zad.759 W szufladzie znajdują się cztery różne pary rękawiczek. Oblicz prawdopodobieństwo, że losując dwie rękawiczki
nie wylosujemy rękawiczek tej samej pary.
Zad.760 W grupie 300 badanych osób 67% czyta tygodnik A, 48% czyta tygodnik B, a 26% czyta oba te tygodniki. Oblicz
prawdopodobieństwo, że losowo wybrana osoba nie czyta żadnego z tygodników.
Zad.761 W grupie 400 osób 87% zna język angielski, 44% zna język niemiecki, a 39% zna oba języki.
a) Oblicz prawdopodobieństwo, że losowo wybrana osoba nie zna żadnego języka
b) Oblicz średnią liczbę języków znanych przez jedną osobę z tej grupy.
Zad.762 W grupie 200 osób 70% czyta tygodnik A, 60% czyta tygodnik B, a 40% czyta oba tygodniki. Oblicz
prawdopodobieństwo, że losowo wybrana osoba czyta tygodnik A, Jeżeli wiadomo, że nie czyta tygodnika B.
Zad.763 W wycieczce bierze udział 16 uczniów, wśród których tylko czworo zna okolicę. Wychowawca chce wybrać w
sposób losowy 3 osoby. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że wśród wybranych osób dokładnie dwie znają okolicę.
Zad.764 Sześć osób, dwie panie i czterech panów kupiło bilety do tego samego sześcioosobowego przedziału. Oblicz
prawdopodobieństwo, że obie panie będą siedziały naprzeciw siebie.
Zad.765 Dane są dwa pojemniki. W pierwszym znajduje się 9 kul: 4 białe, 3 czarne i 2 zielone. W drugim jest 6 kul: 2
białe, 3 czarne i 1 zielona. Z każdego pojemnika losujemy po jednej kuli. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania dwóch
kul tego samego koloru.
Zad.766 Strzelając do tarczy pewien strzelec uzyskuje co najmniej 9 punktów z prawdopodobieństwem 0,5, a co najwyżej
9 punktów z prawdopodobieństwem 0,7. Oblicz prawdopodobieństwo, że ten strzelec uzyska dokładnie 9 punktów.
Zad.767 Z liczb 1,2,3,4,5 losujemy kolejno bez zwrotu dwie: x i y. Układając je w kolejności losowania, tworzymy liczbę
dwucyfrową 10x + y. Jakie jest prawdopodobieństwo, że jest to liczba podzielna przez 3?
Zad.768 Niech Z będzie zbiorem punktów o współrzędnych całkowitych należących do okręgu x2 + (y – 4)2 = 5. Losujemy
dwa różne punkty ze zbioru Z i prowadzimy przez nie prostą. Jakie jest prawdopodobieństwo, że współczynnik kierunkowy
tej prostej będzie równy 3?
Zad.769 Gracz rzuca sześcienną kostką do gry. Jeżeli otrzyma 5 lub 6 oczek to wygrywa. Jeżeli otrzyma mniej, to może
rzucić jeszcze raz i wygrywa, jeżeli suma oczek w obu rzutach przekroczy 8. Narysuj odpowiednie drzewko tej gry i oblicz
prawdopodobieństwo wygranej.
Zad.770 W pojemniku jest k kul, w tym 5 białych. Losujemy jednocześnie dwie kule. Prawdopodobieństwo wylosowania
dwóch kul białych wynosi
2
. Ile kul znajduje się w pojemniku?
3
Zad.771 W urnie jest 12 kul, 7 białych i 5 czarnych. Losujemy bez zwracania dwie kule. Oblicz prawdopodobieństwo tego,
że :
a) wylosowano 2 kule tego samego koloru
b) wylosowano drugą kulę czarną
c) wylosowano drugą białą pod warunkiem, że za pierwszym razem wylosowano kulę czarną
Zad.772 Mamy dwie urny, w jednej z nich są dwie kule białe i osiem czarnych, a w drugiej jest osiem białych i trzy czarne.
Z losowo wybranej urny wybieramy jedną kulę. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że :
a) wyciągniemy kulę białą
b) losowano z pierwszej urny, jeżeli otrzymano kulę białą
Mirosław Gil
63
Zad.773 Trzej strzelcy A, B, C strzelają jednocześnie do tej samej tarczy. Strzelec A trafia z prawdopodobieństwem 0,8;
strzelec B – 0,6; strzelec C – 0,7. Oblicz prawdopodobieństwo, że :
a) tarcza zostanie co najmniej raz trafiona
b) tarcza zostanie dokładnie dwa razy trafiona
Zad.774 W windzie znajduje się 10 osób. Na ile sposobów mogą one wysiąść na 12 piętrach? Oblicz prawdopodobieństwo
tego, że każda osoba wysiadła na innym piętrze.
Zad.775 Z urny zawierającej m  3 kul białych i n  2 kul czarnych wyjęto jedną kulę i odłożono nie oglądając jej.
Następnie z urny wylosowano 3 kule.
a) Dla m = 10 i n = 4 obliczyć prawdopodobieństwo wylosowania trzech kul białych.
b) Dla m = 10 i n = 4 obliczyć prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul białych i jednej czarnej, jeżeli wyjęta
na początku kula była czarna.
c) Jakie jest prawdopodobieństwo, że wyjęta na początku kula była biała, jeżeli wiadomo, że trzy wylosowane
kule są białe?
Zad.776 Sondaż przeprowadzony w pewnym mieście na temat budowy obwodnicy dał następujące wyniki : 60% badanych
wypowiedziało się przeciw tej budowie, a wśród nich 70% handlowców. Natomiast wśród zwolenników tego
przedsięwzięcia było 20% handlowców.
a) Obliczyć prawdopodobieństwo, że losowo wybrana osoba jest handlowcem i zwolennikiem obwodnicy.
b) Obliczyć prawdopodobieństwo, że losowo wybrana w tym mieście osoba jest handlowcem.
c) Losowo wybrana osoba stwierdziła, że jest handlowcem. Obliczyć prawdopodobieństwo, że popiera ona
budowę obwodnicy.
Zad.777 Na ile sposobów można rozmieścić 4 koszule w 6 szufladach? Oblicz prawdopodobieństwo tego, że każda koszula
jest w innej szufladzie.
Zad.778 Oblicz ile jest liczb naturalnych czterocyfrowych, w których zapisie pierwsza cyfra jest parzysta, a pozostałe
nieparzyste.
Zad.779 Oblicz ile jest liczb ośmiocyfrowych, w zapisie których nie występuje zero, natomiast występują dwie dwójki i
występują trzy trójki. (odp. 80  7 4 )
Zad.780 W urnie jest 16 kul, 10 białych i 6 czarnych. Losujemy bez zwracania dwie kule. Oblicz prawdopodobieństwo
tego, że :
a) wylosowano 2 kule różnych kolorów
b) wylosowano drugą kulę białą
c) wylosowano drugą czarną pod warunkiem, że za pierwszym razem wylosowano kulę czarną
Zad.781 Mamy dwie urny, w jednej z nich są 4 kule białe i 6 czarnych, a w drugiej jest 10 białych i 2 czarne.
Z losowo wybranej urny wybieramy jedną kulę. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że :
a) wyciągniemy kulę czarną
b) losowano z drugiej urny, jeżeli otrzymano kulę czarną
Zad.782 Rzucamy dwiema symetrycznymi kostkami do gry. Niech A oznacza zdarzenie polegające na wyrzuceniu
parzystej liczby oczek na pierwszej kostce, B zdarzenie polegające na nieparzystej liczby oczek na drugiej kostce, C
parzystej liczby oczek na obydwu kostkach. Czy zdarzenia A, B, C są niezależne?
Zad.783 W szufladzie znajdują się skarpetki zielone i niebieskie. Zielone skarpetki są co najmniej dwie, a niebieskich było
dwa razy więcej niż zielonych. Z szuflady w sposób losowy wyjęto jedną skarpetkę, odłożono ją i wyciągnięto kolejną.
Prawdopodobieństwo, że w ten sposób wylosowano dwie skarpetki koloru zielonego jest o 13 mniejsze od
prawdopodobieństwa, że wyciągnięto dwie skarpetki różnych kolorów. Ile skarpetek było w szufladzie?
33
Zad.784 Rzucamy trzy razy dwiema symetrycznymi monetami.
a) oblicz prawdopodobieństwo wyrzucenia dwa razy orła na obydwu monetach
Zad.785 W pierwszej loterii jest n ( n >2) losów, w tym jeden los wygrywający. W drugiej loterii 2n losów, w tym dwa
wygrywające. W której loterii należy kupić dwa losy, aby mieć większą szansę wygranej? Odpowiedź uzasadnij.
Mirosław Gil
64
Zad.786 W szkolnej wycieczce bierze udział 16 uczniów, wśród których tylko czworo zna okolicę. Wychowawca chce
wybrać w sposób losowy 3 osoby, które mają pójść do sklepu. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że wśród trzech
wybranych osób będą dokładnie dwie znające okolicę.
Zad.787 Niech A, B będą podzbiorami Ω, takimi, że
rozłączne.
P ( A) 
5
12
oraz
P( B) 
7
. Zbadaj, czy zdarzenia A i B są
11
Zad.788 Telewizja ma nadać pięć reklam: trzy reklamy różnych proszków oraz dwie reklamy różnych past. Kolejność
nadawania reklam jest ustalana losowo. Oblicz prawdopodobieństwo, że dwie reklamy produktów tego samego rodzaju
produktów nie będą nadane jedna po drugiej. Wynik podaj w postaci nieskracalnego ułamka zwykłego.
Zad.789 Do zawodów zgłosiło się 16 uczniów, wśród których było dwóch faworytów. Organizatorzy zamierzają podzielić
zawodników na dwie jednakowo liczna grupy, niebieską i żółtą. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na
tym, że faworyci tych zawodów nie spotkają się w tej samej grupie. Wynik zapisz w postaci ułamka nieskracalnego.
Zad.790 Spośród wierzchołków sześcianu wybieramy jednocześnie trzy. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia
polegającego na tym, że otrzymamy wierzchołki trójkąta równobocznego.
Zad.791 Wśród 30 uczniów, dziewięciu obejrzało film. Wychowawca zamierza wylosować czterech uczniów, których
zaprosi na projekcję tego filmu. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że wśród czterech wylosowanych uczniów nie ma
ucznia, który już ten film oglądał.
Zad.792 Na stole leżało 14 banknotów: 2 o nominale 100 zł, 2 o nominale 50 zł i 10 o nominale 20 zł. Wiatr zdmuchnął na
podłogę 5 banknotów. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że na podłodze leży dokładnie 130 zł.
 N+ wylosowano równocześnie dwie liczby. Wyznacz n, tak aby
7
prawdopodobieństwo wylosowania liczb, których suma jest liczbą nieparzystą było większe niż
.
13
Zad.793 Ze zbioru Z = {1,2,3,..., 2n + 1},gdzie n
Zad.794 Uczniowie dojeżdżający do szkoły zaobserwowali, że spóźnienie autobusu zależy od tego, który z trzech
kierowców prowadzi autobus. Kierowcy A spóźnienie zdarza się w 5% jego kursów, kierowcy B w 20% jego kursów, a
kierowcy C w 50%. W ciągu 5-dniowego tygodnia nauki dwa razy prowadził kierowca A, dwa razy B i jeden raz kierowca
C. Oblicz prawdopodobieństwo spóźnienia się autobusu w losowo wybrany dzień.
Zad.795 Skreślamy w Expres Lotku 5 spośród 42 liczb. Oblicz prawdopodobieństwo trafienia co najmniej 4 spośród 5
wylosowanych liczb. Wynik podaj z dokładnością do 0,00001.
Zad.796 W urnie U1 jest pięć żetonów o numerach od 1 do 5. W urnie U2 są cztery żetony o numerach od 1 do 4. Rzucamy
dwukrotnie symetryczną monetą. Gdy dwa razy wypadnie reszka, to wybieramy urnę U 1, w przeciwnym wypadku urnę U2.
Z wybranej urny losujemy kolejno ze zwracaniem dwa żetony. Numer pierwszego, to cyfra dziesiątek, numer drugiego –
cyfra jedności dwucyfrowej liczby x. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzeń: A – liczba x jest większa niż 35 oraz B – liczba
x jest podzielna przez 6.
Zad.797 W urnie pierwszej znajdują się 6 kul białych i 14 czarnych. W urnie drugiej znajdują się 3 kule białe i 7 czarnych.
Marek rzuca kostką do gry i jeśli wyrzucona liczba oczek jest podzielna przez 3, to losuje dwie kule z urny pierwszej , w
przeciwnym razie losuje dwie kule z urny drugiej. Wojtek wrzuca kule z obu urn do pustego pudełka i z niego losuje dwie
kule. Który z chłopców z większym prawdopodobieństwem wylosuje dwie kule białe?
Zad.798 Z urny zawierającej 10 kul białych i 5 czarnych dwukrotnie losujemy po jednej kuli. Niech A oznacza zdarzenie
polegające na wylosowaniu kul o różnych kolorach, a B zdarzenie – wylosowane kule są w tym samym kolorze. Oblicz
P(A) i P(B) wiedząc, że losowanie kul odbywa się ze zwracaniem.
Ile kul czarnych należy dodać do urny, aby P(A) = P(B), gdy losujemy kule bez zwracania?
Zad.799 W urnie znajdują się kule białe i czarne. Wszystkich kul jest 12. Z urny losujemy równocześnie 2 kule.
wiadomo, że kul białych jest 3 razy więcej niż czarnych. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania kul tego samego
koloru.
Prawdopodobieństwo wylosowania co najmniej jednej kuli czarnej wynosi
Mirosław Gil
10
. Wyznacz liczbę kul czarnych w urnie.
11
65
Zad.800 Para (Ω,P) jest przestrzenią probabilistyczną, a A  Ω i B  Ω są zdarzeniami niezależnymi. Wykaż, że jeżeli
P(A  B) = 1, to jedno z tych zdarzeń jest zdarzeniem pewnym.
Zad.801 Przy danych
1
1
4
P( A)  , P( A  B)  , P( A  B) 
oblicz
3
4
5
Zad.802 Przy danych P( A' ) 
1
1
5
, P( B' )  , P( A  B) 
oblicz
3
2
6
P( B), P( A  B' ), P( B  A)
P( A  B), P( A  B' ), P( B  A)
Zad.803 Przy danych
1
1
P( A  B)  P( B  A), P( A  B)  , P( A  B) 
oblicz
4
2
Zad.804 Przy danych
2
1
1
P( A' )  , P( A'B' )  , P( A  B) 
oblicz
3
2
4
P( B), P( A' B)
P( B), P( A'B)
1
1
P( B)  P( A  B)  , P( A  B)  ,
oblicz P( A), P( A' )
2
4
1
2
1
oblicz
P( B' ), P( A  B), P( B  A)
Zad.806 Przy danych P( A' )  , P( A  B)  , P( A' B' ) 
2
5
3
1
1
1
5
1
to
 P( A  B)  oraz 0  P( A  B) 
Zad.807 Wykaż, że gdy P( A)  , P( B)  ,
3
2
2
6
3
Zad.805 Przy danych
Zad.808 Wykaż, że gdy
1
3
P( A)  , P( B)  ,
2
4
to
3
1
1
 P( A  B)  1oraz
 P( A  B) 
4
4
2
Zad.809 Wykaż, że gdy
2
1
P( A)  , P( B)  ,
3
2
to
1
1
1
 P( A  B)  oraz 0  P( B  A) 
6
2
3
Zad.810 Walczą dwie florecistki: A i B. Zwycięży ta, która jako pierwsza uzyska 15 trafień. Prawdopodobieństwo trafienia
przez zawodniczkę A wynosi 5/9, przez B 4/9. Jakie jest prawdopodobieństwo zwycięstwa florecistki B, jeżeli prowadzi
ona 13:12. ( odp. 0,6, skorzystaj z drzewka)
Zad.811 Rzucamy cztery razy symetryczną monetą.
a) oblicz prawdopodobieństwo wyrzucenia trzy razy orła
b) oblicz najbardziej prawdopodobną liczbę orłów w czterech rzutach
Zad.812 Rzucamy trzykrotnie symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo następujących zdarzeń:
A – na każdej kostce wypadła nieparzysta liczba oczek
B – suma kwadratów licz wyrzuconych oczek będzie podzielna przez 3.
Zad.813 Z szuflady, w której znajduje się 10 różnych par rękawiczek wybieramy losowo cztery rękawiczki. Opisz zbiór
zdarzeń elementarnych, a następnie oblicz prawdopodobieństwo zdarzeń: A – wśród wylosowanych rękawiczek nie będzie
pary; B - wśród wylosowanych rękawiczek będzie dokładnie jedna para.
Zad.814 Ze zbioru liczb naturalnych dwucyfrowych losujemy trzy różne liczby.
jakie jest prawdopodobieństwo, że ich suma jest liczbą parzystą? (odp. 0,5)
Suma wylosowanych liczb jest liczbą parzystą. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wszystkie wylosowane liczby są
parzyste? (odp. 0,24)
Mirosław Gil
66
Zad.815 Na podstawie przeprowadzonych badań stwierdzono, że 20 mężczyzn na 1000 i 3 kobiety na 500 posiada wadę
wymowy. Spośród 20 losowo wybranych osób – 10 kobiet i 10 mężczyzn – wybrano ( także losowo ) jedną osobę i okazało
się, że nie posiada ona wady wymowy. Jakie jest prawdopodobieństwo, że był to mężczyzna? (odp. 70/141)
Zad.816 Ośmioosobową grupę przedszkolaków pani ustawia w sposób losowy w pary (jedna za drugą). Oblicz
prawdopodobieństwo, że ustalona dwójka dzieci:
a) będzie stała ze sobą w jednej parze
b) nie będzie stała ze sobą w jednej parze
Zad.817 Trzyosobowa komisja kwalifikuje pisarzy do finału literackiej nagrody Nike. Pisarz zostaje zakwalifikowany, gdy
wszyscy członkowie komisji zgodnie poprą jego kandydaturę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że spośród pięciu
kandydatów przynajmniej jeden zostanie zakwalifikowany do finału?
Zad.818 Za pomocą cyfr 1,2,3,4,5,6 ułożono wszystkie możliwe liczby sześciocyfrowe o różnych cyfrach. Uzasadnij, że
suma tych liczb jest podzielna przez 7.
Zad.819 PIN w telefonie to ciąg czterech cyfr. Ile jest wszystkich różnych czterocyfrowych kodów PIN, takich, że trzy
pierwsze cyfry są kolejnymi wyrazami rosnącego ciągu geometrycznego.
Zad.820 Ze zbioru liczb {1,2,3,…,2n+3} losujemy dwie liczby. Przez An oznaczamy takie zdarzenie, że suma
wylosowanych liczb jest parzysta.
a) oblicz prawdopodobieństwo P(An)
b) oblicz lim P ( An )
n 
Zad.821 Ze zbioru liczb {1,2,3,…,2n+1} losujemy dwie liczby. Przez An oznaczamy takie zdarzenie, że iloczyn
wylosowanych liczb jest liczbą parzysta.
a) oblicz prawdopodobieństwo P(An)
b) oblicz lim P ( An )
n 
Zad.822 Dany jest ciąg o wyrazie ogólnym
an 
120
dla liczb naturalnych n > 1. Ze zbioru liczb {a1; a2; a3;…;a11}
n 1
losujemy kolejno trzy razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że wylosowano liczby
całkowite będące kolejnymi wyrazami ciągu malejącego.
Zad.823 Gracz dysponuje symetrycznymi kostkami sześciennymi, których ścianki są oznaczone cyframi od 1 do 6 i
kostkami w kształcie czworościanu foremnego, których ścianki są oznaczone cyframi 1, 2, 4, 6. Wybiera dwie spośród
swoich kostek i jeden raz wykonuje nimi rzut. Jakie kostki powinien wybrać gracz, aby prawdopodobieństwo zdarzenia A
– „ suma wylosowanych za pomocą obu kostek cyfr jest podzielna przez 6” było największe?
Mirosław Gil
67
Trygonometria
Sposoby rozwiązywania równań trygonometrycznych.
1. Rozwiązywanie równań trygonometrycznych metodą rozkładu na czynniki.
Przykład: 2 cos x cos 2x - cos x = 0.
Rozwiązanie:
cos x (2 cos2 x - 1 ) = 0,
stąd cos x = 0 lub cos 2x = 1/2 ,
co daje odpowiedź: dla k C
x = /2 + k lub x = /6 + k . lub x = - /6 + k .
2. Rozwiązywanie równań trygonometrycznych jednorodnych.
Przykład: cos 3x + sin 3x = 0.
Rozwiązanie:
Dzieląc obie strony równania
sin 3x = - cos 3x dzieląc równanie przez cos 3x (przy założeniu, że cos 3x
otrzymujemy
tg 3x = -1, stąd
3x = - /4 + k , a zatem x = - /12 + k /3, k C.
0),
3. Rozwiązywanie równań trygonometrycznych
metodą wprowadzenia pomocniczego argumentu.
Przykład: sin x + cos x =
Rozwiązanie:
( 1/ sin x + 1/ cos x ) =
sin x cos /4 + cos x sin /4 = 1,
a zatem sin(x + /4) = 1,
stąd x + /4 = /2 + 2k ,
czyli x = /4 + 2k , k C.
4. Rozwiązywanie równań trygonometrycznych metodą zamiany sumy
funkcji trygonometrycznych na iloczyn.
Przykład: cos 3x + sin 2x - sin 4x = 0
Rozwiązanie:
cos 3x + ( sin 2x - sin 4x ) = 0,
stąd po zastosowaniu wzoru na sin x - sin y, otrzymujemy
cos 3x + ( - 2sin x cos 3x ) = 0,
cos 3x ( 1- 2 sin x ) = 0,
cos 3x = 0 lub sin x = 1/2,
co daje rozwiązania
x = /6 + k /3 lub x = /6 + 2k lub x = 5 /6 +2k , k C.
5. Rozwiązywanie równań trygonometrycznych metodą zamiany
iloczynu funkcji trygonometrycznych na sumę.
Przykład:
sin 5x cos 3x = sin 6x cos 2x.
Rozwiązanie:
( sin 8x + sin 2x) = ( sin 8x + sin 4x),
stąd sin 2x - sin 4x = 0,
- 2 sin x cos 3x = 0,
otrzymujemy zatem proste do rozwiązania równania:
sin x = 0
lub
cos 3x = 0.
x= k
3x=k
x = k /3, k C.
6. Rozwiązywanie równań trygonometrycznych z wykorzystaniem funkcji trygonometrycznych podwojonego i
potrojonego argumentu.
Mirosław Gil
68
Przykład: sin 2x = cos x.
Rozwiązanie:
2 sin x cos x - cos x = 0
cos x ( sin x - 1) = 0,
stąd cos x = 0 lub sin x = / 2.
7. Rozwiązywanie równań trygonometrycznych metodą wprowadzenia pomocniczej niewiadomej.
Przykład: sin x + cos2x +1 = 0.
Rozwiązanie:
sin x + 1 - sin2x + 1 = 0,
- sin2x + sin x + 2 = 0,
podstawiając sin x = t, gdzie t [-1, 1] otrzymujemy równanie kwadratowe
- t2 + t + 2 = 0,
stąd po rozwiązaniu otrzymujemy sin x = -1.
Mirosław Gil
69
2 3
Zad.824 W pewnym trójkącie prostokątnym suma cosinusów kątów ostrych jest równa 3 . Oblicz iloczyn sinusów tych
kątów.
tg  ctg
3
0
0
, jeżeli sin    ;   180 ;270 .
sin  cos
5
sin  cos 
Zad. Kąt α jest ostry i

 2 . Oblicz wartość wyrażenia sinαcosα.
cos  sin 

Zad.825 Oblicz wartość wyrażenia

Zad.826 Wyznacz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta ostrego α, wiedząc, że tgα = 1,4.
Zad.827 Dany jest kąt α taki, że 0 0 < α < 3600, sinα < 0 oraz 4tgα = 3sin2α + 3 cos2α.Oblicz tgα.
Zaznacz w układzie współrzędnych kąt α i podaj współrzędne dowolnego punktu, różnego od początku układu
współrzędnych, który leży na ramieniu końcowym tego kąta.
Zad.828 Wiedząc, że tgα = 2, oblicz wartość wyrażenia
Zad. 829Sprawdź tożsamość
4 cos   3 sin 
.
3 cos   5 sin 
tg  1tg 90 0     1 
1
 tg
tg
Zad.830 Wykaż, że zachodzi równość tg170tg730 = cos2280 + cos2620
Zad.831 Wyznacz zbiór wartości funkcji f(x) = 5 sin2x + 3 cos2x
Zad.832 Znajdź taką liczbę k, aby dla pewnego kąta zachodziło:
Zad.833 Narysuj wykres funkcji
f ( x) 
spełniona jest nierówność f(x) < 0.
sin 2x
sin  
3k
4k
; cos   .
10
10
w przedziale <-2π; 2π>. Zapisz dla jakich liczb z tego przedziału
sin 2x
Zad.834 Dane jest równanie postaci (cosx – 1)(cosx + p + 1) = 0, gdzie p  R jest parametrem. Dla p = –1 wypisz
wszystkie rozwiązania tego równania należące do przedziału <0;5>. Wyznacz wszystkie wartości parametru p, dla których
równanie ma w przedziale <-π; π > trzy rozwiązania.
Zad.835 Wiedząc, że tg α = –2 i α  (0; π) oblicz , bez użycia tablic i kalkulatora wartości sinusa i cosinusa.
Zad.836 Dana jest funkcja f określona wzorem
f ( x) 
tej funkcji.
sin 2 x  sin x
sin x
Zad.837 Rozwiąż równanie tgx (2sinx cosx + cosx) = 0 w przedziale <
dla x  0;     ;2  .Narysuj wykres
 ;2  >.
Zad.838 Rozwiąż równanie 2cos2x = cosx w przedziale < 0;2  >.
f ( x) 
2
tgx
tgx
dla
Zad.840 Rozwiąż równanie 2cos x + 5 sinx – 4 = 0.
Zad.841 Dane są funkcje :
f ( x)  cos 2 x 
  
x  ; .
 2 2
1
i g(x)=sin x. Rozwiązać równanie 2 f ( x )  g ( x ) .
2
Zad.842 Obliczyć sin 2x , jeżeli sinx = 0,8 i x  (0,π/2)
Zad.843 Obliczyć ctg 435o +ctg375o
Mirosław Gil
70
Zad.844 Wyznacz wszystkie wartości parametru α  <0; 2  >, dla których układ równań
niewiadomymi x i y nie ma rozwiązania.
Zad.845 Rozwiąż równania :
a) sin 2x = sin 3x
b) tg5 x = tg x
c) cos x + cos 9x = 0
d) cos (2x – π/6) – cos (x + π/6) = 0
e) 2√3 cos2 x – sin x = 0
f) cos 2x = |cos x| + cos x
g) cos2 3x = cos2 5x i
π ≤ | x | ≤ 2π
h)tg x + ctg x = 4 sin 2x
i) sin x + √3 cos x = 1
j) cos2 x – 3 sin x + 0,75 > 0
k)
cos x  sin x
0
cos 2 x
PODSTAWOWE WZORY
sin2x = 2 sinx cos x
cos2x = cos2x – sin2x = 2cos2x – 1 = 1 – 2sin2x
sin(x + y) = sinx cosy + cosx siny
sin(x – y) = sinx cosy – cosx siny
cos(x + y) = cosx cosy – sinx siny
cos(x – y) = cosx cosy + sinx siny
x  0; π
Zad.846 Rozwiąż równania :
a) 2 cos x cos 2x = cos x.
b) cos 3x + sin 3x = 0.
c) sin x + cos x = 2
d) sin 2x = 2 cos x.
e) sin x + cos2x +1 = 0.
1
cos( x  y )  cos( x  y )
2
1
cos x cos y  cos( x  y )  cos( x  y ) 
2
1
sin x cos y  sin( x  y )  sin( x  y ) 
2
tgx  tgy
tg ( x  y ) 
1  tgxtgy
sin x sin y 
Zad.847 Oblicz sin 150 , cos 22,50
cos 2

8
Zad.849 Oblicz cos x; tg x; ctg x , jeżeli
sin x 
1
3
x y
x y
cos
2
2
x y
x y
sin x  sin y  2 cos
sin
2
2
x y
x y
cos x  cos y  2 cos
cos
2
2
x y
x y
cos x  cos y  2 sin
sin
2
2
sin x  sin y  2 sin
l) (log cosx 2) 2 < log cosx ( 4 cos 3x) i x  <0; 2π>
i x  <0; 2π>
m) 4(log2 |sin x| )2 + log2 sin2 x ≤ 2
Zad.848 Oblicz


x  
,  .
 2

Zad.850 Nie posługując się tablicami oblicz sin 7,5o : cos 7,5o
ctg ( x  y ) 
Zad.851 Rozwiąż równania i nierówności
a) (sinx)-1 + (cosx)-1 = 8
b) sin 2x : cos 4x = 1
c) 2cos2 (0,25x) > 1
d) 6 sinx + 6 cosx  3
e) cos 4x = sin 3x
f) 2sin2x – 2sin2xcosx = 1 – cosx w przedziale <0;2π>
Zad.852 Rozwiązać układ równań
 x cos   y sin   1  0
z

x  y cos   1

tgx  tgy  4


cos( x  y )  cos( x  y )  1

2
Mirosław Gil
dla
ctgxctgy  1
ctgx  ctgy
x, y    ; 
71
Zad.853 Wyznacz dziedzinę i zbiór wartości funkcji
f ( x) 
4
sin x  2 cos x  3
Wskazówka
Aby wyznaczyć zbiór wartości funkcji f(x)=a sinx + b cosx należy wykonać następujące przekształcenia :


a
b
f ( x)   a 2  b 2 
sin x 
cos x    a 2  b 2 sin  sin x  cos cos x    a 2  b 2  cos(  x)
 
2
2

 a 2  b 2



a b

cos(  x)   1;1
to
f ( x)   a 2  b 2 ; a 2  b 2
ponieważ liczby a,b,c można potraktować jako długości boków trójkąta prostokątnego, gdzie c2 = a2 + b2 , a jednym z
kątów ostrych jest kąt .
Zad.854 Dana jest funkcja f (x) = cos x.
a) Rozwiązać nierówność 2 f 2 (x) + f (x) - 1 > 0, dla x [ 0, 2].
b) Rozwiązać równanie f ( 1/2 - x) + f (x) - 1 = 0.
c) Wyznaczyć zbiór wartości funkcji g (x) = 16 f 2 (x) + 16 f (x) - 1.
Zad.855 Dla jakich wartości x  <0; 0,5π) liczby cos2 x ; cos2 x + sin x ; cos2 x + 2sin x są odpowiednio pierwszym ,
drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego ,w którym suma czterech pierwszych kolejnych wyrazów jest równa 6 ?
Zad.856 Dane są funkcje f (x) =sin2 x –
1
i g(x) = cos x.
4
a) W przedziale <-2  ;0> rozwiązać nierówność f(x)>0.
b) Obliczyć wartość funkcji h(x) = 4. f(x) – g(x), dla argumentu x =
20
.
3
k2
c) Wyznaczyć wszystkie wartości parametru k  R , dla których równanie g ( x ) 
 1  0 ma rozwiązanie .
4
Zad.857 Rozwiązać równanie ctgx ctg3x = 1 w przedziale (0,π) .
Zad.858 Oblicz sumę wszystkich pierwiastków równania
należących do przedziału -,2.




2 cos 2 x  sin  x    tgx  tg  x    0
2
2


Zad.859 Narysuj wykresy funkcji:
y = sin3x
y = cos0,5x
y = sin (x - /3)
y = sin (2x + /3)
y = sin  x 
y = - 2ctg x
y =  tg x 
y = sin x +  sin x 
y = sin x + cos x
y = cos2 x
y = 2 sin x  cos x 
y = sgn ( sin x )
Zad.860 Rozwiązać układ równań
sin x  cos y  3



x

y


6
Zad.861 Rozwiązać równanie 1 – cos22x = sin 3x – cos (/2 + x)
Mirosław Gil
72
Zad.862 Znajdź wszystkie rozwiązania równania
tgx  ctgx 
4 3
3
Zad.863 Nie posługując się tablicami wykaż, że tg 82o 30’ – tg 7o 30’ = 4 + 23.
a) sin x + cos x = 1
b) sin x + cos x = ( cos x )-1 ,
x  < 0; 2π >
c) ctg x - cos x = 1 - sin x
x
1
4
d)
2 cos 2
e)
f)
g)
h)
sinx - √3 cosx = 1
sinx – cosx = 0
sin4x – sin 10x = 0
tg x + ctgx = 0
cos2 x 
Zad.865 Rozwiąż równanie :
2 3
sin x  cos x  sin 2 x  0
3
Zad.866 Narysuj wykres funkcji:
a) y = │cos4x – sin4x│
b) y = cos2 x + sin x sin x
c) y = cos (2x - /3)
d) y = sgn ( cos x )
e) y = int ( sin x )
 1

f ) y  sin  x   
4 2

Zad.867 Wykazać, że dla każdej wartości parametru   R równanie kwadratowe 3x2 + 4x sin - cos 2 = 0 , ma dwa
różne pierwiastki rzeczywiste. Wyznaczyć te wartości parametru , dla których oba pierwiastki należą do przedziału (0,1).
Zad.868 Zbadaj , dla jakich wartości parametru k równanie
cos 2 x 
1


 ctgx  cos  x   0
sin x
2

k 2  4k  1
ma rozwiązanie ?
k 2 1
 cos 2 x
1
nie jest tożsamością.
 tgx 
sin x cos x
tgx


3

2
2
Zad.871 Wyznacz wszystkie rozwiązania równania sin  x    cos x  2 sin  x    2 cos x   0 (wsk.
4
4
2


Zad.870 Wykaż, że wyrażenie
3/2 zapisz jako ½ +1 i skorzystaj ze wzoru skróconego mnożenia).
Zad.872 wiedząc, że
 ,  ,
są kątami trójkąta prostokątnego, oblicz wartość wyrażenia
3sin
2

 3sin
2

2
 3sin  
Zad.873 Dane jest równanie sinx = m2 + 1., z niewiadomą x. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których
równanie nie ma rozwiązań.
Zad.874 Miary pięciu kątów tworzą ciąg arytmetyczny. Drugim wyrazem tego ciągu jest 150 0, a czwartym 2700. Oblicz
sumę sinusów tych pięciu kątów.
Mirosław Gil
73
Zad.875 Narysuj wykresy odpowiednich funkcji, a następnie rozwiąż nierówność
sin x 
3


 cos x  
2
6

21sin x  2
Zad.877 Wyznacz wszystkie wartości parametru α  <0;  >, dla których równanie
x2 + x cos α + 2 cos2 α – 2 = 0 ma dwa różne pierwiastki takie, że liczba 1 leży między tymi pierwiastkami.
Zad.878 Znajdź dziesięć najmniejszych dodatnich rozwiązań równania tg4x = sin 8x
Zad.879
x 
Wyznacz
 
;
2 2
i
wszystkie
rozwiązania
układu
równań
 sin x  cos y  0
sin 2 x  cos 2 y  1

2
spełniające
warunek
y    ; .
Zad.880 Rozwiąż równania:

1

a ) cos x    sin x 
6
2

Zad.881 Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie (sin 2x – cos2x)2 + m2 – 5 = 0 z niewiadomą x ma
rozwiązania.
Zad.882 Rysunek przedstawia fragment wykresu funkcji y = f(x), otrzymanego z wykresu funkcji g(x) = sinx w wyniku
odpowiednich przekształceń. Znajdź wzór funkcji f i rozwiąż równanie
Mirosław Gil
f ( x)   3 .
74
Wielomiany
Tw. 1 Reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez dwumian (x – p) wynosi W(p).
Tw.2 Jeżeli x = p jest pierwiastkiem wielomianu W(x), to W(x) dzieli się bez reszty przez (x – p).
(i odwrotnie)
Tw.3 Jeżeli liczba p jest k krotnym pierwiastkiem wielomianu, to jest też pierwiastkiem wszystkich pochodnych
wielomianu do stopnia (k – 1).
Tw.4 Każdy wielomian W(x) można przedstawić w postaci W(x) = P(x)Q(x) + R(x) , gdzie R(x) jest resztą z dzielenia
wielomianu W przez wielomian Q i stopień R(x) jest co najwyżej o jeden niższy niż stopień Q lub R(x) jest wielomianem
zerowym.
Tw. 5 Jeżeli istnieją pierwiastki wymierne wielomianu W(x) = a nxn + an-1xn-1 + … + a1 x + a0 to są one ułamkam,
których licznik jest podzielnikiem a0 , a mianownik jest podzielnikiem an.
Tw. 6 Suma współczynników wielomianu W(x) = W(1)
Zad.883 Wielomian czwartego stopnia ma cztery pierwiastki
1;  1;
1
;
3 2
wielomianu przecina oś rzędnych w punkcie (0; -5). Wyznacz postać ogólną wielomianu.
1
. Wykres tego
3 2
Zad.884 Reszta z dzielenia wielomianu W(x) = x3 – 4x2 + ax + b przez dwumian x + 2 jest równa 5, a reszta z dzielenia
przez x – 1 jest równa 3. Oblicz resztę z dzielenia tego wielomianu przez x + 1.
Zad.885 Dany jest wielomian W(x) = 2x3 + ax2 + bx + 30.
a) Liczby 3 i –1 są pierwiastkami tego wielomianu. Wyznacz a i b.
b) Dla a = 25 i b = –73 pierwiastkami wielomianu są liczby 2 i –15. Oblicz trzeci pierwiastek wielomianu.
Zad.886 Współczynniki a,b,c wielomianu W(x) = x3 + ax2 + bx + c są kolejnymi wyrazami rosnącego ciągu
geometrycznego. Reszta z dzielenia tego wielomianu przez dwumian x + 2 jest równa – 4, a reszta z dzielenia przez x + 1
jest równa 2. Oblicz resztę z dzielenia tego wielomianu przez x – 2.
Zad.887 Znajdź wartości parametrów a i b, dla których pierwiastkiem wielomianu
W(x) = a2x3 + bx2 – (a + 4)x + 3 jest liczba 1, wiedząc, że przy dzieleniu wielomianu przez dwumian 2x + 6 otrzymasz
resztę 12.
Zad.888 Pewien wielomian stopnia czwartego podzielny jest przez x2 + 1, a jego pierwiastkami są liczby
1 6
oraz 1  6 . Wiadomo też, że dla x = 0 przyjmuje on wartość 10. Podaj wzór tego wielomianu.
f ( x) 
4x  x2
x 3  2 x 2  3x  6
Zad.890 Nie wykonując dzielenia znajdź resztę z dzielenia wielomianu W przez wielomian Q
a) W(x) = 2x5 + 3x4 – x3 + 3x - 1
Q(x) = (x -1)(x + 2)
b) W(x) = x8 – 1
Q(x) = x2 – 1
Zad.891 Dla jakich wartości a wielomian F jest podzielny przez dwumian P, gdy:
F(x) = x4 – (a - 1)(a + 1)x3 + (a + 1)2 x2 – 3(a + 1)x – 7 i P(x) = x – 1
Zad.892 Dla jakich wartości parametrów a,b reszta z dzielenia wielomianu W przez wielomian Q jest równa R, gdy:
a) W(x) = x3 + 2x2 + ax + b; Q(x) = x2 + x – 2; R(x) = 4x – 3
b) W(x) = x3 – ax2 + bx + 1; Q(x) = x2 – 4x + 3; R(x) = x + 1
Zad.893 Dla jakich wartości parametrów a i b liczba 2 jest trzykrotnym pierwiastkiem wielomianu
W(x) = x4 – 5x3 + ax2 + bx – 8?
Zad.894 Dla jakich wartości parametrów a i b liczba 3 jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu
W(x) = x3 – 5x2 + ax + b?
Zad.895 Wielomian W(x) = x3 + ax2 + bx + c jest podzielny przez trójmian x2 – 3x + 2 i przy dzieleniu przez dwumian
x + 1 daje resztę -24. Wyznacz współczynniki a,b,c.
Mirosław Gil
75
Zad.896 Dla jakich wartości parametru m równanie mx3 – (2m + 1)x2 + (2 – 3m)x = 0 ma rozwiązania, których suma jest
dodatnia?
Zad.897 Dla jakich wartości parametru m równanie x5 + (1 – 2m)x3 + (m2 – 1)x = 0 ma :a) pięć pierwiastków
b) dokładnie trzy pierwiastki c) tylko jeden pierwiastek
Zad.898 Wyznacz wartości parametru m, dla których równanie
posiada cztery różne rozwiązania.
x
3


 3 x 2  4 m  5x 2  m  2 x  1  0
Zad.899 Dla jakich wartości parametru m zbiór rzeczywistych rozwiązań równania mx 4- (m + 1) x2+ 1 = 0 jest
dwuelementowy?
Zad.900 Dany jest wielomian W (x) = x3 + (a – 1) x + b.
a) Dla a = 2 i b = 0 rozwiązać nierówność W (x)  0.
b) Wiedząc, że miejscami zerowymi tego wielomianu są liczby 2 i (- 2) obliczyć a i b.
c) Wielomian W ma trzy różne pierwiastki. Jednym z nich jest liczba 0, dla jakich wartości parametrów a i b dwa
pozostałe pierwiastki są ujemne?
Zad.901 Dany jest wielomian: W(x)=x3+(m-6)x2+(m-7)x. Dla jakich wartości parametru m należące do zbioru liczb
rzeczywistych R [m R] pierwiastki tego wielomianu tworzą ciąg arytmetyczny?
Zad.902 Dany jest wielomian W(x)=x3+kx2+2x+p.
a) Rozwiązać równanie W(x)=0 jeśli W(1)=6 i W(2)=18.
b) Dla k=p=0 rozwiązać nierówność W(x)+3≤0.
c) Wyznaczyć wartość parametrów k i p wiedząc, że liczba 2 jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu W.
Zad.903 Rozwiąż równania a) x5 – x4 – 3x3 + 5x2 – 2x = 0
Zad.904 Rozwiąż nierówności a) x3 – 13x + 12 ≥ 0
b) x4 + 5x3 – x2 – 5x + 1 = 0
b) x 3 + 4x2 – 27x – 90 ≤ 0
Zad.905 Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie x 2 – 4mx – 6m2 + m – 2 = 0 ma dwa różne
pierwiastki rzeczywiste x1i x2 takie, że (x1 – x2)2 < 8(m + 1). (odp. (0;1)  (2;3))
Mirosław Gil
76
Zadania do samodzielnego rozwiązania
Zad.906 Nie wykonując dzielenia znajdź resztę z dzielenia wielomianu W przez wielomian Q
a) W(x) = x10 + x4 + x2 + x + 1
Q(x) = x2 – 1
6
b) W(x) = x – 1
Q(x) = (x -1)(x + 1)(x - 2)
Zad.907 Dla jakich wartości a wielomian F jest podzielny przez dwumian P, gdy:
F(x) = x3 – (2a + 1)x2 + 3,5x + a2 – 4 i P(x) = x – 2
Zad.908 Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których wielomian W(x) = x 3 – mx + m – 1 ma trzy różne
pierwiastki.
Zad.909 Podaj dla jakiej wartości parametru p proste: x – y – p2 + 1 = 0 oraz x + y – p2 + 2p + 3 = 0 przecinają się w
punkcie należącym do wnętrza prostokąta o wierzchołkach A(4; -1), B(10; -1), C(10; 2), D(4; 2).
Zad.910 Dla jakich wartości parametrów a,b reszta z dzielenia wielomianu W przez wielomian Q jest równa R, gdy:
a) W(x) = ax3 + x2 + (3a – b)x + 10; Q(x) = x2 + x – 6; R(x) = 3x + 4
b) W(x) = x4 + (a + b)x3 + x2 + (2a – b)x – 15; Q(x) = x2 + 2x – 3; R(x) = 2x – 3
Zad.911 Wyznacz sumę współczynników wielomianu W(x) = (2x – 1)25 – 3x3 + 2x – 4
Zad.912 Wielomian W(x) = x3 – x2 + ax + b jest równy wielomianowi T(x) = (x – 2)2 (x – c), gdzie c ≠ 2. Wyznacz
wartości współczynników a, b, c. Rozwiąż nierówność T(x) < 0.
Zad.913 Jeżeli liczby 2;3;-1 są miejscami zerowymi wielomianu W(x) = ax3 + bx2 + cx + d, gdzie a ≠ 0 oraz
w(4) = 2, to współczynnik a można wyznaczyć w następujący sposób:
Zapisujemy wielomian w postaci iloczynowej: W(x) = a(x-2)(x-3)(x+1) i wykorzystując warunek W(4) = 2 otrzymujemy
równanie 2 = a(4-2)(4-3)(4+1), stąd a = 0,2.
Postępując analogicznie, wyznacz współczynnik a wielomianu W(x) = ax3 + bx2 + cx + d, wiedząc, że jego miejsca
zerowe to 1; 2; -2 oraz W(-1) = 3.
Zad.914 Dany jest wielomian w(x) = 2x3 + ax2 – 14x + b.
a) Dla a = 0 i b = 0 rozwiąż równanie W(x) = 0
b) Dobierz tak wartości a i b, aby wielomian W(x) był jednocześnie podzielny przez x – 2 oraz przez x + 3.
Zad.915 Poniższy rysunek przedstawia fragment wykresu funkcji wielomianowej w(x) stopnia trzeciego. Jedynymi
miejscami zerowymi są liczby (- 2) i 1. Wykres przecina oś rzędnych w punkcie (0;3). Wyznacz wzór tego wielomianu
Zad.916 Oblicz resztę z dzielenia wielomianu W(x) = x4 + 3x3 + x2 + x – 1 przez dwumian (x + 2).
Mirosław Gil
77
Zad.917 Reszta z dzielenia wielomianu W przez trójmian 2 x 2  5 x  3 jest równa
wielomianu W przez dwumian x  3 .
Wyznacz zbiór
A 
B 
x
x
: x  R 
x  2 . Oblicz resztę z dzielenia
x  1  x  1

: x  R  x  2  x 2  4 x  4
6  x


C  x : x  R 
 1
x



 0

C  A  B
Zad.919 Wielomian W przy dzieleniu przez x – 1, x – 2, x – 3, daje odpowiednio reszty z dzielenia 1, 2, 3. Wyznacz resztę
z dzielenia W przez iloczyn (x -1)(x - 2)(x - 3).
Zad.920 Reszta z dzielenia wielomianu W przez wielomian Q określony wzorem Q(x) = x 4 + x3 + x2 – x – 2 wynosi
x3 + x2 + x + 2. Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu W przez x 2 – 1.
Zad.921 Dla jakich wartości parametrów a i b liczba 1 jest trzykrotnym pierwiastkiem wielomianu
W(x) = x4 – 5x3 + 9x2 + ax + b?
Zad.922 Dla jakich wartości parametru m wielomian W(x) = 2x4 – 2x3 – 6x2 + 10x + m ma pierwiastek trzykrotny?
Zad.923 Dla jakich wartości parametru m równanie m2x3 + (m2 + 6m)x2 + (m + 6)x=0 ma trzy różne pierwiastki ?
Zad.924 Wyznacz liczbę pierwiastków równania (x3 + 5x2 + 8x + 4)((m + 2)x2 – 6mx + 4m – 1) = 0 w zależności od
parametru m. Naszkicuj wykres funkcji, która każdej liczbie rzeczywistej m przyporządkowuje liczbę rozwiązań tego
równania.
Zad.925 a) Dla jakich wartości parametru m należącego do zbioru liczb rzeczywistych równanie: x 3-6x2-m-5=0
jest spełnione przez dokładnie dwie różne liczby rzeczywiste?
b) Pary (x,y) liczb całkowitych, spełniające równanie: x3-x2y+xy-y2=5 są współrzędnymi wierzchołków
pewnego wielokąta wypukłego. Oblicz pole tego wielokąta.
Zad.926 Dany jest wielomian W(x)=x2-mx+m2-2m+1. Dla jakich wartości parametru m wielomian ten ma dwa różne
pierwiastki rzeczywiste, których suma jest o jeden większa od ich iloczynu?
Zad.927 Wyznacz wszystkie wartości parametru k, dla których równanie
(x2 – (3k – 1)x + 2k2 – k)(x2 – (4k + 1)x + 3k2 + k) = 0 ma trzy różne rozwiązania.
Zad.928 Rozwiąż równania a) x4 – 2x3 – 2x2 + 2x + 1 = 0
b) 6x4 + 7x3 – 36x2 – 7x + 6 = 0
Zad.929 Liczby 3 i –1 są pierwiastkami wielomianu W(x) = 2x3 + ax2 + bx + 30. Wyznacz współczynniki a i b oraz trzeci
pierwiastek wielomianu.
Zad.930 Rozwiąż nierówności a) x3 – 7x + 6 ≥ 0
b) 3x 3 – 15x2 + 2x – 10 ≤ 0
Zad.931 Wielomian P(x) = x3 – 21x + 20 rozłóż na czynniki liniowe.
Zad.932 Rozwiąż nierówność 4x3 – 9x2 +2x < 0
Zad.933 Przedstaw wielomian W(x) = x4 – 2x3 – 3x2 + 4x – 1 w postaci iloczynu dwóch wielomianów stopnia drugiego o
współczynnikach całkowitych i takich, że współczynniki przy drugich potęgach są równe jeden.
Zad.934 Pierwiastkami równania x2 + px + p są dwie różne liczby x1, x2. Stosując wzory Viete’a zbadaj, czy istnieje taka
wartość p, przy której wyrażenie (x1 + 2x2) (x2 + 2x1) osiąga wartość 1.
Zad.935 Liczby x3 – x2 – x; x + 1; x2 – x są kolejnymi wyrazami rosnącego ciągu arytmetycznego. Oblicz x.
Mirosław Gil
78
Zad.936 Liczby a, b, c są w podanej kolejności wyrazami ciągu geometrycznego o ilorazie równym (-2). Wielomian W jest
określony wzorem W(x) = x3 + ax2 + bx + c. Wiedząc, że W(2) = - 4 oblicz resztę z dzielenia wielomianu W(x) przez
dwumian x + 1.
Zad.937
Wielomian
współczynnikach całkowitych W zmiennej x z parametrami m i n
W ( x )  x  ( m  n ) x  ( n  1) x  1 . Wyznacz wartości m i n, dla których dany wielomian ma dwa różne
pierwiastki całkowite.
3
2
o
Zad.938 Dla jakich wartości parametru m funkcja f(x) = ( m – 2)x2 – 2mx + m – 5 przyjmuje wartości ujemne dla
wszystkich liczb rzeczywistych?
Zad.939 Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których prosta o równaniu y = 2x + m jest styczna do okręgu o
równaniu x2 + y2 = 4.
Zad.940 Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie |x2 – 1| + |x2 – 25| = m ma dokładnie dwa
rozwiązania.
Zad.941 Podaj wzór oraz sporządź wykres funkcji y = f(m), gdzie f(m) oznacza liczbę pierwiastków równania
m  1x 2  m
8 x  m 2  m  1  0 w zależności od parametru m.
Zad.942 Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie x 2 + (3 – m2)|x| + m2 + m – 2 = 0 ma dokładnie
trzy rozwiązania.
Zad.943 Wielomian f jest określony wzorem f(x) = ax4 – 9x3 + 3x2 + 7x + b dla pewnych liczb pierwszych
2
jest pierwiastkiem tego wielomianu. Oblicz a i b.
3
2x 1
Zad.944 Wyznacz dziedzinę funkcji a ) f ( x ) 
x 3  6 x 2  5 x  12
a oraz b. Wiadomo, że
Zad.945 Wykres funkcji wielomianowej czwartego stopnia jest symetryczny względem osi rzędnych i przechodzi przez
punkt P = (0; 4), natomiast styczna do wykresu w punkcie Q = (4; 0) jest równoległa do osi odciętych. Znajdź wzór, którym
ta funkcja jest określona i naszkicuj jej wykres.
Zad.946 Rozwiąż nierówność x4 + 2x3 – 4x2 – 8x < 0
Zad.947 Dla jakich wartości parametru m wielomian W(x) = (x + 1) 2(x + 2m)2(x + m2 – 15) ma pierwiastek potrójny? Dla
najmniejszej z wyznaczonych wartości m rozwiąż nierówność W(x) < 0. ( odp. -4; -3; 4; 5)
Zad.948 Dla jakich m równanie x3 – 12x = m ma trzy różne pierwiastki.
Zad.949 Dla jakich m jedynym rozwiązaniem równania x3 + m3x2 – m2x – 1 = 0 jest liczba 1? (pochodna)
Mirosław Gil
79
Statystyka
Zad.950 Oceny Ewy z dziewięciu obowiązkowych przedmiotów to 3,5,3,4,4,5,4,3,5. Gdyby do średniej wliczyć ocenę z
języka francuskiego – dodatkowego, to średnia ocen wzrosłaby o 0,1. Jaką ocenę dostała Ewa z języka francuskiego?
Zad.951 Janek ma następujące oceny: 5;5;3;4;3;3;4. Oblicz średnią ocen, wariancję i odchylenie standardowe. Wyniki
podaj z dokładnością do 0,01.
Zad.952 Pewną grupę dzieci zapytano o liczbę i płeć ich rodzeństwa. Wyniki przedstawiono w tabeli.
Imię
Liczba
Liczba
dziecka rodzeństwa
rodzeństwa
płci żeńskiej płci męskiej
Kasia
2
0
Gosia
0
1
Zosia
1
1
Basia
0
2
Maciej 0
0
Filip
1
1
Wojtek 0
0
Bartek 1
2
a) oblicz, ile wynosi średnia liczba dzieci w tych rodzinach
b) oblicz, ile jest równa średnia liczba chłopców w tych rodzinach
c) jaki procent wszystkich zapytanych dzieci stanowią jedynacy?
d) Ile wynosi mediana liczby dzieci w tych ośmiu rodzinach?
Zad.953 W konkursie wiedzy o ekologii brało udział 27 uczniów. Maksymalnie można było zdobyć 7 punktów. Na
diagramie przedstawiono wyniki 25 uczniów. Popraw diagram tak, aby przedstawiał wyniki wszystkich uczniów.
Wiadomo, że wyniki pozostałych uczniów nie zmienią mediany, a średnia arytmetyczna wyników będzie równa 4 oraz, że
maksymalną liczbę punktów otrzymało dwóch uczniów. Uzasadnij odpowiedź.
liczba uczniów
7
6
5
4
3
2
1
0
1
2
3
4
5
6
7
liczba punktów
Zad.954 Mateusz przez 7 dni mierzył temperaturę powietrza i zapisywał wyniki tych pomiarów. Pierwszego dnia zmierzył
temperaturę 120 C. Na diagramie przedstaw wynik pierwszego pomiaru. Uzupełnij diagram wiedząc, ze temperatury w
kolejnych dniach zmieniały się następująco ( w stosunki do dnia poprzedniego) : drugiego dnia temperatura zmalała o
1
1
wartości, trzeciego – zmalała o połowę, czwartego wzrosła o 20C, piątego ponownie zmalała o
wartości, szóstego
3
3
zmalała o 25% wartości, a siódmego wzrosła czterokrotnie.
a) oblicz średnią temperaturę zmierzoną przez Mateusza.
b) oblicz odchylenie standardowe pomiarów Mateusza. Wynik podaj z dokładnością do 0,01.
Mirosław Gil
80
Zad.955 W tabeli przedstawiono liczby bramek, które padały w meczach międzyszkolnych w piłce ręcznej:
Liczba bramek
0 1 2 3 4 5 6
Liczba meczy
1 1 4 1 2 2 1
a) sporządź diagram słupkowy ilustrujący wyniki tych rozgrywek
b) oblicz średnią liczbę bramek przypadającą na jeden mecz
c) oblicz odchylenie standardowe liczby bramek w tych rozgrywkach. Wynik podaj z dokładnością do 0,01.
Zad.956 W pewnej firmie pracownicy są zaszeregowani do trzech grup uposażeń. Liczbę pracowników i płace(w euro) w
poszczególnych grupach przedstawia diagram słupkowy. Wyznacz średnią płacę miesięczną w tej firmie.
oblicz wariancję i odchylenie standardowe miesięcznej płacy w tej firmie. Odchylenie podaj z dokładnością
do 0,1.
Zad.957 Kostka masła ma nominalną wagę 20 dag. W czasie kontroli zważono 150 kostek. Wyniki przedstawiono w tabeli:
Masa kostki[dag] 16 18 19 20 21 22
Liczba kostek
1
15 24 68 26 16
a) Oblicz średnią arytmetyczną oraz odchylenie standardowe masy kostki masła
b) Kontrola wypada pozytywnie, jeśli średnia masa kostki jest równa masie nominalnej i odchylenie standardowe nie
przekracza 1 dag. Czy kontrola wypadła pozytywnie? Odpowiedź uzasadnij.
Zad.958 W pewnej szkole po pierwszym półroczu przeprowadzono test. Tabela przedstawia zestawienie wyników tego
testu
Ocena
1
2
3
4
5
6
Liczba uczniów 10 30 80 30 25 5
a)
b)
c)
d)
e)
sporządź diagram słupkowy przedstawiający wyniki testu
oblicz średnią uzyskanych ocen
podaj medianę i dominantę
oblicz wariancję i odchylenie standardowe
oblicz ilu uczniów uzyskało ocenę wyższą od średniej oceny.
Zad.959 W pewnej szkole przeprowadzono ankietę jak często uczniowie chodzili do teatru.
Liczba pobytów 1 2 3 4 5 6
w teatrze
Liczba uczniów 6 2 2 7 2 1
a) sporządź diagram słupkowy przedstawiający te dane
b) oblicz średnią arytmetyczną pobytów w teatrze przypadającą na jednego ucznia oraz oblicz ile procent uczniów
bywa w teatrze rzadziej niż wynosi średnia
c) podaj medianę i dominantę
d) oblicz odchylenie standardowe
Mirosław Gil
81
Zad.960 W pewnej firmie zatrudniającej 200 osób, zarobki kształtują się następująco:
Kwota
[zł]
11500
9250
4120
1552
1123
Zatrudnieni
[%]
1
2
5
43
49
a) jaka jest mediana zarobków w tej firmie?
b) po zatrudnieniu dwóch nowych pracowników na jednakowo opłacane stanowisko średnia arytmetyczna zarobków
w tej firmie zmalała o 2,63zł. Jakie wynagrodzenie otrzymali nowi pracownicy?
Zad.961 Na wykresie przedstawiono, za którym razem uczniowie pewnej klasy maturalnej zdali egzamin na prawo jazdy.
Oblicz średnią liczbę prób, wariancję, odchylenie standardowe. Podaj dominantę i medianę.
7
liczba uczniów
6
5
4
3
2
1
0
1
2
3
4
5
6
liczba prób
Mirosław Gil
82
Pochodna
a)
b)
c)
d)
e)
f ( x) 
x3
1  x 2
zbadaj parzystość funkcji f
podaj równania asymptot wykresu
określ przedziały monotoniczności
wyznacz ekstrema
naszkicuj wykres
Zad.963 Ile jest takich stycznych do wykresu funkcji
kierunkowy równy 8? Podaj równania tych stycznych.
4
2
f ( x)  x 4  x 3  4 x 2  , które mają współczynnik
3
3
Zad.964 Określ przedziały monotoniczności wielomianu W(x) = x3 + 4mx2 + 4m2x w zależności od parametru m.
Zad.965 Dobierz tak współczynniki a,b,c we wzorze funkcji f(x) = x3 + ax2 + bx + c, aby spełnione były jednocześnie dwa
warunki:
- wykres funkcji f przecina się z wykresem funkcji f’ w punkcie (-1; 4)
- najmniejszą wartością funkcji f’ jest
1
4 .
3
Zad.966 Mówimy, że wykresy funkcji są styczne, jeżeli mają wspólną styczną w swoim wspólnym punkcie. Narysuj
parabole y = –x2 – 8x – 7 i y = 0,5x2 – 2x – 1 i sprawdź, czy są one styczne.
Zad.967 Poprowadzono styczną do krzywej
f ( x) 
a
, a > 0 w dowolnym punkcie tej krzywej o dodatniej odciętej.
x2
Wykaż, że pole trójkąta ograniczonego tą styczną i osiami układu współrzędnych jest równe
9
dla x0 = a.
4
Zad.968 Wyznacz maksymalne przedziały, w których funkcja
przedziale (1; 4)? Odpowiedź uzasadnij.
Zad.969 Sprawdź, że jeżeli x
 <0; 1>, to
f ( x) 
x 3
jest malejąca. Czy funkcja jest rosnąca w
x2  5
1
11
 x11  1  x   1 .
1024
Zad.970 Wykaż, że jeżeli x > 1, to x2005 – 1 > 2005(x – 1).
Zad.971 Wyznacz liczbę ekstremów funkcji f(x) = ax3 + 6x2 + 2x + b w zależności od parametrów a i b.
Zad.972 Szklanka ma kształt walca o objętości 0,3 litra. Jakie wymiary powinien mieć ten walec, aby zużyto na walec jak
najmniej szkła?
Zad.973 Funkcja f ma następujące własności:
a) jej dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych,
b) f jest funkcją nieparzystą,
c) f jest ciągła oraz:
d) f’ < 0 dla x  (-8; -3)
e) f’ > 0 dla x  (-3; -1)
f) f’ < 0 dla x  (-1; 0)
g) f’ (-3) = f’ (-1) = 0
h) f(-8) = 0
i) f(-3) = -2
j) f(-2) = 0
k) f(-1) = 1
W prostokątnym układzie współrzędnych naszkicuj wykres funkcji f w przedziale <-8; 8>.
Mirosław Gil
83
Zad.974 Wśród wszystkich graniastosłupów prawidłowych trójkątnych o objętości równej 2 m3 istnieje taki, którego pole
powierzchni całkowitej jest najmniejsze. Wyznacz długości krawędzi takiego graniastosłupa.
Zad.975 Wyznacz współczynniki funkcji y = -x2 + bx + c tak, aby funkcja ta dla x = -1 osiągała maksimum o wartości 4.
Zad.976 Dla jakich wartości k funkcja f(x) = k sinx – 0,5 cos2x ma lokalne ekstremum w x=/3 ?
Zbadaj czy to jest maksimum czy minimum.
Zad.977 Zbadaj liczbę rozwiązań równania x3 – 3x –2 = m w zależności od parametru m  R. Sporządź wykres funkcji
k = f(m) i zbadaj jej ciągłość:
Zad.978 Dla jakich wartości parametru m funkcja f(x) = 4x3 + 5m2 + 5(3 – m)x + 1 nie ma
ekstremum ?
Zad.979 Dla jakich wartości parametru m funkcja f(x) jest rosnąca w zbiorze R?
m2  1 3
f ( x) 
x  (m  1) x 2  2 x  1
3
Zad.980 Narysuj wykres dowolnej funkcji w przedziale  -4; 5  , spełniającej warunki :f(- 4) = - 4;
f(- 1) = 3; f’(- 1) = 0; f(3) = - 3; f’(x)  0 dla x  ( - 4; - 1); f’ (x)  0 dla x  ( - 1; 2) ;
f’(x) = 0 dla x  (2;5).
Zad.981 Dla jakich wartości parametrów m i k funkcja f(x) jest ciągła w punkcie x = 2 ?
 x 3  mx  2

f ( x)   x  2

k dla
dla
x2
x2
Zad.982 Dla jakich wartości m funkcja f(x) osiąga ekstremum w punkcie x = 1 ? Zbadaj, czy to jest maksimum, czy
minimum.
x 2  2mx  1
f ( x) 
x2
Zad.983 Zbadaj ciągłość i różniczkowalność funkcji w zbiorze R
 x 1
dla
f ( x)   2
 x  x  1 dla
Mirosław Gil
x  0;2
x   ;0   2;  
84
Zadania na dowodzenie
Zad.984 W trójkącie ABC ( BCA = 900 ) dane są długości przyprostokątnych: BC = a i CA = b. Dwusieczna kąta prostego
tego trójkąta przecina przeciwprostokątną AB w punkcie D. Wykaż, że CD jest równa
ab
2.
ab
Zad.985 Wykaż, że w trójkącie prostokątnym suma kwadratów sinusów miar wszystkich jego kątów wewnętrznych równa
się 2.
Zad.986 Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b, c funkcja
f(x) = (x – a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – a)(x – c) ma co najmniej jedno miejsce zerowe.
Zad.987 Wykaż, że jeżeli k > 0, to równanie x2 + k(x – 1) = 0 ma dwa pierwiastki.
Zad. 988 Przeprowadź dyskusję istnienia liczby rozwiązań równania : 2x – 3 = px – 4p; ax + 2a = 3ax;
ax + 3 = 3a; cx – b = 3ax; a(2 – x) = b(x + 3).
Zad.989 Przeprowadź dyskusję istnienia liczby rozwiązań układu równań:
3x  ay  3  x  y  a
 2 x  ay  1
; 
; 
.

ax  3 y  3 mx  12 y  0 3x  2 y  b
Zad.990 Wykaż, że jeżeli x > 0 i y > 0 oraz 2x + 3y = 5, to x2y3 < 1
Zad.991 Dany jest trapez ABCD o podstawach AB i CD. Przekątne tego trapezu przecinają się w punkcie S. Wykaż, że
│SA││SD│=│SB││SC│.
Zad.992 Dany jest czworokąt ABCD, w którym AB || CD. Na boku BC wybrano taki punkt E, że |EC| = |CD| i |EB| = |BA|.
Wykaż, że kąt AED jest prosty.
Zad.993 Udowodnij twierdzenie o podziale boku trójkąta dwusieczną kąta wewnętrznego: Dwusieczna kąta wewnętrznego
trójkąta dzieli bok przeciwległy temu kątowi na odcinki proporcjonalne do boków przyległych, czyli (stosując oznaczenia
jak na rysunku). Jeżeli
ACD  BCD , to
AD
DB

AC
CB
.
W dowodzie posłuż się twierdzeniem Talesa, wcześniej jednak przedłuż odcinek AC do punktu przecięcia się z prostą
równoległą do półprostej CD i przechodzącą przez punkt B.
Zad. 994 Na bokach trójkąta równobocznego ABC tak wybrano punkt E,F,D, że │AE│=│BF│=│CD│=⅓│AB│.
a) udowodnij, że trójkąt EFD jest równoboczny
b) udowodnij, że DE ┴ AB, EF ┴ BC, DF ┴ AC.
Mirosław Gil
85
Zad.995 Prosta k równoległa do boku AB trójkąta ABC przecina boki AC oraz BC odpowiednio w punktach D i E.
Wiadomo, że pole trójkąta DEC wynosi 4 cm2, zaś pole trapezu ABED jest równe 8 cm2. Wykaż, że AD  3  1 .
DC
Zad. 996 Punkt S jest środkiem ciężkości trójkąta ABC, punkty A1, B1, C1 są odpowiednio środkami boków BC, AC, AB,
zaś punkty K, L, M – środkami odcinków SA, SB, S.C. Wykaż, że trójkąt KLM jest przystający do trójkąta A1B1C1.
Zad. 997 W trójkącie ABC dwusieczna kąta B przecina bok AC w punkcie M. Przez punkt M prowadzimy prostą
równoległą do BC, przecinającą bok AB w punkcie N. Udowodnij, że │MN│=│BN│.
Zad. 998
Kąty ABC i DBC są przyległe. Poprowadzono dwusieczne tych kątów oraz prostą równoległą do prostej AD, która
przecina te dwusieczne odpowiednio w punktach E i F, zaś ramię BC – w punkcie K. Udowodnij, że │EK│=│KF│.
Zad. 999 W trójkącie ABC przedłużono bok AB poza wierzchołek B i odłożono taki odcinek BD, że │BD│=│BC│.
Następnie połączono punkty C i D. Wykaż, że
CDA  0,5 CBA .
Zad.1000 Trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym równoramiennym. Z punktu M, należącego do przeciwprostokątnej
BC, poprowadzono odcinki MD oraz MS, prostopadłe odpowiednio do AC oraz AB.
Udowodnij, że │MD│ + │MS│ = │AB│.
Mirosław Gil
86
Zad.1001 Trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym. Z punktu M, należącego do przeciwprostokątnej BC, poprowadzono
odcinki MD i MS, prostopadłe odpowiednio do AC oraz AB. Udowodnij, że
DM
SM

 1.
AB
AC
Zad.1002 W trójkącie prostokątnym ABC Przedłużono przeciwprostokątną AB i tk obrano na przedłużeniach punkty D i E,
że │AD│=│AC│ oraz │BE│=│BC│. Udowodnij, że
CDA =1350.
Zad.1003 Dany jest prostokąt ABCD. Okręgi o średnicach AB i AD przecinają się w punktach A i P.
Wykaż, że punkty B, P i D leżą na jednej prostej.
Zad.1004 W okręgu poprowadzono średnicę AB i równoległą do niej cięciwę CD.
Udowodnij, że
ACD  CDA  900 .
Zad. 1005 Wykaż, że suma kwadratów trzech kolejnych liczb całkowitych, z których najmniejszą jest liczba 2k – 3, gdzie k
jest liczbą całkowitą, podzielona przez 3 daje resztę 2.
Zad. 1006 Wykaż, że jeśli x jest liczbą całkowitą nieparzystą, to liczba postaci x6 – x4 – x2 + 1 jest podzielna przez 32.
Zad. 1007 W trójkącie ABC długości boków wynoszą: │AB│ = c, │AC│ = b, │BC│ = a,
gdzie 0 < a < b < c. Pole trójkąta wynosi 3. Wykaż, że
AC  6 .
Zad.1008 W równoległoboku ABCD poprowadzono dwusieczne kątów wewnętrznych BAD i ADC, które przecięły się w
punkcie M. Wykaż, że AMD jest prosty.
Zad.1009 Wykaż, że jeśli a > 2 i b < 4, to 0,5ab + 4 < b + 2a.
Zad.1010 Uzasadnij, że jeżeli a + b = 1 i a2 + b2 = 7, to a4 + b4 = 31.
Zad.1011 Uzasadnij, że jeżeli (a2 + b2) (c2 + d2) = (ac + bd)2, to ad = bc.
Zad.1012 Uzasadnij, że jeżeli a ≠ b, a ≠ c, b ≠ c i a + b = 2c, to
a
b

 2.
ac bc
Mirosław Gil
87
Zad.1013 Wykaż, że jeżeli x i y są liczbami różnymi od zera i 1  1  x  y , to x = y lub xy = – 1.
x
y
Zad.1014 Wiadomo, że x + y + 2 = 0. Udowodnij, że wartość wyrażenia x2 + y2 + xy – 4 jest najmniejsza dla x = y = –1.
Zad.1015 Wykaż, że jeśli x > k, to wyrażenie x3 + 5x – kx2 – 5k przyjmuje tylko wartości dodatnie.
Zad.1016 Uzasadnij, że dla każdej liczby całkowitej k liczba k6 – 2k4 + k2 jest podzielna przez 36.
Zad.1017 W trapezie ABCD podstawy mają długości │AB│ = a oraz │CD│ = b, gdzie a > b > 0 oraz
BAD  ABC  900 . Środek M podstawy AB połączono ze środkiem N podstawy DC. Wykaż, że MN 
ab
.
2
Zad.1018 Wykaż, że dla dowolnego kąta α prawdziwa jest nierówność tg 2α + ctg2α > 2.
Zad.1019 W trójkącie ABC poprowadzono środkowe AD oraz CE, które przecięły się w punkcie M. Wiadomo, że
AD  CE  3 oraz
MAC  ACM  600 . Wykaż, że pole trójkąta ABC wynosi 1.
Zad.1020 Udowodnij, że jeśli x2 + x = y2 + y, to x = y lub y = – x – 1.
Zad.1021 Wykaż, że jeśli a i b nie są równe zeru i a + b ≠ 0 i
a
1

, to
ab
3
b
3 3
.

ab
3
Zad.1022 Udowodnij, że iloczyn cyfr dowolnej liczby czterocyfrowej jest mniejszy od tej liczby.
Zad.1023 Udowodnij, że zbiór wartości funkcji
f ( x) 
x 2  8 x  16
, gdzie x ≠ –4, jest dwuelementowy.
x4
Zad.1024 Wykaż, że jeśli a – b < 0 i a + b > 0, to │a│<│b│.
Zad.1025 Udowodnij, że jedynym rozwiązaniem równania x2 + y2 – 12x + 2y + 37 = 0 jest para liczb (6; –1).
Zad.1026 Na bokach AC i BC trójkąta ABC tak wybrano punkty M i N, że MN ║AB oraz
trójkąta ABC wynosi S. Wykaż, że pole trójkąta MNC jest równe
NC
 k,
BN
k  0;1 . Pole
k 2S
.
k  12
Zad.1027 Wykaż, że dla liczb rzeczywistych a i b, gdzie a ≠ 0; b ≠ 0 i a + b ≠ 0 oraz 3a2 – 3ab = ab – b2, to
a b
1
a b

lub
 0.
ab
2
ab
Zad.1027 Długość aa boku rombu oraz długości jego przekątnych d1 i d2 spełniają warunek d1d2 = a2. Udowodnij, że kąt
ostry α rombu spełnia warunek 0 < tgα < 1.
Zad.1028 W kole o promieniu r zaznaczono kąt środkowy AOB o mierze 120 0. Następnie poprowadzono styczne do
okręgu w punktach A i B, które przecięły się w punkcie C. Wykaż, że odległość punktu C od środka O okręgu jest równa
długości średnicy okręgu.
Zad.1029 Trójkąt ABC jest prostokątny. Punkt D jest spodkiem wysokości opuszczonej na przeciwprostokątną AB oraz
3|AD| = |DB|. Wykaż, że
CDA =600.
Mirosław Gil
88
Zad.1030 Rzucono raz dwiema kostkami do gry. Rozważmy zdarzenia:
A – na co najmniej jednej kostce wypadło 6 oczek,
B – na każdej kostce wypadła parzysta liczba oczek.
Wykaż, że P(A – B) = 1/6.
Zad.1031 W trójkącie ABC punkt D jest środkiem boku BC. Wykaż, że



AB  AC  2 AD .
Zad.1032 Romb ABCD zawiera się w płaszczyźnie π. Przez środek symetrii rombu prowadzimy prostą p prostopadłą do
płaszczyzny π. Na prostej p (poza płaszcz yzną π) wybieramy punkt M. Wykaż, ż e punkt m jest równo odległy od boków
rombu.
Zad.1033 Dany jest czworokąt wypukły ABCD niebędący równoległobokiem. Punkty M, N są odpowiednio środkami
boków AB i CD. Punkty P, Q są odpowiednio środkami przekątnych AC i BD. Uzasadnij, że MQ || PN.
Mirosław Gil
89
Zadania z informatora
Zad. 1034 Rozwiąż:
2  3x
1

1  2x
2
b) 2 x 3  x 2  6 x  3  0
x  3y  5
c)

2 x  y  3
2
d)
x  6x  7  0
a)
Zad. 1035 O funkcji liniowej f wiadomo, że f(1)=2 oraz, że do wykresu tej funkcji należy punkt P(-2;3).
Wyznacz wzór funkcji f.
2 x  1

x2
2 x  1 dla
Zad. 1037 Narysuj wykres funkcji 
 x  2 dla
Zad. 1036 Oblicz miejsca zerowe funkcji
dla x  0
dla x  0
x0
x0
Zad. 1038 Oblicz najmniejszą i największą wartość funkcji f(x) = x2 – 6x + 1 w przedziale <0;1>.
Zad. 1039 Wielomiany W(x)=ax(x + b)2 i V(x)=x3 + 2x2 + x są równe. Oblicz a i b.
Zad. 1040 Wyrażenie
3
x
zapisz w postaci ilorazu dwóch wielomianów.

x  3 x 1
Zad. 1041 Napisz równanie prostej równoległej do prostej o równaniu 2x – y – 11 = 0 i przechodzącej przez punkt P=(1;2).
Zad. 1042 Napisz równanie okręgu stycznego do osi Oy, którego środkiem jest punkt S=(3; -5).
Zad.1043 Wyznacz równanie okręgu o środku S=(3; - 5) przechodzącego przez początek układu współrzędnych.
Zad. 1044 Wyznacz równanie prostej zawierającej środkową CD trójkąta ABC, którego wierzchołkami są punkty:
A(-2;-1); B(6;1); C(7;10).
Zad. 1045 W trójkącie prostokątnym, w którym przyprostokątne mają długości 2 i 4, jeden z kątów ostrych ma miarę α.
Oblicz sinαcosα.
Zad. 1046 Kąt α jest ostry i sinα = 0,25. Oblicz 3 + tg 2α.
Zad. 1047 Punkt D leży na boku BC trójkąta równoramiennego ABC, w którym |AC| = |BC|. Odcinek AD dzieli trójkąt
ABC na dwa trójkąty równoramienne w taki sposób, że |AB|=|AD|=|CD|. Oblicz miary kątów trójkąta ABC.
Zad. 1048 Oblicz pole trójkąta równoramiennego ABC, w którym |AB|=24 i |AC|=|BC| = 13.
Zad. 1049 Liczby:
a) 4; 10; c
b) 6; 10; c
c) c – 1; c; 5
są długościami boków trójkąta równoramiennego. Oblicz c.
Zad. 1050 Liczby 6; 10; c są długościami boków trójkąta prostokątnego. Oblicz c.
Zad. 1051 Obwód czworokąta wypukłego ABCD jest równy 50 cm. Obwód trójkąta ABD jest równy 46 cm, a obwód
trójkąta BCD jest równy 36 cm. Oblicz długość przekątnej BD.
Mirosław Gil
90
Zad. 1052 Ile wyrazów ujemnych ma ciąg (an) określony wzorem an = n2 – 2n – 24 dla n > 1?
Zad.1053 Liczby 2; x-3; 8 są w podanej kolejności pierwszym drugim i czwartym wyrazem ciągu arytmetycznego.
Oblicz x.
Zad.1054 Wyrazami ciągu arytmetycznego (an) są kolejne liczby naturalne, które przy dzieleniu przez 5 dają resztę 2.
Ponadto a3 = 12. Oblicz a15.
Zad.1055 Ile jest liczb naturalnych czterocyfrowych takich, że w ich zapisie dziesiętnym występuje jedna cyfra nieparzysta
i trzy cyfry parzyste. ( zero jest liczbą parzystą)?
Zad.1056 Ile jest liczb naturalnych dwucyfrowych podzielnych przez 15 lub 20?
Zad.1057 Ile jest liczb naturalnych trzycyfrowych, w których cyfra dziesiątek jest o 2 większa od cyfry jedności?
Zad. 1058 Na jednej prostej zaznaczono 3 punkty, na drugiej cztery punkty. Ile jest trójkątów, których wierzchołkami są
zaznaczone punkty?
Zad. 1059 Średnia arytmetyczna liczb 3; 1; 1; 0; x; 0 jest równa 2. Oblicz x.
Zad. 1060 Oblicz średnią arytmetyczną danych przedstawionych na diagramie częstości.
50%
45%
40%
częstość
35%
30%
25%
20%
15%
10%
5%
0%
0
1
2
3
wartość
Zad. 1061 Oblicz medianę danych: 0; 1; 3; 3; 1; 1; 2; 1.
Zad. 1062 Oblicz medianę danych przedstawionych w postaci tabeli liczebności:
Wartość
0 1 2 3
liczebność
4 3 1 1
Zad. 1063 Ze zbioru liczb {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11} wybieramy losowo jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo
otrzymania liczby podzielnej przez 3 lub przez 2.
Zad. 1064 Ze zbioru liczb naturalnych dwucyfrowych wybierany losowo jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo
otrzymania liczby podzielnej przez 15.
Zad. 1065 Rzucamy dwa razy symetryczną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania iloczynu oczek
równego 5.
Zad. 1066 A i B są takimi zdarzeniami losowymi zwartymi w Ω, że
Oblicz P ( A  B ).
A  B oraz P(A) = 0,3 i P(B) = 0,4.
Zad. 1067 A i B są takimi zdarzeniami losowymi zwartymi w Ω, że
i P(B) = 0,7. Oblicz P ( B  A) .
A  B oraz P(A) = 0,3
Zad. 1068 Przekątna sześcianu ma długość 9. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego sześcianu.
Mirosław Gil
91
Zad. 1069 Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równoramiennym o podstawie długości 12. Wysokość stożka jest równa 8.
Oblicz pole powierzchni bocznej i objętość tego stożka.
Zad. 1070 Oblicz sinus kąta między przekątną sześcianu a jego płaszczyzną podstawy.
Zad. 1071 Czworokąty ABCD i APQR są kwadratami. Udowodnij, że |BP|=|DR|
Zad. 1072 Na boku trójkąta ABC wybrano punkt D tak, by
CAD  ABC . Odcinek AE jest dwusieczną kąta DAB.
Udowodnij, że |AC|=|CE|.
Zad. 1073 Oblicz sumę wszystkich liczb trzycyfrowych zapisanych wyłącznie za pomocą cyfr ze zbioru {0; 1; 2; 3}.
Zad. 1074 Z pojemnika, w którym są dwa losy wygrywające i trzy losy puste, losujemy dwa razy po jednym losie bez
zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo, że otrzymamy co najmniej jeden los wygrywający. Wynik przedstaw w postaci
ułamka nieskracalnego.
Zad. 1075 Z miejscowości A i B oddalonych od siebie o 182 km wyjeżdżają naprzeciw siebie dwaj rowerzyści. Rowerzysta
jadący z miejscowości B do A jedzie ze średnią prędkością mniejszą
niż 25 km/h. Rowerzysta jadący z miejscowości A do B wyjeżdża o jedną godzinę wcześniej i jedzie ze średnią prędkością
o 7 km/h większą od średniej prędkości drugiego rowerzysty. Rowerzyści spotkali się w takim miejscu, że rowerzysta
jadący z miejscowości A przebył do tego miejsca 9/13 całej drogi z A do B. Z jakimi średnimi prędkościami jechali
rowerzyści?
Zad. 1076 Uczeń przeczytał książkę liczącą 480 stron, przy czym każdego dnia czytał taką samą liczbę stron. Gdyby czytał
każdego dnia o 8 stron więcej, to przeczytałby tę książkę o 3 dni wcześniej. Ile dni uczeń czytał książkę?
Zad. 1077 Liczby a; b; c tworzą w podanej kolejności ciąg geometryczny. Suma tych liczb wynosi 93. Te same liczby w
podanej kolejności są pierwszym, drugim i siódmym wyrazem ciągu arytmetycznego. Oblicz a; b; c.
Mirosław Gil
92
Zad. 1078 Wyznacz wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego wiedząc, że sum jego pierwszych pięciu wyrazów jest
równa 10, a wyrazy trzeci, piąty i trzynasty w podanej kolejności tworzą ciąg geometryczny.
Zad.1079 Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ABCDS jest kwadrat ABCD. Pole trójkąta równoramiennego
ACS jest równe 120 oraz |AC|:|AS| = 10:13. Oblicz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa.
Zad. 1080 Podstawą ostrosłupa ABCDE jest kwadrat ABCD. Punkt F jest środkiem krawędzi AD, odcinek EF jest
wysokości ostrosłupa. Oblicz objętość ostrosłupa, jeśli wiadomo, że |AE|=15; |BE|=17.
Zad. 1081 Dany jest trójkąt prostokątny ABC, w którym |BC|=30; |AC|=40; |AB|=50. Punkt W jest środkiem okręgu
wpisanego w ten trójkąt. Okrąg jest styczny do boku AB w punkcie M. Oblicz długość odcinka CM.
Zad. 1082 Na zewnątrz trójkąta prostokątnego ABC, w którym
ACDE. Punkt H leży na prostej AB i
ACB  900 oraz |AC|=5 i |BC|=12 zbudowano kwadrat
EHA  900 . Oblicz pole trójkąt HAE.
Zad. 1083 Wykaż, że prawdziwa jest nierówność
250  1  250  1  226
Zad. 1084 Udowodnij, że jeśli
a) x, y są liczbami rzeczywistymi, to x2 + y2 > 2xy
b) x, y, z są liczbami rzeczywistymi takimi, że x + y + z = 1, to x2 + y2 + z2 > ⅓.
Mirosław Gil
93
Zad. 1085 Punkt D leży na boku BC trójkąta równoramiennego ABC, w którym |AC|=|BC|. Odcinek AD dzieli trójkąt
ABC na dwa trójkąty równoramienne w taki sposób, że |AD|=|CD| oraz |AB|=|BD|. Udowodnij, że
ADC  5 ACD .
Zad. 1086 Dane są dwa półokręgi o wspólnym środku O i średnicach odpowiednio AB i CD (punkty A; B; C; D i O są
współliniowe). Punkt P leży na wewnętrznym półokręgu, punkt R leży na zewnętrznym półokręgu, punkty O, P i R są
współliniowe. Udowodnij, że
APB  CRD  1800 .
Mirosław Gil
94
ZADANIA DO POWTÓRKI
FUNKCJE
Zad.1087 Wykres funkcji liniowej przechodzi przez punkty A(3,-4) , B(6,-2). Wyznacz punkty wspólne wykresu tej
funkcji z osiami układu współrzędnych.
Zad.1088 Napisz równanie prostej , która jest nachylona do osi 0x pod kątem

3
i przecina oś y w punkcie A(0,3).
4
Zad.1089 Sprawdź , czy punkty A(0,5), B(4,1), C(-2,7) należą do jednej prostej ( algebraicznie ).
Zad.1090 Naszkicuj wykres funkcji
Zad.1091 Ustal dziedzinę funkcji :
y  x  x  2
y
x
2

 4 x2  4x

y   x 2  7 x  12 .
2
Zad.1093 Naszkicuj wykres funkcji i opisz jej własności : y  x  4 x  3 .
Zad.1092 Przedstaw w postaci iloczynowej i kanonicznej trójmian :
Zad.1094 Naszkicuj wykres funkcji:
y  2x 2  x 1
y  x 2  5 x oraz ustal liczbę rozwiązań równania x 2  5 x  m
w zależności od parametru m.
Zad.1096 Oblicz współczynniki trójmianu
i ymax = 12 dla x = 1.
y  ax 2  bx  c jeśli do wykresu trójmianu należy punkt A(3,0)
Zad.1097 Obwód prostokąta jest równy 40 cm. Jak dobrać wymiary tego prostokąta , by jego pole było
największe ?
y  sin x dla x  0;2 , opisz jej własności ,a następnie wykonując


y  sin  x   , y  sin x
2

  
Zad.1099 Naszkicuj wykres funkcji y  tg x dla x    ;  , opisz jej własności , a następnie wykonując
 2 2
odpowiednie przekształcenia wykonaj wykresy y  tg x  1 , y   tg x .
odpowiednie przekształcenia wykonaj wykresy :
x2 1
x3  x


,
b)
f
x

, c) f  x   sin x  cos x .
x 1
x4
2
Zad.1101 Na podstawie definicji uzasadnij ,że funkcja : y  x jest rosnąca w R+.
x 1
Zad.1102 Narysuj wykres funkcji i opisz jej własności : y 
x2
Zad.1100 Zbadaj parzystość funkcji : a)
Zad.1103 Narysuj wykres funkcji y = 
f x  
1
x  4 , podaj jej miejsce zerowe i odczytaj własności.
2
Zad.1104 Rozłóż na czynniki wielomiany: W(x) = x3-2x2-3x
,
P(x) = x3-2x2-9x+18
Zad.1105 Wyznacz a i b , aby podane wielomiany były równe: W (x) = 3x2- (
1
1
a+b)x2+2x-2, V(x) = (-a+ b )x3-4x2+2x-2
2
2
Zad.1106 Zadrukowana część stronicy książki ma mieć pole 384 cm2.Marginesy boczne mają mieć szerokość 1 cm, a dolny
i górny po 1,5 cm .Wyznacz wymiary stronicy tak, aby na produkcję książki zużyć jak najmniej papieru.
Mirosław Gil
95
Zad.1107 Dla jakich wartości parametru m funkcja: y = (m2 + 5m – 6)x2 – (m – 1)x – 2 przyjmuje tylko wartości ujemne ?
Zad.1108 Właściciel sklepu kupuje aparaty fotograficzne u producenta po 100 zł. za sztukę i sprzedaje 40 sztuk
miesięcznie po 160 zł. Właściciel oszacował, że każda kolejna obniżka ceny aparatu o 1 zł. zwiększa sprzedaż o jedną
sztukę. Jak powinien sprzedawca ustalić cenę aparatu, aby jego zysk był największy ?
y  x2  2x 1
2
równania
x  2x 1  m

sin 2 120 0  cos  180 0
tg  1350  ctg 4050

Zad.1111 Oblicz: 16
1

2

,8
2
3
,9
następnie na podstawie wykresu podaj liczbę rozwiązań
, w zależności od parametru m
LICZBY
Zad.1110 Oblicz :
,
1, 5
,

6,250,5
Zad.1112 Złożyłeś do banku 1000 zł. Oprocentowanie wkładu wynosi 12  w skali roku , a kapitalizacja odsetek ma
miejsce co pół roku. Ile będziesz miał pieniędzy po 18 miesiącach ?
Zad.1113 Zbuduj kąt
sin   

i oblicz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta
1
 3 
i    ;
.
3
 2 
2 1
2 1
2 3



2 1
2 1
2
Zad.1114 Przedstaw w prostszej postaci :
Zad.1115 Dane są liczby :
x  2  3 , y  1 2 2 . Oblicz x  y ,
1

gdy
x
.
y
1
1 3 5
5  4
2
Zad.1116 Oblicz :
2
 13 0,8 
5  2 




Zad.1117 Cena pewnego towaru wynosiła 100zł. Najpierw podwyższono ją o 20, a następnie nową cenę obniżono
o 20 . Ile teraz kosztuje ten towar ?
Zad.1118 Iloczyn pewnej liczby przez 3 jest o 20 większy od ilorazu tej liczby 3. Jaka to liczba ?
Zad.1119 Oblicz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta
Zad.1120 Oblicz a z równania :
3  a



gdy
1

tg    ,   ( , ) .
2
2
2 2 2  2 3
Zad.1121 Oblicz 80% liczby x gdy :
x=5
1 1
81  30  33  31  ( 5 -3)( 5 +3)
3 3
Zad.1122 Przedstaw w postaci ułamka zwykłego liczbę 0,(12)
1
8 2
x  y  : x
x  z  y
4
Zad.1123 Wykonaj działania:
2
2
6
 y 1
7
 z 1


Mirosław Gil
96
CIĄGI.
Zad.1124 Które wyrazy ciągu an = n3 – n2 – 9n są równe -9 ?
Zad.1125 Przedstaw w postaci ułamka zwykłego liczbę : 0, (12).
Zad.1126 Oblicz sumę wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, które przy dzieleniu przez 4 dają resztę 1.
2 3 2 2 3 2 2 3
 
 
 ...
3
3
9
9 27
3n  1
Zad.1128 Sprawdź , czy ciąg a n 
jest arytmetyczny.
2
4
Zad.1129 Sprawdź , czy ciąg podany wzorem a n  n jest geometryczny.
5
Zad.1127 Oblicz sumę :
2
Zad.1130 Ze zbioru Z={ 1, 2, 3, 4, ... , 999, 1000 } losujemy jedną liczbę . Oblicz prawdopodobieństwo, że wylosowana
liczba jest podzielna przez 4.
Zad.1131 Kupiono na raty meble za 4500 zł. Pierwsza rata wynosi 650 zł, a każda następna rata jest o 50 zł mniejsza od
poprzedniej. Ile ma być rat ? Ile wyniesie ostatnia rata ?
Zad.1132 Za trzy książki , których ceny tworzą ciąg geometryczny zapłacono 95 zł. Najdroższa książka kosztowała o 5 zł
mniej niż dwie pozostałe . Ile kosztowała każda książka ?
Zad.1133 Zbadaj monotoniczność ciągu :
an 
n3
.
n
x 2  x 3  x 4  ... 
1
2
Zad.1135 Znajdź trzy liczby tworzące ciąg geometryczny wiedząc, że suma tych liczb wynosi 21, iloczyn zaś 216.
Zad.1136 Ciąg an jest geometryczny . Znajdź wyraz pierwszy , iloraz i sumę pięciu pierwszych wyrazów gdy:
a4 
1
1
, a7 
.
16
128
Zad.1137 Ciąg an jest arytmetyczny. Znajdź wyraz pierwszy, różnicę i sumę dziesięciu pierwszych wyrazów gdy :
a3 = 3 , a5 = 2.
Zad.1138 Sprawdź , czy liczby
 1  2 , 2 ,2  2 2 są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego.
Zad.1139 Ciąg an jest określony wzorem: an = -6n + 48. Dla jakich n zachodzi równość: 27an = a1 + a2 + a3 +…+an-1 ?
Zad.1140 Wszystkie wyrazy pewnego ciągu arytmetycznego są dodatnimi liczbami całkowitymi. Suma wyrazu pierwszego
i trzeciego wynosi 4 , a iloczyn tych wyrazów 3. Znajdź największą liczbę n, dla której spełniona jest nierówność:
a1 + a2 + a3 + ....+an < 105.
Zad.1141 W malejącym ciągu arytmetycznym stosunek wyrazu szóstego do trzeciego wynosi 7, a suma kwadratów wyrazu
drugiego i czwartego równa się 40. Ile wyrazów tego ciągu należy dodać, aby otrzymać - 64 ?
Zad.1142 Trzy pierwiastki wielomianu o współczynnikach całkowitych tworzą ciąg arytmetyczny. Ich suma wynosi 21, a
iloczyn 315. Wykaż, że dla każdej całkowitej liczby nieparzystej wielomian ten przyjmuje wartość podzielną przez 48.
Zad.1143 W nieskończonym ciągu arytmetycznym (a n) czwarty wyraz jest równy 4007, a siódmy wyraz wynosi 7004. O
nieskończonym ciągu geometrycznym (bn) wiadomo, że jest monotoniczny i jego trzeci wyraz jest równy 1,25 i suma
trzech pierwszych jego wyrazów jest równa 8,75.
Mirosław Gil
97
Zad.1144 Dla jakich wartości x liczby: log2, log(3x – 3), log(3x + 9) są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego ?
Zad.1145 Suma trzech liczb tworzących ciąg arytmetyczny jest równa 15, jeżeli do drugiej z nich dodamy 1, a do trzeciej 5,
to otrzymamy ciąg geometryczny. Wyznacz te liczby.
2
Zad.1146 Dla jakich wartości x liczby: 9,
różnicę tego ciągu.
4x
 2 1 x
,
są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Wyznacz
Zad.1147 Oblicz sumę wszystkich liczb naturalnych mniejszych od 1000, które nie są podzielne przez 3.
Zad.1148 Pierwiastkiem wielomianu W(x) = x3 + ax2 + bx + c jest liczba r = -2. Wyznacz współczynniki a, b, c oraz
wiedząc, że liczby: 1, a, b, c tworzą ciąg geometryczny rozwiąż nierówność W ( x )  5
Zad.1149 Suma dziewięciu pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego wynosi 18, a suma siedmiu pierwszych wyrazów
tego ciągu jest równa 0. Wyrazy a7, a8, a9 są miarami długości boków trójkąta . Oblicz stosunek długości promienia okręgu
wpisanego w ten trójkąt do długości promienia okręgu opisanego na nim.
an 
Zad.1150 Dany jest ciąg o wyrazie ogólnym:
7
ciągu są mniejsze od 8 .
( n  1)! n!
( n  1)! n! , zbadaj jego monotoniczność i podaj, które wyrazy
Zad.1151 W ciągu arytmetycznym a8 = 23, S8 = 100. Ile wyrazów tego ciągu daje w sumie 392 ?
Zad.1152 Rozwiąż równanie : 2+5+8...+ x = 187 wiedząc, że lewa strona jest sumą ciągu arytmetycznego.
Zad.1153 Długości krawędzi kartonika na sok owocowy tworzą ciąg geometryczny. Oblicz długości tych krawędzi
wiedząc, że pojemność kartonika to jeden litr, a na jego wykonanie potrzeba 700 cm2 kartonu.
Zad.1154 Wyznacz argument x, dla którego wyrażenia log2(x – 6), log2(2x), log2(x2 + 8x), są odpowiednio pierwszym,
drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Suma ilu wyrazów tego ciągu jest równa 330?
Zad.1155 Pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego jest równy mniejszemu, a piąty większemu pierwiastkowi równania
log(x + 6) – 2 =0,5log(2x – 3) – log25. Wyznacz ten ciąg. Ile wyrazów tego ciągu daje w sumie 150 ?
Zad.1156 Rozwiąż równanie: 1+5+9+...+x =153.
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA.

Zad.1157
- skończona przestrzeń zdarzeń , A, B
Oblicz: P(A  B), P(A’).

 . P(A)= 0,4 , P(B’)=0,7 ,P(A  B)=0,5.
Zad.1158 W pewnej loterii zostało 10 losów , z których trzy wygrywają. Kupiono dwa losy . Jakie jest
prawdopodobieństwo, że dokładnie jeden z zakupionych losów jest wygrywający
Zad.1159 W urnie jest 6 kul białych i n czarnych . Jakie powinno być n , aby prawdopodobieństwo wylosowania dwóch
kul różnych kolorów było równe
8
?
15
Zad.1160 Na ile sposobów można :
a) wybrać dwa ciastka z talerza , na którym jest pączek, sernik i babeczka,
b) ustawić na półce 7 książek ?
Mirosław Gil
98
Zad.1161 Z grupy 12-o osobowej, w której jest 8 chłopców i 4 dziewczyny wybieramy delegację 5–o
osobową. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w skład delegacji wejdzie:
a) 3 chłopców i 2 dziewczyny,
b) co najmniej 1 dziewczyna ?
Zad.1162 Na egzamin przygotowano 60 zadań , z których zdający losuje 3. Oblicz prawdopodobieństwo, że zna odpowiedź
na wszystkie 3 , gdy umie rozwiązać
2
wszystkich zadań.
3
Zad.1163 Na ile sposobów:
a) możesz ustalić kolejność odrabiania prac domowych z 4 przedmiotów,
b) można zaparkować 6 samochodów na parkingu , na którym jest 10 wolnych miejsc ?
Zad.1164 Z pojemnika , w którym znajdują się 3 kule białe, 2 kule czarne i 4 zielone losujemy jednocześnie 3
Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania co najmniej jednej kuli białej.
kule.
Zad.1165 Na ile sposobów można :
a) rozdać medale : złoty , srebrny ,brązowy pomiędzy 5-u zawodników,
b) utworzyć liczby 5-o cyfrowe z cyfr 3,5,7 ?
Zad.1166 Rzucamy dwa razy kostką sześcienną do gry . Jakie jest prawdopodobieństwo, że suma oczek na obu kostkach
nie będzie większa od 8 ?
Zad.1167 Średnio dwie kobiety na 1000 i pięciu mężczyzn na 100 to daltoniści. Z grupy o jednakowej liczbie kobiet i
mężczyzn wylosowano jedną osobę i okazało się, że jest ona daltonistą. Jakie jest prawdopodobieństwo, że jest to
mężczyzna ?
Zad.1168 Rzucono trzema kostkami do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzeń:
A – suma wyrzuconych oczek jest co najmniej równa 17,
B – iloczyn wyrzuconych oczek jest dokładnie równy 24.
Zad.1169 Ankieta przeprowadzona w pewnej szkole na temat nowej matury dała następujące wyniki: 80% uczniów było
przeciw wprowadzeniu nowej matury, wśród nich 60% to dziewczęta. Natomiast wśród zwolenników nowej matury
dziewczęta stanowiły 40%. Spośród badanych wylosowano jedną osobę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że jest to:
a) zwolennik nowej matury,
b) dziewczyna przeciwna nowej maturze
c) dziewczyna
d) chłopak popierający wprowadzenie nowej matury
Zad.1170 Mamy trzy identyczne pudełka i w każdym 10 losów. W pierwszym są trzy losy pełne, w drugim cztery, a w
trzecim siedem. Możemy wylosować trzy losy jednym ze sposobów:
a) losujemy jedno pudełko i z niego trzy losy,
b) z każdego pudełka losujemy po jednym losie,
c) zsypujemy wszystkie losy do jednego pudełka i losujemy trzy losy.
Który ze sposobów daje największe prawdopodobieństwo wylosowania trzech pełnych losów?
Zad.1171 Z liczb 1,2,3,4,5 losujemy bez zwracania kolejno dwie liczby. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzeń:
A – suma wylosowanych liczb jest większa od 7;
B – za pierwszym razem wylosowano liczbę nieparzystą;
STEREOMETRIA
Zad.1172 Z wycinka koła o kącie środkowym 1200 i promieniu 10 zwinięto stożek . Oblicz jego pole powierzchni
całkowitej i objętość.
Zad.1173 Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego, którego
wszystkie krawędzie są równe 6 cm.
Mirosław Gil
99
Zad.1174 Powierzchnia boczna walca po rozwinięciu jest kwadratem o przekątnej
całkowitej i objętość tego walca.
d  tg 420 0 . Oblicz pole powierzchni
Zad.1175 Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość czworościanu foremnego o krawędzi 6 cm.
Zad.1176 Oblicz kąt między przekątnymi sześcianu , którego objętość wynosi 1000 cm3.
Zad.1177 Dwie kule miedziane o promieniach r1 = 3 cm , r2 = 6 cm przetopiono w jedną. Jaki jest jej promień ?
Zad.1178 W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym suma długości jego krawędzi jest równa 48, a pole powierzchni
całkowitej 90. Oblicz :długości jego krawędzi i jego objętość.
Zad.1179 Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego, którego krawędź
podstawy a = 12 cm, a krawędź boczna wynosi 13 cm.
Zad.1180 Tworząca stożka ma długość l i jest nachylona do podstawy pod kątem  . Stożek przecięto płaszczyzną
prostopadłą do wysokości tak, że pole powierzchni bocznej stożka zostało podzielone na dwie równe części.
Oblicz wysokość otrzymanego stożka ściętego.
Zad.1181 W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym przekątna ściany bocznej ma długość d i tworzy z przekątną
podstawy kąt .Oblicz objętość graniastosłupa.
Zad.1182 Podstawą graniastosłupa prostego jest równoległobok ABCD,
którego obwód wynosi 36 cm, wysokość
graniastosłupa H = 8 cm . Przekątne graniastosłupa mają odpowiednio 18 cm i
ABCD.
2 33 cm . Oblicz pole równoległoboku
Zad.1183 W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź boczna ma długość 6 3 , a kąt między wysokościami
sąsiednich ścian bocznych wychodzących z wierzchołka ostrosłupa ma 60 0. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość
tego ostrosłupa.
Zad.1184 W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem,
2
którego tangens wynosi 2 . Wiedząc, że krawędź podstawy ma długość a oblicz objętość i pole powierzchni
całkowitej tego ostrosłupa.
Zad.1185 Podstawą graniastosłupa jest romb. Przekątne sąsiednich ścian bocznych wychodzących z jednego wierzchołka
mają długości równe d i tworzą kąt
2 oraz są nachylone do podstawy pod kątem  . Oblicz objętość graniastosłupa.
Zad.1186 Pole przekroju ostrosłupa prawidłowego trójkątnego płaszczyzną przechodzącą przez krawędź boczną i
wysokość ostrosłupa wynosi P  18 3 . Ściana boczna jest nachylona do podstawy pod kątem
objętość, pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa oraz objętość kuli wpisanej w ten ostrosłup.
  600 .
Oblicz
Zad.1187 W ostrosłup prawidłowy czworokątny o krawędzi podstawy a i wysokości h wpisano sześcian tak, że cztery jego
wierzchołki należą do krawędzi bocznych ostrosłupa, a cztery pozostałe do płaszczyzny podstawy. Wyznacz stosunek
objętości ostrosłupa do objętości sześcianu.
Zad.1188 W graniastosłupie prawidłowym, trójkątnym pole powierzchni bocznej równa się sumie pól obu podstaw. Oblicz
cosinus kąta nachylenia przekątnej ściany bocznej do sąsiedniej ściany bocznej.
Zad.1189 Suma długości trzech krawędzi prostopadłościanu wychodzących z jednego wierzchołka wynosi 18. Długość
jednej z nich jest 2 razy większa niż drugiej. Wyznacz długości krawędzi prostopadłościanu tak, by miał on maksymalną
objętość.
Zad.1190 W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym pole powierzchni jednej ściany bocznej równa się S. Kąt płaski
ściany bocznej przy wierzchołku ostrosłupa równa się 2 . Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Mirosław Gil
100
Zad.1191 Powierzchnia boczna walca po rozwinięciu jest prostokątem, którego przekątna o długości d tworzy z
wysokością kąt  . Wyprowadź wzór na objętość walca. Oblicz ją dla
d 8 2
i  = 600 .
Zad.1192 Jakie powinny być długości przyprostokątnych w trójkącie prostokątnym, którego przeciwprostokątna ma
długość
2 3
, aby stożek otrzymany w wyniku obrotu dookoła jednej przyprostokątnej miał maksymalną objętość.
Zad.1193 Podstawą graniastosłupa prostego jest trójkąt ABC, w którym |AC| = 2 , kąt CAB = 60 0 , kąt ABC = 450 .
Przekątna największej ściany bocznej tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 60 0.Oblicz objętość i pole powierzchni bocznej
tego graniastosłupa.
Zad.1194 Podstawą ostrosłupa jest kwadrat o boku a=2
objętość ostrosłupa.
6 . Krawędź boczna tworzy z podstawą kąt   30 0 . Oblicz
Zad.1195 W ostrosłupie trójkątnym prawidłowym krawędź podstawy ma długość a, zaś kąt nachylenia krawędzi bocznej
do podstawy ma miarę  . Wyznacz objętość ostrosłupa. Oblicz ją dla a = 6 i  = 450.
PLANIMETRIA
Zad.1196 Wyznacz kąty trójkąta mając długości jego boków :
2,2 3 ,4 .
Zad.1197 Bok AB rombu ma długość 13 a przekątna AC ma długość 24. Oblicz : długość przekątnej BD, cos
DAB .
Zad.1198 Na okręgu o promieniu r = 2 opisano trójkąt prostokątny, którego przeciwprostokątna ma długość 10. Obliczyć
pole i obwód tego trójkąta.
Zad.1199 Promień okręgu opisanego na trójkącie ABC ma długość 3. Obliczyć długości boków AB i BC wiedząc, że
sin  C 
1
2 2
i
sin  A 
2
.
3
Zad.1200 Obwód prostokąta jest równy 40 cm . Jak dobrać długości boków prostokąta , by jego pole było największe ?
Zad.1201 Bok rombu ma długość 5 cm, a jeden z jego kątów ma miarę 30 0. Wyznacz długości jego przekątnych.
Zad.1202 W trapezie ABCD o podstawach AB i CD dane są :
AB  16 , CD  10 , AD  4 ,  DAB  60 0 .
Oblicz pole i obwód trapezu.
Zad.1203Trapez równoramienny opisany na okręgu o promieniu 2 cm, ma obwód 20 cm .Oblicz pole tego trapezu.
Zad.1204 Dany jest trójkąt prostokątny ABC, kąt ABC jest dwa razy większy od kąta CAB. Obwód koła wpisanego w ten
trójkąt wynosi 2π .Z wierzchołka C poprowadzono prostą, która przecina przeciwprostokątną
AB w punkcie D i tworzy z krótszą przyprostokątną kąt 300 . Oblicz pole koła opisanego na tym trójkącie.
Zad.1205 Dany jest trójkąt równoboczny ABC o boku a. Na bokach AB, BC, AC obrano odpowiednio punkty C 1, A1, B1
AC1 BA1 CB1 1



C
tak, że: 1 B A1C B1 A 2 .
Punkty przecięcia się odcinków AA1, BB1, CC1są wierzchołkami trójkąta PQR. Oblicz
stosunek pola trójkąta PQR do pola trójkąta ABC.
Zad.1206 Obwód równoległoboku wynosi 72 cm . Stosunek długości jego wysokości 5:7, a stosunek jego kątów
wewnętrznych 1:2. Oblicz długości boków i wysokości równoległoboku.
Zad.1207 Trapez ABCD, w którym AB || CD jest wpisany w okrąg o promieniu R. Mając dane: |BD| = 14,
AB
0
kąt BAD = 60 ,
AD

8
5
oblicz pole i obwód trapezu oraz wyznacz długość R promienia okręgu.
Mirosław Gil
101
Zad.1208 Dwusieczna kąta prostego w trójkącie prostokątnym o przeciwprostokątnej dł. 35cm dzieli tą przeciwprostokątną
w stosunku 3:4. Oblicz stosunek pola koła wpisanego w ten trójkąt do pola koła opisanego na nim.
GEOMETRIA ANALITYCZNA
Zad.1209 Okrąg ma środek O(1,1) i przechodzi przez punkt A(2,3), prosta l przechodzi przez punkty B(1,2) , C(-1,-2).
Wyznacz punkty wspólne prostej i okręgu.
o1 : ( x  2) 2  ( y  5) 2  1 i o2 : x 2  y 2  4 . Czy te okręgi przecinają
Zad.1210 Dane są dwa okręgi o równaniach:
się ?
Zad.1211 Okrąg o1 ma środek O1(1, 2) i promień długości
zewnętrznie do o1. Wyznacz promień okręgu o2.
2
. Okrąg o2 ma środek O2(5,-2) i jest styczny
Zad.1212 Sprawdź, czy punkty A(0,5) , B(4,1) , C(-2,7) należą do jednej prostej. ( algebraicznie ).
Zad.1213 Wykres funkcji liniowej przechodzi przez punkty A(3,-4) i B(6,-2). Wyznacz punkty wspólne wykresu tej
funkcji z osiami układu współrzędnych.
Zad.1214 Dla jakiej liczby a proste o równaniach
a) równoległe , b) prostopadłe.
k : ax  3 y  2  0 , l : 6 x  6 y  1  0 są :
Zad.1215 Punkty A(1,3) , B(2,5) , D(-1,-3) są wierzchołkami równoległoboku ABCD. Wyznacz współrzędne punktu B.
Zad.1216 Napisz równanie prostej , która jest nachylona do osi x pod kątem
A(0,3).
3
4
 
i przecina oś y w punkcie
Zad.1217 Znajdź obraz punktu A(-1,3) w symetrii względem : a) osi X, b) osi Y, c) prostej y = x.
Zad.1218 Znajdź obraz: a) punktu A(-1,3) , b) prostej 2x + y – 3 = 0 w symetrii względem punktu O(-2, 2)
Zad.1219 Napisz równania stycznych do okręgu x2 + y2 – 6x + 4y – 12 = 0 poprowadzonych w punktach przecięcia się
tego kręgu z prostą x – y + 2 = 0. Oblicz pole czworokąta, którego wierzchołkami są punkty styczności, środek okręgu
oraz punkt przecięcia się stycznych.
Zad.1220 Dla jakich wartości parametru m punkt przecięcia się prostych:2x – 3my – 5 = 0 i 6x + 2y – 5 = 0 ma obie
współrzędne dodatnie ?
Zad.1221 Dane są dwa wierzchołki trójkąta ABC: A(-1; 1) oraz B(5; 7). Wysokości trójkąta przecinają się w punkcie
P(3; 3). Wyznacz współrzędne punktu C oraz napisz równanie okręgu opisanego na trójkącie ABC.
Zad.1222 Napisz równanie stycznych do okręgu
x 2  y 2  2 x  6 y  5  0 i prostopadłych do prostej x  2 y  0 .
2
2
Zad.1223 Punkty A (0; -1) i B (-2; 1) należą do okręgu x  y  2 x  4 y  5  0 Znajdź współrzędne takiego
punktu C należącego do tego okręgu, by trójkąt ABC o podstawie AB był równoramienny.
Zad.1224 W trójkącie prostokątnym równoramiennym ABC wierzchołek kąta ostrego A(3; 1). Przyprostokątna BC zawiera
się w prostej o równaniu: x – y + 1 = 0. Napisz równania prostych zawierających pozostałe boki trójkąta.
Zad.1225 W prostokątnym układzie współrzędnych podaj geometryczną interpretację zbiorów:

A   x, y ; x  R; y  R; y  1   x  1
2
 oraz B  x, y ; x  R; y  R; y  2x  1 .
Wykaż, że zbiór A  B jest jednoelementowy.
Mirosław Gil
102
Zad.1226 Dane są równania prostych: 3x + 5y –19 = 0 i 3x – 9y + 51 = 0 zawierających boki równoległoboku oraz
równanie jednej z przekątnych:3x – 2y – 5 = 0.
a) wyznacz współrzędne wierzchołków równoległoboku,
b) napisz równanie drugiej przekątnej,
c) oblicz pole równoległoboku.
Zad.1227 Dana jest prosta k: 2x – y +1 = 0 i okrąg x2 + y2 – 4x – 1 = 0.Wykaż, że prosta jest styczna do okręgu.
Napisz równanie okręgu symetrycznego do danego względem prostej k.
Zad.1228 Dane są punkty A(8;-1) ; B(10;11) oraz prosta l o równaniu x-y+3=0
a) Wyznacz punkt C leżący na prostej l , równoodległy od A i B
b) Wykaż, że trójkąt ABC jest prostokątny
c) Oblicze pole trójkąta ABC
d) Napisz równanie okręgu opisanego na tym trójkącie.
Zad.1229 W okrąg o równaniu x2 + y2 =25 wpisano prostokąt, w ten sposób, że dwa jego wierzchołki należą do prostej o
równaniu 2x – y = 5. Oblicz pole tego prostokąta.
Zad.1230 Oblicz pole trójkąta wyznaczonego przez punkty A(1;-1); B(4;5); C(1;4).
Zad.1231 Dany jest wierzchołek kwadratu A(1;-3) i prosta y =2x, w której zawiera się przekątna BD. Wyznacz
współrzędne pozostałych wierzchołków kwadratu i oblicz jego pole.
Zad.1232 Dany jest okrąg o równaniu x2 + y2 =8 i prosta y = -x +8. Napisz równanie okręgu o najmniejszym promieniu
stycznego jednocześnie do danego okręgu i danej prostej.
Zad.1233 Dwoma wierzchołkami trójkąta ABC są punkty, w których prosta x + y = 4 przecina parabolę y = x 2 – 6x +8, zaś
trzecim jest wierzchołek tej paraboli. Wyznacz wierzchołki trójkąta, zbadaj czy jest on prostokątny i oblicz jego pole.
Zad.1234 Zaznacz w układzie współrzędnych zbiory : A = { (x , y) ; xR i yR i x + y  1 } oraz
B = { (x , y) ; xR i yR i 4x2 + 4y2 – 4x  15 }. Zaznacz osobno zbiór B-A
RÓWNANIA, NIERÓWNOŚCI, UKŁADY
Zad.1235 Dla jakich wartości m   punkt przecięcia się prostych
wykresu funkcji
x  y  4m  1 i 2 x  y  2  m należy do
y  x3?
2
Zad.1236 Dla jakich wartości parametru m pierwiastki równania : 3 x  mx  1,5  0 istnieją i są równe
sinusowi i cosinusowi tego samego kąta  ? Wyznacz ten kąt ( 00<  <3600 ).
Zad.1237 Zbadaj liczbę rozwiązań równania
Zad.1238 Rozwiąż równanie:
x 2  2mx  m 2  m  0 w zależności od parametru m
x 3  5x 2  x  5  0 .
Zad.1239 Przeprowadź dyskusję liczby rozwiązań układu w zależności od a. Dla a = 6 przedstaw
interpretację geometryczną.
3 x  ay  1

ax  12 y  2
x2  6x  9  x  5
Zad.1241 Podaj ilustrację graficzną zbioru rozwiązań równania :
2x  y  3
Mirosław Gil
103
Zad.1242 Wyznaczyć zbiory :
A  B , A  B , A  B , B  A gdy : : A  x  ; x  2  3 , B  2; 6
Zad.1243 Zaznacz na osi liczbowej zbiór:


A  x  ;  x  1   x  2  i x  2
2
2
x  4x  3  y  0

2 x  y  5  0
2
Zad.1244 Rozwiąż graficznie i algebraicznie układ :
x 1
1  2x
x 1
x 2  3x  1
Zad.1246 Rozwiąż nierówność :
 1.
x 2 1
3x  2


A  B , A  B gdy : A  x  ; x  2  4 B   x  ;
 2
x2


3
2
Zad.1248 Rozwiąż nierówność x  2 x  4 x  8  0 .
Zad.1247 Wyznaczyć zbiory


A   x, y ; x  , y  , x 2  y 2  4 x  0
B   x, y ; x  , y  , x  y  0
Zad.1249 Zaznacz w układzie współrzędnych zbiory :
Zad.1250 Jakie krzywe przedstawiają podane równania i nierówności :
a)
x 2   y  2   1 ,b) x 2  y 2  3 y  0 , c) x 2  y 2  4 , d) x  y  2 ?
2
Zad.1251 Dla jakich wartości parametru k istnieją dwa różne pierwiastki rzeczywiste równania: x 2 - ( k + 7 )x + k + 6 = 0
spełniające nierówność (x1 + x2)2  6x1x2 – 2
 2x  3y  4

4 x  my  2m w zależności od parametru m. Dla jakich
Zad.1252 Zbadaj liczbę rozwiązań układu równań : 
całkowitych wartości parametru m rozwiązaniem tego układu jest para liczb dodatnich ?
mx  2m  1 y  3m

x  my  m
Zad.1253 Rozwiąż układ równań : 
Dla jakich wartości parametru m punkt przecięcia się
prostych danych równaniami układu należy do prostej x + 2y – 3 =0.
Zad.1254 Pierwiastkami wielomianu W(x) = x3 + ax2 + bx + 4 są liczby x1 i x2, gdzie x1 to prawdopodobieństwo
wyrzucenia takich samych wyników przy dwukrotnym rzucie monetą, zaś x2 to rozwiązanie równania 2x-2 +2x+1 – 2x = 20.
Wyznacz współczynniki a, b i rozwiąż nierówność W(x) > 0.
Zad.1255 Podaj wszystkie liczby naturalne należące do przedziału

sin 120  cos 180
2 sin 2 60 0 
tg 2250  ctg 4050

2
0
0
a;b)
gdzie a jest wartością wyrażenia :

 , natomiast b jest pierwiastkiem równania : log4{log3[log2(x-2)]}=0

Zad.1256 Dla jakiej wartości parametru m równanie mx 2+(2m-4)x+m-3=0 ma dwa pierwiastki spełniające warunek :
1 1
  2
x1 x 2
1
 
Zad.1257 Dane są zbiory : A={ x ; xR i x3-3x2-4x+12>0 } B={ x ; xR i  3 
Wyznacz : (AB)C
Mirosław Gil
x 2 5 x
 93
}, C={ x ; xR i |x+1|<2 }.
104
Zad.1258 Dla jakich wartości parametru m równanie mx4+(3-m)x2+m=0 ma 4 różne pierwiastki rzeczywiste ?
Zad.1259 Dane są zbiory:

A  x  R; x 5  4 x 3  8 x 2  32  0
B  x  R; log 0,1 4  x   log 0,1 6 x  3
Wyznacz zbiór
2
A \ B A  B
Zad.1260
Rozwiąż
log 1
2


34x  1
 2
2
oraz
nierówność.
Zad.1261 Dla jakich wartości parametru m równanie : x2 + (2m – 3)x + 2m + 5 = 0 ma dwa różne pierwiastki ujemne.
Zad.1262 Dla jakich wartości parametru m funkcja: y = (m2 + 5m – 6)x2 – (m – 1)x – 2 przyjmuje tylko wartości ujemne ?
Zad.1263 Dla jakich wartości parametru m dwa różne pierwiastki równania: 9
1

1
x x
2
1
2
2


1 2
3
x x 
2
4
 4 3m 1
spełniają warunek:
8
?
 A \ B   C , gdzie:
Zad.1264 Wyznacz liczby całkowite należące do zbioru


x 1
B   x; x  R  log1
 1
x

2

 ; C  x; x   π; π
2


A  x; x  R  x 3  3x 2  4 x  0
  2sin x  1
Zad.1265 Turysta przebył pieszo trasę liczącą 600 km . Gdyby codziennie szedł o 10 km więcej byłby w drodze o 5 dni
krócej. Ile dni był turysta w drodze ?
 x  y  1  m

2x  y  m
Zad.1266 Para liczb (x; y) jest rozwiązaniem układu równań 
. Dla jakich wartości parametru m punkt
P(x; y) należy do wnętrza koła o środku w początku układu współrzędnych i promieniu r  5 .
Zad.1267 Rozwiąż układ równań:
 y  x 2  2 x  1
 2
 y  x 2  2 x  2 y  1  0
Zad.1268 Dla jakich wartości parametru m suma sześcianów pierwiastków równania
x 2  2x 
m2
0
m3
jest równa -26.


x2 x3
3x  1
log 2  x 

 ...   log 2
2
4
2


.
Zad.1270 Dla jakich wartości parametru
rzeczywiste.
m
równanie
Zad.1271 Dla jakich wartości parametru m równanie:
3sin
2
Zad.1273 Dla jakich wartości parametru
x
m  22 2 x 1  m2 x 1  m  0
ma dwa różne pierwiastki
21  cos x 
m

cos 2 x
1  cos x ma rozwiązanie.
2
 2  3 cos x .

najmniejsza wartość funkcji f(x) = x2 – 2x + cos2 + sin + 3 jest równa 2 ?
Mirosław Gil
105
Zadania różne
Zad.1274 Rozwiąż układ równań:
parametru m.
oraz przedstaw ilość rozwiązań w zależności od
Zad.1275 Przekrój osiowy walca jest kwadratem o polu 100 cm2. Oblicz pole powierzchni i objętość tego walca.
Zad.1276 W pewnej loterii zostało 10 losów, z których 3 wygrywają. Jakie jest prawdopodobieństwo, że przy zakupie 2
losów dokładnie dwa wygra.
Zad.1277 Rozłóż na czynniki wielomian w(x) = x4 – 3x3 + x – 3. Jakie znasz metody rozkładu wielomianu w(x) na
czynniki ?
Zad.1278 Cena pewnego towaru wraz z podatkiem VAT w wysokości 7% wynosiła 85,60 zł. Podatek VAT podniesiono
do 22%. O ile wzrosła cena tego towaru ?
Zad.1279 Dane są zbiory A = {x
R: | x - 1| < 2} i B = < 1,5 ; 4)} Wyznacz zbiór A
Zad.1280 Jednym z pierwiastków wielomianu
Znajdź pozostałe pierwiastki tego wielomianu.
B oraz A
w(x) = x3 + 6x2 + 11x + 6
B.
jest liczba
a = -1.
Zad.1281 Podaj znane Ci twierdzenia o logarytmach i rozwiąż równanie: log(x+8) – 2 = 0,5log(2x+1) - 2log5.
Zad.1282 Oblicz: tg x, ctg x, cos x wiedząc, że sin x = 0,6 i 90o < x < 180o
Zad.1283 Oblicz pole powierzchni sześcianu wiedząc, że suma długości wszystkich jego krawędzi wynosi 84 cm
Zad.1284 Rozwiąż równanie sin2x+3sinx = 2
Zad.1285 Omów własności funkcji potęgowej, podaj przykłady funkcji potęgowej o wykładniku ujemnym.
Zad.1286 Napisz wzór funkcji liniowej, której wykres przechodzi przez punkt
funkcji f(x) = 2x + 3
A(-2; 4) i jest równoległy do wykresu
Zad.1287 Jaka jest różnica między pochodną funkcji, a pochodną funkcji w punkcie, podaj odpowiedni przykład.
Zad.1288 Pole przekroju kuli płaszczyzną równoległą przechodzącą przez środek wynosi 64 cm2. Znajdź:
powierzchni kuli, oraz objętość kuli.
pole
Zad.1289 Ile wynosi m, jeżeli punkt A(3; m) leży na wykresie funkcji f(x)= -2x + 3
Zad.1290
Wyznacz
różnicę
ciągu
arytmetycznego,
jeżeli
a1
=
2,5
a10=
16.
Zad.1291 Podaj definicję pojęć związanych z ciągiem arytmetycznym.
Zad.1292 Podaj określenie logarytmu. Rozwiąż nierówność: log0,5(2x + 1) < -2.
Zad.1293 Podaj określenie funkcji liniowej. Napisz wzór funkcji liniowej, której wykres przechodzi przez punkty
A(1; 2) B(-3; -1).
Zad.1294 Rozwiąż nierówność: x3 + 3x2 – x – 3 > 0
Zad.1295 Namiot ma kształt stożka o wysokości 2 m i kącie rozwarcia 60o. Ile metrów bieżących wykładziny o szerokości
2,5 m należy kupić, aby wyciąć z niej (bez sztukowania) podłogę do namiotu ?
Zad.1296 Oblicz pole figury ograniczonej wykresami równań i osią rzędnych –x + y = -1;
2x + y = -4
Zad.1297 Napisz równanie stycznej do wykresu funkcji f(x) = x3 – 3x2 + 9x – 13 w punkcie P(1; f(1)).
Mirosław Gil
106
Zad.1297 Oblicz objętość sześcianu wiedząc, że pole jego powierzchni wynosi 150 cm2.
Zad.1298 Za 10,25 kg pewnego towaru zapłacono 41 zł. Ile należy zapłacić za 5,5 kg tego towaru?
Zad.1299 Sprawdź tożsamość trygonometryczną: (tg x + ctg x) 2 =
Zad.1300 Oblicz długość krawędzi sześcianu wiedząc, że jego objętość jest 2 razy większa od objętości prostopadłościanu
o wymiarach: 3 cm, 4cm, 9cm.
Zad.1301 Ile równa się a, jeżeli punkt A(3; 6) leży na wykresie funkcji: f(x) = ax + 3.
Zad.1302 Naszkicuj możliwe kształty wykresów wielomianów III stopnia.
Zad.1303 Oblicz wysokość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego wiedząc, że pole jego powierzchni bocznej wynosi 72
cm2, a krawędź podstawy 4 cm.
Zad.1304 Wykonaj działanie i oblicz wartość wyrażenia: a2 – (a - 1)2 – a(a + 3) dla a = - 2/3
Zad.1305 Namiot ma kształt stożka o tworzącej 2,0 m i kącie rozwarcia 60 o. Ile metrów bieżących wykładziny o szerokości
2,5 m należy kupić, aby wyciąć z niej (bez sztukowania) podłogę do namiotu ?
Zad.1306 Oblicz pole i obwód rombu, w którym jedna przekątna równa się 6 cm, a druga jest od niej dwa razy dłuższa.
Zad.1307 Dla jakiej wartości parametru m pierwiastkiem wielomianu W(x) = x3 – 4x 2 – 2mx – 6
jest liczba –1, zapisz ten wielomian dla wyznaczonego m i policz pozostałe pierwiastki.
Zad.1308 Dane są funkcje x
y = -1,5x + 1 i
równoległe. Sporządź wykres otrzymanych funkcji.
x
y = (1 + m)x - 3.
Wyznacz m tak, aby ich wykresy były
Zad.1309 W okrąg x2 + y2 = 36 wpisano prostokąt tak, że dwa jego wierzchołki należą do prostej y = 2x + 6. Wyznacz
współrzędne wierzchołków tego prostokąta. Wykonaj odpowiedni rysunek.
Zad.1310 Rozwiąż równanie: x2 + x3 + x4 + ... = 0,5
geometrycznego.
w którym lewa strona jest sumą nieskończonego ciągu
Zad.1311 Rozwiąż nierówność: (x – 4)2 + 3x > 3 – 2x (3 – x) i przedstaw rozwiązanie na osi liczbowej.
Zad.1312 Obwód trójkąta równoramiennego jest równy 36 cm. Długość ramienia jest o 30% większa od długości
podstawy. Oblicz pole trójkąta.
Zad.1313 Dla jakiej wartości parametru m pierwiastkiem wielomianu W(x) = x3 – 4x2 - 2mx – 6 jest liczba -1. Zapisz
ten wielomian dla wyznaczonego m i policz pozostałe pierwiastki.
Zad.1314 Rzucamy dwiema kostkami. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że suma oczek nie będzie większa od 8.
Zad.1315 Podaj definicję prawdopodobieństwa i jego własności.
Zad.1316 Dane są funkcje: x
y = -1,5x + 1 i
prostopadłe. Sporządź wykres otrzymanych funkcji.
x
y = (1 + m)x - 3.
Wyznacz m tak, aby ich wykresy były
Zad.1317 Przekątna przekroju osiowego walca ma długość 8 cm i jest nachylona do płaszczyzny podstawy walca pod
kątem o mierze 60o. Oblicz objętość i pole powierzchni bocznej walca.
Zad.1318 Znajdź dwie liczby takie, że suma 30% drugiej i 1/5 pierwszej wynosi 14, a różnica 75% drugiej i podwojonej
pierwszej jest równa 10.
Zad.1319 Dla jakich argumentów
odpowiedni rysunek.
x
funkcje:
f(x) = (0,5)x
Mirosław Gil
i
g(x) = 2x
przyjmują równe wartości. Wykonaj
107
Zad.1320 Podstawą prostopadłościanu jest prostokąt o bokach 6 cm i 8 cm. Przekątna prostopadłościanu tworzy z
płaszczyzną podstawy kąt 60o. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego prostopadłościanu.
Zad.1321 Pole kwadratu wpisanego w koło wynosi 9 cm2. Oblicz o ile cm2 większe jest pole kwadratu od pola tego
koła.
Zad.1322 Rozwiąż równanie: x2 + x3 + x4 + ... = 0,5
geometrycznego.
w którym lewa strona jest sumą nieskończonego ciągu
Zad.1323 Punkty M = (2; -6) N = (1; -2) należą do wykresu funkcji y = ax + b. Oblicz a, b. Omów własności
otrzymanej funkcji.
Zad.1324 Podstawą prostopadłościanu jest kwadrat. Przekątna prostopadłościanu ma długość 3 cm i tworzy z przekątną
podstawy kąt 45o. Oblicz objętość i pole powierzchni tego prostopadłościanu.
Zad.1325 Określ dziedzinę wyrażenia wymiernego
i przedstaw je w najprostszej postaci.
Zad.1326 Cena pewnego towaru wraz z podatkiem VAT w wysokości 7% wynosiła 85,60 zł. Podatek VAT podniesiono do
22%. O ile wzrosła cena tego towaru ?
Zad.1327 Rozwiąż układ równań.
niewiadomymi ?
Jakie znasz metody rozwiązywania układu równań I stopnia z dwiema
Zad.1328 Określ dziedzinę funkcji f(x) =
.
Zad.1329Jakie to liczby, których suma jest 3,5 razy większa od ich różnicy, a pierwsza liczba jest o 2,4 większa od drugiej?
Zad.1330 Podaj określenie funkcji rosnącej. Dla jakich wartości parametru m funkcja f(x) = (2m – 3)x + 1 jest rosnąca,
malejąca, stała?
Zad.1331 Jaki jest związek pomiędzy wykresem funkcji y = ax2 i y = ax2 +bx + c Naszkicuj wykres funkcji
y = x2 – 4x .
Zad.1332 Dane jest równanie okręgu x2 + y2 – 2x – 8y + 7 = 0 i równanie prostej x – 2y – 2 = 0. Określ położenie
okręgu i prostej względem siebie. Wykonaj odpowiedni rysunek.
Zad.1333 Dla jakich wartości parametru m funkcja f(x) = x2 – mx + 1 przyjmuje wartości tylko dodatnie ?
Zad.1334 Oblicz pole prostokąta o obwodzie 84 cm, jeżeli krótszy bok prostokąta stanowi 40% boku dłuższego.
Zad.1335 Na wykonanie zbiornika blaszanego (zamkniętego całkowicie) w kształcie prostopadłościanu o objętości
1000 cm3 zużyto 700 cm2 blachy. Oblicz długości krawędzi tego zbiornika wiedząc, że tworzą one ciąg geometryczny.
1
2
 tgx  ctgx 
2
sin x  cos x
 x  y  m 2  2m
Zad.1337 Dla jakich wartości parametru m rozwiązanie ( x;y ) układu równań : 
spełnia warunki:
2
 x y m 4
Zad.1336 Sprawdź tożsamość trygonometryczną
2
a) y  x+1
b) Punkt P=(x;y) należy do prostokąta o wierzchołkach A=(0;-4), B=(10;-4), C=(10,1), D=(0;1).
Mirosław Gil
108
Zad.1338 Dany jest ciąg o wyrazie ogólnym: an=(2n-1)3-2n(4n2-5n-3)-1 .
a) Wyznacz te wyrazy ciągu (an), które są większe od
2
.
3
b) Piąty i szósty wyraz ciągu (an) są odpowiednio trzecim i ósmym wyrazem pewnego ciągu arytmetycznego (b n ).
Oblicz sumę dwudziestu początkowych wyrazów ciągu ( b n ).
c) Wyrazy ciągu (cn ) spełniają warunek cn+1 – cn = bn dla każdego nN+. Wiedząc, że c77 = 0 wyznacz c1.
Zad.1339 Dane są punkty A=(0;1) i B=(4;3).
a) Napisz równanie prostej l równoległej do prostej AB i przechodzącej przez punkt M=(3;5).
b) Wyznacz na prostej l taki punkt C, który jest równoodległy od punktów A i B.
c) Napisz równanie okręgu opisanego na trójkącie ABC i równanie obrazu okręgu w jednokładności o środku O =
(0;0) i skali k = -2.
Zad.1340 Krawędź boczna prawidłowego ostrosłupa trójkątnego jest dwa razy dłuższa od krawędzi jego podstawy o
długości a. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość ostrosłupa, oraz tangens kąta nachylenia ściany bocznej do
płaszczyzny podstawy.
Zad.1341 Równanie -x3 + x2 + 6x = 0 ma trzy rozwiązania x1 , x2 , x3 , gdzie x1 < x2 < x3 . Wyznacz a oraz b tak, aby
miejscem zerowym funkcji g(x)=ax+2 była liczba x1 , a miejscami zerowymi funkcji h(x)=x2 + bx liczby x2 oraz x3 . Dla
wyznaczonych liczb a i b naszkicuj w prostokątnym układzie współrzędnych wykresy funkcji g oraz h i wskaż te
wartości x, dla których g(x)  h(x) .
Zad.1342 W ciągu arytmetycznym (an ) suma dziewięciu początkowych wyrazów wynosi 0, natomiast szósty wyraz tego
ciągu równa się 3.
a) Wyznacz pierwszy wyraz i różnicę ciągu (an ).
b) Ile wyrazów ciągu (an ) jest ujemnych?
c) Wyznacz sumę wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego (b n ), w którym b1 =a9
i q = 0,1(3).
Zad.1343 W równoległoboku ABCD dane są: AB = [-1;4 ], C = (2; -3 ) oraz środek symetrii równoległoboku
S = (1; 2 ).
a) Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków równoległoboku ABCD.
b) Napisz równanie prostej, w której zawiera się wysokość równoległoboku poprowadzona z wierzchołka C do
prostej AB.
c) Oblicz pole równoległoboku ABCD.
Zad.1345 Zbiór A jest zbiorem tych wartości parametru m, dla których funkcja f(x)=(m-1)x2+x+m+1 ma dwa różne
miejsca zerowe. Zbiór B jest zbiorem rozwiązań nierówności:│2m+1│≥3. Wyznacz (A  B)’.
Zad.1346 W osiemnastowyrazowym ciągu arytmetycznym (an) suma siedmiu początkowych wyrazów jest 12 razy
mniejsza od sumy wszystkich wyrazów tego ciągu. Średnia arytmetyczna zbioru wszystkich wyrazów ciągu (an) wynosi 14.
Wyznacz a1 i r oraz podaj wzór ogólny ciągu an. Wykorzystaj wzór na sumę Sn wyrazów ciągu arytmetycznego do
sprawdzenia poprawności swoich obliczeń.
Zad.1347 Dane jest równanie x2+y2-4x-6y+m2-4m+11=0.
Wyznacz te wartości parametru m  R, dla których to równanie jest równaniem okręgu.
a) Dla jakich m okrąg ten jest styczny do prostej o równaniu 2x+y-2=0. Sprawdź swoje rozwiązanie
wykonując odpowiedni rysunek.
b) Przedstaw kwadrat długości promienia tego okręgu jako funkcję f argumentu m. Wyznacz maksimum funkcji f(m).
Zad.1348 W urnie U1 jest pięć kul o numerach od 1 do 5. W urnie U2 są cztery kule o numerach od 1 do 4. Losujemy jedną
kulę z urny U1 a następnie jedną z urny U2. Numer pierwszej z wylosowanych kul to cyfra dziesiątek, numer drugiej to
cyfra jedności dwucyfrowej liczby x.
Niech A oznacza zdarzenie: liczba x jest większa niż 35, B – zdarzenie: liczba x jest podzielna przez 6.
a) Oblicz prawdopodobieństwa zdarzeń A i B.
b) Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia B w sytuacji, gdy najpierw losujemy kulę z urny U 2, a następnie z urny U1.
Mirosław Gil
109
Zad.1349 W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym o podstawie ABCD i wierzchołku S, literą M oznaczono środek
odcinka BC. Pole trójkąta ABS wynosi 182, kąt nachylenia ściany bocznej ostrosłupa do płaszczyzny jego podstawy ma
miarę 450. Oblicz objętość tego ostrosłupa oraz pole przekroju wyznaczonego przez punkty S,M,D.
Zad.1350 Odcinek AB o długości 78 dzielimy na odcinki, których długości tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy r.
Ile otrzymamy odcinków, jeżeli długość najdłuższego z nich wynosi 23, a różnica r jest równa 4 ?
a) Odcinek AB podzielono na 13 części, z których najkrótsza ma długość 3. Wyznacz r.
Zad.1351 Dana jest funkcja:
1
f ( x)  (m  ) x 2  (m  1) x  1 .
4
A jest zbiorem tych wartości parametru m, dla których funkcja f przyjmuje wartości nieujemne w R.
B jest zbiorem rozwiązań nierówności: m2  m+2. Sprawdź, że A B jest zbiorem jednoelementowym.
Zad.1352 W urnie U1 jest pięć kul o numerach od 1 do 5. W urnie U2 są cztery kule o numerach od 1 do 4. Z wybranej urny
losujemy ze zwracaniem dwie kule. Numer pierwszej to cyfra dziesiątek, numer drugiej – cyfra jedności dwucyfrowej
liczby x. Niech A oznacza zdarzenie: liczba x jest większa niż 35, B – zdarzenie: liczba x jest podzielna przez 6.
a) Wybrano urnę U1. Oblicz prawdopodobieństwa zdarzeń A i B.
b) Wybrano urnę U2. Oblicz prawdopodobieństwa zdarzeń B i B’.
Zad.1353 W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym krawędzie boczne oznaczono odpowiednio: AA’, BB’, CC’. Pole
trójkąta ABC’ wynosi 183, a kąt nachylenia płaszczyzny trójkąta ABC’ do płaszczyzny podstawy ABC wynosi 60 0.
a) Oblicz objętość tego graniastosłupa.
b) Oblicz odległość wierzchołka C od płaszczyzny ABC’.
Zad.1354 Dla jakich wartości parametru a układ równań
 (a  3) x  2 y  5
ma rozwiązania?

3x  (a  2) y  7,5
Zad.1355 W prostokątnym układzie współrzędnych na płaszczyźnie dana jest figura
F1={(x,y) : xR i yR i yx+x+1} oraz figura F2={(x,y) : xR i yR i y  0,5x+4}
a) Narysuj figurę F= F1 F2 i oblicz jej pole.
b) Zbadaj czy na figurze F można opisać okrąg.
Zad.1356 Dana jest funkcja f(x)=x2+(m+1)x+m2-1. Dla jakich wartości parametru m:
a) Suma kwadratów miejsc zerowych funkcji f jest największa, najmniejsza.
b) Rzędna wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji f należy do przedziału (-1;0) ?
Zad.1357 Suma trzech początkowych wyrazów rosnącego ciągu arytmetycznego jest równa 22,5. Jeżeli drugi z nich
pomniejszymy o 3, to otrzymamy początkowe wyrazy ciągu geometrycznego.
a) Który wyraz ciągu jest równy 0,5  274.
b) Ile początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego należy wziąć, aby ich suma była równa 567 ?
Zad.1358 Obwód trapezu jest równy 242. Kąt między ramieniem o długości 62, a dłuższą podstawą trapezu ma miarę
600 . Jedna z przekątnych trapezu dzieli go na dwa trójkąty, których stosunek pól jest równy 3.
oblicz pole trapezu.
Odcinek o końcach leżących na ramionach danego trapezu jest równoległy do podstaw trapezu. Środek odcinka należy do
przekątnej trapezu. Oblicz długość tego odcinka.
Zad.1359 Przekrój stożka wyznaczony przez wierzchołek i cięciwę podstawy jest trójkątem równobocznym o polu równym
163. Płaszczyzna tego przekroju tworzy z płaszczyzną podstawy stożka kąt o mierze 45 0 . Oblicz objętość stożka i kosinus
kąta rozwarcia stożka.
Zad.1360 Na egzamin z rachunku prawdopodobieństwa przygotowano 12 pytań. Uczeń zna odpowiedź na 75% z nich. Na
egzaminie losuje on 3 pytania. Jakie jest prawdopodobieństwo, że uczeń zna odpowiedź na:
a) wszystkie trzy pytania, b) co najwyżej jedno pytanie, c) co najmniej dwa pytania?
Zad.1361 Rozwiąż nierówność │x3 – 8│< x2 + 2x + 4

Zad. 1362 Rozwiąż układ równań 
x  y 1
2
 x   y  1  8
2
Mirosław Gil
110

Zbiór zadań maturalnych – opracował Mirosław Gil UWAGA!!!

Transkrypt

Podobne dokumenty