Oblicz całki

1. Oblicz całki:
a)  xzdS , S={(x,y,z): x=rcos, y=rsin, z=r, 0≤≤, 3≤r≤4};
S
b)
 ydS , S={(x,y,z): x=-u, y=-v, z=1+u+v, 0≤u≤1, 0≤v≤2};
S
c)
 z dS , S jest powierzchnią stożka z =x +y
2
2
2
2
odciętego płaszczyznami z=1 i z=2;
S
d)
 xyzdS , S jest powierzchnią płaszczyzny x+y+z=1 zawartą w pierwszym oktancie układu
S
współrzędnych;
e)  ( x 2  z 2 )dS , S jest powierzchnią sfery x2+y2+z2=1 odciętą płaszczyznami z=0 i z=1;
S
f)
 z dS , S jest powierzchnią walca x +z =1 dla z≥0 odciętą płaszczyznami y=0 i y=1;
2
2
2
S
g)
 xyzdS , S jest powierzchnią walca x=y
2
odciętą płaszczyznami z-0, z=4, y=1 i y=2;
S
h)

2.
a)
b)
c)
d)
e)
3.
a)
b)
c)
d)
Oblicz pole płata powierzchniowego S:
S jest sferą o promieniu R;
Sjest powierzchnią boczną stożka ściętego o wysokości h i promieniach podstaw r i R, r<R;
S jest powierzchnią paraboloidy z=x2+y2 odciętej płaszczyznami z=1 i z=4;
S jest powierzchnią sfery x2+y2+z2=4 zawartą pomiędzy płaszczyznami z=0 i z=1;
S jest powierzchnia płaszczyzny 2x+3y+z-6=0 wyciętą przez walec x2+y2=4.
Oblicz całkę zorientowaną z pola F po powierzchni S:
F(x,y,z)=(x2,y2,z2), S={(x,y,z): x=u+v, y=u-v, z=u, 0≤u≤1, 0≤v≤1} zorientowana dodatnio;
F(x,y,z)=(y-z,z-x,x-y), S={(x,y,z): x=rcos, y=rsin, z=r, 0≤≤2, 0≤r≤1} zorientowana dodatnio;
F(x,y,z)=(x,y,z), S jest górną stroną powierzchni paraboloidy z=1-x2-y2 odciętą płaszczyzną z=0;
F(x,y,z)=(x,y,z), S jest dolną stroną powierzchni płaszczyzny x+y+z=1 zawartą w pierwszym oktancie;
x 2  y 2 dS , S jest powierzchnią boczną stożka z= x 2  y 2 dla z≤3.
S
e) F(x,y,z)=(1,1,1), S jest dolną stroną powierzchni stożka z= x 2  y 2 odciętego płaszczyznami z=1 i
z=2;
f) F(x,y,z)=(x,y,z), S jest zewnętrzną stroną powierzchni walca z2=1-x2 odciętego płaszczyznami y=-2 i
y=1;
g) F(x,y,z)=(y,z,x), S jest górną stroną powierzchni paraboloidy x=z2+y2 dla z≥0 odciętą płaszczyzną x=1;
h) F(x,y,z)=(xz,xy,yz), S jest zewnętrzną stroną powierzchni walca x2+y2=R2 odciętego płaszczyznami z=0
i z=R;
i)
j)
4.
a)
b)
c)
d)
e)
F(x,y,z)=(x2,y2,z2), S jest zewnętrzną stroną powierzchni stożka z= x 2  y 2 odciętego płaszczyzną z=1;
F(x,y,z)=(0,0,z2), S jest zewnętrzną stroną powierzchni sfery x2+y2+z2=4.
Oblicz strumień pola F przez powierzchnię S:
F(x,y,z)=(x-z,y+z,x-y), S jest zewnętrzną stroną powierzchni walca x2+y2=1 dla z≥0 odciętego
płaszczyzną z=x;
F(x,y,z)=(z,-x,y), S jest górną stroną powierzchni płaszczyzny 3x+6y-2z=6 zawartą w pierwszym
oktancie;
F(x,y,z)=(x,x+y,z-y), S jest zewnętrzną stroną powierzchni sfery x2+y2+z2=4 zawartą w pierwszym
oktancie;
F(x,y,z)=( 13 x,z2-x2, 23 z), S jest zewnętrzną stroną powierzchni walca x2+y2=R2 odciętego płaszczyznami
z=0 i z=h;


x
y
z
 , S jest zewnętrzną stroną powierzchni sfery
,
,
F(x,y,z)= 
2
2
2
2
2
2 
 x2  y 2  z 2
x

y

z
x

y

z


2
2
2
2
x +y +z =R .
Oblicz dywergencję pola F:
F(x,y,z)=(xz3,2x2y4,5yz2);
F(x,y,z)=(lnx,exyz,arctg xz );
F(x,y,z)=(exy,-cosy,sin2z).
Oblicz całkę zorientowaną z pola F po powierzchni zamkniętej S:
F(x,y,z)=(x2,y2,z2), S jest zewnętrzną stroną powierzchni sześcianu ograniczonego płaszczyznami x=0,
x=1, y=0, y=1, z=0 i z=1;
b) F(x,y,z)=(x,y,z), S jest zewnętrzną stroną powierzchni sfery x2+y2+z2=9;
c) F(x,y,z)=(x+y,y+z,x+z), S jest zewnętrzną stroną powierzchni figury ograniczonej powierzchniami
x2+y2=4, z=0 i z=1;
d) F(x,y,z)=(x2,y2,z2), S jest zewnętrzną stroną powierzchni figury ograniczonej powierzchniami
5.
a)
b)
c)
6.
a)
e)
f)
g)
7.
z= x 2  y 2 i z=1;
F(x,y,z)=(xy,yz,xz), S jest zewnętrzną stroną powierzchni czworościanu ograniczonego płaszczyznami
x=0, y=0, z=0 i x+y+z=3;
F(x,y,z)=(2xy,-y2,2z), S jest zewnętrzną stroną powierzchni figury ograniczonej powierzchnią
x2+y2+z2=9 dla x≥0, y≥0 i z≥0;
F(x,y,z)=(x+z,y+x,y+z), S jest zewnętrzną stroną powierzchni figury ograniczonej powierzchniami
x2+y2=R2 i x+y+z=R dla z≥0.
Oblicz całkę zorientowaną po krzywej zamkniętej K z pola F:
a) F(x,y,z)=(x-y,y-z,z-x), K jest brzegiem wewnętrznej strony półsfery z= 9  x 2  y 2 ;
b) F(x,y,z)=(x,y,z), K jest brzegiem górnej strony paraboloidy z=1-x2-y2 dla z≥0;
c) F(x,y,z)=(x+y,2y+z,3z+x+y), K jest brzegiem dolnej strony stożka z= x 2  y 2 -1 dla z≤0;
d) F(x,y,z)=(2x,3y,4z), K jest brzegiem półsfery z= 4  x 2  y 2 przebieganym przeciwnie do ruchu
wskazówek zegara;
e) F(x,y,z)=(x-2y,2y-3z,z-4x), K jest brzegiem górnej strony trójkąta o wierzchołkach (1,0,0), (0,1,0) i
(0,0,1);
f) F(x,y,z)=(x2y3,1,z), K jest brzegiem górnej strony powierzchni płaszczyzny z=0 wyciętej walcem
x2+y2=R2;
g) F(x,y,z)=(y+z,z+x,x+y), K jest brzegiem dolnej strony powierzchni płaszczyzny x=y wyciętej sferą
x2+y2+z2=1;
h) F(x,y,z)=(x,x+y,x+y+z), K={(x,y,z): x=sint, y=cost, z=sint+cost. 0≤t≤2}.