Zagadnienia na egzamin
Transkrypt
Zagadnienia na egzamin
Zagadnienia do egzaminu z kwantowego opisu rozpraszania, 5.IX.2016, D-11, s.104, godz. 14.00. Do wylosowania jest jeden temat. 1. Jawna postać swobodnej funkcji Greena dla rozpraszania elastycznego. a) Wychodząc z bezczasowego równania Schroedingera dla układu dwóch nieoddziałujących ciał w ich środku masy, napisz równanie operatorowe (i różniczkowe) jakie spełnia swobodny operator (funkcja) Greena Gˆ 0( ) . Jakie jest znaczenie znaków „ ”? b) Napisz równanie Lippmanna-Schwingera (L-S) w p ostaci całkowej dla funkcji falowych k( ) ( r ) i operatorowej dla stanów k( ) . 1 e ik |r r '| c) Wyprowadź jawną postać funkcji Greena Gˆ 0( ) ( r , r ') . 4 | r r ' | 2. Całkowa postać amplitudy rozpraszania elastycznego. a) Udowodnij, że funkcja falowa spełniająca równanie całkowe L-S k( ) ( r ) (2 ) 3 2 eik r d 3r ' G0( ) ( r , r ')U ( r ')k( ) ( r ') , gdzie U (r ) (2 2 )V ( r ) , spełnia bezczasowe równanie Schroedingera dla układu dwóch ciał (w ich środku masy) z potencjałem V ( r ) . b) Korzystając z jawnej postaci swobodnej funkcji Greena G0( ) ( r , r ') 1 e ik |r r '| , wyprowadź 4 | r r ' | asymptotyczną ( r ) postać funkcji k( ) ( r ) oraz całkową postać amplitudy rozpraszania elastycznego f ( ) ( rˆ) . 3. Dwie postaci amplitudy rozpraszania elastycznego. a) Zapisz rozwiązanie operatorowego równania Schroedingera dla stanu k( ) poprzez pełny operator Greena Gˆ ( ) ( E ) i stan płaski k . i b) Wyprowadź następującą postać amplituda rozpraszania elastycznego f (k f , ki ) 2 2 k Uˆ k( ) , f gdzie k f ki oraz Uˆ (2 k 2 i )Vˆ i wykaż, że zachodzi także równość f (k f , ki ) 2 2 k( ) Uˆ k . Kety f i oznaczają stany płaskie. i, f ˆ ( ) i Tˆ oraz przedstaw amplitudę rozpraszania poprzez element macierzowy c) Napisz definicję operatorów operatora przejścia Tˆ . 1 4. Wzór Rutherforda. a) Zapisz amplitudę rozpraszania elastycznego f (k f , ki ) 2 2 k( ) Uˆ k f w przybliżeniu Borna. i b) Wyprowadź postać amplitudy rozpraszania w przybliżeniu Borna dla rozpraszania elektronu na atomie wieloelektronowym przy dużej energii zderzenia. Potencjał oddziaływania to potencjał Yukawy V (r ) Cr 1e r , gdzie C Zkel e2 . Wskazówka: Pomocnym jest wzór f B ( q) 1 dr r sin( qr )U ( r ) . q 0 c) Następnie, przechodząc do granicy 0 , wyprowadź wzór Rutherforda na różniczkowy przekrój czynny 2 Zkel e2 ( ) . 2 4 E sin ( 2) B 5. Stosowalność przybliżenia Borna. Zapisz całkowe równanie L-S, jako sumę fali płaskiej k ( r ) i fali rozproszonej s( ) ( r ) . Następnie przyjmij, że potencjał o zasięgu a daje się od góry oszacować, r | U ( r ) | U0 , oraz że jest na tyle słaby, że | s( ) ( r ) | | k ( r ) | . Wykaż, że wtedy nierówność ta wymusza a) | V0 | 2 ( a 2 ) dla ka 0 , b) | V0 | v a dla ka . 6. Rozwinięcie parcjalne. Korzystając z rozwinięcia parcjalnego fali płaskiej k ( r ) l /0 i l (2l 1) jl (kr ) Pl (kˆ rˆ) oraz asymptotycznej postaci rozwiązania równania L-S, k( ) ( r ) (2 )3 2 [eik r eikr f ( rˆ) r ] , dla rozpraszania elastycznego na potencjale sferycznie symetrycznym, wyprowadź rozwinięcie parcjalne a) amplitudy rozpraszania f ( rˆ) , b) przekroju czynnego. Wskazówki: Przyjmij, że rozwinięcie parcjalne funkcji k( ) ( r ) ma dla każdego r postać k( ) ( r ) l /0 Cl (k ) l ( r )r 1Pl (kˆ rˆ) , natomiast dla kr mamy l (r) Al (k )sin[kr l 2 l (k )] oraz jl (kr ) sin(kr l 2)] (kr ) . 7. Długość rozpraszania elastycznego. Wiadomo, że funkcja radialna l (kr ) wchodząca w skład rozwinięcia parcjalnego k( ) ( r ) (2 ) 3 2 (1 kr)l /0 i l (2l 1)ei ( k ) l (kr) Pl (kˆ rˆ) ma asymptotykę (dla kr ): l l (r) Al (k )sin[kr l 2 l (k )] . a) Znając w danym punkcie r0 wartość funkcji l ( r0 ) oraz jej pochodnej d l ( r0 ) dr , oblicz długość rozpraszania limk 0 tg[ 0 (k )] k . b) Wykaż, że przy k 0 całkowity przekrój czynny na rozpraszanie elastyczne wynosi tot 4 2 . 2 8. Rozpraszanie z absorbcją i operatory Møllera. a) Rozpraszanie z absorbcją może być opisane matematycznie przy pomocy potencjału optycznego, tzn. potencjału zespolonego z ujemną częścią urojoną ImV(r) = -W(r). Wykaż, że całkowity przekrój czynny na absorbcję ma postać abs (2 )3 (k E ) k( ) W k( ) . b) Podaj definicję operatorów Møllera oraz udowodnij, że spełniają one odpowiednie równanie L-S. 1 (2l 1)eil ( k ) sin[ l (k )]Pl ( cos ) , wyprowadź k l /0 postać rozwinięcia parcjalnego całkowitego przekroju czynnego na rozpraszanie elastyczne. 4 l * Wskazówka: Pl (aˆ bˆ) Ylm (aˆ )Ylm (bˆ) . 2l 1 m/ l 9. a) Korzystając z postaci amplitudy rozpraszania f ( ) b) Wykaż, że w przypadku występowania rezonansu kształtu dla fali parcjalnej lr przy energii zderzenia Er , całkowity przekrój czynny przybiera postać wzoru Breita-Wignera 1 ( lr 2)2 4 d ( E ) 2 (2lr 1) , gdzie 2 ctg ( E ) lr lr dE . k ( E E )2 ( 2)2 r lr 10. Podaj definicję operatorów Møllera i udowodnij następujące twierdzenia: ˆ ( ) d 3k ( ) , a) k i ,k † gdzie i ,k i ,k , natomiast i ,k oznacza ket fali płaskiej, ˆ ( )† ˆ () 1 , b) ˆ ( ) ˆ ( )† 1 , gdzie n oznacza stan związany, c) n n n ˆ ( )† 1 ˆ ( )†VG ˆ ˆ ( ) (E) , d) 0 ˆ ( ) [1 Gˆ ( ) ( E )Vˆ ]1 . e) 0 11. a) Podaj definicję i udowodnij unitarność operatora Ŝ . Wskazówka: Dowód przeprowadź w bazie stanów płaskich, skorzystaj z odpowiednich twierdzeń z punktu 10. b) Na wykładzie wykazałem, że różniczkowy przekrój czynny na przejście kwantowe między stanami płaskimi k k i w wyniku zderzenia (nie koniecznie elastycznego) ma postać f d (2 )4 2 ki 2 ( Ef Ei ) Tk ,k d 3kf , gdzie Tkf ,ki kf Vˆ k(i ) . f i Wykaż, że w przypadku rozpraszania elastycznego ( k f ki ) cząstek bez struktury (punktowych) wzór ten, 2 po wykonaniu jednego całkowania, redukuje się do znanego wzoru d f (kf , ki ) d f . 3 12. Rozkład parcjalny macierzy rozpraszania. Wiedząc, że związek pomiędzy macierzami operatorów rozpraszania Ŝ i przejścia Tˆ jest następujący Sk ',k 3 (k ' k ) 2 i ( Ek ' Ek ) Tk ',k wyprowadź rozwinięcie parcjalne macierzy Sk ',k . Wyprowadź stąd związek pomiędzy Sl (k ) i Tl (k ) (ich definicje znajdziesz w notatkach z wykładu). Wskazówki: Wyprowadź najpierw rozwinięcie parcjalne macierzy Tk ',k k ' Vˆ k( ) korzystając z rozwinięcia parcjalnego dla fali płaskiej, k ( r ) l /0 i l (2l 1) jl (kr ) Pl (kˆ rˆ) , oraz dla pełnego rozwiązania r. L-S, k( ) ( r ) (2 ) 3 2 (1 kr)l /0 i l (2l 1)ei ( k ) l (kr) Pl (kˆ rˆ) . Następnie, skorzystaj z tożsamości 3 ( k ' k ) 2 l ( Ek ' Ek ) l /0 (2l 1) Pl (kˆ ' kˆ) . 4 k 13. Rozpraszanie na dwóch potencjałach. Dla rozpraszania na dwóch potencjałach V V1 V2 , gdzie V oznacza pełny potencjał, wyprowadź postać macierzy operatora przejścia Tfi Tk ,k f( ) Vˆ1 i f( ) Vˆ2 i( ) , gdzie i jest początkowym stanem f płaskim; () i i jest rozwiązaniem r. L-S z pełnym potencjałem Vˆ ; f( ) jest rozwiązaniem r. L-S z potencjałem Vˆ1 . Zapisz macierz Tfi w przybliżeniu DWBA, gdy potencjał Vˆ2 jest znacznie słabszy od potencjału Vˆ1 . Podaj przykład zastosowania tej metody. 4