Lista 1 z Matematyki Dyskretnej do wykładu dra Sz. Żeberskiego 1
Transkrypt
Lista 1 z Matematyki Dyskretnej do wykładu dra Sz. Żeberskiego 1
Lista 1 z Matematyki Dyskretnej do wykładu dra Sz. Żeberskiego 1. Pokaż za pomocą indukcji matematycznej, że a) b) n P k=1 n P k=1 k= c) n(n+1) , 2 k 2 = 16 n(n + 1)(2n + 1), d) n P 3 k = k=1 n P n(n+1) 2 2 , (k · k!) = (n + 1)! − 1. k=1 2. Pokaż za pomocą indukcji matematycznej, że |P (A)| = 2|A| dla dowolnego zbioru skończonego A. Pokaż, że (∀n ∈ N)(n < 2n ). 3. Wskaż bijekcję pomiędzy zbiorami P (A) oraz {0, 1}A . 4. Pokaż, za pomocą indukcji matematycznej, że dla dowolnych zbiorów skończonych A i B mamy |AB | = |A||B| . 5. Pokaż, że dla dowolnych dodatnich liczb naturalnych a oraz n mamy |{k ∈ [n] : a|k}| = na . Zbiór [n] = {1, 2, . . . , n}. 6. Wyznacz moce następujących zbiorów: a) {k ∈ [1000] : 2|k ∨ 5|k}, b) {k ∈ [1000] : 2|k ∨ 5|k ∨ 7|k}, c) {k ∈ [1000] : 2|k∨5|k∨7|k∨11|k}, d) {k ∈ [1000] : ¬2|k ∨ ¬3|k ∨ ¬5|k}. 7. Niech n ≥ 3. Ile jest suriekcji ze zbioru [n] na zbiór [3]? 8. Niech n ≥ 3. Ile jest iniekcji ze zbioru [3] w zbiór [n]? 9. Ile jest funkcji częściowych ze zbioru n elementowego w zbiór m elementowy? 10. Niech Sn oznacza zbiór wszystkich ciągów zero-jedynkowych długości ≤ n. a) Pokaż, że |Sn | = 2n+1 − 1 b) Wskaż bijekcję między zbiorem Sn a zbiorem {0, 1}[n+1] \ {(1, 1, . . . , 1)}. 11. Wyznacz moce następujących zbiorów: a) {(A, B) ∈ P ([n])2 : A ⊆ B}, b) {(A, B, C) ∈ P ([n])3 : A ⊆ B ⊆ C}, c) {(A, B, C) ∈ P ([n])3 : A = B ∪ C}, d) {(A, B, C) ∈ P ([n]) : A∩B = ∅, A∪B = C}. 12. Niech Ω = P ([n]) × P ([n]). a) Wyznacz Pr[{(X, Y ) ∈ Ω : X ⊆ Y }]. b) Wyznacz Pr[{(X, Y ) ∈ Ω : X ∪ Y = [n]}]. 13. Niech Ω = P ([n]) oraz A = {X ∈ Ω : (∃k)(|X| = 2k)}. Wyznacz Pr[A]. 14. Niech Xi = [n] × {i}. a) Wyznacz moc zbioru Sn = {A ∈ P ([n] × [n]) : (∀i)(A ∩ Xi 6= ∅)}. b) Oblicz limn→∞ |Sn | . 2n2