Zestaw 10/ zad.5 Jednorodna kula o ciężarze Q

Zestaw 10/ zad.5
Jednorodna kula o ciężarze Q=100N i promieniu r=0.1m spoczywa na chropowatej poziomej płaszczyźnie, na
której współczynnik tarcia rozwiniętego wynosi =0.2. Kuli nadano początkową prędkość kątową ω0=10rad/s, ale
nie nadano prędkości środka masy. Po jakim czasie i po przebyciu jakiej drogi zakończy się poślizg kuli? Po jakim
czasie i przebyciu jakiej drogi kula zatrzyma się? Uwzględnić opory toczenia, ramię toczenia przyjąć f=0.00005m.
Dane: Q=100N, r=0.1m, =0.2, ω0=10rad/s, kula,
f=0.00005m
ω0
r
m
t=0

WSTĘP
W chwili t=0 kula obraca się z prędkością kątową ω0 pozostając jeszcze w miejscu. Może to wystąpić np. w
momencie postawienia wirującej kuli na powierzchni bez popchnięcia jej. Natychmiast pojawia się poślizg między
kulą a podłogą. Ponieważ powierzchnia jest chropowata i występuje poślizg to pojawia się siła tarcia
rozwiniętego. Siła tarcia przeciwstawia się ruchowi obrotowemu kuli - skierowana jest dlatego do przodu dając
moment hamujący obrót kuli. Siła tarcia jednocześnie ciągnie kulę do przodu (w prawo). Ponieważ uwzględniamy
opory toczenia, reakcja normalna od podłoża przesunięta jest w kierunku ruchu o ramię toczenia f (w prawo).
, ̇, ̈
r
, ̇, ̈
f
Siła tarcia zmniejsza prędkość kątową, jednocześnie zwiększając prędkość liniową (początkowo równą zero). Kula
początkowo toczy się z poślizgiem, następnie gdy spełniony zostanie warunek równowagi prędkości liniowej i
kątowej pomnożonej przez promień ( ̇ = ̇ ), rozpocznie toczenie bez poślizgu.
Rozważamy dwa etapy: Etap I – toczenie kuli z poślizgiem
Etap II – toczenie kuli bez poślizgu do zatrzymania się
Rozwiązanie (Etap I - toczenie kuli z poślizgiem)
Równania ruchu kuli:
̈=
̈ =− −
(1)
(2)
- równanie ruchu postępowego środka masy C kuli na kierunku ruchu (x)
- równanie ruchu obrotowego wokół środka masy C, momenty przeciwne
do dodatniego zwrotu ̈
1
AnnaGłowacka„Mechanikaogólna–pomocdydaktyczna;M2-ZESTAW10/ZAD.5”,grudzień2015
Są 2 równania ruchu i 4 niewiadome: ̈ , ̈ , , . Brakuje dwóch równań. Trzecie równanie wyznaczamy z hipotezy
tarcia – przy toczeniu z poślizgiem tarcie jest rozwinięte:
T=N
(3)
czwarte to równanie statyki na kierunku pionowym (brak jest ruchu na tym kierunku):
0= −
= =
(4)
Po podstawieniu do równań ruchu i uproszczeniach otrzymujemy (dla kuli:
̈=
=
=
):
̈=
̈ =−
−
̈ =−
+
Całkujemy równania ruchu aby spełnić warunek zakończenia poślizgu ̇ =
poślizgu ( , , , – stałe):
̈=
̇=
+
=
+
̇ i drugi raz do wyznaczenia drogi
̈ =−
+
̇ =−
+
+
+
Stałe C1 - C3 wyznaczamy z warunków początkowych:
( = 0) = 0
̇ ( = 0) = 0
( = 0) = 0
̇ ( = 0) =
- tylko prędkość kątowa w chwili t=0
zatem
0=
∙0+
0=
∙
+0∙0+
=−
+
∙0+
=−
+
ś
ś
+
̇( ) =
̇( ) = −
+
+
̇ ( ), dla chwili tpoślizgu:
czas trwania poślizgu:
2 ∙ 0.1
9.81 /
=0
+
ś
=
=
( )=
=
Warunek zakończenia poślizgu: ̇ ( ) =
ś
=0
∙ 10
/
0.00005
7 ∙ 0.2 + 5 0.1
ś
=
= 0.145
Droga przebyta do ustania poślizgu:
ś
=
ś
= 0.2 ∙ 9.81 /
ś
=
ś
(0.145 )
= 0.02
2
Prędkość liniowa w momencie ustania poślizgu:
ś
ś
= ̇
=
ś
ś
= 0.2 ∙ 9.81 / ∙ 0.145 = 0.28 /
Rozwiązanie (Etap II– toczenie kuli bez poślizgu do zatrzymania się )
Równania ruchu kuli (pozostają bez zmian):
2
AnnaGłowacka„Mechanikaogólna–pomocdydaktyczna;M2-ZESTAW10/ZAD.5”,grudzień2015
̈=
̈ =−
(1)
(2)
−
- równanie ruchu postępowego środka masy C kuli na kierunku ruchu (x)
- równanie ruchu obrotowego wokół środka masy C
Są 2 równania ruchu i 4 niewiadome: ̈ , ̈ , , . Brakuje dwóch równań. Trzecie równanie wyznaczamy z hipotezy
tarcia – przy toczeniu bez poślizgu tarcie jest nierozwinięte, nie znamy jego wartości ( <
‼!). Spełniona jest
natomiast zależność na prędkości liniową i kątową:
̈= ̈
(3)
czwarte to równanie statyki na kierunku pionowym (brak jest ruchu na tym kierunku):
0= −
= =
(4)
Po podstawieniu do równań ruchu i uproszczeniach otrzymujemy:
̈=
̈ =
̈ =−
̈=
−
=−
̈ =−
−
−
=−
̈
=−
̈=
- siła tarcia skierowana jest teraz do tyłu (w lewo)
=−
- ruch jest opóźniony (kula hamuje)
Całkujemy przyspieszenie aby wyznaczyć drogę toczenia bez poślizgu i czas jego trwania ( , , – stałe):
̇=−
=−
∙ +
∙
+
+
Stałe D1 – D2 wyznaczamy z warunków początkowych, odpowiadają one momentowi zakończenia poślizgu (a
zarazem początkowi toczenia bez poślizgu). Czas i drogę liczymy od zera.
̇ ( = 0) =
( = 0) = 0
ś
zatem
=−
ś
0=−
∙
∙0+
+
=
∙0+
̇=−
ś
=0
∙ +
=−
∙
+
Z warunku zatrzymania się kuli: ̇ = 0 wyznaczamy czas trwania toczenia bez poślizgu:
0=−
∙
ś
=
+
ś
.
.
∙ .
/
ś
/
ś
ś
=
=
ś
ś
ś
ś
= 80
∙ .
Droga pokonana podczas toczenia bez poślizgu:
ś
ś
= (
ś
= − ∙ 9.81 /
)=−
.
∙
∙
∙
.
(
)
ś
+
ś
∙
ś
+ 0.28 / ∙ 80 = 11.18
Czas po którym kula zatrzyma się jest sumą czasu toczenia z poślizgiem i bez poślizgu:
=
ś
+
ś
= 0.145 + 80 = 80.145
Całkowita droga pokonana przez kulę:
=
ś
+
ś
= 0.02
+ 11.18
= 11.2
3
AnnaGłowacka„Mechanikaogólna–pomocdydaktyczna;M2-ZESTAW10/ZAD.5”,grudzień2015