Egzamin 25 z 13 kwietnia 2002 r.

13.04.2002 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 1
! " # p ! ! $
figury i 9 blotek?
4
(A)
13 4
p 52 16 (B)
16 4
p 52 13 (C)
13 9 5 4 4 4
p 52 36 20 16 16 16 (D)
p
(E)
p
4
16 15 14 13
16 4
1
13 4
4
1
13.04.2002 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 2
%& '(!&)
10 (&*
20 (&+
30 (&,
x kul oznaczonych innymi literami alfabetu.
Losujemy ze zwracaniem 7 razy po jednej kuli z urny. Zmienne losowe N A , N B , N C
& (&# '(
* + ,
"- x , aby zmienne losowe N A N B oraz N B N C nieskorelowane ?
(A) x 25
(B) x 20
(C) x 15
(D) x 10
(E) x 50
2
13.04.2002 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 3
.
'! ! X 1 ,..., X n ,... & ! jednostajnym na przedziale [0,1] / N &
0/
oczekiwanej !& X 1 ,..., X n ,... . Niech
max( X 1 ,..., X N ) gdy N 0;
M 0 gdy N 0.
Oblicz E (M ) .
(A) E ( M ) e (B) E ( M ) e
e 1
(C) E ( M ) e 1
e
(D) E ( M ) 1 (E) E ( M ) 1 e 1
3
13.04.2002 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 4
Zmienne losowe I 1 , I 2 ,..., I n ,... i X 1 , X 2 ,..., X n ,... &!1!( I i ma
#) Pr( I i 1) p , Pr( I i 0) 1 p q 1! zmiennych X i # ! E ( X i ) i
Var ( X i ) 2 . Niech
S n i 1 I i X i ,
n
K n i 1 I i .
n
. !/- ' # ( (
n .
(A)
Sn Kn (B)
Sn Kn (C)
Sn Kn (D)
Sn Kn
(E)
Sn Kn n
n
n
n
n
N (0, 2 )
N (0, p 2 )
N (0, p 2 pq 2 )
&!
N (0, p 2 q 2 )
4
Sn Kn
n
przy
13.04.2002 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 5
.
'! ! W1 ,W2 & ! E (Wn ) 1 / dla n 1,2 . Niech X min(W1 , W2 ) .
Oblicz E (W 1 | X ) .
(A)
E (W 1 | X ) X 1
(B)
E (W 1 | X ) X 1
2
(C)
E (W 1 | X ) X 1/ 2
(D)
E (W 1 | X ) 1
(E)
E (W 1 | X ) min( X ,1 / )
Wskazówka: W1 X .
5
13.04.2002 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 6
.
'! ! X 1 ,..., X m , X m 1 ,..., X n '& N ( , 2 ) . Niech
Xm 1 m
X i /&/'2
m i 1
Xn 1 n
X i /&
'
n i 1
Oblicz
m
2 (X i X m ) .
r E i n1
( X X )2 i
n
i 1
(A) r m
n
(B) r m 1
n2
(C) r m
n 1
(D) r m 1
n 1
r
m 1
n
(E)
6
13.04.2002 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 7
Niech X 1 ,..., X n '&
#/
e x dla x 0;
f ( x) 0 dla x 0.
1 n
Xi .
n i 1
.3& c ! c( X ) 2 estymatorem wariancji pojedynczej
zmiennej X i .
Parametr 0 jest nieznany. Niech X (A) c n 1
n
(B) c n 1
n
(C) c 1
(D) Nie istnieje taka liczba c
(E) c n
n 1
7
13.04.2002 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 8
1! ( ( X 1 , X 2 ,..., X 100 N , 2 &
wart/& & i & 2 .
! ! & ! '
/ 1 0.95 dla :
X 1.96 10 , X 1.96 10 .
%/ X 1 , X 2 ,..., X 100 &
&
& Corr ( X i , X j ) 1 / 10 dla wszystkich i j .
4/ c Pr X 1.96 10 X 1.96 10 .
5
/&do 0.01).
(A) c 0.99
(B) c 0.97
(C) c 0.45
(D) c 0.90
(E) c 0.85
8
13.04.2002 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 9
Niech X & & # 0 dystrybuancie
1 x dla x 0;
F ( x) 0 dla x 0.
6! ( H 0 : 1 przeciwko alternatywie H 1 : 101 na
/ 0.01 .
Wyznacz moc tego testu.
(A)
moc 0.805
(B)
moc 0.005
(C)
moc 0.020
(D)
moc 0.915
(E)
moc 0.505
9
13.04.2002 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 10
6! #( 7 X 0 , X 1 ,... X n ,... o trzech stanach: „1” , „2” i ,,3’’ który ma
&&#/)
1 / 2 1 / 2 0 P 1 / 3 0 2 / 3 .
1 / 3 0 2 / 3
5/ Pij & i -tym wierszu i j -tej kolumnie tej macierzy oznacza
Pr( X n 1 j | X n i ) 8 .
'! ! Pr( X 0 1) 1 / 6 ,
Pr( X 0 3) 1 / 2 . Oblicz
lim Pr( X 1 1 | X n 2) .
n (A) lim Pr( X 1 1 | X n 2) 2 / 5
n (B) lim Pr( X 1 1 | X n 2) 1 / 6
n (C) lim Pr( X 1 1 | X n 2) 13 / 36
n (D) lim Pr( X 1 1 | X n 2) nie istnieje
n (E)
lim Pr( X 1 1 | X n 2) 1 / 3
n 10
Pr( X 0 2) 1 / 3
i
13.04.2002 r.
___________________________________________________________________________
XXV Egzamin dla Aktuariuszy z 13 kwietnia 2002 r.
Arkusz odpowiedzi*
9 ............................ K L U C Z O D P O W I E D Z I ..................................
Pesel ...........................................
Zadanie nr
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
*
43
A
C
D
B
B
D
E
C
E
C
Punktacja
szczone w Arkuszu odpowiedzi.
11