Zestaw 1

Analiza zespolona, /
dr Robert Skiba
Zadanie 1.
(a) 1 −
n
2
Zestaw nr 1
Podstawowe własności liczb zespolonych
Obliczyć sumy:
+
n
4
−
n
6
+ ...;
(b)
n
1
−
n
3
+
n
5
+ . . ..
Wskazówka. Obliczyć (1 + i)n stosując rozwinięcie dwumianowe Newtona. Ponadto zastosować wzór de
Moivre’a do liczby (1 + i)n .
Zadanie 2.
Wykazać następujące równości:
(a) cos(x) + cos(2x) + . . . + cos(nx) =
sin( 12 nx)·cos( 12 (n+1)x)
,
sin( 21 x)
(b) sin(x) + sin(2x) + . . . + sin(nx) =
sin( 12 nx)·sin( 21 (n+1)x)
.
sin( 21 x)
Wskazówka. Lewa i prawa strona równości a) i b) są równe rzeczywistej i urojonej części sumy
z + z 2 + . . . + z n−1 = z
zn − 1
,
z−1
gdzie z = cos(x) + isin(x).
Zadanie 3.
Narysować zbiory:
(a) {z ∈ C | |z − 2| + |z + 2| = 5},
(c) {z ∈ C | |2z| > |1 + z 2 |},
(b) {z ∈ C | |z − 2| − |z + 2| = 3},
(d) {z ∈ C |
Zadanie 4.
π
6
< arg(z − 3i) <
π
3 }.
Uzasadnić następującą równość:
|1 − z1 z2 |2 − |z1 − z2 |2 = (1 − |z1 |2 )(1 − |z2 |2 ).
Zadanie 5.
Udowodnić następującą nierówność:
|z − |z|| ¬ |z| · |argz|.
Zadanie 6.
Rozwiązać następujące równania w ciele liczb zespolonych:
(a) z 2 − (1 + i)z + 6 + 3i = 0,
(d) z 4 = (1 − i)4 ,
(b) z 3 − 4z 2 + z + 6 = 0,
(e) (z − 1)6 = (i − z)6 ,
(c) z 2 + (2i − 7)z + 13 − i = 0,
(f) z 3 = (iz + 1)3 .
Zadanie 7. Jednym z wierzchołków trójkąta równobocznego jest punkt z0 = 1 + 2i. Wyznaczyć pozostałe wierzchołki tego trójkąta, jeżeli jego środkiem jest początek układu współrzędnych.
Wskazówka. Wykorzystaj geometryczną interpretację pierwiastkowania liczb zespolonych.
Zadanie 8.
Udowodnij, że jeśli punkty z1 , z2 , z3 spełniają warunek:
z1 + z2 + z3 = 0 oraz |z1 | = |z2 | = |z3 | = 1,
to są wierzchołkami trójkąta równobocznego wpisanego w okrąg o promieniu 1.
Wskazówka. Wystarczy pokazać, że |z2 − z1 | = |z3 − z2 | = |z1 − z3 |
1