Podstawy informatyki 2 - PB Wydział Elektryczny

Transkrypt

Podstawy informatyki 2
Politechnika Białostocka - Wydział Elektryczny
Elektrotechnika, semestr II, studia stacjonarne
Rok akademicki 2006/2007
Wykład nr 13 (06.06.2007)
dr inŜ. Jarosław Forenc
Wykład nr 13
Plan wykładu nr 13
Sortowanie
Notacja O
Klasyfikacje algorytmów sortowania
Algorytmy sortowania
sortowanie
sortowanie
sortowanie
sortowanie
sortowanie
przez proste wstawianie
przez proste wybieranie
bąbelkowe
szybkie (Quick-Sort)
„zwariowane” i „głupie”
2/37
Wykład nr 13
3/37
Sortowanie
sortowanie polega na uporządkowaniu zbioru danych względem pewnych cech
charakterystycznych kaŜdego elementu tego zbioru
najczęstszym przypadkiem jest sortowanie względem wartości kaŜdego elementu,
np. sortowanie liczb, sortowanie słów
w przypadku liczb, sortowanie polega na znalezieniu kolejności liczb zgodnej
z relacją ≤ lub ≥
Przykład:
tablica nieposortowana:
tablica posortowana zgodnie z relacją ≤
(od najmniejszej do największej liczby):
tablica posortowana zgodnie z relacją ≥
(od największej do najmniejszej liczby):
Wykład nr 13
4/37
Sortowanie
w przypadku słów (nazw) sortowanie polega na ustawieniu ich w porządku
słownikowym (lub alfabetycznym) zwanym takŜe leksykograficznym
Przykład:
tablica nieposortowana:
tablice posortowane:
porównanie nazw moŜe być sprowadzone do porównywania ich liczbowych kodów
Wykład nr 13
5/37
Sortowanie
w praktyce sortowanie sprowadza się do porządkowanie danych na podstawie
porównania - element stosowany w porównaniu nazywa się kluczem
Przykład:
tablica nieposortowana (imię, nazwisko, wiek):
tablica posortowana (klucz - nazwisko):
tablica posortowana (klucz - wiek):
Wykład nr 13
6/37
Sortowanie
Po co stosować sortowanie?
posortowane elementy moŜna szybciej zlokalizować
posortowane elementy moŜna przedstawić w bardziej czytelny sposób, np.
kolejność alfabetyczna nazwisk
przedstawienie cen produktów od najniŜszej do najwyŜszej
posortowanie ułatwia wstawienie nowego elementu z zachowaniem porządku
złoŜoność obliczeniowa algorytmu - zaleŜność liczby wykonywanych operacji
w stosunku do liczebności sortowanego zbioru n
algorytmy proste („naiwne”) mają złoŜoność O(n2), dobre algorytmy mają złoŜoność
O(n log n), idealna złoŜoność to O(n)
oceniając wydajność algorytmu często analizuje się najgorszy (złoŜoność
pesymistyczna), najlepszy i średni (złoŜoność średnia) przypadek
Wykład nr 13
7/37
Notacja O
notacja O stosowana jest do porównywania wydajności róŜnych algorytmów
notacja ta wyraŜa złoŜoność matematyczną algorytmu
w notacji tej po literze O występuje wyraŜenie w nawiasach zawierające literę n,
która oznacza liczbę elementów, na której działa algorytm
za miarę „dobroci” algorytmu przyjmuje się liczbę wykonywanych w nim
elementarnych operacji, np. dodawanie, mnoŜenie, porównywanie
Przykład:
O(n)
- złoŜoność algorytmu jest prostą funkcją liczby elementów
- (jeśli sortowanie 1000 elementów zajmuje 1 s, to sortowanie
- (2000 elementów zajmie 2 s)
O(n2)
- czas konieczny do wykonania algorytmu rośnie wraz z kwadratem
- liczby elementów
Wykład nr 13
8/37
Notacja O
porównanie najczęściej występujących złoŜoności:
Elementy
O(log n)
O(n)
O(n log n)
O(n2)
O(2n)
10
3
10
33
100
1024
100
7
100
664
10 000
1,27⋅1030
1 000
10
1 000
9 966
1 000 000
1,07⋅10301
10 000
13
10 000
132 877
100 000 000
1,99⋅103010
O(log n)
- złoŜoność logarytmiczna
O(n)
- złoŜoność liniowa
O(n log n) - złoŜoność liniowo-logarytmiczna
O(n2)
- złoŜoność kwadratowa
O(2n)
- złoŜoność wykładnicza
Wykład nr 13
9/37
Notacja O
Uwagi:
przy porównywaniu róŜnych wyraŜeń O(n) stałe nie mają znaczenia i mogą być
ignorowane, np.
połączenie algorytmów o róŜnych złoŜonościach tworzy algorytm o wyŜszej
z połączonych złoŜoności, np.
O(2n2) i O(9n2) mogą być rozwaŜane jak O(n2)
dołączenie algorytmu o złoŜoności O(n2) do algorytmu o złoŜoności O(n) tworzy
algorytm o złoŜoności O(n2)
zagłębianie algorytmów (tj. mnoŜenie ich wpływu) tworzy algorytm z pomnoŜoną
złoŜonością, np.
algorytm O(n) zagłębiony w O(log n) daje w wyniku O(n log n)
Wykład nr 13
10/37
ZłoŜoność pamięciowa:
złoŜoność pamięciowa jest to wielkość zasobów zajmowanych przez algorytm
w algorytmach wykorzystujących technikę sortowania w miejscu (ang. in-place)
wielkość zestawu danych podczas sortowania nie zmienia się (lub jest tylko nieco
większa)
algorytmy nie wykorzystujące techniki sortowania w miejscu wymagają podczas
sortowania znaczniej więcej miejsca w pamięci komputera do przechowywania
danych
moŜe to być problemem, gdy zestaw danych do sortowania jest bardzo duŜy
zwiększenie zapotrzebowania na pamięć związane jest takŜe z występowaniem
rekurencji w algorytmach sortowania
Sortowanie zewnętrzne i wewnętrzne:
sortowanie zewnętrzne (sortowanie plików) jest to rodzaj algorytmów sortowania,
które są stosowane, gdy nie jest moŜliwe jednoczesne umieszczenie wszystkich
elementów zbioru sortowanego w pamięci komputera
sortowanie wewnętrzne odbywa się w pamięci komputera
Wykład nr 13
11/37
Stabilność algorytmu:
algorytm jest nazywany stabilnym, jeśli podczas sortowania zachowuje kolejność
występowania elementów o tym samym kluczu
Przykład:
tablica nieposortowana (imię, nazwisko, wiek):
tablica posortowana algorytmem stabilnym (klucz - wiek):
tablica posortowana algorytmem niestabilnym (klucz - wiek):
Wykład nr 13
12/37
Metody sortowania
Uwagi do opisu algorytmów sortowania:
w opisie algorytmów sortowania będą uŜywane tablice liczb całkowitych
wartość kaŜdego sortowanego elementu jest jednocześnie kluczem sortowania
analizując daną metodę będziemy brali pod uwagę liczbę porównań, w której
uczestniczą elementy sortowanej tablicy
Wykład nr 13
13/37
Sortowanie przez proste wstawianie
sortowanie przez proste wstawianie (ang. insertion sort) jest podstawowym
algorytmem sortowania, łatwym do zrozumienia i implementacji
algorytm polega na pobieraniu kolejnego elementu z danych wejściowych
i wstawianiu go na odpowiednie miejsce w wynikach
Algorytm metody:
elementy są umownie podzielone na ciąg wynikowy: a1,a2,…,ai-1 i ciąg źródłowy:
ai,ai+1,…,an
w i-tym kroku pobieramy element z ciągu źródłowego ai
porównujemy ten element z kolejnymi elementami z ciągu wynikowego: ai-1,ai-2,…
porównywanie kończymy, gdy porównywany element jest mniejszy lub równy
elementowi ai lub dojdziemy do początku ciągu wynikowego
wstawiamy element ai w odpowiednim miejscu ciągu wynikowego
Wykład nr 13
14/37
Przykład:
Funkcja w języku C:
void InsertionSort(int tab[])
{
int i,j,tmp;
for (i=1; i<N; i++)
{
j=i;
tmp=tab[i];
while (tab[j-1]>tmp && j>0)
{
tab[j]=tab[j-1];
j--;
}
tab[j]=tmp;
}
}
Wykład nr 13
15/37
Uwagi:
złoŜoność algorytmu: O(n2)
w najgorszym przypadku kaŜdy element powoduje jednokrotne przestawienie wszystkich
poprzedzających go elementów, a wtedy liczba porównań wynosi: n⋅(n-1)
liczba porównań zaleŜna jest od początkowego rozmieszczenia elementów w tablicy
+
+
+
+
+
wydajny dla danych wstępnie posortowanych
–
mała efektywność dla normalnej i duŜej ilości danych
wydajny dla zbiorów o niewielkiej liczebności
małe zasoby zajmowane podczas pracy (sortowanie w miejscu)
stabilny - zachowuje oryginalną kolejność takich samych elementów
prosty w implementacji
Wykład nr 13
16/37
Sortowanie przez proste wybieranie
sortowanie przez proste wybieranie (ang. selection sort), nazywane takŜe
sortowaniem przez selekcję, jest jedną z prostszych metod sortowania
metoda ta polega na wyszukaniu elementu, który ma się znaleźć na zadanej
pozycji i na zamianie miejscami z tym elementem, który jest tam obecnie
Algorytm metody:
zaczynając od elementu pierwszego, szukamy w tablicy elementu o najmniejszej
wartości
po znalezieniu takiego elementu zamieniamy go miejscami z pierwszym
elementem
następnie szukamy elementu najmniejszego zaczynając od drugiego elementu
po znalezieniu elementu o najmniejszej wartości zamieniamy go z drugim
elementem
powtarzamy powyŜsze operacje do momentu, aŜ w tablicy pozostanie tylko
jeden element
Wykład nr 13
17/37
Przykład:
void SelectionSort(int tab[])
{
int i,j,k,tmp;
for (i=0;i<N-1;i++)
{
k=i;
for (j=i+1; j<N; j++)
if (tab[k]>tab[j])
k = j;
tmp = tab[i];
tab[i] = tab[k];
tab[k] = tmp;
}
}
Wykład nr 13
18/37
Uwagi:
+
+
+
szybki w sortowaniu niewielkich tablic
–
liczba porównań elementów jest niezaleŜna od początkowego rozmieszczenia
elementów w tablicy (takie zachowanie algorytmu nazywane jest neutralnym
lub niewraŜliwym)
–
w algorytmie moŜe zdarzyć się, Ŝe wykonywana jest zamiana tego samego
elementu ze sobą (sytuacja taka występuje, gdy najmniejszy element jest
na pierwszej pozycji)
–
w przedstawionej postaci algorytm jest niestabilny (nie zachowuje oryginalnej
kolejności takich samych elementów)
małe zasoby zajmowane podczas pracy (sortowanie w miejscu)
prosty w implementacji
Wykład nr 13
19/37
Uwagi:
uczynienie algorytmu stabilnym wymaga tylko jednej zmiany w kodzie programu
/* algorytm niestabilny */
/* algorytm stabilny */
for (i=0;i<N-1;i++)
{
k=i;
for (j=i+1; j<N; j++)
if (tab[k]>tab[j])
k = j;
tmp = tab[i];
tab[i] = tab[k];
tab[k] = tmp;
}
for (i=0;i<N-1;i++)
{
k=i;
for (j=i+1; j<N; j++)
if (tab[k]>=tab[j])
k = j;
tmp = tab[i];
tab[i] = tab[k];
tab[k] = tmp;
}
algorytm moŜna przyspieszyć, jeśli wyszukiwać będziemy jednocześnie minimum
i maksimum, a tabela będzie wypełniana z obu końców
jeśli w kaŜdym kroku będziemy szukali elementu maksymalnego, to tablica
zostanie posortowana od największego do najmniejszego elementu
Wykład nr 13
20/37
Sortowanie bąbelkowe
sortowanie bąbelkowe (ang. bubble sort), nazywane takŜe sortowaniem
pęcherzykowym lub sortowaniem przez prostą zamianę (ang. straight exchange)
polega na porównywaniu dwóch kolejnych elementów i zamianie ich kolejności
jeśli jest to konieczne
nazwa metody wzięła się stąd, Ŝe kolejne porównania powodują „wypychanie”
kolejnego największego elementu na koniec („wypłynięcie największego bąbelka”)
Algorytm metody:
porównujemy pierwszy i drugi element tabeli i jeśli trzeba to zamieniamy je
miejscami, następnie porównujemy drugi i trzeci element i jeśli jest to konieczne,
to zamieniamy je miejscami, itd.
powyŜsze operacje wykonujemy, aŜ dojdziemy do końca tabeli
następnie ponownie rozpoczynamy porównywanie elementów od początku tabeli
(element pierwszy z drugim, drugi z trzecim, itd. aŜ dojdziemy do końca tabeli)
sortowanie kończymy, gdy podczas kolejnego przejścia przez całą tabelę nie
wykonana zostanie Ŝadna zamiana elementów
Wykład nr 13
Sortowanie bąbelkowe - przykład
21/37
Wykład nr 13
void BubbleSort(int tab[])
{
int i,j,tmp,koniec;
do
{
koniec=0;
for (i=0;i<N-1;i++)
if (tab[i]>tab[i+1])
{
tmp=tab[i];
tab[i]=tab[i+1];
tab[i+1]=tmp;
koniec=1;
}
}
while (koniec);
}
22/37
Wykład nr 13
23/37
Uwagi:
+
+
+
prosta realizacja
–
mała efektywność
wysoka efektywność uŜycia pamięci (sortowanie w miejscu)
stabilny algorytm - zachowuje oryginalną kolejność takich samych elementów
Wykład nr 13
24/37
Sortowanie szybkie (Quick-Sort)
algorytm opracowany przez C.A.R. Hoare’a
Algorytm metody:
sortowanie odbywa się w dwu fazach: dzielenia i sortowania
w fazie dzielenia tablica jest dzielona na dwie części wokół pewnego elementu
(nazywanego elementem centralnym)
wybieramy jeden element (losowo, choć moŜe to być element środkowy)
i nazywamy go x
przeglądamy tablicę od lewej strony, aŜ znajdziemy element ai ≥ x, a następnie
przeglądamy tablicę od prawej strony, aŜ znajdziemy aj < x
zamieniamy elementy ai i aj miejscami i kontynuujemy proces przeglądania
i zamiany, aŜ nastąpi gdzieś spotkanie w środku tablicy
w rezultacie otrzymujemy tablicę podzieloną na lewą część z wartościami
mniejszymi od x i na prawą część z wartościami większymi od x
Wykład nr 13
25/37
Algorytm metody (cd.):
na tym kończy się faza podziału i rozpoczyna faza sortowania
faza sortowania zawiera dwa rekurencyjne wywołania tej samej funkcji
sortowania: dla lewej i dla prawej części posortowanej tablicy
rekurencja zatrzymuje się, gdy wielkość tablicy do posortowania wynosi 1
Przykład:
sortujemy 6-elementową tablicę tab:
wywołanie funkcji QuickSort() ma postać:
QuickSort(tab,0,5);
Wykład nr 13
26/37
Przykład: - dla QuickSort(tab,0,5):
wyznaczamy element środkowy: (0+5)/2 = 2, x = tab[2] = 5
od lewej szukamy tab[i] ≥ x, a od prawej
tab[j] ≤ x, zamieniamy elementy miejscami
poszukiwania kończymy, gdy indeksy
mijają się
wywołujemy rekurencyjnie funkcję
QuickSort() dla elementów z zakresów
[l,j] i [i,r]:
QuickSort(tab,0,3);
QuickSort(tab,4,5);
Wykład nr 13
27/37
wyznaczamy element środkowy dla zakresu [0,3]: (0+3)/2 = 1, x = tab[1] = 2
od lewej szukamy tab[i] ≥ x,
a od prawej tab[j] ≤ x, zamieniamy
elementy miejscami:
poszukiwania kończymy,
gdy indeksy mijają się:
wywołujemy rekurencyjnie funkcję QuickSort() tylko dla elementów z zakresu [2,3],
gdyŜ po lewej stronie rozmiar tablicy do posortowania wynosi 1:
QuickSort(tab,2,3);
Wykład nr 13
28/37
a od prawej tab[j] ≤ x,
zamieniamy elementy miejscami:
rozmiar obu tablic do posortowania wynosi 1 więc nie ma nowych wywołań
Wykład nr 13
29/37
a od prawej tab[j] ≤ x,
zamieniamy elementy miejscami:
rozmiar obu tablic do posortowania wynosi 1 więc nie ma nowych wywołań
Wykład nr 13
void QuickSort(int tab[], int l, int r)
{
int i,j,x,y;
i=l;
j=r;
x=tab[(l+r)/2];
do
{
while (tab[i]<x) i++;
while (x<tab[j]) j--;
if (i<=j)
{
y=tab[i];
tab[i]=tab[j];
tab[j]=y;
i++; j--;
}
} while (i<j);
if (l<j) QuickSort(tab,l,j);
if (i<r) QuickSort(tab,i,r);
}
30/37
Wykład nr 13
31/37
Wybór elementu centralnego:
wybór elementu centralnego ma bardzo duŜy wpływ na szybkość sortowania
maksymalne korzyści są osiągane wtedy, gdy element centralny jest medianą
wszystkich wartości w tablicy - tablica dzielona jest w takim przypadku na dwie
równe części
wybrać moŜna dowolny element, gdyŜ waŜna jest jego wartość, a nie połoŜenie
w tablicy
nie jest zalecane wybieranie elementu pierwszego lub ostatniego w tablicy,
gdyŜ w przypadku posortowanej tablicy taki wybór spowoduje największe
koszty
Wykład nr 13
32/37
Uwagi:
złoŜoność algorytmu:
O(n log n)
- dla średniego przypadku
O(n2)
- dla najgorszego przypadku
+
wysoka efektywność dla średniego przypadku
–
–
–
bardzo mała efektywność dla najgorszego przypadku
ilość danych umieszczanych na stosie moŜna nieznacznie zmniejszyć poprzez
przekazywanie do funkcji QuickSort() zamiast:
- tablicy danych, dolnego i górnego zakresu danych - QuickSort(tab,left,right)
przekazać tylko:
- adres początku zaktualizowanej tablicy i całkowitą liczbę elementów, które
pozostały do posortowania w tej części tablicy - QuickSort(tab,n)
duŜe zasoby zajmowane w trakcie pracy (duŜo danych na stosie)
niestabilny algorytm (nie zachowuje oryginalnej kolejności takich samych elementów)
Wykład nr 13
33/37
Sortowanie szybkie - funkcja qsort() w języku C
algorytm sortowania szybkiego został zaimplementowany w języku C w funkcji:
QSORT
stdlib.h
void qsort(void *baza, size_t n, size_t size,
(*funkcja)(const void *element1, const void *element2));
funkcja qsort() sortuje metodą Quick-Sort tablicę wskazywaną przez argument
baza i zawierającą n elementów o rozmiarze size
funkcja qsort() posługuje się funkcją porównującą funkcja(), której argumentami
są wskazania do elementów tablicy baza
funkcja() powinna zwracać wartości:
< 0,
gdy
*element1 < *element2
== 0,
gdy
*element1 == *element2
> 0,
gdy
*element1 > *element2
Wykład nr 13
34/37
Funkcja qsort() w języku C - przykład (1/2)
/*
Name: w13_03_qsort.c
Copyright: Politechnika Białostocka, Wydział Elektryczny
Author: Jarosław Forenc ([email protected])
Date: 06-06-2007
Description: Zastosowanie funkcji bibliotecznej qsort()
#include
#include
#include
#define
<stdio.h>
<stdlib.h>
<time.h>
N 10
void generuj(int tab[])
{
int i;
srand(time(NULL));
for (i=0;i<N;i++)
tab[i]=rand()%100;
}
void drukuj(int tab[])
{
int i;
for (i=0;i<N;i++)
printf("%2d ",tab[i]);
printf("\n");
}
*/
Wykład nr 13
35/37
Funkcja qsort() w języku C - przykład (2/2)
6
7
31
22
66
int funkcja(const void *element1, const void *element2)
{
qsort:
if (*(int*)element1 < *(int*)element2) return -1;
6
7 22
22 0; 26
if (*(int*)element1 == *(int*)element2)
return
if (*(int*)element1 > *(int*)element2) return 1;
}
int main()
{
int tab[N];
generuj(tab);
drukuj(tab);
printf("\nqsort:\n");
qsort((void*)tab,(size_t)N,sizeof(int),funkcja);
drukuj(tab);
system("PAUSE");
return (0);
}
89
22
27
26
52
27
31
52
66
89
Wykład nr 13
36/37
Sortowanie zwariowane
algorytm opiera się na losowym sortowaniu zbioru - przestawiamy losowo
elementy w zbiorze i sprawdzamy czy zbiór jest posortowany
w algorytmie zwariowanym musimy rozwiązać zatem dwa problemy:
sprawdzenie posortowania elementów oraz losowe potasowanie
jedyną metodą sprawdzenia posortowania elementów jest porównanie ze sobą
wszystkich sąsiednich elementów
losowe potasowanie moŜna wykonać w ten sposób, Ŝe losujemy dwa numery
elementów, a następnie elementy o tych numerach zamieniamy miejscami
- jeśli operację tą powtórzymy wystarczającą ilość razy to zawartość zbioru
zostanie potasowana
pesymistyczna złoŜoność algorytmu: O(n⋅n!)
Wykład nr 13
37/37
Sortowanie głupie
sortowanie głupie jest bardzo mało wydajnym algorytmem, ale daje poprawne
wyniki
przeglądamy kolejne pary elementów, jeśli są w złej kolejności to zamieniamy
te elementy miejscami i rozpoczynamy operację porównywania elementów od
początku zbioru

Podstawy informatyki 2 - PB Wydział Elektryczny

Transkrypt

Podobne dokumenty

BETA A+ - 100tab BETA A+ to suplement zawierający czystą beta

Uchwyt ścienny do TV, LCD, Plazma, LED WLB018

Zelixa- sprzedam 30 tab 80 złote

Tazamol - lapteka.com.pl

Punktory i numeracja

Gdzie przenocować w K³odzku

INFORMACJA podaję do Publicznej wladomości informację

Calcium D3 Forte - 60tab (Wapń+Witamina D)

53 wÓlr GMlNY - BIP dla UG Słupca

Zdjęcia