Matematyka (Budownictwo) Zastosowania rachunku różniczkowego

Matematyka (Budownictwo)
Zastosowania rachunku różniczkowego funkcji wielu zmiennych 2
1. Boki prostokąta wynoszą a = 10cm i b = 24cm. Jak zmieni się w przybliżeniu przekątna p tego
prostokąta, jeśli bok a zwiększy się o 4mm, a bok b zmniejszy się 1mm?
2. Wysokość i promień podstawy stożka zmierzono z dokładnością ±1mm. Otrzymano h = 350mm
oraz r = 145mm. Z jaką w przybliżeniu dokładnością można zmierzyć objętość stożka?
3. Obliczyć gradienty i pochodne kierunkowe funkcji we wskazanych punktach i kierunkach:
( 12 5 )
(a) f (x, y) = x2 + y 2 ,
(x0 , y0 ) = (−3, 4), ⃗v = 13
, 13 ,
(
√ )
(b) f (x, y, z) = exyz ,
(x0 , y0 , z0 ) = (−1, 1, −1), ⃗v = 12 , 34 , 43 .
4. Prostopadłościenny magazyn ma mieć objętość V = 216m3 . Do budowy ścian magazynu używane są
płyty w cenie 30z/m2 , do budowy podłogi w cenie 40z/m2 , a sufiu w cenie 20z/m2 . Znaleźć dł]ugość,
wysokość, szerokość magazynu, którego koszt budowy będzie najmniejszy.
5. Znaleźć rozmiary prostopadłościennej otwartej wanny o pojemności V , aby ilość blachy zużytej do
jej zrobienia była najmniejsza.
6. Wyznaczyć współrzędne punkktów leżąych na paraboli 2y − x2 = 0, których odległość od punktu
A(4, 1) jest ekstremalna.
7. Przedstawić liczbę a > 0 w postaci iloczynu czterech dodatnich czynników, tak aby ich suma była
najmniejsza.