Zadania z materiału do pierwszego kolokwium (różny poziom

Zadania z materiału do pierwszego kolokwium (różny poziom trudności):
1. Znaleźć wymiar i bazę przestrzeni liniowej
U = {(r + 2s + 3t, 2r − 2s, 3r + 3t, s + t) , r, s, t ∈ R} ,
następnie podać współrzędne wektora ~v = (1, 8, 9, −1) w tej bazie.
2. Czy zbiór B 0 = {x3 + 2x2 , x3 +x, x2 + 3, 2x+ 1} tworzy bazę R3 [x] (uzasadnić odpowiedź!)?
Jeśli tak, to napisać macierz przejścia z bazy B = {1, 1 + x, 1 + x2 , 1 + x3 } do bazy B 0 .
3. Dla jakich wartości parametru p zbiór B 0 = {px3 + 2x2 , x3 + px, x2 + 3, 2x + p} tworzy bazę
R3 [x]? Dla p = 1 napisać macierz przejścia z bazy B = {1, 1 + x, x + x2 , 1 + x2 + x3 } do
bazy B 0 .
4. Napisać macierz przejścia z bazy B = {(1, 1, 1), (1, 0, 1), (0, 0, 1)} do bazy
B 0 = {(2, 0, 1), (1, 1, 1), (0, 1, 1)}. Znaleźć współrzędne wektore ~v w bazie B 0 , jeśli w bazie
B ma on współrzędne [1, 1, 1]B .
5. W zależności od parametru p określić wymiar przestrzeni generowanej przez
(p, 4, p, 4) ,
(1, 1, 1, 1) ,
(p, 2, 3, p) .
6. Określić wymiar i podać bazę podprzestrzeni generowanej przez
x3 + x − 1 ,
2x3 + x2 + 5x − 2 ,
x3 + 3x − 5 ,
x2 + 2x + 2 .
7. Określić wymiar i wyznaczyć bazę przestrzeni rozwiązań układu równań

x



x
3x



x
− 2y
+ u + v =0
− y + z
+ 2v = 0
.
− 4y + 2z + u + 5v = 0
− 3y − z + 2u
=0
8. Dla jakich wartości parametru m

 (2 − m)x
2x

2x
podany układ równań ma niezerowe rozwiązania
+
y +
2z = 0
+ (1 − m)y +
2z = 0 .
+
y + (2 − m)z = 0
Dla m = 0 wyznaczyć wymiar oraz bazę przestrzeni rozwiązań układu.
Zadania z nowego materiału. Są to zadania wyłącznie pomocnicze. Na kolokwium obowiązuje
przerobiony materiał trzech list: 8, 9, 10. Dlatego polecam przeliczenie odpowiednich zadań ze
skryptu (zwracając również uwagę na zadania, gdzie pojawiają się przestrzenie wielomianów)!
1. Wyznaczyć jądro, obraz oraz ich bazy dla przekształcenia liniowego L : R3 → R3 danego
wzorem
L(x, y, z) = (−y − 5z, 2x − 6z, x + y + 2z) .
2. Wyznaczyć jądro, obraz oraz ich bazy dla przekształcenia liniowego L : R3 → R3 danego
wzorem
L(x, y, z) = (x + 2y − 3z, 3x + 5y − 4z, 4x + 5y + 3z) .
3. Dla przekształcenia liniowego L : R3 → R3 ,
L(x, y, z) = (−4x + 6z, 3x − y − 6z, −3x + 5z)
wyznaczyć wartości i wektory własne.
4. Dla przekształcenia liniowego L : R3 → R3 ,
L(x, y, z) = (3x − y + z, −x + 3y + z, 4z)
wyznaczyć wartości i wektory własne.
5. Napisać macierz przekształcenia liniowego L : U → V (U = R3 , V = R3 )
L(x, y, z) = (x + y + z, 2x + y − z, y + 3z)
w bazach standardowych. Korzystając ze wzoru na zminę macierzy przekształcenia liniowego przy zmianie baz, wyznacz macierz tego przekształcenia w bazach
~u1 = (1, 0, 0), ~u2 = (1, 1, 0), ~u3 = (1, 1, 1) przestrzeni U ,
~v1 = (0, 0, 1), ~v2 = (0, 1, 1), ~v3 = (1, 1, 1) przestrzeni V .
6. Przekształcenie liniowe L : R2 → R2 spełnia warunki
L(3, 2) = (−3, −2),
L(1, 2) = (3, 6) .
Wyznaczyć macierz w bazach standardowych. (Wsk. łatwo znaleźć macierz przekształcenia
w bazie B 0 = {(3, 2), (1, 2)} obu przestrzeni R2 , następnie zastosować wzór na zmianę
macierzy przy zmianie baz).