Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa — lista 4 Zad.48. Niech

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa — lista 4
Zad.48. Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi, przy czym E(X) = 1, E(Y ) = 2, natomiast
V ar(X) = 1, V ar(Y ) = 16. Obliczyć wartość oczekiwaną zmiennych (X + Y + 1)2 oraz X 2 + 2Y 2 − XY +
4X + Y + 4.
Zad.49. Dana jest funkcja
F (x) =


 0
ax2

 1
+ bx
dla
dla
dla
x ¬ 0,
0 < x ¬ 1,
x > 1.
Znaleźć wszystkie pary a, b, dla których F jest dystrybuantą. Dla jakich a, b ta dystrybuanta jest ciągła?
Zad.50. Punkt w ∈ R nazywamy punktem wzrostu dystrybuanty F , jeśli dla dowolnego > 0 mamy F (w +
) − F (w − ) > 0. Pokazać, że istnieje taki rozkład dyskretny (to znaczy skupiony na przeliczalnej liczbie
punktów), że każdy punkt w ∈ R jest punktem wzrostu jego dystrybuanty.
Zad.51. (dystrybuanta Cantora) Zbiór Cantora C to zbiór wszystkich liczb t postaci
(1)
t=
t1
t2
tn
+ 2 + ... + n + ...,
3
3
3
gdzie tn przybiera jedną z dwóch wartości: 0 lub 2. Są to zatem te liczby z przedziału [0, 1], które można
zapisać w systemie trójkowym bez użycia cyfry 1.
Zauważmy, że każda liczba ze zbioru C ma jednoznaczny zapis w postaci (1) (dlaczego?).
Określmy funkcję schodkową przekształcającą zbiór Cantora na odcinek [0, 1].
Dla liczb t ze zbioru Cantora, zapisanych w postaci (1) połóżmy
1
φ(t) =
2
t1
t2
tn
+ 2 + ... + n + ... .
2
2
2
Poza zbiorem Cantora kładziemy odpowiednie stałe tak, aby funkcja, o dziedzinie rozszerzonej z C do [0, 1]
była niemalejąca.
a) Wykazać, że jest to dystrybuanta ciągła ale nie absolutnie ciągła.
b) Obliczyć wartość oczekiwaną zmiennej o tej dystrybuancie.
Zad.52. Niech FX będzie dystrybuantą zmiennej losowej X. Załóżmy, że FX jest ciągła i ściśle rosnąca.
a) Znaleźć dystrybuantę zmiennej losowej FX (X).
b) Znaleźć rozkład zmiennej Y = F −1 na Ω = [0, 1] z miarą Lebesgue’a.
√
Zad.53. Niech X ma rozkład N (0, σ 2 ). Wiedząc, że Γ( 21 ) = π, obliczyć E(X n ), dla n = 1, 2, 3, ..., wyrażając
wyniki poprzez σ 2 .
Zad.54. Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie jednostajnym na odcinku [0, 1]. Znaleźć dystrybuantę i
gęstość zmiennej: a) 3X, b) X 2 .
Zad.55. Niech zmienna X ma rozkład o gęstości g(x). Obliczyć gęstość rozkładu zmiennej Y , gdy: a) Y = |X|,
b) Y = X 2 , c) Y = eX .
Zad.56. (rozkład logarytmicznie normalny) Mówimy, że zmienna X ma rozkład logarytmicznie normalny (w
skrócie: lognormalny), gdy zmienna log X ma rozkład normalny z parametrami m i σ 2 . Obliczyć gęstość takiej
zmiennej.
Zad.57. Wykazać, że w nieskończonym ciągu prób Bernoulliego z prawdopodobieństwem sukcesu w jednej
próbie równym p ∈ (0, 1) zdarzenie SSSP P P pojawi się nieskończenie wiele razy. Czy to samo prawdą jest
dla serii miliona kolejnych sukcesów?
Zad.58. W nieskończonym ciągu prób Bernoulliego niech An będzie zdarzeniem, że seria n kolejnych sukcesów
pojawi się w próbach o kolejnych numerach pomiędzy 2n i 2n+1 . Jeśli p ­ 21 , to z prawdopodobieństwem 1
zajdzie nieskończenie wiele spośród An , a jeśli p < 12 , to z prawdopodobieństwem 1 zajdzie tylko skończenie
wiele zdarzeń An .