rozwiązanie

42OF_III_T1
KO OF Szczecin: www.of.szc.pl
XLII OLIMPIADA FIZYCZNA (1992/1993). Stopień III, zadanie teoretyczne − T1.
Źródło:
Komitet Główny Olimpiady Fizycznej;
Włodzimierz Ungier, Krzysztof Karpierz: Fizyka w Szkole nr 1, 1994.
Nazwa zadania:
Zachowanie się płaskich klocków po ich zderzeniu.
Działy:
Dynamika
Słowa kluczowe:
Dynamika, zderzenie sprężyste, tarcie, ruch postępowy, ruch obrotowy,
prędkość kątowa, moment bezwładności, pęd, środek masy.
Zadanie teoretyczne − T1, zawody teoretyczne III stopnia, XLII OF.
Po płaskim, poziomym stole ślizgają się bez tarcia dwa różne płaskie klocki o jednakowych masach m. Początkowo klocki przemieszczają się ruchem postępowym (bez obrotów)
tak, że ich środki mas poruszają się z jednakowymi prędkościami v po równoległych liniach
prostych. Odległość między tymi liniami wynosi d. Rysunek 1 przedstawia jedną z możliwych konfiguracji klocków.
Rys.1.
W pewnym momencie następuje doskonale sprężyste zderzenie klocków. Po zderzeniu klocki
wykonują ruch postępowo – obrotowy nadal ślizgając się po powierzchni stołu. Prędkość kątowa pierwszego klocka wynosi ω1 , zaś prędkość kątowa drugiego wynosi ω 2 . Moment bezwładności klocków względem osi pionowych przechodzących przez środki mas klocków wynoszą odpowiednio I1 i I2.
1) Wykaż, że moment pędu klocka względem dowolnego, ustalonego punktu stołu jest
równy sumie momentu pędu środka masy klocka względem tego punktu oraz momentu pędu klocka względem jego środka masy.
2) Oblicz odległość d’ między prostymi, po których poruszają się środki mas klocków po
zderzeniu.
v2
3) Przyjmując, że po zderzeniu wartości prędkości pierwszego klocka wynosi v =
.
2
Zaś drugi klocek nie wykonuje obrotów, podaj i zinterpretuj (naszkicuj) zależność d’
od d.
Oprac. PDFiA US, 2009
- 1/4 -
www.dydaktyka.fizyka.szc.pl
42OF_III_T1
KO OF Szczecin: www.of.szc.pl
Rozwiązanie
Niech ri i ri′ oznaczają odpowiednio wektory wodzące punktów materialnych o masach mi w układzie związanym ze stołem i w nie obracającym się układzie środka masy klocka. Wtedy ri = R + ri′ i vi = V + vi′ , gdzie vi = d ri /dt i vi′ = d r ′ /dt, zaś wektory R i V odnoszą się do środka masy. Moment pędu wyraża się wzorem
J = ∑ mi ri × vi = ∑ mi R × V + ∑ mi ri′× V + ∑ mi R × vi′ + ∑ mi ri′× vi′ =MR × V + Iω
i
i
i
i
gdzie skorzystaliśmy z równości
(1)
i
∑ m r′ = 0
(środek masy)
i i
i
i z jej pochodnej
(d dt ) ∑ m r′ = ∑ m v′ = 0
i i
i
i
i
i
∑m
=M
i
i
jest całkowitą masą klocka, zaś I – jego momentem bezwładności względem przechodzącej
przez środek masy osi obrotu, określonej przez prostopadły do powierzchni stołu wektor
r
prędkości kątowej ω . Ponieważ wektory r’ i v’ są wzajemnie prostopadłe i oba leżą w płaszr
czyźnie stołu, ich iloczyn wektorowy ri′ × vi′ jest skierowany zgodnie z ω . Wartość prędkości
vi′ = ω ri′ , zatem
r
r
∑ m r′× v′ = ∑ m r′ ω = Iω
2
i i
i
i
i i
(2)
i
Po zderzeniu prędkości klocków będą jednakowe, co do wartości, lecz przeciwnie skierowane, co wynika z zasady zachowania całkowitego pędu układu. Korzystając z zasady zachowania energii i momentu pędu układu dwóch klocków otrzymujemy równania
mv2
m v′2 I1ω12 I 2 ω22
=2
+
+
2
2
2
2
2
2m v
d
d′
= ± 2m v′ + I1ω1 + I 2 ω2
2
2
(3)
(4)
gdzie d’ i v’ oznaczają odpowiednio odległość wzajemną torów i wartość prędkości klocków
po zderzeniu. Prędkościom kątowym ω < 0 odpowiada obrót klocka w kierunku zgodnym,
zaś prędkościom ω > 0 – obrót w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara (patrzymy z góry na klocek ślizgający się po stole). Orbitalny moment pędu układu klocków względem wspólnego środka masy O, L = ± m v ′d ′ , jest dodatni lub ujemny, w zależności od sposobu obiegu punktu O przez oba klocki po zderzeniu, rysunek 2.
Oprac. PDFiA US, 2009
- 2/4 -
www.dydaktyka.fizyka.szc.pl
42OF_III_T1
KO OF Szczecin: www.of.szc.pl
Rys. 2.
Z równań (3) i (4) wyznaczamy v’
I1 ω1 I 2 ω2
−
2m
2m
(5)
m v d − I1 ω1 − I 2 ω2
m v′
(6)
v′ = v 2 −
oraz d’
d′ =
Ponieważ wartość prędkości obu klocków po zderzeniu wynosi v′ =
korzystając ze wzoru (3) otrzymujemy
v2
, zaś ω2 = 0,
2
m
I1
(7)
I 1 ω1
I
=2 dm 1
mv
m
(8)
ω1 = m v
skąd po podstawieniu do (6) otrzymujemy
d′ = 2 d −
Wykres zależności d’ od d jest przedstawiony na rysunku 3.
Oprac. PDFiA US, 2009
- 3/4 -
www.dydaktyka.fizyka.szc.pl
42OF_III_T1
KO OF Szczecin: www.of.szc.pl
Rys. 3.
Oprac. PDFiA US, 2009
- 4/4 -
www.dydaktyka.fizyka.szc.pl