1. Funkcja kwadratowa Zadanie 1.1. Dla jakich wartości parametrów

1. Funkcja kwadratowa
Zadanie 1.1. Dla jakich wartości parametrów b i c funkcja kwadratowa f (x) = x2 +bx+c
osiąga minimum dla x = 2, przy czym do jej wykresu należy punkt P(3,0)?
Zadanie 1.2. Wyznacz trójmian kwadratowy, jeżeli suma jego pierwiastków jest równa
8, suma odwrotności jego pierwiastków jest równa 23 , a dla x = 0 przyjmuje on wartość
24.
Zadanie 1.3. Dla jakiej wartości parametru m funkcja f określona wzorem f (x) = mx2 −
(m + 2)x + 5 osiąga ekstremum dla x = 1? Czy jest to minimum, czy maksimum?
Zadanie 1.4. Sporządzić wykres funkcji określonej wzorem: f (x) = |x − x2 | − |x − 1|.
Zadanie 1.5. Rozwiązać nierówność: |x2 + 3x| < 2x + 1.
Zadanie 1.6. Niech f (m) będzie liczbą rozwiązań równania
(m − 1)x2 − 2(m + 3)x + m − 3 = 0.
Sporządzić wykres funkcji y = f (m).
Zadanie 1.7. Dla jakiej wartości parametru m funkcja f określona wzorem f (x) = −x2 +
mx − m2 + 2m − 1 ma wartość ujemną dla każdej rzeczywistej wartości zmiennej x?
Zadanie 1.8. Zbadać, czy prawdziwe jest zdanie
_ ^
x2 − 2(m + 1)x + 2m2 + 3m − 1 > 0.
m∈R x∈R
Zadanie 1.9. Dla jakich wartości parametru m pierwiastki x1 i x2 równania x2 +mx+4 =
0 spełniają warunek x21 + x22 = 2(x1 + x2 )?
Zadanie 1.10. Dla jakich wartości parametru m równanie (m + 1)x2 − 4mx + m + 1 = 0
ma dwa różne pierwiastki?
2. Zadania do samodzielnego rozwiązania
Zadanie 2.1. Wyznaczyć funkcję liniową f , jeżeli:
(1) dla każdego x ∈ R spełniony jest warunek 2f (x) = f (x) + 2;
(2) f jest funkcją nieparzystą, dla której f (1) = 2;
(3) f jest funkcją parzystą, dla której f (3) = 3.
f (x) = 2
f (x) = 2x
f (x) = 3
Zadanie 2.2. Jaki warunek musi spełniać parametr m, aby pierwiastek równania
1
1
2
(1)
+
=
był mniejszy od 1?
1 < m < 32
x−1 x−2
x−m
mx + 4 4m2 − 1
(2)
− 2
= m był większy od 2m?
−2 < m < − 34
x−2
x −4
Zadanie 2.3. Rozwiązać równania:
(1) x2 − 5|x| + 4 = 0,
x ∈ {−4, −1, 1, 4}
(2) x2 − 4x + |x − 3| + 3 = 0,
x ∈ {2, 3}
(3) |4 + 3x − x2 | = x2 − 3x − 4,
x ∈ (−∞, −1i ∪ h4, +∞)
(4) |x2 − 5x + 4| − 9x2 − 5x + 4 + 10x|x| = 0,
x ∈√{−1} ∪ h2,
√ 3i
(5) x4 − 3(x2 − 1) = 7(x2 − 3),
x ∈ {− 6, −2, 2, 6}
Zadanie 2.4. Rozwiązać nierówności:
(1) x2 − |5x + 6| > 0,
x ∈ (−∞, −3) ∪ (−2, −1) ∪ (6, +∞)
1
2
(2) |x2 − 3x + 1| < 1,
(3) |x2 − 4x| + 3 ­ x2 + |x − 5|.
x ∈ (0, 1) ∪ (2, 3)
x ∈ −∞, − 23 i ∪ h 12 , 2i
Zadanie 2.5. Sporządzić wykres funkcji f określonej równością:
(1) f (x) = |x2 − 1|,
(2) f (x) = x|x + 2| − 1,
(3) f (x) = |x2 − 1| + |x2 − 4|,
(4) f (x) = x2 − 2|x| − 3,
x−1 2
(5) f (x) =
(x − 9),
|x
p − 3|
(6) f (x) = (x2 + 1)2 − 4x2 + x2 + x.
Zadanie 2.6. Wyznaczyć funkcję kwadratową f , jeżeli:
(1) do jej wykresu należą punkty A(−1, −5), B(0, −2), C(1, −3);
f (x) = −2x2 + x − 2
3
15
(2) f (2) = 1 i funkcja osiąga maksimum równe 4 dla x = − 4 ;
6
4 2
x − 11
x + 39
f (x) = − 11
11
(3) funkcja ma dokładnie jeden pierwiastek, a do jej wykresu należą punkty A(0, 1)
oraz B(2, 9);
f (x) = 4x2 − 4x + 1 lub f (x) = x2 + 2x + 1
(4) f jest funkcją parzystą spełniającą warunki f (0) = 1 oraz f (1) = 3.
f (x) = 2x2 + 1
Zadanie 2.7. Wyznaczyć współczynniki trójmianu y = x2 + px + q, jeżeli:
(1) miejscami zerowymi trójmianu są liczby 2 oraz −3,
p = 1, q = −6
(2) pierwiastki trójmianu są równe p oraz q,
p = 0, q = 0 lub p = 1, q = −2
(3) jego pierwiastki powiększone o 1 spełniają równanie x2 −px+pq = 0. p = 1, q ∈ R
Zadanie 2.8. Dla jakich wartości parametru m równanie
(1) 2x + m(1 − x2 ) = 2 + 2x2 ,
(2) (m − 1)x2 + (m + 4)x + m + 7 = 0,
(3) mx2 − (m + 1)x + 2m − 1 = 0
nie ma pierwiastków rzeczywistych?
√ √
m ∈(− 3, 3)
m ∈ −∞, − 22
3 ∪ (2, +∞)
m ∈ −∞, − 71 ∪ (1, +∞)
Zadanie 2.9. Dla jakich wartości parametru m równanie
(a) x2 − 2mx + 4m − 3 = 0,
(b) (m − 2)x2 − 2mx + 2m − 3 = 0
ma dwa pierwiastki rzeczywiste?
Zadanie 2.10. Niech f (a) będzie liczbą różnych pierwiastków rzeczywistych równania
(1) x2 − x + a2 = 0,
(2) (a + 2)x2 + 6ax + 4a − 1 = 0,
(3) (a + 5)x2 + (2a − 3)x + a − 1 = 0.
Sporządzić wykres funkcji f .
Zadanie 2.11. Dla jakich wartości parametru a funkcja f określona równością
(1) f (x) = ax2 + 2ax + 12 ,
(2) f (x) = (a − 1)x2 − (a + 1)x + a + 1,
(3) f (x) = (a2 + 4a − 5)x2 − 2(a − 1)x + 2
2. ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZANIA
3
przyjmuje dla każdego x ∈ R wartości (i) ujemne, (ii) dodatnie?
Odpowiedzi:
(a) (i) brak rozwiązań, (ii) a ∈ 0, 12 ;
(b) (i) a ∈ (−∞, −1), (ii) a ∈ 53 , +∞ ;
(c) (i) brak rozwiązań, (ii) a ∈ (−∞, −11) ∪ h1, +∞).
Zadanie 2.12. Wyznaczyć zbiory:
^
A = a ∈ R:
3x2 + 2x − a > 0 ,
x∈R
_
B = a ∈ R:
ax2 + (a − 2)x − 3 < 0 ,
A = −∞, − 13
B=R
x∈R
^
C = a ∈ R:
ax2 − (a + 1)x + 1 ­ 0 .
x∈R
C = {1}