wujek 83

Zbiór zadań
przygotowujących
do
kuratoryjnego
konkursu
matematycznego
Szkoły podstawowe
Wzorcowe rozwiązania zadań
1
Wzorcowe
rozwiązania zadań
Zadanie nr 1
Treść zadania
Arek ma pomalować płot u siebie i u swojego
wujka. Obydwa płoty są identyczne, gdyż Rodzice
Arka i wujek mieszkają w bliźniaku..
Arek własny płot malował w piątek od 13:00 do
19:00. W sobotę Arek również zaczął malowanie o
13:00. Po dwóch godzinach samotnej pracy
dołączył do niego wujek, który nie szedł tego dnia
do pracy. Odtąd wujek i Arek i malowali razem.
O której godzinie w sobotę Arek i wujek skończyli
pracę, jeśli wiadomo, że wujek maluje płot trzy razy
szybciej od Arka?
Wzorcowe rozwiązanie zadania
Dzielimy cały płot na 6 części. Jedną część Arek
maluje w godzinę (całość od 13:00 do 19:00).
W sobotę, do momentu przyjścia wujka Arek
pomaluje dwie części płotu z sześciu. Z pozostałych
czterech wujek pomaluje trzy zaś Arek jedną, gdyż
wujek maluje trzy razy szybciej. Zatem zajmie im
to godzinę, gdyż Arek maluje jedną część z sześciu
w godzinę. Ponieważ wujek przyszedł o godzinie
2
15,: więc Arek z wujkiem skończą malowanie o
16:00
Odpowiedź: Arek i wujek skończyli pracę w
sobotę o 16:00.
Zadanie nr 2
Treść zadania
Kazik zawsze w sobotę obiera ziemniaki dla całej
rodziny. Jednak robi to bardzo wolno i cała praca
zajmuje mu prawie godzinę, a dokładnie 51 minut.
W ostatnią sobotę zlitowała się nad nim siostra
Lusia, która obiera ziemniaki cztery razy szybciej
od Kazika.
Lusia widząc brata obierającego ziemniaki, wzięła
nóż i także przystąpiła do obierania. W ten sposób,
od chwili gdy Kazik wziął pierwszy ziemniak, do
zakończenia obierania ziemniaków przez obydwoje
rodzeństwa minęło tylko 11 minut!
Po ilu minutach samotnego obierania ziemniaków
przez Kazika, Lusia przystąpiła do pracy?
Wzorcowe rozwiązanie zadania
Obliczam ile czasu Lusia zaoszczędziła Kazikowi:
51 minut – 11 minut = 40 minut
3
Od chwili gdy Lusia zaczęła pomagać Kazikowi,
Kazik obrał x ziemniaków, zaś Lusia obrała 4x
ziemniaków.
Gdyby nie Lusia, to Kazik by obierał 4x
ziemniaków przez 40 minut czyli Kazik obiera x
ziemniaków w 10 minut.
Zatem w ciągu 11 minut Kazik obierał ziemniaki:
10 minut z Lusią
1 minutę sam
Odpowiedź: Lusia przystąpiła do pracy po 1
minucie samotnej pracy Kazika.
Zadanie nr 3
Treść zadania
Trójka dzieci: Adrian, Basia i Cyprian bawiła się w
grę o następujących zasadach:
1. Najpierw dziecko pisze na kartce dowolna
liczbę
2. Kartki oddaje się do sędziego
3. Następnie sędzia losuje kolejność dzieci
4. Na tablicy, pierwsze wylosowane dziecko
wypisuje wielokrotności liczby którą
zapisało na kartce w zakresie od 1 do 200
5. Kolejne dzieci (według losowania) dopisują
na tablicy wielokrotności liczb zapisanych
przez siebie na kartce w przedziale od 1 do
200 według następujących zasad:
4
Gdy czerwone spódnice zajmują pozycje 3 i 4 to
mamy siedem następujących możliwych ustawień
pozostałych ubrań:
GZCC G ZGZZ
GZCC G ZZGZ
GZCC G ZZZG
ZGCC G ZGZZ
ZGCC G ZZGZ
ZGCC G ZZZG
ZZCC G ZGAG
Gdy czerwone spódnice zajmują pozycje 6 i 7 to
mamy sytuację symetryczną jak dla pozycji
czerwonych spódnic 3 i 4 czyli siedem możliwych
ustawień pozostałych ubrań.
Gdy czerwone spódnice zajmują pozycje 7 i 8 to
mamy sytuację symetryczną jak dla pozycji
czerwonych spódnic 2 i 3 czyli cztery możliwe
ustawienia pozostałych ubrań.
Powyższe 4 sytuacje zawierają wszystkie możliwe
pozycje czerwonych spódnic na wieszaku: Zatem
liczba możliwości powieszenia ubrań to suma
możliwości rozpatrywanych przypadków:
4 + 7 + 7 + 4 = 11 + 11 = 22
Odpowiedź: Zosia może powiesić swoje ubrania
na 22 sposoby.
25
Zadanie nr 9
Treść zadania
Zosia przechowuje
na odpowiednio długim
wieszaku w szafie następujące ubrania:
• cztery takie same zielone bluzki
• trzy takie same granatowe swetry
• dwie takie same czerwone spódnice
Zosia nigdy nie wiesza swoich ubrań byle jak – ma
określone zasady:
• czerwone spódnice muszą zawsze wisieć
razem – jedna obok drugiej przy czym żadna
czerwona spódnica nie może wisieć z brzegu
• grantowe swetry nigdy, ze sobą nie sąsiadują
przy czym na środkowej pozycji (piątej od
lewej) zawsze wisi granatowy sweter
Na ile sposobów Zosia może powiesić swoje
ubrania w szafie?
Wzorcowe rozwiązanie zadania
Z – zielona bluzka
G – granatowy sweter
C – czerwona spódnica
Gdy czerwone spódnice zajmują pozycje 2 i 3 to
mamy cztery następujące możliwe ustawienia
pozostałych ubrań:
GCCZ G ZGZZ
GCCZ G ZZGZ
GCCZ G ZZZG
ZCCZ G ZGAG
24
a. Jeśli danej wielokrotności nie było
na tablicy, to ta liczba jest
dopisywana.
b. Jeśli dana wielokrotność już jest na
tablicy
(powtarza
się
z
wielokrotnością
któregoś
poprzedniego dziecka) to nie jest
dopisywana.
Wygrywa ta osoba która wypisze najwięcej liczb na
tablicy.
Na kartkach dzieci zapisały następujące liczby:
Basia:
15
Adrian:
25
Cyprian:
10
Sędzia
wylosował
następującą
kolejność
wypisywania liczb na tablicy:
1. Adrian
2. Basia
3. Cyprian
Które z dzieci wygrało grę?
Jaka jest strategię powinno obrać dziecko by
wygrać tę grę?
Wzorcowe rozwiązanie zadania
Ilość liczb wypisanych przez Adriana
200 : 25 = 8
Liczby dopisane przez Basię
5
Ilość wielokrotności 15:
200 : 15 = 13 reszty 5
Liczby których Basia nie dopisała to liczby
podzielne przez 15 i 25:
15 3
25 5
5 5
5 5
1
1
NWW(15,25) = 3 * 5 * 5 = 3 * 25 = 75
Ilość wielokrotności 75
200 : 75 = 2 reszty 50
Ilość liczb dopisanych przez Basię:
13 – 2 = 11
żołnierzy analogicznie jak powyżej. Zatem
wszystkich ustawień żołnierzy jest 6 * 10 = 60.
Odpowiedź: Mateusz może ustawić swoich
żołnierzy na 60 sposobów.
Liczby dopisane przez Cypriana
Ilość wielokrotności 10:
200 : 10 = 20
Liczby których Cyprian nie dopisał gdyż wypisał je
Adrian to liczby podzielne przez 10 i 25:
10 2
2 5
1
25 5
5 5
1
NWW(10,25) = 2* 5 * 5 = 2 * 25 = 50
Ilość wielokrotności 50:
200 : 50 = 4
Liczby których Cyprian nie dopisał gdyż wypisała
je Basia to liczby podzielne przez 10 i 15:
10 2
15 3
2 5
5 5
1
1
NWW(10,15) = 2* 5 * 3 = 2 * 15 = 30
6
23
Zadanie nr 8
Treść zadania
Mateusz robi musztrę swoim 6 żołnierzykom
ustawiając ich jeden za drugim. Na ile sposobów
Mateusz może ustawić swoich żołnierzy, jeśli
żołnierzy można rozróżnić tylko kolorami:
• jeden żołnierz ma kolor czerwony
• dwóch żołnierzy ma kolor granatowy
• trzech żołnierzy ma kolor zielony
Wzorcowe rozwiązanie zadania
Gdy czerwony żołnierz ma pozycję numer 1 to na
pozostałych
pozycjach
możemy
ustawić
granatowych i zielonych żołnierzy na 4 + 3 + 2 + 1
= 5 + 5 = 10 sposobów:
CNNZZZ
CNZNZZ
CNZZNZ
CNZZZN
CZNNZZ
CZNZNZ
CZNZZN
CZZNNZ
CZZNZN
CZZZNN
Ilość wielokrotności 30:
200 : 30 = 6 reszty 20
Liczby policzone dwukrotnie jako niedopisane
przez Cypriana – jako wypisane przez Adriana i
wypisane przez Basię:
10 2
2 5
1
15 3
5 5
1
25 5
5 5
1
NWW(10,15,25) = 2* 5 * 3 * 5 = 10 * 15 = 150
Ilość wielokrotności 150 (policzone podwójnie jako
wypisane przez Adriana i wypisane przez Basię):
200 : 150 = 1 reszty 50
Ilość liczb wypisanych przez Cypriana:
20 – 4 – 6 + 1 = 20 – 10 + 1 = 10 +1 = 11
Otrzymujemy, że:
Adrian wypisał 8 liczb.
Basia dopisała 11 liczb.
Cyprian dopisał 11 liczb.
Odpowiedź: Grę wygrali jednocześnie Basia i
Cyprian.
Optymalna strategia polega na wypisaniu na
kartce
jedynki
która
ma
najwięcej
wielokrotności w dowolnym przedziale
Czerwony żołnierz może być na pozycjach od 1 do
6. Każda z nich daje 10 ustawień pozostałych
22
7
Zadanie nr 4
Treść zadania
1. Nauczyciel wypisał na tablicy zielona kredą
liczby podzielne przez 6 w zakresie 10 000.
2. Następnie dopisał dodatkowo czerwonym
kolorem liczby podzielne przez 10 w
zakresie 10 000 pisząc tylko te liczby
których nie ma jeszcze na tablicy.
3. Na koniec, granatową kredą dopisał liczby
podzielne przez 8 w zakresie 10 000.
Również i w tym przypadku nie wypisywał
liczb jeśli były już na tablicy.
Ile liczb każdego koloru wypisał nauczyciel?
Odpowiedź: Długości boków kwadratów i całego
prostokąta:
3
3
3
3 3 3 33 3
3
3
3
9
9
9
9
9
9
6
6
12
9
12
21
6
6
24
6
3
3
3 33 3
3
3
9
12
9
6
9
9 9
12
9
9
42
9
9
6
6 6
6
3
3 3
3
3
3 3
3
3
3 3
3
6 24
24
6
9
9
9
24
9
18
21
21
18
18
18 18
18
21
18
18
57
Wzorcowe rozwiązanie zadania
Obliczam ilość zielonych liczb podzielnych przez 6
w zakresie 1 do 10 000:
10 000 : 6 = 1 666 reszty 4
Zielonych liczb jest 1 666.
Ilość czerwonych liczb.
Obliczam ilość liczb podzielnych przez 10 w
zakresie 1 do 10 000:
10 000 : 10 = 10 00
Obliczam ilość liczb podzielnych przez 10 i 6 w
zakresie od 1 do 10 000:
NWW(6,10) = 30
10 000 : 30 = 333 reszty 10.
8
21
3
3
3
3 3 3 33 3
3
3
3
9
9
9
9
9
9
9 9
9
12
6
12
9
9
9
12
21
6
6
24
6
3
3
3 33 3
3
3
9
12
9
9
6
9
6
6
6 6
6
3
3 3
3
3
3 3
3
3
3 3
3
6 24
24
6
9
9
9
24
9
18
21
21
21
18
18
18
18
18
18
18
Teraz obliczamy długości boków prostokąta:
Długość:
21 + 18 + 18 = 39 + 18 = 57
Wysokość:
21 + 9 + 9 + 3 = 30 + 12 = 42
20
Liczb podzielnych przez 30 w zakresie od 1 do 10
000 jest 333.
Liczb podzielnych przez 10 a niepodzielnych przez
6 w zakresie od 1 do 10 000 jest
1 000 – 333 = 667
Czerwonych liczb nauczyciel dopisał 667
Ilość granatowych liczb.
Obliczam ilość liczb podzielnych przez 8 w
zakresie 1 do 10 000:
10 000 : 8 = 125
Obliczam ilość liczb podzielnych przez 6 i 8 w
zakresie od 1 do 10 000:
NWW(6,8) = 24
10 000 : 24 = 416 reszty 16
Liczb podzielnych przez 24 w zakresie od 1 do 10
000 jest 416.
Obliczam ilość liczb podzielnych przez 8 i 10 w
zakresie od 1 do 10 000:
NWW(8,10) = 40
10 000 : 40 = 250
Liczb podzielnych przez 40 w zakresie od 1 do 10
000 jest 250.
Obliczam ilość liczb podzielnych przez 6, 8 i 10 w
zakresie od 1 do 10 000:
NWW(6,8,10) = 120
10 000 : 120 = 83 reszty 40
Liczb podzielnych przez 120 w zakresie od 1 do 10
000 jest 83.
9
Granatowych liczb nauczyciel dopisał:
1 250 – 416 – 250 + 83 = 1 250 – 666 + 83
= 584 + 83 = 67.
3
3
3
3 3 3 33 3
3
3
3
9
9
9
Zadanie nr 5
9
Składając 3 jednakowe małe prostopadłościany
możemy uzyskać sześcian o polu powierzchni 864
cm2.
Jakie pole powierzchni uzyskamy składając 3 małe
prostopadłościany w jeden duży prostopadłościan
nie będący sześcianem?
Wzorcowe rozwiązanie zadania
6
12
9
12
9
9
9
9
12
6
3
3 3
3
3
3 3
3
3
3 3
3
12
12
21
21
24
6 24
24
9
9
9
24
9
6
6
6
6
24
3
3
3 33 3
3
3
6
6
6 6
6
3
3 3
3
3
3 3
3
3
6
6
9
6
9
9
6 6
9
12
9
9
6
6
6
9 9
9
6
3
3
3 33 3
3
3
9
9
9
9
9
12
3
3
3
3 3 3 33 3
3
3
3
Treść zadania
9
12
9
6
9
9
9
9
9
Odpowiedź: Nauczyciel wypisał:
166 zielonych liczb
67 czerwonych liczb
67 granatowych liczb
9
9
3
3
3
6 24
24
6
9
9
9
9
24
21
Rysunek
21
3x
3x
3x
x
10
x
x
x
3x
19
3
3
3
3 3 3 33 3
3
3
3
9
9
6
6 6 6
3
3
3 33 3
3
3
9
9
6 6 6
6
9
3
3 3
3
3
3 3
3
3
3 3
3
9
3x
9
3x
3x
9
9x
3x
x
Obliczam pole powierzchni sześcianu
Pole powierzchni pojedynczej ściany:
Ps = 3 x ⋅ 3 x = 9 x 2
3
3
3
3 3 3 33 3
3
3
3
9
9
9
9
9
9
9
6
9
9
9
6
9
6
9
3
3
3 33 3
3
3
6
6 6
6
6
3
3 3
3
3
3 3
3
3
3 3
3
6
6
24
Obliczam x.
Pp = 54 x 2 = 864cm 2
9
9
9
Pp = Ps = 6 ⋅ 9 x 2 = 54 x 2
24
6
9
Pole powierzchni całego sześcianu:
24
6
24
54 x 2 = 864cm 2 |: 54
864 2
cm
54
432 2
=
cm
27
48
= cm 2
3
x2 =
x2
x2
x 2 = 16cm 2
18
11
x = 4cm lub x = −4cm
Odrzucam,
długość
boku
liczbą
dodatnią
Zatem x = 4 cm.
Obliczam pole powierzchni dużego
prostopadłościanu
Pole ściany 9x na 3x:
P1 = 9 x ⋅ 3x = 27 x 2
Wzorcowe rozwiązanie zadania
Ponieważ pole kwadracika wynosi 9, więc bok
kwadracika wynosi 3. Z przystawania kwadratów,
wynika,
że
boki
wszystkich
poniższych
kwadracików wynoszą 3:
3
3
3
3 3 3 33 3
3
3
3
3
3
3 33 3
3
3
Pole ściany 9x na x:
P2 = 9 x ⋅ x = 9 x 2
Pole ściany 3x na x:
P3 = 3x ⋅ x = 3x 2
3
3 3
3
3
3 3
3
3
3 3
3
Pole powierzchni dużego prostopadłościanu:
Pd = 2 ⋅ P1 + 2 ⋅ P2 + 2 ⋅ P3 = 2 ⋅ 27 x 2 + 2 ⋅ 9 x 2 + 2 ⋅ 3x 2 =
= 54 x 2 + 18 x 2 + 6 x 2 = 72 x 2 + 6 x 2 = 78 x 2
Podstawiam x = 4 cm:
Pd = 78 x 2 = 78 ⋅ (4cm) 2 = 78 ⋅16cm 2 = 1248cm 2
Z sumy odcinków i przystawania kwadratów
wnioskujemy w kolejnych krokach następujące
długości boków:
Odpowiedź: Pole powierzchni dużego
prostopadłościanu wynosi 1248 cm2.
12
17
Zatem pole niebieskiego kwadratu to:
11 * 11 = 121
Odpowiedź: Duży niebieski kwadrat składa się
ze 121 kwadracików.
Zadanie nr 6
Treść zadania
Z ilu najmniejszych kwadracików (dwa z nich
zaznaczono na różowo) składa się duży kwadrat o
niebieskim obwodzie?
Zadanie nr 7
Treść zadania
Wiedząc, że wszystkie figury składające się na duży
prostokąt są kwadratami, oraz, że pole różowego
kwadracika wynosi 9, oblicz długości boków
każdego kwadratu jak również długości boków
dużego prostokąta.
9
9
Wzorcowe rozwiązanie zadania
9
16
Poniższe kwadraciki są przystające (każde dwa
mają wspólny bok) zatem maja równe pola:
13
Bok pogrubionego kwadratu składa się z 6
kwadracików:
6
Poniższe pogrubione kwadraty mają boki złożone z
dwóch szarych kwadracików, zaś ich pole składa się
z 4 kwadracików:
Bok niebieskiego kwadratu to 11 kwadracików:
2
2
11
2
14
15