parkiet
Transkrypt
parkiet
Parkietaze korelacja: sztuka, historia, matematyka, H olenderski malarz i grafik Escher Maurits Cornelis tworzył dzieła, którymi interesowali się matematycy. Były to dzieła inspirowane matematyką, w których formy przestrzenne były ukazywane w sposób sprzeczny z doświadczeniem. Jego grafiki były prezentowane na Międzynarodowym Kongresie Matematycznym w Amsterdamie w 1964r. Celem projektu jest zbadanie różnych możliwości parkietowania płaszczyzny, czyli wypełniania jej wielokątami lub innymi rodzajami figur. Parkiety • Co to jest parkiet, posadzka, mozaika? Gdzie się z nimi spotykamy? Od jak dawna były stosowane? Jakie są ich najsłynniejsze przykłady? • Zbierz zdjęcia lub szkice przykładowych parkietów i mozaik. Co je różni? W czym są podobne? Opisz ich własności. • Zbadaj różne kształty kostek chodnikowych. jakie chodniki można z nich układać? Zaprojektuj własny kształt takiej kostki (zestawu kostek). • Co łączy chodniki, parkiety, mozaiki i puzzle? Co je różni? • Czy podobne zjawiska występują w naturze? "Day and Night" - February 1938 ESCHER MAURITS Wielokąty foremne • Co to są wielokąty foremne? Jakie posiadają własności? • Wykonaj konstrukcję w Cabri II, za pomocą której uzyskasz wielokąty foremne. Parkietowanie wielokątami foremnymi. Rodzaje parkietazy • Wytnij z papieru modele różnych wielokątów foremnych o tej samej długości boku. Spróbuj układać z nich posadzki. Których możemy użyć, jeśli posadzka może mieć tylko jeden typ kafelka? A jeśli można, użyć dwóch lub trzech różnych kształtów? • Czy używając dwóch rodzajów wielokątów foremnych możemy dostać tylko jeden parkiet? A używając trzech? • Czy w tych parkietażach wszystkie punkty styku kafli (nazwijmy je wierzchołkami parkietażu) są identyczne? Czym mogą się różnić? Zaprojektuj odpowiednie parkiety. Udane projekty dla gimnazjum nie tylko z matematyki, Agnieszka Wojtas • Parkietaże uzyskane z jednego wielokąta foremnego nazywamy foremnymi (lub platońskimi), a uzyskane z różnych wielokątów foremnych, ale w taki sposób, że wszystkie wierzchołki wyglądają identycznie - półforemnymi (lub archimedesowymi). Czy domyślasz się, skąd wzięty się takie nazwy? Parkietaże, w których wszystkie płytki są foremne, ale wierzchołki nie są identyczne, nazywamy foremnościennymi (lub Johnsona). Podaj przykłady różnych takich parkietaży. Czy istnieją parkietaże jeszcze innych typów? • Ile najmniej, a ile najwięcej płytek może stykać się w wierzchołku każdego rodzaju parkietażu? Czy wszystkie liczby pośrednie też można uzyskać? Podaj odpowiednie przykłady parkietaży. • Ile parkietaży platońskich udało Ci się uzyskać. Powinny być tylko 3. Czy potrafisz uzasadnić, że innych nie ma? • Czy w jednym wierzchołku parkietażu archimedesowego mogą stykać się: a) cztery trójkąty i sześciokąt? b) kwadrat i dwa sześciokąty? c) trzy trójkąty i dwa kwadraty? d) dwa trójkąty, kwadrat i dwunastokąt? • Czy potrafisz uzasadnić swoje odpowiedzi, nie posługując się modelami wielokątów? • Pierwszy z wymienionych wyżej układów możemy oznaczyć jako [3, 3, 3, 3, 6]. Parkietaż tego typu jest tylko jeden. Trzeci z przykładów możemy oznaczyć [3, 3, 3, 4, 4], ale można go zrealizować także w wersji [3, 3, 4, 3, 4]. Zaprojektuj te parkietaże. • Można obliczyć, że jest 9 różnych parkietaży archimedesowych. Spróbuj zaprojektować ich jak najwięcej, być może uda Ci się znaleźć wszystkie. • Mniej regularnych parkietaży foremnościennych jest nieskończenie wiele. Zaprezentuj kilka ciekawych przykładów. "Bond of Union" - April 1956 ESCHER MAURITS "Belvedere" - May 1958 ESCHER MAURITS "Relativity" - July 1953 - ESCHER MAURITS Udane projekty dla gimnazjum nie tylko z matematyki, Agnieszka Wojtas Parkietowanie niewielokatami • Przyjrzyj się poniższym rysunkom. Pokazują one, w jaki sposób można zaprojektować własną „klepkę podłogową”, zaczynając np. od prostokąta. "High and low" ESCHER MAURITS • Zaprojektuj w podobny sposób kilka własnych „klepek" i sprawdź, czy parkietują one płaszczyznę. Zacznij od jednego typu przekształcenia boków, a potem wprowadź ich kilka jednocześnie. Oto przykłady różnego rodzaju wypełniania powierzchni płaskiej wykonane przez ESCHER MAURITS’a, który stosował w swojej twórczości elementy geometrii. Udane projekty dla gimnazjum nie tylko z matematyki, Agnieszka Wojtas Parkietowanie przestrzeni • Czy zagadnienie parkietowania można przenieść do przestrzeni trójwymiarowej? Ustal potrzebną terminologię. • Gdzie na co dzień spotykamy takie „parkietaże"? Jakich wielościanów się do tego używa.? • Zbadaj, jakie wielościany foremne (platońskie) „parkietują" przestrzeń. A jakie graniastostupy? Spróbuj znaleźć inne przykłady wielościanów wypukłych „parkietujących" przestrzeń. • Zaprojektuj własny model bryły „parkietującej" przestrzeń. Forma prezentacji Wykonanie albumu lub serii plakatów z systematycznym przeglądem różnych typów parkietaży oraz projektami płytek do parkietowania płaszczyzny. "Mosaic" ESCHER MAURITS Udane projekty dla gimnazjum nie tylko z matematyki, Agnieszka Wojtas