FALOWY I KWANTOWY OPIS ŚWIATŁA Dualizm korpuskularno

FALOWY I KWANTOWY OPIS ŚWIATŁA
Dualizm korpuskularno - falowy
Światło wykazuje dualizm korpuskularno-falowy. W niektórych zjawiskach takich jak
interferencja, dyfrakcja i polaryzacja ma naturę falową, a w innych takich jak np. efekt
fotoelektryczny czy też rozproszenie comptonowskie wykazuje naturę korpuskularną.
Omówimy kilka zjawisk, które świadczą o dualnym charakterze promieniowania
elektromagnetycznego.
Polaryzacja światła
W ubiegłym semestrze opisywaliśmy światło uważając je za falę elektromagnetyczną.
Światło przedstawialiśmy jako drgające pole elektryczne i prostopadłe do niego pole
magnetyczne. Fala E-M jest falą poprzeczną, jej pola elektryczne i magnetyczne są
prostopadłe do kierunku rozchodzenia się fali. W świetle
naturalnym wszystkie kierunki drgań np. pola elektrycznego są
Z
równoprawdopodobne i takie światło nie jest spolaryzowane.
Światło jest spolaryzowane, jeśli drgania wektora natężenia pola elektrycznego E są w
pewien sposób uporządkowane ( ukierunkowane ). Sposób uporządkowania drgań pola E
pozwala na rozróżnienie rodzajów polaryzacji.
Polaryzacja liniowa ( płaska ) – jest to rodzaj polaryzacji, przy której drgania wektora
E ( oraz B : E = B × v f ) zachodzą w jednej płaszczyźnie – obecnie nazywanej płaszczyzną
polaryzacji.
x
(
)
E = E0xex + E0yey cos(ωt − kz +ϕ0 )
E
z
y
1 Polaryzacja eliptyczna – koniec wektora E porusza się po linii śrubowej o osi będącej
kierunkiem rozchodzenia się wiązki światła. Może być otrzymana przez złożenie dwóch
drgań prostopadłych spolaryzowanych płasko i przesuniętych w fazie o 90° np.
E = Eox ex cos (ωt − kz + ϕ ) ± Eoy ey sin (ωt − kz + ϕ ) .
W przypadku znaku ( − ) polaryzacja jest prawoskrętna, a przy znaku ( + ) mamy polaryzację
lewoskrętną. Kiedy E0 x = E0 y mamy do czynienia z polaryzacją kołową.
Światło naturalne przedstawia się niekiedy tak, jak pokazuje poniższy rysunek.
≡
Z
Z
Światło może być częściowo spolaryzowane, co przedstawia się, tak jak niżej
Z
Polaryzatory są to urządzenia służące do otrzymania światła spolaryzowanego. W
przypadku polaryzatora liniowego zasadę jego działania pokazuje rysunek
I1 = 1 I 0
I0
Z
E0
α
α
2
P1
E01
P2
I 2 = I1 cos2 (α )
E02
P1 , P2 - polaryzatory, I - natężenie światła.
I1 ∼ E012 , I 2 ∼ E022 = ( E01 cos(α ) ) ,
2
2
I 2 ⎛ E02 ⎞
2
2
=⎜
⎟ = cos (α ) ⇒ I 2 = I1 cos (α ) .
I1 ⎝ E01 ⎠
(6.1)
2 Równanie (6.1) wyraża prawo Malusa.
Do otrzymywania światła spolaryzowanego wykorzystuje się takie zjawiska jak:
1. Polaryzację światła przy odbiciu od dielektryka. Światło naturalne ulega częściowej
polaryzacji podczas odbicia i załamania od powierzchni dielektryka. Przy kącie
padania α nazywanym kątem Brewstera α B , światło odbite jest całkowicie
spolaryzowane. Odbija się wtedy tylko składowa pola elektrycznego prostopadła do
płaszczyzny padania. Przy kącie Brewstera stwierdzono, że kąt między promieniem
odbitym i załamanym wynosi 90°.
αB
αB
⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅
90
⋅⋅⋅
n
β
Z prawa Snella otrzymamy:
sin (α B )
sin (α B )
=
= tg (α B ) = n − prawo Brewstera.
sin ( β ) sin ( 90° − α B )
(6.2)
2. Dwójłomność: Niektóre kryształy ( np. CaCO3 – kalcyt ) podwójnie załamują światło.
Jedna wiązka załamanego światła
nazywana jest wiązką zwyczajną
(„o”), a druga wiązka – wiązką
e
o
Z
CaCO 3
nadzwyczajną („e”). Wiązki e i o są
spolaryzowane liniowo wzajemnie prostopadle i mają różne współczynniki załamania.
3. Dichroizm: Polega na tym, że niektóre
( np. turmalin ) selektywnie
kryształy
Z
pochłaniają
światło w zależności od jego polaryzacji.
3 Promieniowanie ciała doskonale czarnego
Ciało doskonale czarne to ciało, które doskonale ( całkowicie ) absorbuje i emituje
promieniowanie elektromagnetyczne. Żadne inne ciało nie jest lepszym emiterem i
absorberem promieniowania. Dobrym modelem ciała doskonale czarnego może być pusty
zbiornik z małym otworem w ściance umieszczony w termostacie utrzymującym jednorodny
rozkład temperatury T . Zaglądając przez otwór do zbiornika ( przy
niewysokiej temperaturze ) zobaczymy doskonałą czerń. W wysokiej
temperaturze T przez otwór wydobywa się promieniowanie widzialne. Jeśli
przez gęstość spektralną promieniowania u ( λ ) oznaczymy ilość energii tego
promieniowania przypadającą na przedział długości fali d λ i na jednostkę objętości dV to
otrzymane doświadczalnie krzywe rozkładu u ( λ ) w funkcji długości fali λ mają
przedstawioną na rysunku postać.
u(λ) j. w.
x 100000
Rozkład Plancka
6
5
4
T=3000 K
3
T=5000 K
2
1
0
0,00E+00 1,00E-06 2,00E-06 3,00E-06 4,00E-06
λ [m]
W ramach fizyki klasycznej nie potrafiono opisać poprawnie tych krzywych. Dopiero Planck
w 1900 r. podał wzór opisujący w całym przedziale długości fal promieniowanie ciała
doskonale czarnego:
u (λ ) =
8π hc
λ
1
5
e
hc
λ kT
,
(6.3)
−1
4 gdzie: h = 6,63 ⋅ 10−34 J ⋅ s –stała Plancka, c - prędkość światła, k - stała Boltzmanna. Aby
otrzymać wyrażenie (6.3) Planck założył, że wymiana energii między ścianką i wnęką
c
zbiornika odbywa się skończonymi porcjami – kwantami energii E = hv = h .
λ
Promieniowanie ciała doskonale czarnego spełnia:
1. Prawo Wiena
λmaxT = const , const = 2,9 ⋅ 10−3 K ⋅ m,
(6.4)
gdzie λmax oznacza długość fali, przy której krzywa rozkładu promieniowania w temperaturze
T osiąga maksimum.
2. Prawo Stefana – Boltzmanna
∞
c
W
P = ∫ u ( λ )d λ = σ T 4 , σ = 5,7 ⋅ 10−8 2 4 ,
40
mK
(6.5)
gdzie P oznacza moc wypromieniowaną przez jednostkę powierzchni we wszystkich
kierunkach.
FK
h
Efekt fotoelektryczny
ν A
FK - fotokatoda
A - anoda
Efektem fotoelektrycznym nazywamy zjawisko emisji elektronów pod działaniem światła
( Hertz 1887 r. ). Badając to zjawisko stwierdzono szereg faktów sprzecznych z falową naturą
światła, np. energia wybijanych elektronów nie wzrastała ze wzrostem natężenia światła. Nie
stwierdzono także opóźnienia między chwilą włączenia światła a momentem pojawienia się
5 fotoprądu. Wykazano także doświadczalnie istnienie częstotliwości granicznej ν g , poniżej
której fotoprąd nie pojawiał się bez względu na wartość natężenia światła I .
If
If
I2
I = const
I1
λ 2 < λ1
I 2 > I1
λ = const
λ2
λ1
U
Uh
U
U h1
Ek max = eUh
If - fotoprąd, I - natężenie swiatla,
ν - częstotliwosć, U - napięcie, λ - dlugosć fali,
Ek max - maksym. enrgia kinet. elektronów
−Φ
νg
ν
Fotoefekt został objaśniony przez Einsteina w 1905 roku. Einstein założył, że światło w tym
zjawisku składa się z fotonów o energii E = hν . Foton może zostać pochłonięty przez
elektron w metalu i uzyskana przez elektron dodatkowa energia może wystarczyć, aby mógł
on opuścić metal. Energia fotonu E = hν zostaje więc zużyta na wyrwanie elektronu z metalu
– czyli na wykonanie pracy wyjścia Φ i na nadanie elektronowi energii kinetycznej,
maksymalnie Ek max :
hν = Ek max + Φ.
(6.6)
Ponieważ doświadczenie pokazuje, że emisję można zatrzymać stosując napięcie wsteczne –
hamujące U h to
6 Ek max = eU h , e − ładunek elektronu.
(6.7)
Z równań (6.6) i (6.7) otrzymamy
eU h = hν − Φ.
(6.8)
Dla częstotliwości granicznej ν g zachodzi
hν g = Φ.
(6.9)
Z równania (6.8) wynika przedstawiona na rysunku wyżej zależność napięcia hamowania U h
od częstotliwości światła. Z nachylenia wykresu Miliken w 1916 r. wyznaczył wartość stałej
Plancka h.
Zjawisko Comptona
Zjawisko to zostało odkryte w 1923 roku przez Comptona podczas badania
rozproszenia promieni rentgenowskich przez różne substancje. Compton zaobserwował w
promieniowaniu rozproszonym obok promieniowania o takiej samej długości fali λ jak
promieniowanie padające promieniowanie o większej długości fali λ′, tak, że Δλ = λ ′ − λ
zależy tylko od kąta ϑ między wiązką pierwotną i rozproszoną
I
natężenie
λ
ϑ
λ
λ′
λ
λ λ′
Wzór na Δλ , opisujący wyniki doświadczalne, można uzyskać zakładając korpuskularną
naturę promieniowania
7 pe
p
p′
ϑ
Zakłada się, że foton zderza się z praktycznie nieruchomym
elektronem rozpraszacza oraz, że zachodzą prawa zachowania pędu
(6.10) i energii (6.11). Ponieważ pęd fotonu: p =
h
λ
hc
λ
h
e ′,
λ′ p
(6.10)
hc
+ c pe2 + m 2 c 2 ,
λ′
(6.11)
e p = pe +
+ mc 2 =
hν
h
e p = e p to
c
λ
gdzie: m - masa elektronu. pe - pęd rozproszonego elektronu. Ostatnie równanie dzielimy
przez c , podnosimy do kwadratu i zapisujemy w postaci
1
2 ⎞
⎛ 1
⎛1 1 ⎞
pe2 + m 2c 2 = h 2 ⎜ 2 + 2 −
+ m2 c 2 + 2hmc ⎜ − ⎟ .
⎟
λ ′ λλ ′ ⎠
⎝λ
⎝ λ λ′ ⎠
Z zasady zachowania pędu (6.10) mamy
1
2
⎛ 1
⎞
pe2 = h 2 ⎜ 2 + 2 −
cos(ϑ ) ⎟ .
′
′
λ
λλ
⎝λ
⎠
Po porównaniu ostatnich dwóch równań otrzymamy
1
2 ⎞
1
2
⎛ 1
⎛1 1 ⎞
⎛ 1
⎞
+ 2hmc ⎜ − ⎟ = h 2 ⎜ 2 + 2 −
h2 ⎜ 2 + 2 −
cos(ϑ ) ⎟ ,
⎟
′
′
′
′
′
λ
λ
λλ
λ
λ
λ
λ
λλ
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
h
⎛1 1 ⎞
mc ⎜ − ⎟ =
(1 − cos(ϑ ) ) ,
⎝ λ λ ′ ⎠ λλ ′
h
λ′ − λ =
(1 − cos(ϑ ) ) ,
mc
Δλ = λC (1 − cos(ϑ ) ) ,
gdzie λC =
(6.12)
h
= 2, 43 ⋅ 10 −12 m - comptonowska długość fali.
mc
8 Model atomu wodoru Bohra
Na początku 20. wieku było wiadomo, że atomy składają się z elektronów i ładunku
dodatniego skupionego w jądrze o małych rozmiarach rzędu 10−15 m. Rozmiary atomu
szacowano natomiast na 10−10 m. Eksperymenty wykazywały, że atomy wysyłają lub
pochłaniają światło o określonych długościach fal charakterystycznych dla każdego rodzaju
atomów. Fizyka klasyczna nie była w stanie objaśnić tego liniowego charakteru świecenia
atomów, a nawet nie potrafiła objaśnić faktu stabilności układu ładunków, jaki stanowi atom.
Teoria Bohra (1913r.) była pierwszą teorią, która odniosła sukces w opisie najprostszego
atomu, jakim jest atom wodoru. Model Bohra opiera się na dwóch postulatach o naturze
kwantowej:
1 postulat: Elektron o masie m krąży z prędkością v wokół nieruchomego protonu po orbicie
kołowej o takim promieniu r , że jego moment pędu jest całkowitą wielokrotnością
h / (2π ) ≡
mvr = n , n = 1, 2, 3…
(6.13)
2 postulat: Atom promieniuje lub absorbuje foton o energii hν tylko wtedy, kiedy przechodzi
z jednej orbity na drugą
hν =
hc
λ
= Em − En .
(6.14)
Korzystając z powyższych postulatów możemy obliczyć promień n - tej orbity i
energię elektronu na n - tej orbicie:
Siła Coulomba jest siłą dośrodkową
mv 2 ke 2
n
n 2 2 ke 2
= 2 , oraz v =
⇒ m 2 2=
⇒
r
r
mr
mr
r
2
4πε 0 2 2
2
⇒r=
n
=
n ,
kme 2
me 2
9 oznaczając r1 =
4πε 0 2
= 0,53 ⋅ 10−10 m = 0,53 Ǻ,
2
me
r = rn = r1n 2 .
(6.15)
Na energię elektronu uzyskamy wzór
1 2 ke 2 ke 2 ke 2
ke 2
k 2me 4 1
En = mvn −
=
−
=−
=−
=
2
2rn
2rn
2 2 n2
rn
rn
=−
gdzie E1 = −
me4
32π ε
2 2
0
2
me 4
32π 2ε 02
2
1
1
= E1 2 ,
2
n
n
(6.16)
= −13,6 eV, 1 eV=1,6 ⋅ 10−19 J.
Korzystając z drugiego postulatu Bohra uzyskamy wzór na długości fal promieniowania
emitowanego przez atom wodoru
hc
λ
=
1 ⎞
E1 E1
⎛ 1
− 2 = − E1 ⎜ 2 − 2 ⎟ , ⇒
2
m n
m ⎠
⎝n
1 ⎞
1 ⎞
E ⎛ 1
⎛ 1
= − 1 ⎜ 2 − 2 ⎟ = R ⎜ 2 − 2 ⎟,
λ
hc ⎝ n
m ⎠
m ⎠
⎝n
1
(6.17)
gdzie R = 1,097 ⋅ 107 1/m to stała Rydberga.
Dla n = 2 wzór (6.17) został odgadnięty już w 19. wieku przez Balmera z dopasowania do
znanych linii widmowych wodoru w obszarze widzialnym.
Emitowane lub absorbowane przez wodór linie widmowe można usystematyzować w serie
widmowe. Jeśli w wyrażeniu (6.17) podstawimy:
n = 1, m = 2, 3, 4,… otrzymamy serię Lymana
n = 2, m = 3, 4,5, … otrzymamy serię Balmera
n = 3, m = 4,5, 6, … otrzymamy serię Paschena
10 n = 4, m = 5, 6, 7, … otrzymamy serię Bracketta
Serie widmowe przedstawione są niżej na wykresie poziomów energii:
Lyman
E
n→∞
Balmer
E =0
n=5 E
5
n= 4 E4
n= 3
E
α
αβ
3
n= 2
Paschen Brackett
αβ γ
E2
α β γδ
n=1
E1 =−13,6 eV
Linie przerywane oznaczają granice serii widmowych ( m → ∞ ). Teoria Bohra zawodzi w
przypadku innych atomów np. nie opisuje już widma helu.
11