(T,A,µ) będzie przestrzenią z miarą σ

Wykład monograficzny, Zadanie
Adam Śpiewak
Niech (T, A, µ) będzie przestrzenią z miarą σ-skończoną.
Zadanie Niech f ∈ L2 (T p ) będzie funkcją symetryczną oraz niech g ∈ L2 (T q ), p ­ q
e 2 , gdzie g1 jest symetryczną funkcją q − 1 zmiennych, g2 jest
będzie postaci g = g1 ⊗g
funkcją jednej zmiennej oraz g1 ⊗1 g2 = 0. Wtedy dla 1 ¬ r ¬ q − 1 mamy
e rg =
f⊗
r(p + q − 2r + 1) e
q−r
e r g1 )⊗g
e 2 ].
(f ⊗r−1 g1 ) ⊗1 g2 +
[(f ⊗
q(p − r + 1)
q
(1)
Przypomnijmy, że dla f ∈ L2 (T p ), g ∈ L2 (T q ) mamy f ⊗ g ∈ L2 (T p+q ) oraz
f ⊗ g(t1 , ..., tp+q ) = f (t1 , ..., tp )g(tp+1 , ..., tp+q ),
a ponadto dla 1 ¬ r ¬ min{p, q} mamy
f ⊗r g(t1 , ..., tp+q−2r ) :=
Z
f (t1 , ..., tp−r , s1 , ..., sr )g(tp−r+1 , ..., tp+q−2r , s1 , ..., sr )dµr (s1 , ..., sr )
Tr
oraz f ⊗r g ∈ L2 (T p+q−2r ). Przyjmujemy konwencję, że f ⊗0 g := f ⊗ g. Dla funkcji n
zmiennych określamy jej symetryzację fe jako
fe(t1 , ..., tn ) :=
1 X
f (tσ(1) , ..., f (tσ(n) )).
n! σ∈Sn
Niech ∆nm oznacza zbiór par ciągów ((i1 , ..., in ), (j1 , ..., jm )), gdzie (i1 , ..., in ) oraz (j1 , ..., jm )
są rozłącznymi, rosnącymi ciągami o wyrazach w zbiorze {1, ..., n+m}. Zauważmy, że ciąg
(i1 , ..., in ) jednoznacznie wyznacza odpowiadającymi mu ciąg (j1 , ..., jm ) i odwrotnie.
Fakt 1. Niech f ∈ L2 (T n ) oraz g ∈ L2 (T m ) będą funkcjami symetrycznymi. Dla 0 ¬ r ¬
min{n, m} zachodzi
e r g(t1 , ..., tn+m−2r ) =
f⊗
(n − r)!(m − r)!
(n + m − 2r)!
X
f ⊗r g(ti1 , ..., tin−r , tj1 , ..., tjm−r ).
(i1 ,...,in−r )
∈∆n−r
m−r
(j1 ,...,jm−r )
Dowód: Zauważmy, że skoro f i g są symetryczne, to f ⊗r g jest niezmiennicza na działanie permutacji σ ∈ Sn+m−2r takich, że σ({1, ..., n − r}) ⊂ {1, ..., n − r} oraz σ({n −
r + 1, ..., n + m − 2r}) ⊂ {n − r + 1, ..., n + m − 2r}. Oznaczmy zbiór wszystkich takich
permutacji przez H. Łatwo widać, że H tworzy podgrupę Sn+m−2r . Dla dowolnej permutacji σ ∈ Sn+m−2r możemy znaleźć jednoznacznie wyznaczone permutację ω ∈ H oraz
ω
parę ciągów ((i1 , ..., in−r ), (j1 , ..., jm−r )) ∈ ∆m−r
n−r takie, że (σ(1), ..., σ(n + m − 2r)) 7→
(i1 , ..., in−r , j1 , ..., jm−r ) [należy uporządkować rosnąco pierwszych n − r wyrazów ciągu
(σ(1), ..., σ(n + m − 2r)) otrzymując ciąg (i1 , ..., in−r ), a następnie uporządkować rosnąco
1
pozostałe m − r wyrazów otrzymując ciąg (j1 , ..., jm−r )]. Z drugiej strony, każdej parze
((i1 , ..., in−r ), (j1 , ..., jm−r )) ∈ ∆m−r
n−r odpowiada dokładnie (n − r)!(m − r)! (czyli tyle,
ile elementów ma H) permutacji σ ∈ Sn+m−2r takich, że powyższa procedura przyporządkowuje permutacji σ parę ((i1 , ..., in−r ), (j1 , ..., jm−r )) [należy zadziałać odwrotnie przepermutować osobno ciągi (i1 , ..., in−r ) oraz (j1 , ..., jm−r ) na wszystkie możliwe sposoby]. Możemy zatem napisać
e r g(t1 , ..., tn+m−2r ) =
f⊗
=
1
(n + m − 2r)!
=
=
X
1
f ⊗r g(tσ(1) , ..., f (tσ(n+m−2r) )) =
(n + m − 2r)! σ∈Sn+m−2r
X
X
(i1 ,...,in−r )
∈∆n−r
m−r
(j1 ,...,jm−r )
ω∈H
1
(n + m − 2r)!
f ⊗r g(tω(i1 ) , ..., tω(in−r ) , tω(j1 ) , ..., tω(jm−r ) ) =
X
X
(i1 ,...,in−r )
n−r
∈∆m−r
(j1 ,...,jm−r )
ω∈H
(n − r)!(m − r)!
(n + m − 2r)!
X
f ⊗r g(ti1 , ..., tin−r , tj1 , ..., tjm−r ) =
f ⊗r g(ti1 , ..., tin−r , tj1 , ..., tjm−r ). (i1 ,...,in−r )
∈∆n−r
m−r
(j1 ,...,jm−r )
Będziemy od teraz zakładać, że funkcje f, g, g1 , g2 są takie jak w Zadaniu.
Fakt 2.
g(t1 , ..., tq ) :=
e 2 (t1 , ..., tq )
g1 ⊗g
q
1X
=
g1 (t1 , ..., tk−1 , tk+1 , ..., tq )g2 (tk )
q k=1
Uwaga Przyjmujemy, że pomijamy wyrazy tj , gdy j ∈
/ {1, ..., q}, tzn. np. dla k = 1 mamy
g1 (t1 , ..., tk−1 , tk+1 , ..., tq )g2 (tk ) = g1 (t2 , ..., tq )g2 (t1 ). Taką samą konwencję przyjmujemy w
przypadku podobnych sumowań w dalszej części pracy.
Dowód: Z Faktu 1 dla n = q − 1, m = 1 oraz r = 0 mamy
e 2 (t1 , ..., tq ) =
g1 ⊗g
(q − 1)!
q!
X
g1 (ti1 , ..., tiq−1 )g2 (tj1 ).
(i1 ,...,iq−1 )
∈∆q−1
1
(j1 )
Zauważmy, że wybranie pary ((i1 , ..., iq−1 ), (j1 )) ∈ ∆q−1
jest równoważne z wybraniem
1
elementu k ∈ {1, ..., q} i przyjęciu j1 = k oraz (i1 , ..., iq−1 ) = (1, ..., k − 1, k + 1, ..., q),
zatem także
(q − 1)!
q!
X
g1 (ti1 , ..., tiq−1 )g2 (tj1 ) =
(i1 ,...,iq−1 )
∈∆q−1
1
(j1 )
2
q
1X
g1 (t1 , ..., tk−1 , tk+1 , ..., tq )g2 (tk ). q k=1
Fakt 3.
(p − r)!(q − r)!
e r g(t1 , ..., tp+q−2r ) =
f⊗
q(p + q − 2r)!

X
q−r
X
Z

(i1 ,...,ip−r )
∈∆p−r
q−r
(j1 ,...,jq−r )
f (ti1 , ..., tip−r , s1 , ..., sr )
k=1 T r
g1 (tj1 , ..., tjk−1 , tjk+1 , ..., tjq−r , s1 , ..., sr )g2 (tjk )dµr (s1 , ..., sr ) +

+r
Z
f (ti1 , ..., tip−r , s1 , ..., sr )g1 (tj1 , ..., tjq−r , s1 , ..., sr−1 )g2 (sr )dµr (s1 , ..., sr )
Tr
Dowód: Z Faktu 1 oraz Faktu 2 mamy
e r g(t1 , ..., tp+q−2r ) =
f⊗
(p − r)!(q − r)!
=
(p + q − 2r)!
(p − r)!(q − r)!
(p + q − 2r)!
Z
X
(i1 ,...,ip−r )
∈∆p−r
q−r
(j1 ,...,jq−r )
X
f ⊗r g(ti1 , ..., tip−r , tj1 , ..., tjq−r ) =
(i1 ,...,ip−r )
∈∆p−r
q−r
(j1 ,...,jq−r )
e 2 (tj , ..., tj , s1 , ..., sr )
f (ti1 , ..., tip−r , s1 , ..., sr )g1 ⊗g
q−r
1
Tr
(p − r)!(q − r)!
dµ (s1 , ..., sr ) =
(p + q − 2r)!
r
X
(i1 ,...,ip−r )
∈∆p−r
q−r
(j1 ,...,jq−r )
Z
f (ti1 , ..., tip−r , s1 , ..., sr )·
Tr

X
1 q−r
· 
g1 (tj1 , ..., tjk−1 , tjk+1 , ..., tq−r , s1 , ..., sr )g2 (tjk ) +
q k=1
+

q
X
g1 (tj1 , ..., tjq−r , s1 , ..., sk−(q−r)−1 , sk−(q−r)+1 , ..., sr )g2 (sk−(q−r) )dµr (s1 , ..., sr ) = (∗).
k=q−r+1
ZR twierdzenia Fubiniego wiemy, że dla całkowalnej funkcji h ∈ L1 (T r ) całka
h(s1 , ..., sr )dµr (s1 , ..., sr ) jest symetryczna w tym sensie, że dla dowolnej permutacji σ ∈
Tr
Sr mamy
R
Tr
h(sσ(1) , ..., sσ(r) )dµr (s1 , ..., sr ) =
R
Tr
h(s1 , ..., sr )dµr (s1 , ..., sr ). Zauważmy, że w
takim razie, przy ustalonych ti1 , ..., tip−r , tj1 , ..., tjq−r oraz k ∈ {q −r+1, ..., q} otrzymujemy
(wykorzystując symetryczność funkcji f )
Z
f (ti1 , ..., tip−r , s1 , ..., sr )g1 (tj1 , ..., tjq−r , s1 , ..., sk−(q−r)−1 , sk−(q−r)+1 , ..., sr )
Tr
r
g2 (sk−(q−r) )dµ (s1 , ..., sr ) =
Z
f (ti1 , ..., tip−r , s1 , ..., sk−(q−r)−1 , sk−(q−r)+1 , ...sr , sk−(q−r) )
Tr
g1 (tj1 , ..., tjq−r , s1 , ..., sk−(q−r)−1 , sk−(q−r)+1 , ..., sr )g2 (sk−(q−r) )dµr (s1 , ..., sr ) =
=
Z
f (ti1 , ..., tip−r , s1 , ..., sr )g1 (tj1 , ..., tjq−r , s1 , ..., sr−1 )g2 (sr )dµr (s1 , ..., sr ).
Tr
3
Możemy teraz kontynuować
(p − r)!(q − r)!
(∗) =
q(p + q − 2r)!

X
q−r
X
Z

(i1 ,...,ip−r )
∈∆p−r
q−r
(j1 ,...,jq−r )
f (ti1 , ..., tip−r , s1 , ..., sr )
k=1 T r
g1 (tj1 , ..., tjk−1 , tjk+1 , ..., tjq−r , s1 , ..., sr )g2 (tjk )dµr (s1 , ..., sr ) +

+r
Z
f (ti1 , ..., tip−r , s1 , ..., sr )g1 (tj1 , ..., tjq−r , s1 , ..., sr−1 )g2 (sr )dµr (s1 , ..., sr ) . Tr
Fakt 4.
e r−1 g1 (t1 , ..., tp+q−2r+1 ) =
f⊗
Z
X
(i1 ,...,ip−r+1 )
∈∆p−r+1
q−r
(j1 ,...,jq−r )
(p − r + 1)!(q − r)!
(p + q − 2r + 1)!
f (ti1 , ..., tip−r+1 , s1 , ..., sr−1 )g1 (tj1 , ..., tjq−r , s1 , ..., sr−1 )dµr−1 (s1 , ..., sr−1 )
T r−1
Dowód: Z Faktu 1 mamy
e r−1 g1 (t1 , ..., tp+q−2r+1 ) =
f⊗
(p − r + 1)!(q − r)!
(p + q − 2r + 1)!
f ⊗r−1 g1 (ti1 , ..., tip−r+1 , tj1 , ..., tjq−r ) =
Z
X
(i1 ,...,ip−r+1 )
p−r+1
∈∆q−r
(j1 ,...,jq−r )
(p − r + 1)!(q − r)!
(p + q − 2r + 1)!
X
(i1 ,...,ip−r+1 )
∈∆p−r+1
q−r
(j1 ,...,jq−r )
f (ti1 , ..., tip−r+1 , s1 , ..., sr−1 )g1 (tj1 , ..., tjq−r , s1 , ..., sr−1 )dµr−1 (s1 , ..., sr−1 ). T r−1
Fakt 5.
e r−1 g1 ) ⊗1 g2 (t1 , ..., tp+q−2r ) =
(f ⊗
X
(i1 ,...,ip−r )
∈∆p−r
q−r
(j1 ,...,jq−r )
Z
(p − r + 1)!(q − r)!
(p + q − 2r + 1)!
f (ti1 , ..., tip−r , s1 , ..., sr )g1 (tj1 , ..., tjq−r , s1 , ..., sr−1 )g2 (sr )dµr (s1 , ..., sr )
Tr
Dowód: Z definicji kontrakcji, Faktu 4, twierdzenia Fubiniego, symetryczności funkcji f i
g1 oraz założenia g1 ⊗1 g2 = 0 mamy (zauważmy, że dla pary ((i1 , ..., ip−r+1 ), (j1 , ..., jq−r )) ∈
∆p−r+1
wartość p + q − 2r + 1 może zostać przyjęta tylko przez element ip−r+1 lub jq−r ,
q−r
gdyż oba ciągi są rosnące. Co więcej, ta wartość musi zostać przyjęta przez jeden z tych
4
elementów):
e r−1 g1 ) ⊗1 g2 (t1 , ..., tp+q−2r )
(f ⊗
=
Z
e r−1 g1 (t1 , ..., tp+q−2r , sr )g2 (sr )dµ(sr ) =
f⊗
T
(p − r + 1)!(q − r)!
(p + q − 2r + 1)!
Fakt 4.
=
tw. Fub.

X
1{p+q−2r+1} (ip−r+1 )
(i1 ,...,ip−r+1 )
∈∆p−r+1
q−r
(j1 ,...,jq−r )
Z
f (ti1 , ..., tip−r , sr , s1 , ..., sr−1 )
Tr
g1 (tj1 , ..., tjq−r , s1 , ..., sr−1 )g2 (sr )dµr (s1 , ..., , sr ) + 1{p+q−2r+1} (jq−r )·

·
Z
f (ti1 , ..., tip−r+1 , s1 , ..., sr−1 )g1 (tj1 , ..., tjq−r−1 , sr , s1 , ..., sr−1 )g2 (sr )dµr (s1 , ..., sr ) =
Tr
tw. Fub
=
(p − r + 1)!(q − r)!
(p + q − 2r + 1)!

X
Z
1{p+q−2r+1} (ip−r+1 )
(i1 ,...,ip−r+1 )
p−r+1
∈∆q−r
(j1 ,...,jq−r )
f (ti1 , ..., tip−r , s1 , ..., sr )
Tr
g1 (tj1 , ..., tjq−r , s1 , ..., sr−1 )g2 (sr )dµr (s1 , ..., sr ) + 1{p+q−2r+1} (jq−r )·
·
Z
f (ti1 , ..., ip−r+1 , s1 , ..., sr−1 )
T r−1
Z

!
g1 (tj1 , ..., tjq−r−1 , s1 , ..., sr )g2 (sr )dµ(sr ) dµr−1 (s1 , ..., sr−1 ) =
T
(p − r + 1)!(q − r)!
=
(p + q − 2r + 1)!

X
1{p+q−2r+1} (ip−r+1 )
(i1 ,...,ip−r+1 )
p−r+1
∈∆q−r
(j1 ,...,jq−r )
Z
f (ti1 , ..., tip−r , s1 , ..., sr )
Tr
g1 (tj1 , ..., tjq−r , s1 , ..., sr−1 )g2 (sr )dµr (s1 , ..., sr ) + 1{p+q−2r+1} (jq−r )·

·
Z
f (ti1 , ..., ip−r+1 , s1 , ..., sr−1 ) · g1 ⊗1 g2 (tj1 , ..., tjq−r−1 , s1 , ..., sr−1 )dµr−1 (s1 , ..., sr−1 ) =
T r−1
g1 ⊗1 g2 =0
=
(p − r + 1)!(q − r)!
(p + q − 2r + 1)!
X
1{p+q−2r+1} (ip−r+1 )
(i1 ,...,ip−r+1 )
∈∆p−r+1
q−r
(j1 ,...,jq−r )
Z
f (ti1 , ..., tip−r , s1 , ..., sr )
Tr
g1 (tj1 , ..., tjq−r , s1 , ..., sr−1 )g2 (sr )dµr (s1 , ..., sr ) = (∗)
Zauważmy, że indeks ip−r+1 nie występuje pod całką oraz sumowanie po parach ((i1 , ..., ip−r+1 ),
(j1 , ..., jq−r )) ∈ ∆p−r+1
takich, że ip−r+1 = p + q − 2r + 1 jest tym samym co sumowaq−r
nie po parach ((i1 , ..., ip−r ), (j1 , ..., jq−r )) ∈ ∆p−r
q−r [parze ((i1 , ..., ip−r ), (j1 , ..., jq−r )) należy
przyporządkować parę ((i1 , ..., ip−r , p + q − 2r + 1), (j1 , ..., jq−r )]. Ostatecznie mamy
(p − r + 1)!(q − r)!
(∗) =
(p + q − 2r + 1)!
X
(i1 ,...,ip−r )
∈∆p−r
q−r
(j1 ,...,jq−r )
Z
f (ti1 , ..., tip−r , s1 , ..., sr )
Tr
g1 (tj1 , ..., tjq−r , s1 , ..., sr−1 )g2 (sr )dµr (s1 , ..., sr ). 5
Fakt 6.
e r g1 )⊗g
e 2 (t1 , ..., tp+q−2r ) =
(f ⊗
(p − r)!(q − r − 1)!
(p + q − 2r)!
q−r
X
X
(i1 ,...,ip−r )
p−r
∈∆q−r
(j1 ,...,jq−r )
Z
f (ti1 , ..., tip−r , s1 , ..., sr )
k=1 T r
g1 (tj1 , ..., tjk−1 , tjk+1 , ..., tjq−r , s1 , ..., sr )g2 (tjk )dµr (s1 , ..., sr )
e r g1 jest symetryczna),
Dowód: Postępując analogicznie do dowodu Faktu 2 (funkcja f ⊗
a następnie korzystając z Faktu 1 otrzymujemy
e r g1 )⊗g
e 2 (t1 , ..., tp+q−2r )
(f ⊗
=
p+q−2r
X
1
e r g1 (t1 , ..., tk−1 , tk+1 , ..., tp+q−2r )g2 (tk ) =
=
f⊗
p + q − 2r k=1
(p − r)!(q − r − 1)!
(p + q − 2r)(p + q − 2r − 1)!
p+q−2r
X
k=1
X
(i∗ ,...,i∗
)
p−r
1
∈Ak
(j ∗ ,...,j ∗
)
1
q−r−1
∗
f ⊗r g1 (ti∗1 , ..., ti∗p−r , tj1∗ , ..., tjq−r−1
)g2 (tk ),
∗
gdzie Ak oznacza zbiór par ciągów ((i∗1 , ..., i∗p−r ), (j1∗ , ..., jq−r−1
)), gdzie (i∗1 , ..., i∗p−r ) oraz
∗
(j1∗ , ..., jq−r−1
) są rozłącznymi, rosnącymi ciągami o wyrazach w zbiorze {1, ..., k − 1, k +
1, ..., p+q−2r} dla k ∈ {1, ..., p+q−2r}. Zauważmy, że dla ustalonego k ∈ {1, ..., p+q−2r}
∗
)) są we wzajemnie jednoznacznej odpopary ciągów postaci ((i∗1 , ..., i∗p−r ), (j1∗ , ..., jq−r−1
wiedniości z parami ciągów ((i1 , ..., ip−r ), (j1 , ..., jq−r )) ∈ ∆p−r
q−r takimi, że k ∈ {j1 , ..., jq−r }.
∗
∗
∗
∗
Aby ustalić odpowiedniość należy parze ((i1 , ..., ip−r ), (j1 , ..., jq−r−1
)) ∈ Ak przyporząd∗
∗
∗
∗
∗
∗
)), gdzie
, jq−r−1
, k, jm+1
kować jednoznacznie wyznaczoną parę ((i1 , ..., ip−r ), (j1 , ..., ..., jm
pozycja na której znajdzie się k jest jednoznacznie wyznaczona (oba ciągi muszą być rosnące). Z drugiej strony, z każdą parą ciągów ((i1 , ..., ip−r ), (j1 , ..., jq−r )) ∈ ∆p−r
q−r taką, że
jm = k dla pewnego m ∈ {1, ..., q − r}, możemy związać jednoznacznie wyznaczoną parę
((i1 , ..., ip−r ), (j1 , ..., jm−1 , jm+1 , ...jq−r )) ∈ Ak . Po tej uwadze możemy kontynuować
e r g1 )⊗g
e 2 (t1 , ..., tp+q−2r )
(f ⊗
(p − r)!(q − r − 1)!
=
(p + q − 2r)!
p+q−2r
X
k=1
X
(i1 ,...,ip−r )
∈∆p−r
q−r
(j1 ,...,jq−r )
f ⊗r g1 (ti1 , ..., tip−r , tj1 , ..., tjm−1 , tjm+1 , ..., tq−r )g2 (tjm ) =
q−r
X p+q−2r
X
X
(i1 ,...,ip−r )
∈∆p−r
q−r
(j1 ,...,jq−r )
m=1
q−r
X
1{k} (jm )
m=1
(p − r)!(q − r − 1)!
(p + q − 2r)!
1{k} (jm )f ⊗r g1 (ti1 , ..., tip−r , tj1 , ..., tjm−1 , tjm+1 , ..., tq−r )g2 (tjm ) = (∗).
k=1
Zauważmy teraz, że dla ustalonych ((i1 , ..., ip−r ), (j1 , ..., jq−r )) ∈ ∆p−r
q−r oraz m ∈ {1, ..., q −
r} zachodzi
p+q−2r
X
1{k} (jm )f ⊗r g1 (ti1 , ..., tip−r , tj1 , ..., tjm−1 , tjm+1 , ..., tq−r )g2 (tjm ) =
k=1
f ⊗r g1 (ti1 , ..., tip−r , tj1 , ..., tjm−1 , tjm+1 , ..., tq−r )g2 (tjm ),
6
gdyż jm = k zachodzi dla dokładnie jednego k ∈ {1, ...p + q − 2r}. Ostatecznie mamy
zatem
(∗) =
(p − r)!(q − r − 1)!
(p + q − 2r)!
q−r
X
X
(i1 ,...,ip−r )
∈∆p−r
q−r
(j1 ,...,jq−r )
(p − r)!(q − r − 1)!
=
(p + q − 2r)!
f ⊗r g1 (ti1 , ..., tip−r , tj1 , ..., tjm−1 , tjm+1 , ..., tq−r )g2 (tjm ) =
m=1
q−r
X
X
(i1 ,...,ip−r )
∈∆p−r
q−r
(j1 ,...,jq−r )
Z
f (ti1 , ..., tip−r , s1 , ..., sr )
k=1 T r
g1 (tj1 , ..., tjk−1 , tjk+1 , ..., tjq−r , s1 , ..., sr )g2 (tjk )dµr (s1 , ..., sr ). Rozwiązanie Zadania
Wystarczy teraz skorzystać z Faktów 3, 5 oraz 6, aby otrzymać
r(p + q − 2r + 1) e
q−r
e r g1 )⊗g
e 2 ] (t1 , ..., tp+q−2r ) =
(f ⊗r−1 g1 ) ⊗1 g2 +
[(f ⊗
q(p − r + 1)
q
Fakt 6. r(p + q − 2r + 1) (p − r + 1)!(q − r)!
=
Fakt 5.
q(p − r + 1)
(p + q − 2r + 1)!
Z
X
(i1 ,...,ip−r )
∈∆p−r
q−r
(j1 ,...,jq−r )
f (ti1 , ..., tip−r , s1 , ..., sr )g1 (tj1 , ..., tjq−r , s1 , ..., sr−1 )g2 (sr )dµr (s1 , ..., sr )+
Tr
q − r (p − r)!(q − r − 1)!
+
q
(p + q − 2r)!
q−r
X
X
(i1 ,...,ip−r )
∈∆p−r
q−r
(j1 ,...,jq−r )
Z
f (ti1 , ..., tip−r , s1 , ..., sr )
k=1 T r
g1 (tj1 , ..., tjk−1 , tjk+1 , ..., tjq−r , s1 , ..., sr )g2 (tjk )dµr (s1 , ..., sr ) =
r(p − r)!(q − r)!
=
q(p + q − 2r)
Z
X
(i1 ,...,ip−r )
∈∆p−r
q−r
(j1 ,...,jq−r )
f (ti1 , ..., tip−r , s1 , ..., sr )g1 (tj1 , ..., tjq−r , s1 , ..., sr−1 )
Tr
(p − r)!(q − r)!
g2 (sr )dµ (s1 , ..., sr ) +
q(p + q − 2r)!
r
X
(i1 ,...,ip−r )
∈∆p−r
q−r
(j1 ,...,jq−r )
q−r
X
Z
f (ti1 , ..., tip−r , s1 , ..., sr )
k=1 T r
g1 (tj1 , ..., tjk−1 , tjk+1 , ..., tjq−r , s1 , ..., sr )g2 (tjk )dµr (s1 , ..., sr ) =

X
q−r
X
Z

(i1 ,...,ip−r )
∈∆p−r
q−r
(j1 ,...,jq−r )
(p − r)!(q − r)!
q(p + q − 2r)!
f (ti1 , ..., tip−r , s1 , ..., sr )g1 (tj1 , ..., tjk−1 , tjk+1 , ..., tjq−r , s1 , ..., sr )
k=1 T r
g2 (tjk )dµr (s1 , ..., sr ) + r
Z
f (ti1 , ..., tip−r , s1 , ..., sr )g1 (tj1 , ..., tjq−r , s1 , ..., sr−1 )
Tr

Fakt 3.
e r g(t1 , ..., tp+q−2r ). g2 (sr )dµr (s1 , ..., sr ) = f ⊗
7