Ci¡gi i szeregi funkcyjne. Szeregi pot¦gowe.

dr Krzysztof ›yjewski
Analiza matematyczna 2; MatematykaS-I 0 .lic.
26 kwietnia 2016
Ci¡gi i szeregi funkcyjne. Szeregi pot¦gowe.
Denicja 1. (zbie»no±¢ punktowa)
Ci¡g funkcyjny fn : D → R nazywamy zbie»nym punktowo w zbiorze A ⊂ D do funkcji (granicznej)
f : D → R, je»eli:
∀x∈A ∀ε>0 ∃n0 ∈N ∀n>no |fn (x) − f (x)| < ε,
co jest równowa»ne z tym, »e dla ka»dego x ∈ A
lim |fn (x) − f (x)| = 0.
n→∞
Uwaga 2. W powy»szej denicji n0 zale»y zarówno od x jak i ε.
Denicja 3. (zbie»no±¢ jednostajna)
Ci¡g funkcyjny fn : D → R nazywamy zbie»nym jednostajnie w zbiorze A ⊂ D do funkcji f : D → R,
je»eli:
∀ε>0 ∃n0 ∈N ∀n>no ∀x∈A |fn (x) − f (x)| < ε,
co jest równowa»ne z
lim sup |fn (x) − f (x)| = 0.
n→∞ x∈A
Uwaga 4. W powy»szej denicji n0 zale»y tylko od ε.
Uwaga 5. Zbie»no±¢ jednostajna ci¡gu funkcyjnego w danym zbiorze poci¡ga za sob¡ zbie»no±¢
punktow¡.
Uwaga 6. Zbie»no±¢ punktow¡ ci¡g funkcyjnego fn do funkcji f oznaczamy przez fn → f, a zbie»no±¢
jednostajn¡ fn ⇒ f.
Denicja 7. Niech fn : D → R b¦dzie ci¡giem funkcyjnym. Wówczas szereg postaci:
∞
X
(1)
fn (x)
n=1
nazywamy szeregiem funkcyjnym.
Denicja 8. Niech Sm (x) oznacza ci¡g sum cz¦±ciowych szeregu funkcyjnego
Sm (x) =
m
X
∞
P
fn (x) tj.:
n=1
fn (x).
n=1
Wówczas mówimy, »e szereg funkcyjny (1) jest zbie»ny punktowo (lub jednostajnie) na zbiorze A ⊂ D
do funkcji f, je»eli ci¡g sum cz¦±ciowych (Sm ) jest zbie»ny punktowo (jednostajnie) na zbiorze A do
funkcji f.
Uwaga 9. Zbie»no±¢ jednostajna szeregu funkcyjnego w danym zbiorze poci¡ga za sob¡ zbie»no±¢
punktow¡ tego szeregu.
1
dr Krzysztof ›yjewski
Twierdzenie 10.
Analiza matematyczna 2; MatematykaS-I 0 .lic.
26 kwietnia 2016
(warunek konieczny zbie»no±ci jednostajnej szeregu funkcyjnego)
∞
P
Je»eli szereg funkcyjny
fn (x)
jest zbie»ny jednostajnie w zbiorze
D,
to ci¡g funkcyjne
(fn )
jest
n=1
zbie»ny jednostajnie w zbiorze
Twierdzenie 11.
D
do funkcji zerowej.
(kryterium Weierstrassa)
Niech dla wyrazów szeregu funkcyjnego
ka»dych
x∈D
i
n ≥ n0
∞
P
fn (x)
istnieje liczba
n0
i ci¡g liczbowy
(an )
taki, »e dla
n=1
speªniony jest warunek:
|fn (x)| ≤ an .
∞
P
Wówczas, je»eli szereg liczbowy
an
jest zbie»ny, to szereg funkcyjny
n=1
∞
P
fn (x)
jest zbie»ny jedno-
n=1
stajnie.
Twierdzenie 12.
(warunek koniecznym zbie»no±ci jednostajnej szeregu)
Je»eli szereg funkcyjny
∞
P
fn (x)
jest jednostajnie zbie»ny, to
fn ⇒ 0.
n=1
Twierdzenie 13.
Granica jednostajna ci¡gu funkcji ci¡gªych jest ci¡gª¡.
Twierdzenie 14.
zbiorze
D.
Niech wyrazy szeregu funkcyjnego
fn (x)
b¦d¡ ci¡gªe oraz dodatnie w caªym
n=1
Wówczas, je»eli szereg ma sum¦
on jednostajnie zbie»ny w
Twierdzenie 15.
∞
P
f (x),
która jest funkcja ci¡gª¡ w caªym zbiorze
w przedziale
to jest
D.
(o przechodzeniu do granicy pod znakiem caªki)
(fn ) funkcji caªkowalnych w przedziale [a, b] jest
[a, b], funkcja f (x) jest caªkowalna na [a, b] oraz:
Niech ci¡g funkcyjny
f (x)
D,
Zb
lim
Zb
fn (x)dx =
n→∞
zbie»ny jednostajnie do funkcji
a
f (x)dx.
a
Uwaga 16. Powy»sz¡ równo±¢ zapisujemy równie» w postaci:
Zb
lim
fn (x)dx =
n→∞
a
Twierdzenie 17.
Zb lim fn (x) dx.
n→∞
a
(o wchodzeniu z granic¡ pod znak pochodnej)
(fn ) funkcji ró»niczkowalnych w przedziale [a, b] jest zbie»ny chocia» w jednym
[a, b]. Ponadto, niech ci¡g pochodnych (fn0 ) jest zbie»ny jednostajnie w przedziale
Niech ci¡g funkcyjny
punkcie przedziaªu
[a, b],
to:
•
ci¡g
•
funkcja graniczna
(fn )
jest zbie»ny jednostajnie w
f (x)
[a, b],
jest ró»niczkowalna i
f 0 (x) = lim fn0 (x).
n→∞
2
dr Krzysztof ›yjewski
Analiza matematyczna 2; MatematykaS-I 0 .lic.
26 kwietnia 2016
Uwaga 18. Powy»sz¡ równo±¢ zapisujemy równie» w postaci:
lim f (x)
0
= lim fn0 (x).
n→∞
Twierdzenie 19.
n→∞
(caªkowanie szeregu funkcyjnego wyraz za wyrazem)
∞
P
Niech szereg funkcyjny
fn (x)
funkcji ci¡gªych
fn : [a, b] → R
jest zbie»ny jednostajnie w
[a, b],
to
n=1
szereg liczbowy caªek jest zbie»ny oraz:
Zb X
∞
a
Twierdzenie 20.
fn (x)dx =
∞ Z
X
n=1
b
fn (x)dx.
n=1 a
(ró»niczkowanie szeregu funkcyjnego wyraz za wyrazem)
∞
P
Niech szereg funkcyjny
fn (x)
funkcji ró»niczkowalnych
n=1
jednym punkcie przedziaªu
[a, b]
∞
P
i szereg pochodnych
fn : [a, b] → R
fn0 (x)
jest zbie»ny chocia» w
jest zbie»ny jednostajnie w przedziale
n=1
[a, b],
•
to:
szereg
∞
P
fn
[a, b],
jest zbie»ny jednostajnie w
n=1
•
funkcja graniczna
f (x)
[a, b]
jest ró»niczkowalna na
0
f (x) =
∞
X
i
fn0 (x).
n=1
Uwaga 21. Powy»sz¡ równo±¢ zapisujemy równie» w postaci:
∞
X
!0
fn (x)
=
n=1
Twierdzenie 22.
∞
X
fn0 (x).
n=1
(o przechodzeniu do granicy pod znakiem szeregu funkcyjnego)
Niech szereg funkcyjny
∞
P
fn (x), gdzie fn : D → R jest zbie»ny jednostajnie w zbiorze D
i dla ka»dego
n=1
n∈N
istnieje sko«czona granica
lim fn (x), x0 ∈ D.
x→x0
lim
x→x0
∞
X
!
fn (x)
=
n=1
Denicja 23. Szereg funkcyjny postaci
∞
P
Wówczas
∞
X
n=1
lim fn (x).
x→x0
an (x − x0 )n , gdzie (an ) jest ci¡giem w zbiorze R oraz
n=0
x0 ∈ R nazywamy szeregiem pot¦gowym o ±rodku w punkcie x0 .
Denicja 24. Promieniem zbie»no±ci szeregu pot¦gowego
∞
P
n=0
an (x − x0 )n , nazywamy liczb¦ R ∈
[0, +∞] równ¡ poªowie dªugo±ci najwi¦kszego przedziaªu o ±rodku w punkcie x0 , w którym szereg
jest zbie»ny.
3
dr Krzysztof ›yjewski
Analiza matematyczna 2; MatematykaS-I 0 .lic.
Oznaczmy przez % granic¦
% := lim
n→∞
Twierdzenie 25.
26 kwietnia 2016
p
n
|an |.
(Cauchy'ego-Hadamarda)
Promie« zbie»no±ci szeregu
∞
P
an (x − x0 )n ,
jest równy odwrotno±ci liczby
%:
n=0
1
R= .
%
(Tutaj, je»eli
% = 0,
to
R = +∞;
natomiast je»eli
% = +∞,
to
R = 0.)
Uwaga 26.
p Twierdzenie 25 mo»na wzmocni¢ zast¦puj¡c granic¦ ci¡gu (%) przez górn¡ granic¦ ci¡gu:
% = lim
n→∞
n
|an |.
p
an+1 Uwaga 27. Z faktu, »e istnienie granicy n→∞
lim an poci¡ga istnienie granicy lim n |an | promie«
n→∞
∞
P
zbie»no±ci szeregu pot¦gowego
an (x − x0 )n mo»emy wylicza¢ ze wzorów:
n=0
1
R = lim p
n→∞ n |a |
n
an ,
R = lim n→∞ an+1 lub
o ile granice istniej¡.
Uwaga 28. Na ko«cach przedziaªu zbie»no±ci (x0 −R, x0 +R) szereg pot¦gowy mo»e by¢ zbie»ny lub
rozbie»ny (mo»e by¢ równie» zbie»ny w jednym, a rozbie»ny w drugim punkcie). Dlatego zbie»no±¢
szeregu pot¦gowego w punktach x = x0 − R oraz x = x0 + R badamy oddzielnie.
Twierdzenie 29.
x0 ) n .
Niech
0 ≤ R ≤ +∞
b¦dzie promieniem zbie»no±ci szeregu pot¦gowego
Wówczas jest on:
bezwzgl¦dnie dla |x − x0 | < R;
b) zbie»ny
jednostajnie dla |x − x0 | < r, gdzie r ∈ (0, R);
rozbie»ny dla |x − x0 | > R.
Twierdzenie 30.
Niech
an (x −
n=0
a) zbie»ny
c)
∞
P
(o ró»niczkowaniu szeregu pot¦gowego wyraz za wyrazem)
R ∈ (0, +∞]
b¦dzie promieniem zbie»no±ci szeregu pot¦gowego
∞
P
an (x − x0 )n .
Wówczas jego
n=0
suma jest funkcj¡ ró»niczkowaln¡ w przedziale zbie»no±ci
zbie»no±ci zachodzi:
∞
X
!0
n
an (x − x0 )
=
n=0
Ponadto szereg pochodnych
∞
P
nan (x − x0 )n−1
∞
X
|x − x0 | < R
oraz dla ka»dego
nan (x − x0 )n−1 .
n=1
równie» ma promie« zbie»no±ci
n=1
4
R.
x
z przedziaªu
dr Krzysztof ›yjewski
Twierdzenie 31.
Analiza matematyczna 2; MatematykaS-I 0 .lic.
Szereg pot¦gowy
∞
P
an (x − x0 )n
o niezerowym promieniu zbie»no±ci jest, we we-
n=0
wn¡trz swojego przedziaªu zbie»no±ci, rozwini¦ciem swojej sumy
an =
26 kwietnia 2016
f (n) (x0 )
dla ka»dego
n!
f
w szereg Taylora o ±rodku
x0 ,
tzn.
n = 0, 1, 2, ...
Zadania
1. Na podstawie denicji wyka», »e ci¡g funkcyjny
fn : [0, 1] → R dany wzorem fn (x) = xn zbiega
(
0 dla x ∈ [0, 1);
punktowo do funkcji granicznej: f (x) =
1 dla x = 1.
2. Znajd¹ punktow¡ funkcj¦ graniczn¡ f ci¡gu funkcyjnego fn : [0, 1] → R danego wzorem fn (x) =
x
. Na podstawie denicji wyka», »e jest on zbie»ny jednostajnie do f.
n
3. Niech b¦dzie dany ci¡g funkcyjny fn : (0, 1) → R okre±lony wzorem fn (x) = xn . Zbadaj jego
zbie»no±¢ jednostajn¡ na przedziaªach:]
a) [0, 1];
b) [0, 1);
c) [0, 21 ).
4. Zbadaj zbie»no±¢ punktow¡ i jednostajn¡ ci¡gów funkcyjnych fn : D → R, gdy:
a) fn (x) = xn e−nx , D = [0, ∞);
b) fn (x) = 1+nnx2 x2 , D = [0, ∞);
c) fn (x) =
1−xn
,
1−x
D = (−1, 1);
d) fn (x) =
√
n
e) fn (x) =
√
n
x, D = (0, +∞);
f) fn (x) =
√
n
x, D = [ 21 , 1);
g) fn (x) = (1 − x)xn , D = [0, 1];
h) fn (x) =
x2
,
(1+x2 )n
i) fn (x) = x + sin(nx)
, D = R;
n
j) fn (x) =
2x
, D = R;
k) fn (x) = arctg
x2 +n3
√
n
n
n
m) fn (x) = 2 + 3 x; D = [0, +∞).
l) fn (x) =
x, D = [0, +∞);
nx
,
n3 +x2
√
D = [0, +∞);
D = R;
√
x + n + 1− x + n, D = [0, +∞);
5. Zbadaj, czy podane szeregi funkcyjne, s¡ zbie»ne jednostajnie:
∞
∞
P
P
x
a)
,
gdzie
x
∈
[0,
1];
b)
xn−1 , gdzie x ∈ [− 12 , 12 ];
(1+x)n−1
c)
n=1
∞
P
n=1
n
xn ,
n+1
gdzie x ∈ (0, 1);
d)
n=1
∞
P
x(1 − x)n , gdzie x ∈ [0, 1];
n=0
6. Korzystaj¡c z kryterium Weierstrassa, zbadaj zbie»no±¢ jednostajn¡ szeregów:
∞
∞
P
P
nx
(−1)n sinnpnx , gdzie x ∈ R, p > 1;
b)
, gdzie x ∈ ( 21 , +∞);
a)
1+n5 x2
n=1
n=1
c)
∞
P
n=1
e)
g)
∞
P
n=1
∞
P
n=1
x
1 −n
e ,
n2
gdzie x ∈ (0, +∞);
∞
P
n=1
n arctg nx
ln(1+nx)
,
nxn
d)
n
, gdzie x ∈ [− π4 , π4 ];
f)
gdzie x ∈ (1, +∞);
h)
∞
P
n=1
∞
P
n=1
5
xn
,
n!
gdzie x ∈ [−5, 5];
x
,
1+n4 x2
gdzie x ∈ R;
xn (1−x)
,
n
gdzie x ∈ [0, 1].
dr Krzysztof ›yjewski
Analiza matematyczna 2; MatematykaS-I 0 .lic.
26 kwietnia 2016
7. Niech b¦dzie dany ci¡g funkcyjny fn : (0, 1) → R okre±lony wzorem fn (x) = nxn . Wyznacz
f (x) = lim fn (x), a nast¦pnie zbadaj czy zachodzi równo±¢ lim
n→∞
R1
n→∞ 0
sadnij uzyskany wynik.
fn (x)dx =
R1
f (x)dx. Uza-
0
8. Korzystaj¡c z twierdzenia 15 wyka», »e ci¡g funkcyjny fn (x) = nxe−nx , x ∈ [0, 1] nie jest
zbie»ny jednostajnie.
2
9. Niech fn (x) =
arctg(nx)
.
n
Zbadaj zbie»no±¢ jednostajn¡ ci¡gu fn . Sprawd¹ czy lim fn0 (x) =
n→∞
0
lim fn (x) . Zwerykuj wynik z twierdzeniem 17.
n→∞
10. Niech f (x) =
∞
P
ne−nx . Wyka», »e funkcja f jest ci¡gªa dla x ∈ (a, +∞), gdzie a > 0. Oblicz
n=1
caªk¦
ln
R3
f (x)dx.
ln 2
11. Znajd¹ sum¦ szeregu
∞
P
n=1
x2
,
(1+x2 )n
gdzie x ∈ R. Zbadaj zbie»no±¢ jednostajn¡.
12. Wyznacz przedziaªy zbie»no±ci nast¦puj¡cych szeregów pot¦gowych:
∞
∞
P
P
1
(x − 1)n ;
a)
3(x − 2)n ;
b)
2n (n+1)
c)
e)
g)
i)
n=1
∞
P
n!(x + 3) ;
n=0
∞
P
n=1
∞
P
n=1
n=0
∞
P
n=0
n
(−1)
n=2
∞
P
d)
n
f)
1
xn ;
4n ln n
(−1)n−1
(x
2n−1
− 4)
2n−1
h)
;
j)
tgn x
;
n2
∞
P
n=1
∞
P
3n +(−2)n
(x
n
b)
n=1
+ 1)n ;
(−4)n x2n ;
n=1
∞
P
n=1
13. Oblicz sum¦ szeregu:
∞ n
P
2
a)
;
n!
xn
;
n!
∞
P
n=1
2n
n
n
2
sinn x.
2 n
3
;
14. Okre±l przedziaª zbie»no±ci o oblicz sum¦ szeregu pot¦gowego:
∞
∞
P
P
1 n
a)
x
;
b)
(3n + 1)xn ;
n
c)
e)
n=1
∞
P
n=1
∞
P
n=1
d)
n
n(n + 1)(n + 2)x ;
n=1
∞
P
n=1
3n+1 2n
x ;
n4n
n(2n+1) 2n
x ;
6n
15. Rozwi« funkcj¦ podane funkcj¦ arctg x w szereg pot¦gowy o ±rodku w punkcie x0 = 0.
16. Oblicz lim
∞
P
1
x→0 n=1 x
sin 2xn .
6