Tematy na magisterium i nie tylko. Jednym z intensywnie

Tematy na magisterium i nie tylko.
Jednym z intensywnie rozwijanych kierunków bada« s¡ algebry (grupoidy) o sko«czonej
liczbie elementów. Dla takich algebr stosunkowo ªatwo napisa¢ tabelki dziaªa«. Mo»na do tego
zastosowa¢ komputer. Sporo programów komputerowych ju» jest ale i sporo mo»na jeszcze
zrobi¢.
Jednym z istotniejszych zagadnie« jest opis i wyznaczanie grupoidów o zadanych wcze±niej
wªasno±ciach.
Kwazigrupa (quasigroup) to zbiór G z zadanym na nim dziaªaniem ∗ takim, »e ka»de z
równa«
a ∗ x = b, y ∗ a = b
ma jednoznaczne rozwi¡zanie x, y ∈ G, tzn. dla ka»dej paty a, b ∈ G istnieje tylko jedna
para elementów x, y ∈ G speªniaj¡ca powy»sze równania. Tabelka dziaªania kwazigrupy jest
kwadratem ªaci«skim, co oznacza i» w ka»dym wierszu i w ka»dej kolumnie ka»dy element
wyst¦puje tylko jeden raz.
Kwazigrupa maj¡ca element neutralny (dwustronny) nazywana jest lup¡ (loop). Ka»da
grupa jest lup¡ (i kwazigrup¡). Jej tabelka jest kwadratem ªaci«skim. Przykªadem kwazigrupy
która nie jest grup¡ jest znane z gazet SUDOKU. Tabelka SUDOKU jest kwadratem ªaci«skim
który tylko w bardzo nielicznych przypadkach okre±la dziaªanie ª¡czne.
Kwazigrupy o niektórych wªasno±ciach daj¡ si¦ opisa¢ przy pomocy grup i ich automorzmów. Jeden z typów kwazigrup daje si¦ opisa¢ tak:
(G, ∗) jest kwazigrup¡ o danej wªasno±ci wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje grupa grupa (G, ◦)
i jej dwa automorzmy ϕ, ψ takie, »e x ∗ y = ϕ(x) ◦ ψ(y) oraz ϕ(x) + ψ(x) = x dla wszystkich
x, y ∈ G.
Przy innym typie kwazigrup wymaga si¦ by byªo ψ(x) = ϕ(ϕ(x)) dla wszystkich x ∈ G.
Takie opisy s¡ wygodne o ile potramy wyznaczy¢ automorzmy. Niestety w niektórych
przypadkach takich automorzmów jest ogromna liczba i automorzmy te maja bardzo ró»ne
wªasno±ci. Trzeba szuka¢ cech wspólnych. I tu przydatny jest komputer. Wyznaczone przykªady
mog¡ da¢ istotn¡ podpowied¹ co dalej.
Zamiast izomorzmu rozwa»a si¦ izotopie czyli trzy permutacje α, β, γ zbioru G. Je±li dla
kwazigrup (G, ∗) i (G, ◦) istniej¡ takie trzy permutacje oraz γ(x ∗ y) = α(x) ◦ β(y), to mówimy
i» te kwazigrupy sa izotopijne. Mo»na pokaza¢, »e je±li obie izotopijne kwazigrupy sa grupami,
to α = β = γ .
Nie wiadomo ile jest nieizotopijnych kwazigrup. Dla n < 7 to policzono bez komputera.
Dalej jest horror. Dla niektórych typów to si¦ daje zrobi¢, dla innych jest trudno. Mamy
kilka fajnych typów do opracowania. Wymagana dobra znajomo±¢ sprytnego programowania
(czas oblicze«) i elementarna znajomo±¢ grup. W przypadku peªnego powodzenia doktorat
murowany, w pozostaªych - praca dyplomowa.
BCC-algebry to grupoidy (G, ∗, 0), gdzie 0 jest ustalonym elementem o pewnych wªasno±ciach, a dziaªanie ∗ speªnia kilka prostych warunków. Taka algebra ma pewien naturalny
cz¦±ciowy porz¡dek i daje si¦ przedstawi¢ na rysunku jako pewien graf (drzewo, krzak). Nie
wiemy ile jest BCC-algebr o pewnych istotnych wªasno±ciach. Nie wiemy te» jak je opisa¢ bo
brak wystarczaj¡cej liczby przykªdow. Wymagana dobra znajomo±¢ sprytnego programowania
(czas oblicze«) i minimum abstrakcyjnego pomy±lunku. Temat rzeka. Rezultat - jak wy»ej.