Edward Lorenz
Transkrypt
Edward Lorenz
2016-11-25 Małe kąty Dla małych kątów (oscylator harmoniczny) Wykład 4: Analiza układów dynamicznych 0 L Otrzymujemy: t cos Wtedy prędkość kątowa: t Fizyka układów złożonych Wahadło matematyczne sin Przestrzeń konfiguracyjna dla oscylatora harmonicznego 10 Druga zasada dynamiki: a , d/dt 5 a θ Długość łuku: Równanie ruchu: -5 -10 0 0 L 2 4 t 6 8 10 UNIVERSITY PHYSICS, Copyright ©2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley Przestrzeń fazowa dla oscylatora harmonicznego Jak to rozwiązać? 10 0 L ! ! Każdy punkt w tej przestrzeni określa stan układu 5 Przestrzeń położeń i pędów , , , , , 0 Dla układu wielu cząstek , , , , , ,… , , , , , ,… ⋯ Jeśli założysz, że → 0, wtedy 0 → łatwo rozwiązać (jak?) Ale co to znaczy → 0? (doświadczenie) d/dt 0 -5 -10 -10 -5 0 5 10 1 2016-11-25 A jeśli interesują nas duże kąty? 0 L • Jak to rozwiązać? • A co jeśli jakieś dodatkowe siły? – Tłumienie – Wymuszanie cykliczne • Wahadło może zadziwić! Co to znaczy stabilny? Punkt stały niestabilny Punkt stały stabilny Co zrobił Poincare? Wymuszane wahadło d 2 sin A cos(t ) dt 2 Czy układ słoneczny jest stabilny? • Ograniczył się do modelu 3 oddziałujących ciał. • prosty model ‐ skomplikowane zachowanie • “Problem 3 ciał i równania dynamiki”, 1890 (270 stron) Dynamika populacji – dlaczego nas to interesuje? • 1887 król Szwecji Oscar II: nagroda 2500 koron • Poincare (1854‐1912), francuski matematyk zdobył tę nagrodę • Problem stabilności układu słonecznego nie jest rozwiązany do dziś. 2 2016-11-25 Rysie i zające – cykle w układzie drapieżca ofiara Równanie logistyczne P. F. Verhulst (belgijski matematyk), 1845: cn 1 cn r 1 cn cn cn 1 cn rcn 1 cn xn r cn xn 1 (1 r ) xn 1 xn r 1 a Liczba much w eksperymencie – zmiany cykliczne? Przykłady 0.12 0.35 0<a<1 0.11 0.3 0.1 0.09 x x 0.25 0.08 0.07 0.2 0.06 0.05 0.15 1<a<2 0.04 0.03 0 2 4 6 8 0.8 10 t 12 14 16 18 0.1 0 20 4 6 8 0.8 0.7 0.6 0.6 0.5 0.5 10 t 12 14 16 18 20 18 20 x x 0.7 0.4 0.4 0.3 2 4 6 8 10 t 12 14 16 3<a<4 0.3 2<a<3 0.2 0.1 0 2 0.2 18 0.1 0 20 2 4 6 8 10 t 12 14 16 Co możemy otrzymać? Może to też wyglądać tak … • Punkty stałe • Cykle • Chaos 1 Populacja Pantofelków w labolatorium Popularny skorupiak („pchła wodna”) Populacja fok na wyspie Świętego Pawła, Alaska 0.7 0.7 0.6 0.5 0.4 0.4 0.2 0.2 0.1 0.1 0.6 c(t) 0.8 1 0.8 0.5 0.3 0.4 0.9 0.6 0.3 0.2 a=3.2 c(t+1) 0.9 0.8 00 1 1 a=1.45 0.8 c(t+1) c(t+1) 0.9 00 a=4 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.2 0.4 0.6 c(t) 0.8 1 00 0.2 0.4 0.6 c(t) 0.8 1 3 2016-11-25 Punkty stałe a=1 0.08 0.5 0.6 0.07 0.4 0.5 0.06 0.3 0.4 0.2 0.3 0.1 0.2 00 0.05 0.04 0.2 0.1 0.2 0.4 0.6 0.8 1 c(t) przyciągający (stabilny) 4 6 8 10 12 14 16 18 20 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0.35 0.8 0.3 0.7 0.4 przyciągajacy schodkowo 0.1 0.6 0.25 0.5 0.2 0.3 0.2 0.15 00 0.2 przyciągający spiralnie odpychający spiralnie 0 a 1 odpychający schodkowo 1 a 2 przyciągający schodkowo 2 a 3 przyciągający spiralnie 3 a 4 odpychający spiralnie 2 t c(t) 0 a 1 odpychający schodkowo 1 a 2 przyciągający schodkowo 2 a 3 przyciągający spiralnie 3 a 4 odpychający spiralnie 1 odpychający schodkowo 0.4 0.6 0.8 0.1 0 1 c(t) t 0 a 1 odpychający schodkowo 1 a 2 przyciągający schodkowo 2 a 3 przyciągający spiralnie 3 a 4 odpychający spiralnie a=2.75 1 0.8 0.9 0.7 0.8 c(t+1) a 1 x* 0, x* a a 1 f ' a (1 2 x ), f ' (0) a, f ' 2a a 0.03 0 1 0.9 1 f ' 0 f ' 1 1 f ' 0 f ax 1 x , f x * x * 0.8 a=1.45 odpychający (niestabilny) Typy punktów stałych równania logistycznego 0.6 c(t) 0 0.4 0.6 0.7 c(t) 0 f ' ( x*) 1 f ' 1 0.09 0.6 0.7 Typy punktów stałych f ' ( x*) 1 0.1 c(t+1) 0.8 c(t+1) a 1 x* 0, x * * a 0.11 0.7 c(t+1) xn 1 xn x * 0.12 0.8 a=2.75 0.9 1 0.9 c(t) xn 1 axn 1 xn 1 0.6 0.5 0.5 0.4 0.4 0.3 0.3 0.2 0.2 0.1 00 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0.1 0 2 4 6 8 10 c(t) t 0 a 1 odpychający schodkowo 1 a 2 przyciągający schodkowo 2 a 3 przyciągający spiralnie 3 a 4 odpychający spiralnie 12 14 16 18 20 4 2016-11-25 a=3.2 a=4 0.8 0.7 0.7 0.6 0.3 0.2 0.1 2 4 6 8 10 12 t c(t) 0 a 1 odpychający schodkowo 1 a 2 przyciągający schodkowo 2 a 3 przyciągający spiralnie 3 a 4 odpychający spiralnie 0.2 0.4 0.6 0.8 14 16 18 20 1 0.8 0.8 0.7 0.6 0.6 0.5 0.5 0.4 0.4 0.3 0.3 0.2 0.2 00 0.1 0.2 0.4 0.6 c(t) 0.8 1 0 0 2 4 6 8 10 t 12 14 16 18 20 Drzewo podwajania okresu,diagram Feigenbauma, bifurkacyjny a=2 0.2 0.1 0.1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1 f(x) 0.9 0.8 f(f(x)) 0.9 0.8 0.7 0.7 0.6 0.6 0.5 0.5 0.4 0.4 0.3 0.3 0.2 a=3.2 0.2 0.1 0.1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 a=3.5 Zbiór Cantora 1 0.9 0.9 0.8 0.8 c(t+1) 0.7 0.7 c(t) 0.6 0.6 0.5 0.5 0.4 0.4 0.3 0.3 0.2 0.2 0.1 00 0.3 0.2 f(f(x)) 0.9 0.7 0 0.4 0.3 1 f(x) 0.9 0 0.5 Chaos deterministyczny Jak znaleźć cykl? 1 0.6 0.4 0.1 0.1 0 00 0.7 0.5 0.4 0.2 0.8 0.6 0.4 0.3 1 0.9 0.8 0.7 0.5 0.5 1 0.9 c(t+1) 0.6 c(t) c(t+1) 0.8 c(t) 1 0.9 0.2 0.4 0.6 c(t) 0.8 1 0.1 0 5 10 15 20 25 t 0 a 1 odpychający schodkowo 1 a 2 przyciągający schodkowo 2 a 3 przyciągający spiralnie 3 a 4 odpychający spiralnie 30 35 40 45 50 Pierwszy Fraktal na krawędzi chaosu 5 2016-11-25 Iteracja dla a=3.6 Okienka okresowe 6 5 3 0.9 0.8 0.7 c(t) 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 5 10 15 20 25 t 30 35 40 45 50 3.828,3.857 Oszustwa koło okienek: cykl czy nie? 1 1 0.9 0.9 0.8 0.8 0.7 0.7 0.6 0.6 c(t) c(t) Iteracja dla a=3.7 i t=50 0.5 0.5 0.4 0.4 0.3 0.3 0.2 0.2 0.1 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 0.1 0 10 20 30 40 50 t 60 70 80 90 100 t Intermitencja= fazy laminarności na przemian z chaosem Iteracja dla a=3.7 i t=100 1 0.9 1 0.8 0.9 0.7 0.8 0.7 0.6 0.5 c(t) c(t) 0.6 0.5 0.4 0.4 0.3 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 0 10 20 30 40 50 t 60 70 80 90 100 0 10 20 30 40 50 t 60 70 80 90 100 6 2016-11-25 Iteracja równania logistycznego koncentracja początkowa Diagram Feigenbauma i zbiór Mandelbrota liczba iteracji function[c,t]=logist(c0,a,n) t=0:1:n; c(1)=c0; for i=1:n c(i+1)=a*c(i)*(1-c(i)); end ct 1 act 1 ct Opady deszczu for i=1:1000 a=0.004*i; n=500; [c,t]=log(0.1,a,n); x=ones(100,1)*a; plot(x,c(n-99:n),'.'); hold on; function[c,t]=log(c0,a,n) end t=0:1:n; c(1)=c0; for i=1:n c(i+1)=a*c(i)*(1-c(i)); end Punkty stałe i cykle w zbiorze Mandelbrota Punkt stały Rainfall between Apr and Jun (1950 - 2001) 1800 Normal: 854 mm 92 72 57 1600 75 66 98 01 82 1400 Rainfall (mm) Diagram Feigenbauma 1200 1000 800 600 400 200 0 95 63 1950 1955 1960 1965 1970 1975 Year 1980 1985 1990 1995 2000 * up to 28-06-2001 Jak skomplikowany musi być model? Cykl o okresie 2 Cykl o okresie 3 7 2016-11-25 Wrażliwość na warunki początkowe Układ Równań Lorenza – jeszcze więcej uproszczeń 10 28 dx ( y x) dt dy x y xz dt dz xy z dt 8 3 Wielkości wybrane przez Saltzmana Lenistwo Lorenza i jego „Królewska Pszczoła” Konwekcja 25 20 15 10 5 0 -5 -10 -15 Gorące powietrze unosi się do góry – chmury burzowe powstają w wyniku konwekcji. 1962, Saltzman – równania dla prostej konwekcji Model pogody wg. Lorenza -20 -25 1 101 201 301 401 501 601 701 801 901 Narysujmy to w przestrzeni … • Edward Lorenz, MIT w 1961 (w wieku 44 lat) • Przypadek a może lenistwo? • Odkrycie – małe zmiany warunków początkowych prowadzą do zupełnie innych 8 2016-11-25 Cechy atraktora Lorenza Gdzie są rodzynki? • Trajektorie są przyciągane przez ograniczony obszar przestrzeni fazowej • Ruch jest nieregularny • Wrażliwość na warunki początkowe (sekwencja pętli) • Ten atraktor jest dziwny! atraktor Roesslera (1976) Odległość rośnie wykładniczo Chaos i losowość x ' ( y z ) y ' x ay z ' b xz cz 2 2 1.5 1.5 1 1 0.5 0.5 0 0 -0.5 -0.5 -1 -1 -1.5 -1.5 -2 -2 a 0.2, b 0.2, c 5.7 0 50 100 150 200 250 300 350 0 400 50 100 150 200 250 300 350 400 Data: Dr. C. Ting Który z tych szeregów czasowych jest chaotyczny, a który losowy? Wzorzec chaosu – wyrabianie ciasta rozciąganie Mapa powrotów prawdę ci powie: x(t+1)od x(t) Odwzorowanie Henona 2 2 1.5 1.5 1 1 0.5 0 0.5 -0.5 0 xn+1 = 1.4 - x2n + 0.3 yn yn+1 = xn -1 -0.5 -1.5 -1 -2 0 50 100 150 200 250 300 0 50 100 150 200 250 300 350 400 -1.5 -2 -2 składanie Biały szum -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2 2 1.5 1.5 1 1 0.5 0.5 0 -0.5 0 -1 -0.5 -1.5 -1 -2 350 400 -1.5 -2 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 9 2016-11-25 Pomyśl o tym 10