Wykład 6

Wykład 6
3 Prawa ruchu
3.1 I zasada dynamiki Newtona
3.2 II zasada dynamiki Newtona
04-10-22
Reinhard Kulessa
1
3 Prawa ruchu
Ruch ciała możemy zmienić, jeśli poddamy ciało
oddziaływaniu. Będziemy chcieli zastanowić się nad tym w
jaki sposób dochodzi do ruchu ciała. Będziemy chcieli
zrozumieć, dlaczego ciało drga na sprężynie, dlaczego
zatrzymuje się po pewnym czasie, dlaczego w pewnych
przypadkach wprawiamy ciało w ruch nawet wtedy, gdy na
na to ciało bezpośrednio nie oddziałujemy.
3.1 I zasada dynamiki Newtona
Już Galileusz zauważył, że każde ciało, jeśli na nie nie działa
żadne zewnętrzne zaburzenie spoczywa, lub porusza się ze
stałą prędkością.
Aby wprawić ciało w ruch, musimy pokonać pewną jego
własność zwaną bezwładnością.
04-10-22
Reinhard Kulessa
2
Newton przyjął obserwacje Galileusza i sformułował I Zasadę
Dynamiki zwaną też Zasadą Bezwładności.
Ciało odosobnione zawsze pozostaje w spoczynku, lub
porusza się ruchem jednostajnym po linii prostej.
04-10-22
Reinhard Kulessa
3
04-10-22
Reinhard Kulessa
4
Opis odosobnionej cząstki, o której mówimy w I zasadzie
dynamiki Newtona zależy również od układu odniesienia.
Taki układ odniesienia względem którego cząstka nie
podlega oddziaływaniu, spoczywa lub porusza się ruchem
jednostajnym po linii prostej, nazywamy układem
inercjalnym.
Chcielibyśmy jakościowo sformułować własność ciała zwaną
bezwładnością.
Z obserwacji wiemy, że aby zmienić stan ciała poruszającego
się np. ruchem jednostajnym, musimy ciało „popchnąć” lub
„pociągnąć”. Musimy na to ciało zadziałać pewną siłą.
Możemy więc powiedzieć, że ze względu na bezwładność
materii konieczna jest siła aby zmienić stan ruchu ciała.
Zapytamy się jaka siła będzie potrzebna aby nadać ciału
określone przyśpieszenie.
04-10-22
Reinhard Kulessa
5
3.1.1 Statyczny pomiar siły
Zastanówmy się w jaki sposób dochodzimy do pojęcia siły.
Co jest wspólnego w naszych poczynaniach co prowadzi do
pojęcia siły?
Podstawową własnością siły jest to, że możemy ją zmierzyć,
tzn. w pewien sposób porównać ją z inną siłą. Jako miernik
siły weźmy sobie sprężynę.
04-10-22
Reinhard Kulessa
6
Dynamometr
Dochodzimy do wniosku, że sile musimy przyporządkować
punkt zaczepienia, oraz kierunek. Oznacza to, że możemy ją
opisać przez jakiś wektor F.
Wielkość siły możemy określić z wydłużenia sprężyny.
04-10-22
Reinhard Kulessa
7
Ponieważ wielkość wydłużenia zależy od materiału, musimy
sprężynę wycechować, tzn. porównać z siłą, która zawsze i
wszędzie jest zdefiniowana w ten sam sposób, np. z siłą
wynikającą z prawa
powszechnego
ciążenia.
Jeśli sprężynę obciążymy masą, to sprężyna wydłuży się o ∆l.
Dlaczego? – bo masa jest przyciągana przez siłę grawitacji.
Gdy sprężyna znajdzie się w spoczynku, siła grawitacji jest
równoważona przez siłę sprężystości.
04-10-22
Reinhard Kulessa
8
∆l
m1
∆z
Jeśli obciążymy sprężynę
następną kulką o masie m1
sprężyna wydłuży się ponownie
o ∆l., itd..
Możemy więc wyciągnąć
wniosek, że wydłużenie sprężyny
∆z zwiększa się liniowo w
stosunku do przyłożonej siły.
Możemy to zapisać jako:
F = −c ∆l .
ms
04-10-22
(3.1)
Znak siły jest ujemny, gdyż siła
sprężystości sprężyny sprzeciwia
się wydłużaniu.
Reinhard Kulessa
9
Wyrażenie podane we wzorze (3.1) jest znane jako Prawo
Hooke’a.
Prawo to jest ważne dla wszystkich materiałów i rodzajów
deformacji, o ile deformacja jest mała.
Bardzo często zamiast sprężyny stosujemy pręt z danego
materiału.
Dla przypadku podanego na rysunku,
Prawo Hooke’a można napisać
następująco;
l
∆l
.
(3.2)
Zakładamy przy tym, że ∆l jest małe.
S
F
04-10-22
F
∆l
= −E
S
l
Zgodnie z równaniem (3.1), możemy
mierzyć siłę przez wydłużenie ciała.
Reinhard Kulessa
10
F = −c (l − l0 )
.
Pomiar ten odbywa się w jednostkach względnych.
W dalszym ciągu zastanowimy się nad dynamicznymi
skutkami działania siły, czyli m.in. jej wpływem na ruch.
3.2 II zasada dynamiki Newtona
Zbadajmy na ławie powietrznej wpływ siły Fg na ruch
wózka o masie mC mogącego poruszać się bez tarcia.
Wyznaczmy pokonaną drogę, a z niej prędkość i
przyśpieszenie w funkcji czasu wykonując eksperyment
przedstawiony na następnej stronie.
04-10-22
Reinhard Kulessa
11
v
1 blok = mC
Przyśpieszenie = a
1 ciężar =Fg
t
v
1 blok
Przyśpieszenie = 2a
2 ciężary
t
v
2 bloki
Przyśpieszenie = 1/2a
1 ciężar
04-10-22
t
Reinhard Kulessa
12
F
1
m
1
t
4.275
a
0.219
2
2
1
1
2
2
3.125
4.125
5.9
0.32
0.235
0.169
Widzimy, że
oraz
a ∼ Fg
Masa m pokonywała w
każdym przypadku drogę
2 m.
Aby uzyskać dobre wyniki,
należy doświadczenie
wielokrotnie powtórzyć dla
różnych wartości masy, siły
i drogi.
a ∼ 1
.
mC
Wyniki doświadczenia, da się zapisać jako:
a=
04-10-22
Fg
mC
lub F = mC a
Reinhard Kulessa
(3.3)
13
Siła działająca na cząstkę jest równa iloczynowi masy
bezwładnej razy przyśpieszenie cząstki, które to
przyśpieszenie cząstka uzyskała pod wpływem działania siły
w układzie inercjalnym.
Inaczej mówiąc:
Jeżeli cząstka porusza się z przyśpieszeniem a w układzie
inercjalnym, to działa na nią siła równa iloczynowi masy
bezwładnej cząstki i jej przyśpieszenia.
Jest to II zasada dynamiki Newtona.
Jednostką siły w układzie SI jest jeden niuton [1N].
1m
1 N = 1kg ⋅ 2 .
s
04-10-22
Reinhard Kulessa
14
Jeśli na dwie różne masy podziałamy tą samą siłą, to
możemy napisać:
F = m1 a1
F = m2 a2
stąd wynika, że
m1 a2
=
m2 a1
.
Widzimy więc, że pod wpływem tej samej siły większa masa
ulega mniejszemu przyśpieszeniu, a mniejsza większemu.
Masa bezwładna jest miarą oporu jaki cząstka stawia
przyśpieszeniom.
(demonstracje bezwładność)
Siłą jaka działa na cząstkę najczęściej zależy od położenia
cząstki, czyli od wektora r definiującego to położenie. Siła ta
dr
może jednak zależeć również od prędkości cząstki, v =
,
dt 15
04-10-22
Reinhard Kulessa
oraz od czasu. Możemy więc napisać, że
dr
F = F (r , , t ) .
dt
Ruch cząstki znajdujemy rozwiązując równanie:
d 2 r (t )
dr
m
= F (r , , t )
2
dt
dt
.
(3.4)
Równanie (3.4) nazywamy równaniem ruchu Newtona.
Jest ono równoważne trzem równaniom dla poszczególnych
składowych.
d 2 x (t )
dx dy dz
m
2
= Fx ( x , y , z ,
,
,
, t)
dt
dt dt dt
d 2 y (t )
dx dy dz
= Fy ( x , y , z , , , , t )
m
2
dt
dt dt dt
d 2 z (t )
dx dy dz
m
= Fz ( x , y , z , , , , t )
2
dt
dt dt dt
04-10-22
Reinhard Kulessa
.
16
Znając warunki początkowe, czyli wartości r0 , v 0 , t 0 ,
możemy równanie to rozwiązać jednoznacznie,czyli podać
funkcję położenia cząstki r (t ) dla dowolnej chwili t > t0 .
04-10-22
Reinhard Kulessa
17