łańcuch dźwięku

Prof. dr hab. Adam Kiejna
Fizyka fazy skondensowanej I
Wykład 6 v.16
Ciepło właściwe sieci krystalicznej
Skończony łańcuch atomów – warunki brzegowe
Do tej pory rozpatrywaliśmy drgania nieskończonych łańcuchów atomów
Problemy: nieskończenie duże ciepło właściwe
Potrzebujemy rozpatrzeć długi ale skończony łańcuch – warunki brzegowe
Ustalone warunki brzegowe dają fale stojące.
Bardziej wygodne – fale biegnące => pozwalają opisać transport ciepła.
Cykliczne (periodyczne) warunki brzegowe Borna-von-Karmana (1912 r.)
us+N(t) = us(t)
Nieskończony kryształ złożony z identycznych skończonych kryształów
z jednakowym zachowaniem atomów na ich krańcach
Cykliczne (periodyczne) warunki brzegowe Borna-von-Karmana
N cząstek na pierścieniu połączonych sprężynami
Warunki brzegowe BvK ograniczają liczbę możliwych wartości K dla fal w krysztale.
Najdłuższa możliwa długość fali dla łańcucha N atomów odległych o a wynosi Na .
Otrzymujemy tylko N możliwych, różnych wartości K
Przykład: łańcuch złożony z 10 atomów.
Kropki oznaczają możliwe
częstości drgań (te które są
dozwolone)
W realnym skończonym krysztale liczba atomów w jednym kierunku jest bardzo duża!
Odległości pomiędzy dozwolonymi punktami K są b. małe i częstości drgań tworzą kontinuum.
Warunki BvK nie zmieniają sensu fizycznego dla dużych układów!
Drgania sieci krystalicznej
 Wszystkie fale sprężyste w krysztale mogą być opisane przez wektory falowe leżące
wewnątrz pierwszej strefy Brillouina.
 Kwantem drgań krystalicznych jest fonon. Energia drgania sprężystego o częstości ω
wynosi
E = (n + ½) ħω(K) ,
n = 0, 1, 2, 3, …
Jeżeli w komórce elementarnej znajduje się p atomów, związek dyspersyjny będzie
miał 3 gałęzie fononów akustycznych oraz (3p – 3) gałęzie fononów optycznych.
 Powyższy opis można łatwo uogólnić na 3 wymiary (niewiele nowej fizyki za to opis
bardziej skomplikowany.
 Jednowymiarowy wektor K zamieniamy na wektor 3D. W krysztale o sieci regularnej
o stałej sieci a i N atomach w każdym kierunku: K = (Kx,Ky,Kz) = 2π/aN (nx,ny,nz).
 Podobnie jak w 1D wystarczy rozpatrywać stany wibracyjne wewnątrz I strefy Brillouina.
U – energia wewnętrzna
T – temperatura
czynnik
Boltzmanna
granica
klasyczna
<n> ≈ kBT/ ħω
Rozkład Plancka
(Bosego-Einsteina)
kB = 1,38 x 10-23 J / K,
1 eV = 1,602 x 10-19 J
kBT/ ħω
granica
klasyczna
Rozkład Plancka
(Bosego-Einsteina)
kBT/ ħω
(w równowadze
termicznej)
gęstość stanów
Funkcję tę nazywamy gęstością stanów
Prędkość
grupowa
Gęstość stanów – sieć 2. wymiarowa
Dozwolone wartości wektora falowego K fononu dla sieci kwadratowej o stałej a
i periodycznych warunkach brzegowych nałożonych na kwadrat o boku L = 10a
Niedokładne dla dużych K
ω (K )
Błędne dla sieci wieloatomowej
(zaniedbuje drgania optyczne).
Ale nie są one wzbudzane w niskich T.
W wysokich T dają mały wkład.
ω (K )
gałąź
optyczna
gałąź
akustyczna
− π /a
0
K
π /a
− π /a
0
K
π /a
(modów)
Prędkość dźwięku stała
dla każdej polaryzacji
W modelu Debye’a nie są
możliwe drgania z wektorem
falowym większym od KD
x3
(**)
Temperatura
Debye'a