Spłata długu

Matematyka finansowa i ubezpieczeniowa - 6
Spłata długu
2000 − s2000 − 1020
Kredyt S zaciągnięty w momencie
t 0 = 0, i jego spłata ratami P 1 , P 2 , . . . , P N wno
szonymi w momentach
0 < t 1 < t 2 <. . . < t N = T, to strumień
przepływów pienięŜnych
1
1
− 1010
=0
1
2
12
12
1 + x
1 + x
1.4
1.2
1
x
0.8
0.6
P = Pt 0 , Pt 1 , Pt 2 , . . . , Pt N 
0.4
0.2
0
= S, −P 1 , −P 2 , . . . , −P N .
Uniwersalną miarą ”kosztu” kredytu jest
wewnętrzna stopa zwrotu (rzeczywista
stopa procentowa wg ustawy o kredycie
konsumenckim) dla strumienia przepływów
pienięŜnych P = S, −P 1 , −P 2 , . . . , −P N  w
momentach t = t 0 , t 1 , t 2 , . . . , t N ; tzn.
efektywna roczna stopa procentowa i P taka,
Ŝe
S − ∑ P n  1+i1 P  t n −t 0 = 0
t 1 ≤t n ≤T
2000 − 1020
0.02
0.04
s
0.06
0.08
1
1
− 1010
31
t = 0
1
+
x
365
1 + x
2
12
: 0. 166 666 67
S0 = S
0.145
S1 = T1 − P1
0.14
S2 = T2 − P2
0.135
0.13
x
.......
0.125
0.12
SN = TN − PN = 0
0.115
0.11
0.13
0.14
0.15
0.16 t 0.17
0.18
0.19
0.2
Oprocentowanie składane
Plan spłaty długu:
T n - zadłuŜenie bezpośrednio przed spłatą
raty P n
S n - zadłuŜenie bezpośrednio po spłacie
raty P n
- w momentach t 1 , t 2 , . . . , t N kapitalizowane
są odsetki od całego bieŜącego długu
(odsetki za okres t n−1 , t n  są liczone od
całości bieŜącego zadłuŜenia):
T n = S n−1 + S n−1 r n−1
dla n = 1, 2, . . . , N
gdzie r n−1 = i t n−1 ,t n  - efektywna stopa
procentowa na okres t n−1 , t n ;
S N = T N − P N = S N−1 + S N−1 r N−1 − P N
S0 = S
S1 = T1 − P1 = S0 + S0r0 − P1
= S 0 1 + r 0  − P 1
S2 = T2 − P2 = S1 + S1r1 − P2
= S 0 1 + r 0 1 + r 1  − P 1 1 + r 1  − P 2
S3 = T3 − P3 = S2 + S2r2 − P3
=
S 0 1 + r 0 1 + r 1 1 + r 2 
=
S 0 1 + r 0 1 + r 1  ⋅. . . ⋅1 + r N−1 
−P 1 1 + r 1  ⋅. . . ⋅1 + r N−1 
−P 2 1 + r 2  ⋅. . . ⋅1 + r N−1 . . . −P N = 0
Gdy
1 + r n−1 = 1 + i t n −t n−1 = 1 + i nom t n − t n−1 
dla n = 1, 2, . . . , N, tj. i jest efektywną roczną
stopą procentową obowiązującą przez cały
okres spłaty kredytu, to wtedy:
−P 1 1 + r 1 1 + r 2  − P 2 1 + r 2  − P 3
S n = S1 + i t n −t 0 −
.......
∑
P k 1 + i t n −t k
t 1 ≤t k ≤t n
dla n = 1, 2, . . . , N
S N−1 = T N−1 − P N−1 = S N−2 + S N−2 r N−2 − P N−1
=
S 0 1 + r 0 1 + r 1  ⋅. . . ⋅1 + r N−2 
−P 1 1 + r 1  ⋅. . . ⋅1 + r N−2 
−P 2 1 + r 2  ⋅. . . ⋅1 + r N−2  −. . . −P N−1
Wówczas i jest wewnętrzną stopą zwrotu:
S N = S1 + i t N −t 0 −
∑
N
P k 1 + i t N −t k = 0
t 1 ≤t k ≤t N
 S=
∑
t 1 ≤t k ≤t N
Pk
S = P ⋅ ∑ 1 + s  n
1+i
n=1
1
1 + i  t k −t 0

P = S⋅
P=
Typowe schematy spłat - w momentach
t n = n = 1, 2, . . . , N przy stopie i dla
okresów n − 1; n, n = 1, 2, . . . , N
równe raty P 1 = P 2 =. . . = P N = P :
•
S
N
1+i
1+s
⋅

1+s −1
1+i
1+s  N −1
1+i
, gdy s ≠ i
gdy s = i
w ratach P 1 = P 2 =. . . = P N−1 = Si spłata
odsetek, ostatnia rata P N = S + Si;
N
S = P ⋅ ∑ 1  n = P ⋅ a N⌉i
1+i
n=1
i
 P = S ⋅ a1 = S ⋅
N⌉i
1 − 1 + i −N
i1 + i N
= S⋅
1 + i N − 1
•
raty tworzące ciąg geometryczny
P n = P ⋅ 1 + s n dla n = 1, 2, . . . , N :
•
w pierwszej racie P 1 = P + I 1 spłata
części kapitału P i zaktualizowanych na
moment t 1 = 1 odsetek I 1 , pozostałe
raty równe P 2 = P 3 =. . . P N = P :
1 + i N − 1
,
1 + i N−1
i
P = S ⋅ s1 = S ⋅
N⌉i
1 + i N − 1
I 1 = S ⋅
Oprocentowanie proste
- w kaŜdym momencie t n naliczane są
odsetki od początkowego długu S
pomniejszonego o sumę części
kapitałowych K 1 +. . . +K n−1 rat P 1 , . . . , P n−1 :
K n - część kapitałowa n-tej raty, I n część odsetkowa n-tej raty,
Pn = Kn + In
T n = S n−1 + S − K 1 − K 2 −. . . −K n−1 r n−1
dla n = 1, 2, . . . , N, gdzie r n−1 = i t n−1 ,t n  efektywna stopa procentowa na okres
t n−1 , t n .
S0 = S
S 1 = T 1 − P 1 = S + Sr 0 − P 1
S N = T N − P N = S N−1 + S − K 1 −. . . −K N−1 r N−1 − P N
=
S1 + r 0 + r 1 +. . . +r N−1 
−K 1 1 + r 1 +. . . +r N−1  −. . . −K N
−I 1 −. . . −I N = 0
Gdy i jest nominalną roczną stopą
procentową obowiązującą przez cały okres
spłaty kredytu, tj. r n−1 = it n − t n−1  dla
n = 1, 2, . . . , N, to wtedy
S n = S1 + it n  −
∑
K k 1 + it n − t k  −
t 1 ≤t k ≤t n
∑
Ik
∑
Ik =
∑
Ik
t 1 ≤t k ≤t n
dla n = 1, 2, . . . , N
oraz dla n = N
= S1 + r 0  − K 1 − I 1
S 2 = T 2 − P 2 = S 1 + S − K 1 r 1 − P 2
S N = S1 + it N  −
K k 1 + it N − t k  −
∑
K k 1 + it N − t k  +
t 1 ≤t k ≤t N
= S1 + r 0 + r 1  − K 1 1 + r 1  − K 2 − I 1 − I 2
.......
∑
 S1 + it N  =
t 1 ≤t k ≤t N
t 1 ≤t k ≤t N
t 1 ≤t k ≤t N
w pierwszej racie P 1 = K 1 + I 1 = P + SiN
spłata części kapitału P i odsetek SiN, w
pozostałych ratach P n = K n = P dla
n = 2, 3, . . . , N spłata kapitału:
1
P= S ⋅
N 1 + i N−1
2
Typowe schematy spłat w momentach
t n = n = 1, 2, . . . , N
równe raty P n = P ze stałym
stosunkiem części odsetkowej do
części kapitałowej,
K n = Pα, I n = P1 − α, dla n = 1, 2, . . . , N,
gdzie 0 ≤ α ≤ 1 :
NN − 1
 + P1 − αN
2
 P = S ⋅ 1 + iN
N 1 + αi N−1
2
S1 + iN = PαN + i
•
• dla α = 1 (cała rata spłaca zadłuŜenie
bieŜące), tzw. rata kupiecka:
N+1
2

P = S 1 + i
N
1 + i N−1
równe części kapitałowe K n =
P n , n = 1, 2, . . . , N :
S
N
rat
S1 + iN = S1 + i N − 1  + I 1 + I 2 +. . . +I N
2
 I 1 + I 2 +. . . +I N = Si N + 1
2
2
•
w ratach P 1 = P 2 =. . . = P N−1 = Si spłata
odsetek, w ostatniej racie P N = S + Si
spłata kapitału i odsetek;
(a) odsetki od bieŜącego zadłuŜenia
spłacane na bieŜąco:
I 1 = Si N , . . . , I n = Si
N
I N = Si 1
N
N − n − 1
,...,
N
•
•
(b) odsetki uśrednione:
I 1 = Si N + 1 , . . . , I n = Si N + 1 , . . . ,
2N
2N
I N = Si N + 1 ;
2N
(c) odsetki jak od N kredytów
wysokości NS wziętych na okresy
0, 1, 0, 2, . . . , 0, N :
I 1 = Si 1 , . . . . , I n = Si n , . . . ,
N
N
I N = Si.
Uwaga. Dla wartości bieŜących netto
F a 0, F b 0, F c 0, strumieni płatności
P 1 , P 2 , . . . , P N , określonych odpowiednio w
podpunktach (a), (b), (c) (liczonych przy
dowolnej dodatniej stopie procentowej)
zachodzi
F a 0 > F b 0 > F c 0
równe raty P n = K n + I n = P dla
n = 1, 2, . . . , N ale odsetki spłacane w
kaŜdej racie są naliczone od całego
niespłaconego do tej pory kapitału
(porównaj ze schematem równych rat w
oprocentowniu składanym):
I n+1 = S − K 1 −. . . −K n−1 − K n i = I n − K n i
I n + K n = I n+1 + K n+1 = I n − K n i + K n+1
K n+1 = K n 1 + i =. . . = K 1 1 + i n
1 + i N − 1
S = K 1 +. . . +K N = K 1
i
K1 = S ⋅ i
1
1 + i N − 1
I1 = S ⋅ i
1 + i n
1 + i N − 1
1 + i N − 1 + i n
= S⋅i
1 + i N − 1
K n+1 = S ⋅ i
I n+1
1 + i N
P = S⋅i
= S a1
N
N⌉i
1 + i − 1
Uwaga. Przy spłatach długu z
intensywnością p : 0, T → R
w oprocentowaniu składanym
T
1 t
 dt
S = ∫ pt 1+i
0
np. ”równe raty”
p=
S
T
1 t
∫ 0  1+i
 dt
w oprocentowaniu prostym
pt = Kt + It
T
T
S1 + iT = ∫ Kt1 + iT − tdt + ∫ Itdt
0
0
np. ”równe raty”
p =. . . ?