dr in˙z. Magdalena Topczewska Cwiczenia nr 10 Przedzia ly ufnosci
Transkrypt
dr in˙z. Magdalena Topczewska Cwiczenia nr 10 Przedzia ly ufnosci
dr inż. Magdalena Topczewska Ćwiczenia nr 10 Przedzialy ufności Zakres teorii • przedzialy ufności dla średniej • przedzialy ufności dla procentu (wskaźnika struktury) • przedzialy ufności dla wariancji • minimalna liczność próby Przedzialem ufności nazywamy losowy przedzial wyznaczony za pomoca, rozkladu estymatora, a majacy te, wlasność, że z dużym, , z góry zadanym prawdopodobieństwem, pokrywa wartość szacowanego parametru θ. Zwykle zapisujemy go w postaci P (a < θ < b) = 1 − α, gdzie a i b sa, dolnym i górnym krańcem przedzialu ufności, zaś 1 − α jest to wspólczynnik ufności, czyli prawdopodobieństwo zadane z góry, z jakim parametr θ pokryty jest przedzialem ufności. Przedzialy ufności dla średniej • Model I Populacja generalna ma rozklad N (m, σ) m – nieznane σ – znane dla populacji σ σ =1−α P x̄ − uα √ < m < x̄ + uα √ n n uα wyznacza sie, z tablic dystrybuanty rozkladu normalnego, by spelniona byla relacja P {−uα < U < uα } = 1 − α • Model II Populacja generalna ma rozklad N (m, σ) m – nieznane σ – nieznane dla populacji n – male (n < 30) P x̄ − tα √ s s < m < x̄ + tα √ n−1 n−1 =1−α lub ŝ ŝ =1−α P x̄ − tα √ < m < x̄ + tα √ n n gdzie s i ŝ sa, odchyleniami standardowymi v v u u n n u1 X u 1 X s=t (xi − x̄)2 ŝ = t (xi − x̄)2 n i=1 n − 1 i=1 tα wyznacza sie, z tablic t-Studenta, by spelniona byla relacja P {−tα < T < tα } = 1 − α i dla n − 1 stopni swobody • Model III Populacja generalna ma rozklad N (m, σ) m – nieznane σ – nieznane dla populacji n – duże (n > 30) wzór z modelu I (we wzorze zamiast σ używamy s lub ŝ) W przypadku danych w postaci szeregu rozdzielczego o r klasach średnia, i odchylenie standardowe obliczamy ze wzorów: v u X r u1 r 1 X ◦ x̄ = xj nj ŝ = t (x◦ − x̄)2 nj n j=1 n j=1 j gdzie x◦j jest środkiem j-tego przedzialu klasowego, zaś nj jego licznościa. , Przedzialy ufności dla procentu (wskaźnika struktury) • Model Populacja generalna ma rozklad dwupunktowy z parametrem p n – duże (n > 100) s s m m (1 − m ) (1 − m ) m m n n n n P − uα <p< + uα =1−α n n n n uα wyznacza sie, z tablic dystrybuanty rozkladu normalnego, by spelniona byla relacja P {−uα < U < uα } = 1 − α 1 Przedzialy ufności dla wariancji • Model I Populacja generalna ma rozklad N (m, σ) m – nieznane σ – nieznane n – male (n < 30) P lub P ns2 ns2 < σ2 < c2 c1 =1−α (n − 1)ŝ2 (n − 1)ŝ2 < σ2 < c2 c1 =1−α c1 i c2 wyznacza sie, z tablic rozkladu χ2 (chi-kwadrat) dla n − 1 stopni swobody oraz tak, by spelnione byly relacje P {χ2 < c1 } = 21 α oraz P {χ2 > c2 } = 12 α • Model II Populacja generalna ma rozklad N (m, σ) lub zbliżony do normalnego m – nieznane σ – nieznane n – duże (n > 30) s s < σ < =1−α P 1 + √uα 1 − √uα 2n 2n uα wyznacza sie, z tablic dystrybuanty rozkladu normalnego, by spelniona byla relacja P {−uα < U < uα } = 1 − α Zadania Zad 1. Do zagadnień normowania pracy potrzebne jest oszacowanie średniego czasu pracy potrzebnego tokarzowi na obróbke, skrawaniem pewnego detalu na określonym typie obrabiarki. W tym celu zmierzono czas toczenia tego detalu u 10 losowo wybranych (niezależnie) tokarzy. Otrzymano nastepuj ace wyniki (w minutach): 16.2; 15.4; , , 13.8; 18; 15.1; 17.3; 16.8; 15; 15.9; 16.5. Przyjmujac, że rozk lad czasu toczenia tego detalu jest normalny, podać , przedzial ufności ze wspólczynnikiem ufności a) 0.95 b) 0.90 c) 0.99 dla średniego czasu toczenia. Zad 2. W pewnym eksperymencie chemicznym bada sie, czas calkowitego zakończenia pewnej reakcji. Dokonano 60 niezależnych doświadczeń i otrzymano z nich średnia, 46 sek. oraz odchylenie standardowe 13 sek. Przyjmujac , wspólczynnik ufności a) 0.99 b) 0.90 oszacować metoda, przedzialowa, średni czas potrzebny w tym doświadczeniu na calkowite zakończenie reakcji. Zad 3. W celu oszacowania średniego czasu poświecanego tygodniowo przez studentów pewnej uczelni na studiowanie w , bibliotece, wylosowano niezależnie próbe, 132 studentów i otrzymano z niej nastepuj ace wyniki (czas studiowania , , w bibliotece w godzinach): Czas Liczba studentów 0−2 10 2−4 28 4−6 42 6−8 30 8 − 10 15 10 − 12 7 Przyjmujac , wspólczynnik ufności 0.90 oszacować metoda, przedzialowa, średni tygodniowy czas studiowania studentów w bibliotece. Zad 4. W celu zbadania hamowania samochodu po usprawnieniach technicznych wykonano 100 pomiarów, a nastepnie , obliczono średni czas hamowania 4.26 sek. i wariancje, z próby 1.1 sek2. Znaleźć realizacje, przedzialu ufności na poziomie ufności 0.9 dla wartości oczekiwanej i odchylenia standardowego czasu hamowania. Porównać wyniki po zmianie poziomu na 0.95. Jak zmienilyby sie, wyniki, gdyby liczność próby zmniejszyć do 25 pomiarów? 2 Zad 5. Na podstawie danych liczbowych z zadania 3 oszacować metoda, przedzialowa, procent studentów badanej uczelni, którzy na studiowanie w bibliotece poświecaj a, mniej niż 6 godzin tygodniowo. Przyjać , wspólczynnik ufności , 0.95. Zad 6. W celu oszacowania rozrzutu wagi jaj dostarczanych do pewnego sklepu dokonano pomiarów wagi 15 jaj i otrzymano nastepuj ace wyniki (w g): 62, 57, 70, 58, 59, 67, 65, 69, 55, 57, 60, 54, 72, 66, 74. Przyjmujac , , , wspólczynnik ufności 0.96 zbudować przedzial ufności dla wariancji wagi jaj dostarczanych do sklepu. Zad 7. W celu wyznaczenia dokladności przyrzadu pomiarowego dokonano 7 niezależnych pomiarów pewnej stalej , wielkości, uzyskujac tego , rezultaty: 171, 175, 182, 178, 173, 180, 179. Wyznaczyć ocene, wariancji bledów , przyrzadu, jeżeli: , a) wartość mierzonej wielkości jest znana i równa 176, b) wartość mierzonej wielkości jest nieznana. Przyjać , poziom istotności 1 − α = 0.90. Zad 8. W celu oszacowania struktury procentowej rodzaju kontraktacji w indywidualnych gospodarstwach rolnych pewnego powiatu wylosowano niezależnie 360 gospodarstw rolnych spośród tych, ktore prowadza, kontraktacje. , Otrzymano nastepuj ace dane: , , Rodzaj kontraktacji liczba gospodarstw zboża i ziemniaki 21 buraki i rośliny przemyslowe 123 bydlo 50 trzoda chlewna 166 Zbudować przedzialy ufności ze wspólczynnikami 0.9 dla poszczególnych wskaźników struktury gospodarstw prowadzacych kontraktacje, w tym powiecie. , Zad 9. Obliczyć niezbedn a, liczbe, pomiarów jakie należy wykonać w celu wyznaczenia 95%-wego przedzialu ufności o , dlugości nie przekraczaj.cej 0.08 mm dla wartości przecietnej grubości tkaniny, wiedzac, że bledy pomiarów , , , maja, rozklad normalny o odchyleniu standardowym s = 0.1 mm Zad 10. Ile należy wylosować niezależnie puszek konserwowych do badania jakości pewnej partii konserw, aby przy wspólczynniku ufności 0.90 oszacować procent zepsutych konserw, który przypuszczalnie jest rzedu 10%, z , bledem maksymalnym 5%? , Zad 11. Ile przebiegów pociagów pasażerskich w Polsce należaloby wylosować niezależnie do próby, aby z maksymal, nym bledem dopuszczalnym 6% oszacować nieznany procent opóźnionych przyjazdów na stacje, docelowa? , , Wspólczynnik ufności 0.90. 3