I. Kilka twierdzeń II. Przykład III. Ilorazy różnicowe, siatka

Transkrypt

Modelowanie zjawisk przyrodniczych 2001
Wykład 13, 29.05.2001 Zagadnienia brzegowe, metody różnicowe
I. Kilka twierdzeń
Tw. 1. Kincaid, Cheney, s. 533
Zagadnienie brzegowe x00 = f (t, x), x(0) = 0, x(1) = 0 posiada jednoznaczne rozwiazanie
jeżeli
,
ciagła,
nieujemna
i
ograniczona
na
pasie:
0
≤
1,
∞.
t
≤
−∞
<
x
<
,
Tw. 2. Kincaid, Cheney, s. 536
ciagł
Niech f = f (t, x) bedzie
, a, funkcja,
, określona, na pasie: 0 ≤ t ≤ 1,
,
zmiennej
Lipshitza wzgledem
x
ze
sta’l
a
, k <8
,
∂f
∂x
jest
2
−∞ < x < ∞, spełniajac
, a, warunek
kf (t, x1 ) − f (t, x2 )| ≤ k|x1 − x2 |
Wówczas zagadnienie brzegowe x00 = f (t, x), x(0) = 0, x(1) = 0 posiada jednoznaczne rozwiazanie
,
jako zadanie) za pomoca, twierdzenia o punkcie stałym dla
x ∈ C[0, 1]. Dowód (pozostawiony w ksiażce
,
odwzorowań zweżaj
acych
w przestrzeni zupełnej.
,
,
2
Tw. 3. Volkov, s. 195
Lu ≡ u00 + p(x)u0 − q(x)u = f (x), 0 ≤ x ≤ 1
l0 u ≡ u(0) = µ1 ,
l1 u ≡ u(1) = µ2 .
Zagadnienie brzegowe posiada jednoznaczne rozwiazanie
u(x) ∈ C (4) [0, 1] dla p, q, f ∈ C (2) [0, 1],
,
q(x) ≥ 0.
2
Tw. 4. Stoer, Bulirsch, s. 486 (proponuje, obejrzeć, jest dowód . . . )
2
II. Przykład
Było omawiane równanie drgań spreżyny.
Sformułujmy zagadnienie brzegowe:
,
mx00 + kx = 0,
x(0) = 0 = x(T ).
ogólnym r.r. jest
Rozwiazaniem
,
dla ω =
2
k
m.
x(t) = c1 sin(ωt) + c2 cos(ωt)
Rozwiazanie
niezerowe istnieje, jeśli ωT = nπ. Wówczas
,
x(t) = c1 sin(
nπt
)
T
i parametr c1 pozostaje nieokreślony, czyli istnieje nieskończenie wiele rozwiazań.
,
III. Ilorazy różnicowe, siatka
Podstawa, wszystkich metod różnicowych jest pomysł zastapienia
pochodnych wystepuj
acych
w równaniu róż,
,
,
niczkowym, odpowiednimi ilorazami różnicowymi, np:

u(xi + h) − u(xi )
u(xi + h) − u(xi − h)
du
du
∼
∼
, albo
,

dx x=xi
h
dx x=xi
2h

u(xi + h) − 2u(xi ) + u(xi − h)
d2 u
.
∼

2
dx
h2
x=xi
Czasem potrzebne jest aproksymowanie ilorazem różnicowym wartości pochodnej w punkcie brzegowym, np.
x0 . Można zrobić to z rzedem
2 na trzech wezłach:
,
,

du
∼ Au(x0 ) + Bu(x1 ) + Cu(x2 )
dx x=x0
1
Adam Szustalewicz
dobierajac
, odpowiednio współczynniki A, B, C (zad.1).
Zamiast zaś funkcji, jako odwzorowania określonego na całym przedziale zmiennej niezależnej [0, 1], wykorzystujemy jedynie wartości takiej funkcji na ustalonym, dyskretnym zbiorze punktów z tego przedziału,
najcześciej
punktów równoodległych, zwanym siatka:
,
,
równoodległych ωh nazywamy skończony zbiór punktów:
1. Siatka, wezłów
,
ωh = {xj }N
j=0 : xj = jh, h =
1
, (N > 1).
N
wewnetrzne:
Wyróżniamy dla wygody: ωh0 – wezły
1 ≤ j < N , ωh∗ – wezły
brzegowe: j = 0, N ,
,
,
,
0
∗
(ωh = ωh ∪ ωh ).
2. Na siatce określone sa, funkcje siatkowe yh , reprezentowane przez swój zbiór wartości w wezłach
siatki:
,
yj = yh (xj ) dla xj ∈ ωh .
siatki bedziemy
3. Wartości zwykłej funkcji f = f (x) w wezłach
oznaczać przez f (xj ) lub [f ]j , a przez [f ]h
,
,
oznaczymy funkcje, siatkowa, otrzymana, z funkcji f przez przyjecie
jej wartości w wezłach
siatki.
,
,
4. Przestrzeń liniowa Yh funkcji siatkowych określonych na ωh jest izomorficzna z przestrzenia, Euklidesowa,
RN +1 . Analogicznie możemy wprowadzić przestrzenie liniowe funkcji siatkowych Yh0 i Yh∗ określonych na
siatkach ωh0 i ωh∗ .
5. Wprowadźmy norme, maximum w tych przestrzeniach liniowych, oznaczajac
, je odpowiednio:
|| . ||h , || . ||0h oraz || . ||h∗ :
||yh ||h = max |yj |.
0≤j≤N
IV. Aproksymacja zagadnienia brzegowego
Rozpatrzmy teraz liniowe zagadnienie brzegowe, dla którego mamy zagwarantowane istnienie i jednoznaczność
(por. tw. 3):
rozwiazania
,
Lu = f
(1)
na [0, 1], z warunkami brzegowymi
(2)
lu = g,
gdzie
00
0
Lu ≡ u + pu − qu,
lu ≡
(
l0 u ≡ u dla x = 0,
l1 u ≡ u dla x = 1,
g(x) =
(
µ1
dla x = 0,
µ2
dla x = 1.
Zagadnienie to posiada jednoznaczne rozwiazanie
u ∈ C (4) [0, 1] dla p, q, f ∈ C (2) [0, 1], i q(x) ≥ 0.
,
2
Operatory różniczkowe L i l, określone dla dostatecznie regularnych funkcji ciagłych
zostana, zastapione
ope,
,
ratorami różnicowymi określonymi na przestrzeniach funkcji siatkowych. Niech
(Lh [u]h )j =
[u]j−1 − 2[u]j + [u]j+1
[u]j+1 − [u]j−1
+ p(xj )
− q(xj )[u]j
h2
2h
dla j = 1, 2, . . . , N − 1.
zagadnienia brzegowego (1), (2), to
Tw.5 Jeśli funkcja u ∈ C (4) [0, 1] jest rozwiazaniem
,
_
Cu ∈ R
||[Lu]h − Lh [u]h ||h0 ≤ Cu h2 .
Dowód wynika z nierówności:
|p(xj )u0 (xj ) − p(xj )
|u00 (xj ) −
2
[u]j+1 − [u]j−1
h2
| ≤
||p||C ||u000 ||C
2h
6
[u]j+1 − 2[u]j + [u]j−1
h2
|
≤
||p||C ||u(4) ||C
h2
12
Modelowanie zjawisk przyrodniczych 2001
gdzie
||p||C = max |p(x)|.
[0,1]
2
Def. Operator różnicowy Lh aproksymuje operator różniczkowy L z rzedem
wzgl
h,
w
sensie
k
edem
kroku
,
,
normy ||.||0h jeżeli k > 0 i dla każdej dostatecznie regularnej funkcji u spełniona jest nierówność
||[Lu]h − Lh [u]h ||0h ≤ Cu hk
gdzie Cu jest stała, nie zależac
, a, od h.
2
V. Metoda przegnania
Schemat różnicowy:
dla fh ∈
Yh0 ,
gh ∈
Yh∗ ,
Lh yh = fh
(3)
lh yh = gh ,
(4)
czyli
yj+1 − yj−1
yj−1 − 2yj + yj+1
− q(xj )yj = f (xj )
+ p(xj )
h2
2h
y0 = µ1 ,
y N = µ2
(j = 1, 2, . . . , N − 1)
ma postać układu równań liniowych o macierzy trójprzekatniowej.
Ten układ można zapisać w postaci ogól,
niejszej, uwzgledniaj
ace
wartości
pochodnej:
acej
warunki
brzegowe
zawieraj
,
,
,
Ai yi−1 − Ci yi + Bi yi+1 = −Fi ,
y0 = κ1 y1 + µ1 ,
i = 1, 2, · · · , N − 1
yN = κ2 yN −1 + µ2
i przy dodatkowych założeniach rozwiazać
sprytnie zaprogramowana,
, zwykła, metoda, eliminacji Gaussa, zwana,
,
w tym przypadku metoda, przegnania albo sweep method (zob. np. A. A. Samarskij, Teorija raznostnych schiem,
Nauka, Moskva 1977). Należy wykonać nastepuj
kroki obliczeniowe:
ace
,
,
Krok 1: Obliczyć αi i βi ze wzorów rekurencyjnych:
αi+1 =
Bi
,
Ci − αi Ai
i = 1, 2, · · · , N − 1,
βi+1 =
Ai βi + Fi
,
C i − αi Ai
α1 = κ1 ,
β1 = µ1 .
układu ze wzorów:
Krok 2: Obliczyć rozwiazanie
,
yN =
µ2 + κ2 βN
,
1 − α N κ2
yi = αi+1 yi+1 + βi+1 ,
i = N − 1, N − 2, · · · , 0.
VI. Zadania
2
1. Dobrać wartości współczynników A, B, C w wyrażeniu aproksymujacym
wartość pierwszej pochodnej
,
na lewym końcu przedziału x0 tak, aby bład
był
maksymalnego
rz
W
moga, być równoodległe,
edu.
ezły
,
,
,
ale nie musza.
,
2. Analogiczne zadanie dla aproksymacji pochodnej na prawym końcu przedziału

du
∼ Au(xN −2 ) + Bu(xN −1 ) + Cu(xN ) .
dx x=xN
3. Wyznaczyć rzad
, aproksymacji drugiej pochodnej ilorazem różnicowym:
2
d u
u(xi + h) − 2u(xi ) + u(xi − h)
∼
.
dx2 x=xi
h2
3
Adam Szustalewicz
4. Rozwiazać
numerycznie zagadnienie brzegowe:
,
y 00 = 400y − 401 sin x ,
y(0) = 0 ,
y(a) = sin a
dla kilku długości przedziału [0, a], np. a = 1, 2, 5 . Obejrzeć błedy
rozwiazań
numerycznych otrzy,
,
manych dla różnych wartości parametrów metod.
numerycznie nieliniowe zagadnienie brzegowe:
5. Rozwiazać
,
y 00 − y 02 − y 2 + y + 1 = 0 ,
y(0) = 0.5 ,
y(π) = −0.5
z rozwiazaniem:
,
y(x) = sin(x +
π
).
6
Zastosować metode, strzałów, oraz zaproponować i wypróbować metode, iteracyjna, do rozwiazywania
,
nieliniowego zagadnienia różnicowego.
xi z maksymalna, dokładnościa,
6. Aproksymować wartość pierwszej , drugiej pochodnej funkcji f w weźle
,
,
ezły
x
,
x
,
x
w
przypadku
gdy
w
te nie sa, równoodległymi.
za pomoca, wartości funkcji w wezłach
i−1
i
i+1
,
,
•
4