gts wyrazić

Transkrypt

gts wyrazić

Teoriogrupowe aspekty
symetrii miar konfirmacji
Robert Susmaga
Izabela Szczęch
IDSS Poznań, 2017
Plan prezentacji
•
•
•
•
•
Idea miar konfirmacji
Właściwości symetrii miar konfirmacji
Elementy teorii grup
Symetrie miar jako elementy grupy
Rozwiązania teoriogrupowe
– problemu niekompletności zbioru symetrii
– problemu niespójności podziału zbioru symetrii
• Podsumowanie
Reguły decyzyjne i ich ocena
• Reguła postaci
przesłanka
E⇒H
konkluzja
• Zadanie: zawęzić zbiór wyidukowanych reguł
• Narzędzie: miary atrakcyjności reguł
Reguły decyzyjne i ich ocena
Wzrost
wysoki
średni
średni
wysoki
niski
średni
Włosy
blond
ciemne
blond
blond
rude
ciemne
Oczy Narodowość
niebieskie szwedzka
piwne
niemiecka
niebieskie szwedzka
niebieskie niemiecka
niebieskie niemiecka
piwne
szwedzka
¬E
¬E
¬E
¬E
E
¬E
¬H
H
¬H
H
H
¬H
H ¬H
H ¬H
E a
E 1
¬E b
¬E 2
dziedziny: binarne
• Tablica kontyngencji pozwala na obliczanie
wartości miar atrakcyjności (np. miar konfirmacji)
d
0
3
a = sup(E,H) ≥ 0
b = sup(¬E,H) ≥ 0
c = sup(E,¬H) ≥ 0
d = sup(¬E,¬H) ≥ 0
n = a+b+c+d
jeżeli (Włosy = rude) & (Oczy = niebieskie) to (Narodowość = niemiecka)
jeżeli
przesłanka
to
konkluzja
E⇒H
c
Miary konfirmacji
• Spełniają następujące warunki:
 > 0 if P (H E ) > P (H )

c (H , E )  = 0 if P (H E ) = P (H )

 < 0 if P (H E ) < P (H )
 > 0 if a /( a + c ) > ( a + b ) / n

c (H , E )  = 0 if a /( a + c ) = ( a + b ) / n
< 0 if a /( a + c ) < ( a + b ) / n

• Miary konfirmacji mierzą jak silnie przesłanka E
potwierdza konkluzję H
Miary konfirmacji
a
a+b
−
a + c |U |
D( H , E ) =
a
b
−
a+c b+d
a
(a + c)
M (H , E) =
−
a+b
|U |
a
c
N (H , E) =
−
a+b c+d
S (H , E) =
C(H , E) =
a (a + c)(a + b)
−
|U |
| U |2
R( H , E ) =
a |U |
−1
(a + c)(a + b)
G( H , E ) = 1 −
F (H , E) =
c |U |
(a + c)(c + d )
ad − bc
ad + bc + 2ac
(Carnap 1950/1962)
(Christensen 1999)
(Mortimer 1988)
(Nozick 1981)
(Carnap 1950/1962)
(Finch 1960)
(Rips 2001)
(Kemeny and Oppenheim 1952)
Własności miar konfirmacji
• Problem wyboru miary spośród bogatego zbioru
• Własności miar jako wskazówka przy wyborze miary
– własność monotoniczności M
– własności dotyczące zachowania się miar w ekstremach:
Ex1, weak Ex1, minimality/maximality
– własności symetrii
– B
• Własności symetrii dotyczą wymagań wobec
zachowania miar w sytuacji zanegowania E i/lub H,
oraz zamiany rolami E i H
• Wiele prac na temat symetrii; niejednoznaczne wyniki
Symetrie miar: podejście klasyczne Eells et al.
• Carnap, Eells et al.:
commutativity (inversion) symmetry IS: c(H, E) = c(E, H)
evidence symmetry ES: c(H, E) = −c(H, ¬E)
hypothesis symmetry HS: c(H, E) = −c(¬H, E)
total (evidence-hypothesis) symmetry EHS: c(H, E) = c(¬H, ¬E)
•
•
Carnap, R.: Logical Foundations of Probability, 2nd ed., University of Chicago Press, 1962
Eells, E., Fitelson, B.: Symmetries and asymmetries in evidential support,
Philosophical Studies, 107, 129–142, 2002
Evidence symmetry Eells et al.
• Według Eells et al. ES: c(H, E) = −c(H, ¬E) jest niekorzystna
• Przykład:
jeżeli wyciągnięta karta to 7pik to karta jest czarna
• „7pik” bardziej potwierdza, że karta jest „czarna”
niż „nie7pik” zaprzecza że karta jest „czarna”
• zatem ES jest niekorzystną własnością wg Eells et al.,
czyli powinno zachodzić ∃E,H c(H, E) ≠ −c(H, ¬E)
Symetrie miar: podejście klasyczne Crupi et al.
• Rozszerzająca propozycja Crupi et al.:
IS(H, E): c(H, E) = c(E, H)
EHIS(H, E): c(H, E) = c(¬E, ¬H)
EHS(H, E): c(H, E) = c(¬H, ¬E)
ES(H, E): c(H, E) = −c(H, ¬E)
HS(H, E): c(H, E) = −c(¬H, E)
EIS(H, E): c(H, E) = −c(¬E, H)
HIS(H, E): c(H, E) = −c(E, ¬H)
• Podejście kontekstowe rozróżniające sytuacje:
– konfirmacji (Pr(H|E) > Pr(H)),
– dyskonfirmacji (Pr(H|E) < Pr(H))
(łącznie 14 różnych symetrii )
•
Crupi, V., Tentori, K., Gonzalez, M.: On Bayesian measures of evidential support:
Theoretical and empirical issues, Philosophy of Science, 74, 229–252, 2007
Inversion symmetry Crupi et al.
• Według Crupi et al. IS: c(H, E) = c(E, H) jest korzystna
w sytuacji dyskonfirmacji
• Przykład:
jeżeli wyciągnięta karta to As, to karta jest figurą
• „As” tak samo mocno zaprzecza że karta jest „figurą” jak
„figura” zaprzecza że karta jest „Asem”
• zatem IS jest korzystną własnością wg Crupi et al.
czyli powinno zachodzić ∀E,H c(H, E) = c(E, H)
Symetrie miar: podejście Greco et al.
• Bezkontekstowa propozycja Greco et al.:
IS(H, E): c(H, E) = c(E, H)
EHIS(H, E): c(H, E) = c(¬E, ¬H)
EHS(H, E): c(H, E) = c(¬H, ¬E)
ES(H, E): c(H, E) = −c(H, ¬E)
HS(H, E): c(H, E) = −c(¬H, E)
EIS(H, E): c(H, E) = −c(¬E, H)
HIS(H, E): c(H, E) = −c(E, ¬H)
(łącznie: 7 różnych symetrii)
•
•
Greco, S., Slowinski, R., Szczech, I.: Finding meaningful Bayesian confirmation measures
Fundamenta Informaticae, 21, IOS Press, 1001–1016, 2013
Greco, S., Slowinski, R., Szczech, I.: Measures of rule interestingness in various perspectives
of confirmation, Information Sciences, 346–347C, 216–235, 2016
Evidence symmetry Greco et al.
• Według Greco et al. ES: c(H, E) = −c(H, ¬E) jest pożądana
• Przykład (tablica kontyngencji):
E
H
¬H
a = 100
c=0
• dla c(H, E) mamy:
b = 99
¬E
Pr(H|¬E) = b/(b+d) = 0.99 and
Pr(H|E) = a/(a+c) = 1, co daje 1% zwiększenie konfirmacji
• dla c(H, ¬E) mamy:
Pr(H|E) = 1 and Pr(H|¬E) = 0.99, co daje 1% spadek
d=1
• Wniosek: konfirmacja dla reguły E→H powinna być takiej samej
wartości i przeciwnego znaku co konfirmacja dla reguły ¬E→H
Zestawy nie/korzystnych symetrii
Eells et al.
Crupi et al.
Greco et al.
IS
EHIS
EHS
ES
HS
EIS
HIS
bezkontekstowe
nie
-
nie
nie
tak
-
-
konfirmacja
nie
tak
nie
nie
tak
nie
tak
dyskonfirmacja
tak
nie
nie
nie
tak
tak
nie
bezkontekstowe
nie
nie
tak
tak
tak
nie
nie
• dla korzystnych symetrii zależność ma zachodzić dla każdego E,H
– np. dla IS: ∀E,H c(H,E) = c(E,H)
• dla niekorzystnych symetrii mają istnieć E,H, dla których zależność
nie zachodzi
– np. dla IS: ∃E,H c(H,E) ≠ c(E,H)
Braki klasycznego podejścia do symetrii miar
• Dwa problemy rozważanych zbiorów symetrii
– niekompletność
– niespójność wartościowania korzystne/niekorzystne
Rozwiązanie: podejście teoriogrupowe
• Teoria grup
– teoria zajmująca się symetriami (w najszerszym rozumieniu)
• Na wejściu: bezkres oceanu* algebry teoriogrupowej
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
*
...
... / algebry / monoidy / grupoidy / ...
.. / grupy / półgrupy / nadgrupy / podgrupy / ...
... / skończone / nieskończone / ...
... / morfizmy / izomorfizmy / epimorfizmy / endomorfizmy /
homomorfizmy / automorfizmy / ...
... / abelowości / neutralności / normalności / ilorazowości /
odwrotności / ...
... / rozkłady / warstwy / orbity / sumy / iloczyny / ...
... / koniugacje / permutacje / ...
... / charaktery / generatory / komutatory / centralizery /
normalizery / ...
...
podróże po nim grożą utonięciem (rzadziej) i/lub zaśnięciem (częściej)
(w ramach tej prezentacji: kurs na materacu /z plażą w zasięgu wzroku/)
• A na dobry początek: (mały) mętlik terminologiczny
– „algebra”: dział matematyki
• np. „algebra liniowa”, „algebra analityczna”, „algebra abstrakcyjna”
– „algebra”: obiekt/struktura
• analizowana w ramach „algebry abstrakcyjnej”
• Ujednoznacznienie
– „algebra” (ta, którą zajmuje się „algebra abstrakcyjna”)
to para 〈X, ⊗〉, gdzie
• X jest zbiorem elementów
• ⊗ jest funkcją postaci: X×X → X
– ze względu na przeciwdziedzinę funkcja ta nazywana jest operacją
– uniwersalne oznaczenie (dla x1,x2 ∈ X): „x1 ⊗ x2” (infiksowe)
» zamiast prefiksowego: „⊗(x1,x2)”
– „algebra abstrakcyjna” (ta, która zajmuje się „algebrami”)
to nauka o właściwościach algebr (w powyższym sensie)
• Jeżeli algebra 〈X, ⊗〉 przy X ≠ ∅ spełnia:
– ∀x,y,z ∈X (x ⊗ y) ⊗ z = x ⊗ (y ⊗ z)
• łączność operacji
– ∃e ∈X∀x ∈X e ⊗ x = x ⊗ e = x
• istnienie (jednego /wspólnego/) elementu neutralnego e
– ∀x ∈X∃!y ∈X x ⊗ y = y ⊗ x = e
• istnienie (unikalnych /indywidualnych/) elementów odwrotnych
to jest nazywana grupą
– uproszczenie terminologiczne: wyrażenia postaci:
• „(nie) należy do grupy”
są używane w znaczeniu
• „(nie) należy do zbioru X grupy”
• Podstawowa („definiująca”) właściwość grupy:
kompletność/samowystarczalność
– ∀x,y ∈X∃!z ∈X x ⊗ y = z* i ∀z∈X∃x,y ∈X z = x ⊗ y
– ∀x∈X∃!y ∈X x ⊗ y = e ⇔ ∀x∈X∃!y ∈X y = x–1
• gdzie e jest (istniejącym) elementem neutralnym
(uwaga: w ogólności x, y i z nie muszą być elementami różnymi od siebie)
*
formalnie: to jest już właściwością monoidów
• Różne relacje między grupami
– pionowe (zawieranie)
• nadgrupy
• podgrupy
– poziome (równoważność/odpowiedniość)
• izomorfizm: wzajemna jednoznaczność
– prościej: posiadanie identycznej/analogicznej struktury
• formalnie: grupy 〈A, ⊗〉 i 〈B, ⊕〉 są izomorficzne, gdy istnieje
bijektywna funkcja h: A → B taka, że ∀x,y∈Ah(x ⊗ y) = h(x) ⊕ h(y)
• Grupy skończone: |X| = n < ∞, wtedy
– definicja operacji: wyspecyfikowanie tzw. tablicy Cayleya,
czyli tablicy złożonej z:
• n wierszy (oznaczonych przez x1..xn),
• n kolumn (oznaczonych przez x1..xn),
i takiej, że element o współrzędnych (i,j) zawiera xi ⊗ xj
• Grupy skończone: c.d.
– tablice Cayleya
• możliwy rozkład n elementów zbioru X na n2 pozycjach
tablicy Cayleya wynika z warunków spełnianych przez grupę:
każdy element występuje
– dokładnie jednokrotnie w każdej kolumnie
i
– dokładnie jednokrotnie w każdym wierszu
• zwyczajowo na pierwszym miejscu zbioru kolumn/wierszy
umieszcza się element neutralny grupy; kolejność dalszych
elementów jest taka sama w kolumnach, jak w wierszach
– pewna analogia
• kwadrat łaciński
– istnieje co najmniej n!·(n–1)!·(n–2)!·...·2!·1! takich kwadratów
» oczywiście: liczba grup < liczba kwadratów łacińskich
(ponieważ różne kwadraty mogą charakteryzować tę samą grupę)
• Proste grupy skończone
– dla X = {e}, gdzie e jest elementem neutralnym,
tablica Cayleya ma postać:
⊗
|
e
|
--------------------------------------e
|
e
|
---------------------------------------
każdy element: dokładnie raz
– w każdej kolumnie
– w każdym wierszu
– dla X = {e}, gdzie e jest elementem neutralnym,
⊗
|
e
|
--------------------------------------e
|
e
|
--------------------------------------(tzw. grupa trywialna)
(grupa cykliczna Z1)
(unikalna)
– dla X = {e, a}, gdzie e jest elementem neutralnym,
⊗
|
e
|
a
|
------------------------------------------------------------e
|
e
|
a
|
------------------------------------------------------------a
|
a
|
e
|
-------------------------------------------------------------
każdy element: dokładnie raz
– dla X = {e, a}, gdzie e jest elementem neutralnym,
⊗
|
e
|
a
|
------------------------------------------------------------e
|
e
|
a
|
------------------------------------------------------------a
|
a
|
e
|
------------------------------------------------------------(grupa cykliczna Z2)
(unikalna)
– uniwersalność
• posiadanie analogicznej struktury (formalnie: izomorfizm)
– dla X = {e, a, b}, gdzie e jest elementem neutralnym,
⊗
|
e
|
a
|
b
|
----------------------------------------------------------------------------------e
|
e
|
a
|
b
|
----------------------------------------------------------------------------------a
|
a
|
b
|
e
|
----------------------------------------------------------------------------------b
|
b
|
e
|
a
|
----------------------------------------------------------------------------------każdy element: dokładnie raz
– dla X = {e, a, b}, gdzie e jest elementem neutralnym,
⊗
|
e
|
a
|
b
|
----------------------------------------------------------------------------------e
|
e
|
a
|
b
|
----------------------------------------------------------------------------------a
|
a
|
b
|
e
|
----------------------------------------------------------------------------------b
|
b
|
e
|
a
|
----------------------------------------------------------------------------------(grupa cykliczna Z3)
(unikalna)
• „Matka” wszystkich grup skończonych: grupa permutacji
– każda n-elementowa grupa skończona ma taką strukturę,
jak pewna grupa permutacji
• standardowe oznaczenie: Sn (grupa permutacji n elementów)
• elementy: permutacje, operacja: złożenie permutacji
– rząd grupy (liczność zbioru): n!
• przykłady
–
–
–
–
S1 (izomorficzna z Z1)
...
(dla cierpliwych)
– istnieje grupa, która posiada
808 017 424 794 512 875 886 459 904 961 710 757 005 754 368 000 000 000
elementów*
– jak łatwo policzyć, tablica Cayleya tej grupy posiada
652 892 158 771 556 271 248 468 807 722 265 930 130 281 515 255 077 920
514 040 269 150 302 468 210 706 264 751 079 424 000 000 000 000 000 000
elementów**
*
źródło: Wikipedia (2017)
** źródło: tabliczka mnożenia (w użyciu od ok. roku 4000 p.n.e.*)
Podstawowe cechy wybranej grupy
• W ramach tej prezentacji: podstawowe cechy/parametry
„teoriomnogościowe” grup (skończonych)
–
–
–
–
–
–
rzędy (elementów, grup)
koniugowanie elementów / klasy koniugacji
podgrupy / nadgrupy
podgrupy normalne
grupy ilorazowe
dualność podgrup normalnych i grup ilorazowych
na przykładzie (jednej) wybranej grupy (tj. grupy D4)
• Grupa diedralna D4
– grupa diedralna (ang. dihedral, dwuścienny):
grupa symetrii wielokąta (formalnie: dwuścianu) foremnego,
(podgrupa grupy S4)
• np. trójkąta równobocznego, kwadratu, pięciokąta foremnego, ...
– dla n > 2 grupa symetrii n-kąta foremnego ma 2n elementów
• „rezultat” terminologiczny: niejednoznaczność oznaczeń
– np. dla n = 4 mamy dwa różne oznaczenia: D4 i D8
• D4: intuicja: kwadrat ABDC
A
C
B
D
A
C
B
D
B
D
A
C
 A C  B D 
 B D  a  A C

 

 A C C A 
 B D a D B 

 

 A C D B 
 B D a C A 

 

• D4: główne elementy: transformacje kwadratu
– łącznie: 7
• symetrie osiowe: 4
– proste
» względem — : t4
» względem | : t5
– ukośne
» względem \ : t1
» względem / : t2
• symetria środkowa: 1
– (jedyna istniejąca) : t3
• obroty o 90º: 2
– w lewo : t6
– w prawo : t7
(a co z obrotami o 180º i 270º?)
ignorujemy! (te i wszystkie dalsze interpretacje transformacji)
• D4: operacja grupowa:
– złożenie transformacji kwadratu
 A C  B D 
 B D  a  A C

 

 B D D B 
 A C a C A 

 

 A C D B 
 B D a C A 

 

– wniosek:
• wykonanie
– symetrii prostej względem — : t4
a następnie
– symetrii prostej względem | : t5
daje identyczny efekt, jak
– wykonanie symetrii środkowej
• krótko: t5
t4 = t3
• Uwaga:
– złożenie transformacji ti i transformacji tj
jest zapisywane jako tj ti (a nie ti tj),
ponieważ jest zastosowaniem
• (późniejszej) transformacji tj
do wyniku
• (wcześniejszej) transformacji ti
– analogia:
złożenie funkcji fi(x) i fj(x) jest zastosowaniem
funkcji fj(x) do wyniku funkcji fi(x); krótko: fj(fi (x))
 A C  C D 
 B D a  A B 

 

C D D C
 A B  a B A 

 

 A C D C
 B D  a B A 

 

– inny przykład:
• wykonanie
– obrotu w lewo : t6
a następnie
– wykonanie symetrii ukośnej względem / : t2
• krótko: t5
t6 = t2
 A C  B D 
 B D  a  A C

 

 B D   A C
 A C a  B D 

 

 A C   A C
 B D a  B D

 

– jeszcze inny przykład:
• wykonanie
a następnie (ponownie)
– nie zrobienie niczego
» wniosek:
potrzebny jest jeszcze jeden element:
„nic nie rób” (element neutralny) : t0
• krótko: t5
t5 = t0
• D4: wszystkie elementy:
– 7 transformacji kwadratu: t1, t2, t3, t4, t5, t6 i t7
– 1 element neutralny: t0
• D4: tablica Cayleya
• D4: intuicyjno-interpretacyjny podział elementów
– t0 (element neutralny)
– symetrie:
• t1 i t2 (ukośne)
• t3 (środkowa)
• t4 i t5 (proste)
– obroty:
• t6 i t7
– czy podział ten znajduje jakieś odpowiedniki w „czystym”
(tzn. pozbawionym tych interpretacji) świecie teoriogrupowym?
• inaczej: czy teoria grup może odkryć relacje w grupie symetrii?
• D4: teoriogrupowy podział elementów
– odwrotności
elementów:
(t0)–1 = t0
(t1)–1 = t1
(t2)–1 = t2
(t3)–1 = t3
(t4)–1 = t4
(t5)–1 = t5
(t6)–1 = t7
(t7)–1 = t6
– rzędy
elementów:
|t0| = 1
|t1| = 2
|t2| = 2
|t3| = 2
|t4| = 2
|t5| = 2
|t6| = 4
|t7| = 4
– klasy
koniugacji:
ClI = {t0}
ClII = {t1,t2}
ClIII = {t3}
ClIV = {t4,t5}
ClV = {t6,t7}
– czy podział ten znajduje dalsze odpowiedniki w „czystym”
(tzn. pozbawionym tych interpretacji) świecie teoriogrupowym?
• inaczej: czy teoria grup może odkryć więcej niż zwykła intuicja?
• D4: teoriogrupowy podział elementów
...
– dualność
podgrup:
•
podgrupy
normalne
•
grupy
ilorazowe
...
• D4: podgrupy (właściwe)
– istnieje 9 (nierozłącznych) podgrup właściwych grupy D4:
• 7 podgrup izomorficznych z różnymi grupami cyklicznymi (Z)
– 1 izomorficzna z Z1: D0 = 〈{t0}, 〉
– 5 izomorficznych z Z2 :
D01 = 〈{t0,t1}, 〉, D02 = 〈{t0,t2}, 〉, D03 = 〈{t0,t3}, 〉, D04 = 〈{t0,t4}, 〉, D05 = 〈{t0,t5}, 〉
– 1 izomorficzna z Z4: D0367 = 〈{t0,t3,t6,t7}, 〉
• 2 podgrupy izomorficzne z grupą Kleina (V4) :
D0123 = 〈{t0,t1,t2,t3}, 〉, D0345 = 〈{t0,t3,t4,t5}, 〉
(spośród których D0, D03, D0367, D0123, D0345 są podgrupami normalnymi*)
• każda z grup ilorazowych indukowanych przez powyższe podgrupy
normalne składa się z elementów będących sumą klas koniugacji
*
definicja: podgrupa S grupy G jest normalna, gdy ∀a∈G a⊗S = S⊗a
• D4: czy D01 = 〈{t0, t1},
〉 jest (w ogóle) grupą?
– tak!
(wyjaśnienie intuicyjne)
(element neutralny grupy jest zawsze zawarty w podgrupie)
(struktura grupy cyklicznej Z2)
• D4: czy podgrupa D01 = 〈{t0, t1},
〉 jest normalna?
– nie!
np
.
• D4: czy D0123 = 〈{t0,t1,t2,t3},
〉 jest (w ogóle) grupą?
– tak!
(element neutralny grupy jest zawsze zawarty w podgrupie)
(struktura grupy Kleina V4 ( = Z2 × Z2))
• D4: czy podgrupa D0123 = 〈{t0,t1,t2,t3},
– tak!
〉 jest normalna?
• D4: normalność podgrupy (np. D0123 = 〈{t0,t1,t2,t3}, 〉)
ma konsekwencje: podgrupa indukuje grupę ilorazową:
〈{{t0,t1,t2,t3},{t4,t5,t6,t7}}, 〉
(wymagane jest lekkie przedefiniowanie operacji grupowej)
(element neutralny grupy jest zawsze zawarty
w elemencie neutralnym grupy ilorazowej)
(struktura grupy cyklicznej Z2)
• D4: (dwuelementowe) grupy ilorazowe: trzy!
– indukowane przez podgrupy normalne D0123, D0345, D0367
(oczywiście we wszystkich trzech przypadkach: struktura grupy cyklicznej Z2)
• D4: trzy (dwuelementowe) grupy ilorazowe
– indukowane przez podgrupy normalne D0123, D0345, D0367
– klasy koniugacji:
ClI = {t0}
ClII = {t1,t2}
ClIII = {t3}
ClIV = {t4,t5}
ClV = {t6,t7}
• G. Cooperman i D. Kunkle z Northeastern Univ., MA,
udowodnili w 2007 r., że:
„[...] aby ułożyć kostkę Rubika, wystarczy wykonać tylko 26
ruchów [...] To nowy rekord, poprzedni [...] to 27 ruchów [...]”*
„[...] zrobili dwie ważne rzeczy [...] 1) użyli 7 terabajtów pamięci
wirtualnej oraz 2) opracowali nową, dużo szybszą, metodę
wyliczania ruchów i grup ruchów (posłużyli się teorią grup) [...]”*
*
źródło: kopalniawiedzy.pl (2017)
Symetrie miar: podejście teoriogrupowe
• „Dobry początek to połowa roboty”:
kolejny (większy) mętlik terminologiczny
– ...
– „symetria”: dowolna cecha (niezmiennik pewnego przekształcenia)
• określenie nieformalne
– ...
– „symetria”: dowolna symetria (symetryczne przekształcenie) kwadratu
– „symetria”: dowolna z (szerzej rozumianych) symetrii kwadratu, element grupy D4
• obejmuje poprzednią „symetrię” (ale nie tylko!)
– „symetria”: dowolny z (najszerzej rozumianych) elementów dowolnej grupy
zawierającej „symetrie” badane przez teorię grup (rozumianej jako teoria
zajmująca się symetriami)
• obejmuje poprzednią „symetrię” (ale nie tylko!)
– ...
– „symetria”: dowolna symetria miary konfirmacji
• od tej prezentacji: posiadająca odpowiednik teoriogrupowy
– ...
• Symetria miary konfirmacji jako element teoriogrupowy
– miara konfirmacji („c(H,E)”) jest funkcją pewnych argumentów:
zwyczajowo wyrażana jako funkcja dwóch (teoretycznych) pojęć:
H i E, jest w praktyce funkcją („f(a,b,c,d)”) czterech argumentów:
a, b, c i d, które opisują E i H w kategoriach ilościowych
• c(H,E) ≡ f(a,b,c,d)
– gdzie a,b,c,d „stanowią ilościowy opis E i H”
(zapis nieformalny /wszędzie dalej pomijany/)
– symetria funkcji wielo-wymiarowych/argumentowych:
równość wartości dla wszystkich permutacji argumentów, np.:
• 2 arg.: ∀x,y f(x,y) = f(y,x)
• 3 arg.: ∀x,y,z f(x,y,z) = f(y,x,z) = f(x,z,y) = f(z,x,y) = f(y,z,x) = f(z,y,x)
• ...
– teoretycznie (pełna) definicja symetryczności f(a,b,c,d)
wymagałaby uwzględnienia wszystkich (4!) permutacji
∀a,b,c,d f(a,b,c,d) = f(a,c,d,b) = f(a,d,b,c) = ... = f(d,c,b,a)
– w praktyce mamy przypadek pośredni, w którym wymagane
są tylko niektóre spośród wszystkich możliwych równości
• to, które równości (i w jakiej postaci) są wymagane,
a które nie, zależy od definicji konkretnych symetrii
– zapis argumentów a, b, c i d w macierzy 2x2 ukazuje związek
symetrii miar obliczanych dla tych argumentów z elementami D4
a c 
a c 
m0 = 
a m0 = 


b
d
b
d




t0 ↔ m0 ↔ id
element D4 ↔ macierz ↔ symetria
a c 
a b
m0 = 
a m1 = 


c
d
b
d




t1 ↔ m1 ↔ IS
element D4 ↔ macierz ↔ symetria ...
...
...
– zapis argumentów a, b, c i d w macierzy 2x2 ukazuje związek
symetrii miar obliczanych dla tych argumentów z elementami D4
• końcowy układ liter identyfikuje wykonaną transformację kwadratu
(przy ustalonym układzie w m0)
a c 
a c 
m0 = 
a m0 = 


b
d
b
d




t0 ↔ m0 ↔ id
element D4 ↔ macierz ↔ symetria
a c 
a b
m0 = 
a m1 = 


b
d
c
d




t1 ↔ m1 ↔ IS
element D4 ↔ macierz ↔ symetria ...
...
...
a c 
a c 
m0 = 
a m0 = 


b
d
b
d




a c 
a b
m0 = 
a m1 = 


b
d
c
d




– wiedząc, że a, b, c i d pochodzą z konkretnej macierzy mi,
miarę konfirmacji można wyrazić jako funkcję argumentu
macierzowego mi: g(mi)
• g(mi) ≡ f(a,b,c,d)
– gdzie a,b,c,d „są elementami macierzy mi o układzie jak w m0”
(zapis nieformalny /wszędzie dalej pomijany/)
np.:
g(m0) ≡ f(a,b,c,d)
g(m1) ≡ f(a,c,b,d)
...
...
• Nazwy/definicje symetrii miar konfirmacji
0.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
id(H, E): c(H, E) = c(H, E)
IS(H, E): c(H, E) = c(E, H)
EHIS(H, E): c(H, E) = c(¬E, ¬H)
EHS(H, E): c(H, E) = c(¬H, ¬E)
ES(H, E): c(H, E) = −c(H, ¬E)
HS(H, E): c(H, E) = −c(¬H, E)
EIS(H, E): c(H, E) = −c(¬E, H)
HIS(H, E): c(H, E) = −c(E, ¬H)
t0 ↔ m0 ↔ id
t1 ↔ m1 ↔ IS
t2 ↔ m2 ↔ EHIS
t3 ↔ m3 ↔ EHS
t4 ↔ m4 ↔ ES
t5 ↔ m5 ↔ HS
t6 ↔ m6 ↔ EIS
t7 ↔ m7 ↔ HIS
– miara g(m) posiada symetrię si, gdy
∀a,b,c,d g(m0) = +g(mi), gdzie mi ↔ si
0.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
id(H, E): c(H, E) = c(H, E)
IS(H, E): c(H, E) = c(E, H)
EHIS(H, E): c(H, E) = c(¬E, ¬H)
EHS(H, E): c(H, E) = c(¬H, ¬E)
ES(H, E): c(H, E) = −c(H, ¬E)
HS(H, E): c(H, E) = −c(¬H, E)
EIS(H, E): c(H, E) = −c(¬E, H)
HIS(H, E): c(H, E) = −c(E, ¬H)
– miara g(mi) posiada symetrię si, gdy
• przy i ∈ {0,...,3}: ∀a,b,c,d g(m0) = +g(mi), gdzie mi ↔ si
• przy i ∈ {4,...,7}: ∀a,b,c,d g(m0) = –g(mi), gdzie mi ↔ si
czyli, krótko:
∀a,b,c,d g(m0) = ±ig(mi), gdzie mi ↔ si
– miara g(mi) nie posiada symetrii si, gdy
~∀a,b,c,d g(m0) = ±ig(mi), gdzie mi ↔ si
przy czym liczba/ilość przypadków spełniających
warunek „~∀ a,b,c,d ...” powinna być jak największa
– np. (obecność symetrii /przy i ∈ {0,...,3}/)
miara f(a,b,c,d) = ad – bc posiada symetrię IS ↔ m1
ponieważ
a c 
m0 = 

b
d


a b 
m1 = 

c
d


g(m0) ≡ f(a,b,c,d) = ad – bc
g(m1) ≡ f(a,c,b,d) = ad – cb =
= ad – bc
∀a,b,c,d g(m0) = +g(m1)
– np. (obecność symetrii /przy i ∈ {4,...,7}/)
miara f(a,b,c,d) = ad – bc posiada symetrię EIS ↔ m6
ponieważ
a c 
m0 = 

b
d


c d
m6 = 

a
b


g(m0) ≡ f(a,b,c,d) = ad – bc
g(m6) ≡ f(c,a,d,b) = cb – ad =
= –(ad – bc)
∀a,b,c,d g(m0) = –g(m6)
– np. (nieobecność symetrii /przy i ∈ {0,...,3}/)
miara f(a,b,c,d) = a/(a+c)–b/(b+d) nie posiada symetrii EHIS ↔ m2
ponieważ
a c 
m0 = 

b
d


d c 
m2 = 

b
a


g(m0) ≡ f(a,b,c,d) = a/(a+c)–b/(b+d)
g(m2) ≡ f(d,b,c,a) = d/(d+c)–b/(b+a) =
= d/(c+d)–d/(a+b)
~∀a,b,c,d g(m0) = +g(m2)
– np. (nieobecność symetrii /przy i ∈ {4,...,7}/)
miara f(a,b,c,d) = a/(a+c)–b/(b+d) nie posiada symetrii HIS ↔ m7
ponieważ
a c 
m0 = 

b
d


b a
m7 = 

d
c


g(m0) ≡ f(a,b,c,d) = a/(a+c)–b/(b+d)
g(m7) ≡ f(b,d,a,c) = b/(b+a)–d/(d+c) =
= b/(a+b)–d/(c+d)
= –(d/(c+d)–b/(a+b))
~∀a,b,c,d g(m0) = –g(m7)
– praktyczny weryfikator miar pod kątem posiadania symetrii:
solwer symboliczny
• Przykład niekompletności: Eells et al.
– rozważone symetrie
• {IS, EHS, ES, HS}
– złożenia rozważonych symetrii
⊗
IS
EHS
ES
HS
IS
id
EHIS
HIS
EIS
EHS
EHIS
id
HS
ES
ES
EIS
HS
id
EHS
HS
HIS
ES
EHS
id
• Problem niekompletności
– rozwiązanie: rozszerzenie zbioru symetrii do grupy*, konkretnie:
• do grupy D4
• do (dowolnej) podgrupy grupy D4
*
formalnie: (podstawowa) kompletność jest już właściwością monoidów
• Kompletność rozważanych zbiorów symetrii miar
– P = {IS, EHS, ES, HS} (Eells et al.)
• rozszerzenie do D4 (dodanie EHIS, EIS, HIS oraz id)
– brak podgrup grupy D4 zawierających P
» rozwiązaniem najbliższym jest tu podgrupa {id, EHS, ES, HS}
– P = {IS, EHIS, EHS, ES, HS, EIS, HIS} (Crupi et al.)
• rozszerzenie do D4 (dodanie id)
– P = {IS, EHIS, EHS, ES, HS, EIS, HIS} (Greco et al.)
• rozszerzenie do D4 (dodanie id)
• Symetria miary konfirmacji jako cecha nie/korzystna
– nie/spójność jest pojęciem „o jeden ząbek” wyższym od
nie/kompletności, bo o „pełnej” spójności można sensownie
mówić zasadniczo dopiero wtedy, gdy zbiór rozważanych
elementów jest kompletny (czyli: stanowi grupę)
• szczęśliwie, niespójność można „wyłapywać”
także dla niekompletnych podzbiorów symetrii
– uznane interpretacje pozwalają uznawać symetrie za cechy
korzystne względnie niekorzystne
– przyjęty model wartościowania symetrii: binarny,
co oznacza, że każda z rozważanych symetrii jest*:
albo korzystna: oznaczenie: +1
albo niekorzystna: oznaczenie: –1
i totalny, co oznacza, że
• żaden z tak utworzonych podzbiorów nie jest pusty
– formalnie: zakładamy istnienie funkcji** wartościującej
ε : S → {+1, –1}, która dokonuje konkretnego podziału
zbioru symetrii na niepuste podzbiory symetrii korzystnych
i niekorzystnych
* oczywiście wyobrażalne są inne modele wartościowania symetrii
** ... potencjalny początek bezkresu morfizmów...
– jeżeli symetria si jest korzystna,
to powinna być spełniana przez miarę g(mi)
• czyli: ∀a,b,c,d g(m0) = ±ig(mi), gdzie mi ↔ si
– jeżeli symetria si jest niekorzystna,
to nie powinna być spełniana przez miarę g(mi)
• czyli: ~∀a,b,c,d g(m0) = ±ig(mi), gdzie mi ↔ si
przy czym liczba/ilość przypadków spełniających
warunek „~∀ a,b,c,d ...” powinna być jak największa
– fakt uznawania symetrii za korzystne/niekorzystne niesie
natychmiastowe konsekwencje w kontekście teoriogrupowym,
co wynika bezpośrednio z faktu istnienia operacji grupowej
(a co z kolei oznacza, że symetrie są ze sobą /tą operacją/
odpowiednio powiązane)
– w sytuacji niefortunnego podziału symetrii na korzystne
i niekorzystne oba powyższe fakty mogą prowadzić do
wystąpienia tzw. niespójności
– intuicyjne wyjaśnienie (potencjalnie) powstającego
problemu niespójności (wybrany przykład):
czy symetria sk
będąca złożeniem symetrii si i sj takich, że:
• si jest korzystna
• sj jest korzystna
może być niekorzystna?
czyli (krótko) czy może tak być, że: +1
• gdzie
jest złożeniem wartościowań
+1 = –1?
– formalna analiza (a docelowo: eliminacja),
problemu niespójności wymaga
• (w pierwszej kolejności) ustalenia warunków początkowych
• (w dalszej kolejności)
– oceniania spójności/niespójności wartościowań
– generowania wartościowań spójnych
– w ramach warunków początkowych należy ustalić,
jaka (korzystna czy niekorzystna) ma być
• 0) symetria neutralna
• symetria będąca złożeniem
–
–
–
–
1) dwóch symetrii korzystnych
2) symetrii niekorzystnej i symetrii korzystnej
3) symetrii korzystnej i symetrii niekorzystnej
4) symetrii niekorzystnej i symetrii niekorzystnej
(tzw. aksjomaty składania)
• Warunki początkowe
– (0) symetria neutralna: +1
– przypadki (1...4) złożeń (tablica aksjomatów składania)
+1 −1
+1 +1 −1
−1 −1 +1
• struktura tablicy
– tabela prawdy funkcji logicznej XOR
– mnożenie na zbiorze {+1,–1}
– grupa cykliczna Z2
• Warunki początkowe
– wszystkie przedstawione aksjomaty
mają konkretne uzasadnienia teoretyczne
• 0) ε(id) = +1 /w każdym przypadku/
•
•
•
•
1) +1
2) –1
3) +1
4) –1
+1
+1
–1
–1
=
=
=
=
+1 /w każdym przypadku/
–1 /w każdym przypadku/
–1 /w każdym przypadku/
+1 /w przypadku grupy D4/
(ewidentnie: najsłabszy aksjomat)
• Definicja niespójności
(wyposażeni w ustalone warunki początkowe, przechodzimy
do wyrażenia definicji niespójności)
– podział symetrii na korzystne/niekorzystne jest niespójny, gdy
∃
s 1 ,s 2 ∈ S
: ε (s1 ⊗ s 2 ) ≠ ε (s1 ) ⋅ ε (s1 )
• uwaga: warunek ten pokrywa także aksjomat (0), gdyż dla ε(id) = –1:
ε(id⊗id) ≠ ε(id) ε(id)
ε(id) ≠ (–1) (–1)
–1 ≠ +1
(konieczność zachowania (0) ε(id) = +1 widoczna
jest też w strukturze tabelki z aksjomatami (1...4))
• Przykład niespójności*: (niejawny) Eells et al.
• {IS, EHS, ES, HS}
– wartościowania rozważonych symetrii
• ε(IS) = –1, ε(EHS) = –1, ε(ES) = –1, ε(HS) = +1
– złożenia rozważonych symetrii / ich wartościowania
*
⊗
IS/–
EHS/–
ES/–
HS/+
IS/–
id
EHIS
HIS
EIS
EHS/–
EHIS
id
HS/+
ES/–
ES/–
EIS
HS/+
id
EHS/–
HS/+
HIS
ES/–
EHS/–
id
inny (lepszy) przykład: Crupi et al. (niestety, zbyt złożony na pełną demonstrację)
• Przykład niespójności: (niejawny) Eells et al.
• {IS, EHS, ES, HS} ∪ {HIS}
• ε(IS) = –1, ε(EHS) = –1, ε(ES) = –1, ε(HS) = +1, ε(HIS) = +1
⊗
IS/–
EHS/–
ES/–
HS/+
IS/–
id
EHIS
HIS/+
EIS
EHS/–
EHIS
id
HS/+
ES/–
ES/–
EIS
HS/+
id
EHS/–
HS/+
HIS/+
ES/–
EHS/–
id
HIS/+
HIS/+
• Przykład niespójności: (niejawny) Eells et al.
• {IS, EHS, ES, HS} ∪ {HIS}
• ε(IS) = –1, ε(EHS) = –1, ε(ES) = –1, ε(HS) = +1, ε(HIS) = –1
⊗
IS/–
EHS/–
ES/–
HS/+
IS/–
id
EHIS
HIS/–
EIS
EHS/–
EHIS
id
HS/+
ES/–
ES/–
EIS
HS/+
id
EHS/–
HS/+
HIS/–
ES/–
EHS/–
id
HIS/+
HIS/+
• Metody rozwiązywania problemu niespójności
– „ręczne”
– teoriogrupowe
– kombinatoryczne
• Metody rozwiązania problemu niespójności
– rozwiązanie teoriogrupowe: znajdź dwuelementową grupę
ilorazową indukowaną przez podgrupy normalne grupy D4
i, jeżeli struktura tabelki aksjomatów składania* jest zgodna
ze strukturą grupy ilorazowej, uznaj
• symetrie należące do elementu neutralnego za korzystne (+1)
• pozostałe symetrie – za niekorzystne (–1)
*
czyli struktura grupy Z2
(innych grup dwuelementowych nie ma)
• Rozwiązania problemu niespójności
– trzy podgrupy normalne grupy D4 (D0123, D0367, D0345) indukują
(poszukiwaną) grupę ilorazową o strukturze Z2, z czego wynika,
że jedynymi* spójnymi podziałami symetrii są podziały
i. korzystne: {id, IS, EHIS, EHS}, niekorzystne: {ES, HS, EIS, HIS}
ii. korzystne: {id, EHS, EIS, HIS}, niekorzystne: {IS, EHIS, ES, HS}
iii. korzystne: {id, EHS, ES, HS}, niekorzystne: {IS, EHIS, EIS, HIS}
*
wśród rozważanych modeli wartościowania
Spójne zbiory symetrii miar
(interpretacja regułowa)
• Rozwiązania problemu niespójności
– o przedstawionych podziałach można jedynie powiedzieć,
że są spójne (i oczywiście: kompletne), ale to nie znaczy, że
są one równie dobre pod wszystkimi innymi względami
– dalszą wiedzę czerpiemy więc z interpretacji dziedzinowych
• oczywiście dotyczących miar konfirmacji i ich zastosowań
– w ramach tej prezentacji: miar konfirmacji w ocenie reguł
• Ostateczne rozwiązanie problemu niespójności: podział
i. korzystne: {id, IS, EHIS, EHS}, niekorzystne: {ES, HS, EIS, HIS}
– interpretacja dziedzinowa
• problem: uznanie IS za symetrię korzystną
– ocena reguły powinna mieć cechy „niesymetrycznej”* implikacji
» a nie „symetrycznej”* równoważności czy też „symetrycznych”* zbiorów
– miara posiadająca symetrię IS nie ma tej cechy!
» IS nie może być więc korzystna
– wniosek: podział do odrzucenia
*
określenie nieformalne
ii. korzystne: {id, EHS, EIS, HIS}, niekorzystne: {IS, EHIS, ES, HS}
• problem: uznanie HS za symetrię niekorzystną
– ocena reguły powinna uwzględniać identyczny wpływ przesłanki
na konkluzję i na zanegowaną konkluzję
– miara posiadająca symetrię HS ma tę cechę!
» HS nie może być więc niekorzystna
– wniosek: podział do odrzucenia
iii. korzystne: {id, EHS, ES, HS}, niekorzystne: {IS, EHIS, EIS, HIS}
• bez zarzutu
– wniosek: (jedyny) podział do (dalszego) rozważenia
Dalsze prace?
•
Inne (składowe podejścia teoriomnogościowego)
– aksjomaty składania
• np. aksjomat piąty
– zbiory wartościowań symetrii
• np. wielowartościowe
– tryby wartościowania symetrii
• np. konktekstowe
– grupy (skończone) symetrii
• np. podgrupy grupy S4
– rodzaje symetrii
• np. symetrie ciągłe
•
Zupełnie inne metody
– np. kombinatoryczne
•
Zupełnie inne zadania
– np. wizualizacja symetrii
•
...
• Dziękujemy za uwagę
...

gts wyrazić

Transkrypt

Podobne dokumenty

Symetria w przyrodzie

symetria osiowa

13.02.2013 160 lat probiernictwa w Warszawie

23.03.2016 Życzenia Wielkanocne

Zaproszenie

17.12.2015 Życzenia na Boże Narodzenie i Nowy Rok

Pobierz PDF – Symetria oraz jej rodzaje

Lista 08 - wmiRepo

Język migowy - Główny Urząd Miar

Tabliczka znamionowa AXIS