wst p do teorii podejmowania decyzji

UNIWERSYTET WROCŠAWSKI
Wydziaª Matematyki i Informatyki
Instytut Matematyczny
M.Majsnerowska
semestr zimowy 2012/2013 r.
WST†P DO TEORII PODEJMOWANIA DECYZJI
Szczegóªowy plan wykªadu
1. Optymalizacja w warunkach niepeªnej informacji {
Elementy teorii gier
1.1. Wprowadzenie i przykªady gier (wieloosobowych, dwuosobowych, o sumie zero, wieloetapowych, losowych)
1.2. Podstawowe poj¦cia (strategia: czysta, mieszana, optymalna, wypªata, warto±¢ gry)
1.3. Wªasno±ci strategii optymalnych (tw. minimaksowe, dominowanie)
1.4. Niektóre typy gier macierzowych i metody ich rozwi¡zywania (gry o macierzy antysymetrycznej, gry typu 2 n oraz m 2)
1.5. Ekstremalne strategie optymalne
1.6. Gry przeciwko naturze (kryteria: Laplace'a, Bayesa, Hurwicza oraz Savage'a znajdowania
optymalnej decyzji)
2. Optymalizacja w warunkach peªnej informacji {
Elementy programowania liniowego
2.1. Zagadnienie pierwotne i dualne (sko«czone, nieograniczone, sprzeczne)
2.2. Metody rozwi¡zywania zagadnie« programowania liniowego:
metoda graczna
metoda simpleks
metoda sztucznej bazy
reguªa Blanda
3. Zwi¡zki mi¦dzy teori¡ gier a programowaniem liniowym
Literatura
1.
2.
3.
4.
5.
J. Šukaszewicz, Jak szuka¢ optymalnych decyzji?
E. Mendelson, Introducing Game Theory and Its Applications
G. Owen, Teoria gier
Ph. Stran, Game Theory and Strategy
A. Sultan, Linear Programming
Zasady zaliczenia ¢wicze«
W czasie semestru odb¦d¡ si¦ dwa sprawdziany (zapowiedziane), za które mo»na uzyska¢
maksymalnie 50 punktów. Ponadto brana b¦dzie pod uwag¦ pozytywna aktywno±¢ na ¢wiczeniach oceniana maksymalnie na 10 punktów. Kryteria ocen s¡ nast¦puj¡ce:
bardzo dobry { co najmniej 54 punkty, w tym co najmniej 45 za sprawdziany,
dobry plus { co najmniej 50 punktów, w tym co najmniej 41 za sprawdziany,
dobry { co najmniej 45 punktów, w tym co najmniej 37 za sprawdziany,
dostateczny plus { co najmniej 38 punktów, w tym 31 za sprawdziany,
dostateczny { co najmniej 30 punktów, w tym co najmniej 25 za sprawdziany.
Dla osób, które z wa»nych powodów nie b¦d¡ obecne na którym± ze sprawdzianów lub b¦d¡
musiaªy go powtórzy¢, b¦dzie ustalony dodatkowy termin (pod koniec semestru). Warunkiem
tego jest jednak regularna obecno±¢ na ¢wiczeniach.
Wst¦p do teorii podejmowania decyzji
Lista zada« nr 1
Dla gier opisanych poni»ej okre±l zbiór strategii graczy oraz funkcj¦ (macierz) wypªat.
1. Ka»dy z czterech graczy: A, B, C i D wpªaca do puli kwot¦ 60 oraz obstawia orªa lub reszk¦.
Nast¦pnie wykonuje si¦ rzut monet¡ i pula dzielona jest mi¦dzy graczy, którzy trafnie obstawili
wynik rzutu monet¡.
Gracz A zawsze obstawia orªa. Gracze B i C zawsze obstawiaj¡ reszk¦. Gracz D obstawia orªa
lub reszk¦ z jednakowym prawdopodobie«stwem.
Jakie s¡ wypªaty netto dla ka»dego z graczy?
2. Gracz I to dwie osoby: Ala i Basia, gracz II to Ola. Gra rozpoczyna si¦ od losowego rozdania
dwóch kart "wysokiej" i "niskiej" Ali i Oli. Osoba z kart¡ "wysok¡" dostaje kwot¦ 1 od osoby
z kart¡ "nisk¡" i mo»e gr¦ zako«czy¢ lub kontynuowa¢. W tym drugim przypadku Basia, nie
znaj¡c wyj±ciowego rozdania, mówi Ali i Oli, czy maj¡ zatrzyma¢, czy te» wymieni¢ kart¦.
Ponownie posiadacz "wysokiej" karty dostaje 1 od tej z kart¡ "nisk¡".
3. Dwóch podejrzanych jest jednocze±nie przesªuchiwanych w oddzielnych pomieszczeniach. Ka»dy
z nich mo»e przyzna¢ si¦ do zarzucanego im czynu, albo zaprzeczy¢ stawianym zarzutom. Je±li
obaj przyznaj¡ si¦, to zostan¡ skazani na 6 miesi¦cy pozbawienia wolno±ci; je±li obaj zaprzecz¡,
to sp¦dz¡ w areszcie po 3 miesi¡ce. Je±li jeden przyzna si¦, obci¡»aj¡c jednocze±nie drugiego,
to przyznaj¡cy si¦ zostanie potraktowany ªagodniej (wyrok 2 miesi¦cy), drugi z podejrzanych
surowiej (wyrok 8 miesi¦cy).
4. Z pudeªka zawieraj¡cego na pocz¡tku 4 patyczki dwaj gracze wybieraj¡ na zmian¦ 1 albo 2
patyczki. Rozpoczyna gracz I, a ko«czy ten, któremu przypadnie ostatni patyczek. On te»
otrzymuje od drugiego gracza kwot¦ 10.
5. Dane s¡ trzy identyczne zbiory: LI = LII = L = f1; 2; 3; 4g: Gracz I wybiera liczb¦ x ze zbioru
LI , a gracz II liczb¦ y ze zbioru LII . Nast¦pnie ze zbioru L losuje si¦ liczb¦ z. Po ujawnieniu
liczb x; y; z wygrana dla gracza I liczona jest wedªug wzoru
Wz (x; y) = 2(jy xj jz xj):
6. W grze Partyzanci kontra policja M partyzantów chce zdoby¢ dwa arsenaªy rz¡dowe bronione
przez N policjantów. Arsenaª zostanie zdobyty, gdy liczba partyzantów bior¡cych udziaª w
ataku b¦dzie wi¦ksza od liczby broni¡cych go policjantów. Ka»da ze stron mo»e dowolnie rozdzieli¢ wszystkie swoje siªy. Ostatecznie potyczk¦ wygrywaj¡ partyzanci, je±li zdob¦d¡ przynajmniej jeden arsenaª (wypªata wynosi 1), a w przeciwnym razie zwyci¦zcami s¡ policjanci.
Rozwa» dwa szczególne przypadki tej gry: M = 2; N = 3 oraz M = 3; N = 2.
7. Spo±ród kart o numerach 1,2,3 wybierane s¡ losowo dwie i wr¦czane obu graczom tak, by znali
tylko swoj¡ kart¦. Gracze jednocze±nie deklaruj¡, jak¡ maj¡ kart¦: wy»sz¡ czy ni»sz¡. Je±li obaj
zadeklaruj¡ ni»sz¡, karty s¡ porównywane i gracz z kart¡ o numerze wy»szym otrzymuje 1 od
przeciwnika. Je±li obaj zadeklaruj¡ kart¦ wy»sz¡, karty tak»e si¦ porównuje, ale gracz z kart¡ o
wy»szym numerze otrzymuje 2 od drugiego. Je±li deklaracje s¡ ró»ne, ten, który zadeklarowaª
kart¦ ni»sz¡, mo»e pasowa¢ pªac¡c przeciwnikowi 1 lub za»¡da¢ porównania kart i wtedy
rozstrzygni¦cie gry jest takie, jak w przypadku, gdy obaj zadeklaruj¡ kart¦ wy»sz¡.