Wykład_OFII_5_Polaryzatory_propagacja_plytki opozn_interferencja

I. POLARYZATORY
Polaryzatory nie służą tylko do polaryzacji światła naturalnego, ale również do zmiany stanu polaryzacji
światła spolaryzowanego.
Polaryzator: liniowy, kołowy, eliptyczny.
Zasady działania różnych polaryzatorów bazują na czterech podstawowych zjawiskach fizycznych:
- dichroizmie (absorpcji selektywnej)
- odbiciu
- rozpraszaniu
- dwójłomności (anizotropii).
Wspólna właściwość: konieczność występowania pewnej asymetrii zjawiska fizycznego.
Dichroizm
Wiąże się z selektywna absorpcją jednej z dwu wzajemnie prostopadłych składowych (liniowo
spolaryzowanych zaburzeń).
Polaryzator w postaci rastra z drutu
Kryształ dichroiczny
Dichroizm jest powodowany przez anizotropię struktury krystalicznej.
Najlepiej znany minerał – turmalin. Składowa pola elektrycznego wiązki
padającej prostopadła do osi optycznej kryształu jest silnie absorbowana.
Polaroidy
Folię z tworzywa sztucznego rozciąga się, a następnie joduje
(molekuły jodu „osiadają” na długich molekułach polimerów).
Struktura stanowiąca odpowiednik polaryzatora rastrowego.
Polaryzacja przez odbicie
Niska sprawność, mały kąt aperturowy wiązki padającej,
konieczność przestrzennego rozmieszczania elementów.
Zastosowania: polaryzacyjne okulary przeciwsłoneczne,
fotograficzne filtry polaryzacyjne.
Dla brewsterowskiego kąta padania εB światło
odbite jest całkowicie liniowo spolaryzowane,
natomiast światło załamane jest spolaryzowane
tylko częściowo, przy czym promień odbity (R)
tworzy z promieniem załamanym (T) kąt 90°.
Stos szklanych płytek jako polaryzator światła przezeń
przechodzącego
Po każdym załamaniu wiązki na granicy szkło / powietrze rośnie
stopień polaryzacji światła odbitego. Dla 10 płytek pr ≈0.75,
w podczerwieni : selen, chlorek srebra
nadfiolecie
: kwarc, vycor
Polaryzacja przez rozpraszanie
Zabranie energii z wiązki padającej i następnie wyemitowanie części tej
energii nazywa się rozpraszaniem. Amplituda drgań, a więc i ilość
energii zabranej z wiązki padającej zwiększa się, gdy częstotliwość fali
padającej zbliża się do naturalnej częstotliwości drgań atomu.
Rozpraszanie światła przez molekuły powietrza (atmosferę ziemską).
Rozpraszanie na cząstkach dymu, spalin.
Polaryzacja przez rozpraszanie
Kierunek drgań pola elektrycznego
światła rozproszonego jest zgodny z
kierunkiem
drgań
dipola
elektrycznego (drgającego elektronu
– oscylatora harmonicznego). Dipol
nie promieniuje w kierunku swojej
osi (kierunek drgań) – fale świetlne
są falami poprzecznymi. Stopień
polaryzacji wzrasta ze wzrostem
kąta rozpraszania. Gdy kierunek
obserwacji jest prostopadły do
kierunku wiązki padającej, mamy
przypadek
światła
całkowicie
spolaryzowanego.
2. Propagacja światła w ośrodkach dwójłomnych
Dotychczas rozważano jednorodne, transmisyjne ośrodki optyczne, które można scharakteryzować stałą
dielektryczną ε (zależną od długości fali), n = √ε. Monochromatyczna fala płaska propaguje się z prędkością
fazową c/n, bez zmiany amplitudy i polaryzacji, bez względu na kierunek propagacji i polaryzację początkową
wiązki. Są to tzw. ośrodki izotropowe.
Przy propagacji światła w wielu typach kryształów obserwuje się na wyjściu dwie wiązki wzajemne przesunięte
względem siebie. Zjawisko to jest spowodowane tzw. dwójłomnością ośrodka. Nie należy jednak utożsamiać
kryształów z ciałami anizotropowymi (dwójłomnymi) – ciałem anizotropowym może stać się również ośrodek
izotropowy np. pod wpływem naprężeń. Z matematycznego punktu widzenia kryształy charakteryzują
izotropowe (np. sól kuchenna) lub anizotropowe (np. kalcyt) stałe dielektryczne. Dodatkowo, kryształy dzieli się
na kryształy jedno i dwuosiowe. Niektóre kryształy wykazują tzw. aktywność optyczną (np. kwarc) – obracają
one elipsę polaryzacji. Mówiąc o ośrodku optycznie anizotropowym ma się na myśli jego anizotropię
elektryczną – stała dielektryczna ε przyjmuje różne wartości w zależności od kierunku.
2.1. Opis ośrodka anizotropowego
Ośrodek dielektryczny charakteryzuje związek między wektorem elektrycznym E(r, t) i wektorem indukcji
elektrycznej D(r, t). Dla ośrodka izotropowego
D(r, t) = ε E(r, t).
(1)
Aby opisać zjawisko dwójłomności zapiszmy liniowy związek między D i E
Dx = εxxEx + εxyEy + εxzEz,
Dy = εyxEx + εyyEy + εyzEz,
(2a)
Dz = εzxEx + εzyEy + εzzEz.
(2b)
(2c)
Dla ośrodków nieaktywnych wszystkie współczynniki εij są rzeczywiste, podczas gdy dla ośrodków aktywnych
niektóre z nich maja wartość zespoloną. Niżej zajmować będziemy się ośrodkami nieaktywnymi, dla których
εij = εji, gdzie ij oznacza każdą kombinację x, y i z. Wzór (2) można również zapisać w postaci macierzy
⎛ D x ⎞ ⎛ ε xx
⎜ ⎟ ⎜
⎜ D y ⎟ = ⎜ ε yz
⎜D ⎟ ⎜ε
⎝ z ⎠ ⎝ zx
ε xy
ε yy
ε zy
ε xz ⎞⎛ E x ⎞
⎟⎜ ⎟
ε yz ⎟⎜ E y ⎟
ε zz ⎟⎠⎜⎝ E z ⎟⎠
(3)
Jeśli wszystkie współczynniki εij są rzeczywiste i εij = εji, wtedy macierz 3 x 3 we wzorze (3) jest macierzą
symetryczną. Jest to bardzo ważne - jeśli kryształ można opisać symetryczną macierzą A, to wtedy zawsze
można zredukować (3) do macierzy diagonalnej S wykorzystując macierz C
S = C-1 A C ,
(4a)
C-1 = CT
(4b)
Wzór (4b) opisuje warunek ortogonalności dla macierzy C, a C-1 i CT stanowią, odpowiednio, macierz odwrotną i
transponowaną. Wzory (4a) i (4b) zastosowane do rzeczywistej, symetrycznej macierzy A umożliwiają zapisanie
wzoru (2) w postaci
Dx = εx Ex,
Dy = εy Ey,
Dz = εz Ez.
(5a)
(5b)
(5c)
Nowe osie nazywane są osiami głównymi kryształu, a εx, εy i εz głównymi stałymi dielektrycznymi. Wartości
głównych współczynników załamania wynoszą
(6a)
nx = √εx,
ny = √εy,
nz = √εz.
(6b)
(6c)
Wzór (5) można zapisać jako macierz diagonalną
⎛ Dx ⎞ ⎛ ε x
⎜ ⎟ ⎜
⎜ Dy ⎟ = ⎜ 0
⎜D ⎟ ⎜ 0
⎝ z⎠ ⎝
0
εy
0
0 ⎞⎛ E x ⎞
⎟⎜ ⎟
0 ⎟⎜ E y ⎟
ε z ⎟⎠⎜⎝ E z ⎟⎠
Kryształy jednoosiowe charakteryzuje równość wartości dwóch głównych współczynników załamania.
Przyjmijmy dowolnie, że
nx = ny = n0,
(8a)
nz = ne ≠ n0.
(7)
(8b)
Wzory (8) nie zmieniają się przy obrocie wokół osi z. Oś z posiada szczególną właściwość: wzdłuż niej kryształy
(ośrodki) anizotropowe zachowują się jak kryształ (ośrodek) izotropowy. Jest to specjalny kierunek w krysztale,
nazywany osią optyczną. Jeśli są spełnione warunki (8), części rzeczywiste D i E pokrywają się wtedy i tylko
wtedy, jeśli część rzeczywista E jest ukierunkowana wzdłuż lub prostopadle do osi z. Warunek ten dotyczy
również części zespolonych.
Dla kryształu dwuosiowego wszystkie trzy wartości współczynników załamania są różne, czyli
nx > ny > nz.
(9)
Można wykazać, że dla kryształów dwuosiowych występują dwie osie optyczne w płaszczyźnie xz, osie x i z
stanowią dwusieczne kąta między osiami optycznymi. W praktyce najczęściej stosowane są kryształy
jednoosiowe (dwa najważniejsze to kwarc i kalcyt), do których ograniczymy niniejszy wykład.
W aktywnym ośrodku (krysztale) optycznym związek między D i E odniesiony do odpowiedniego układu
współrzędnych opisują wzory
Dx = εxEx + i (δ × E)x,
(10a)
⎛ ux
⎜
(δ × E) = ⎜ δ x
⎜E
⎝ x
gdzie
uy
δy
Ey
uz ⎞
⎟
δz ⎟
E z ⎟⎠
Dy = εyEy + i (δ × E)y-,
(10b)
Dz = εzEz + i (δ × E)z.
(10c)
(10d)
We wzorach (10) stałe dielektryczne są rzeczywiste, δ jest wektorem rzeczywistym. Ze wzorów (10c) i (10d)
mamy
itd.
(11)
εxx = εx ; εxy = -iδz; εxz = iδy,
Stałe dielektryczne zależą od ośrodka i nieznacznie od częstotliwości. Jednakże δ jest skomplikowanym
parametrem zależnym od ośrodka, kierunku propagacji fali płaskiej i silnie zależnym od długości fali światła.
Rozwiążmy teraz równania Maxwella
∇× Η = (4π/c)j + (1/c)∂D/∂t,
(12a)
∇⋅ D = 4πρ,
(12c)
∇ × Ε = -(1/c) ∂Β/∂t,
∇⋅ Β = 0.
(12b)
(12d)
dla kryształu (ośrodka) anizotropowego. W krysztale nie występują prądy lub swobodne ładunki. Dodatkowo,
zakładamy stałą wartość przewodności μ oraz B = μH. Wzory (12) upraszczają się do postaci
∇× Η = (1/c)∂D/∂t,
∇⋅ D = 0,
(13a)
∇ × Ε = -(μ/c) ∂H/∂t,
(13b)
(13c)
∇⋅ H = 0.
(13d)
Załóżmy teraz rozwiązania w postaci fal płaskich
D(r, t) = D0 exp(i[k⋅r - ωt]),
(14a)
E(r, t) = E0 exp(i[k⋅r - ωt]),
(14b)
H(r, t) = H0 exp(i[k⋅r -ωt]).
(14c)
Dla założonego rozwiązania w postaci fal płaskich możemy zastąpić operatory ∇ i ∂/∂t przez
∇ → ik
skąd
(15a)
∂/∂t → - iω,
(15b)
k × H = - (ω/c) D ,
(16a)
k × E = (μω/c) H,
(16b)
k ⋅ D = 0,
(16c)
k ⋅ H = 0.
(16d)
Ze wzorów (16a) i (16b)
k × (k × E) = - k02 D,
(17)
gdzie k0 = ω/c i podstawiono μ = 1.
Stosując dobrze znaną zależność z rachunku wektorowego a × (b × c) = b (a ⋅ c) – c (a ⋅ b) możemy przepisać
ostatni wzór w postaci
k2E – k(k⋅E) = k02D.
(18)
Ze wzoru (16c) mamy k ⋅ D = 0. Wniosek: k i D pozostają prostopadłe względem siebie nawet w ośrodku
anizotropowym. Rozwijając (16c) w układzie współrzędnych kartezjańskich otrzymujemy
Po podstawieniu wartości z (5)
kxDx + kyDy + kzDz = 0
(19)
kxεxEx - kyεyEy + kzεzEz = 0.
(20)
Ze wzoru (20) wynika, że w ośrodku (krysztale) anizotropowym k i E nie są do siebie prostopadłe. Po
rozłożeniu na składowe wzór (20) przyjmuje postać
k2 Ex – kx (k ⋅ E) = k02 Dx,
(21a)
k2 Ey – ky (k ⋅ E) = k02 Dy,
(21b)
k2 Ez - kz (k ⋅ E) = k02 Dz.
(21c)
Rozwiążmy (21) dla nieaktywnego kryształu jednoosiowego, patrz wzór (8). Jak już wspomniano rozwiązania
nie zmieniają się przy obrocie układu współrzędnych wokół osi z. Wystarczy więc rozważyć kierunki k leżące
w płaszczyźnie przechodzącej przez tę oś. Wybierzmy płaszczyznę xz, tzn.
ky = 0,
(22a)
k2 = kx2 + ky2.
dzięki czemu możemy natychmiast zapisać
k ⋅ r = kxx + kyy + kzz = kxx + kzz.
Po podstawieniu (22) do (21)
(kz2 – n02k02) Ex – kxkz Ez = 0,
(24a)
(k2 – n02k02) Ey = 0,
-kxkzEx + (kx2 – ne2k02) Ez = 0.
(22b)
(23)
(24b)
(24c)
Ostatni wzór ma dwa rozwiązania. Uzyskuje się je analizując wzór (24b).
Pierwsze rozwiązanie
Przyjmijmy, że pierwszy wyraz wzoru (24b) jest równy zero.
Ex′ = Ez′ = 0,
Ey′ ≠ 0,
k′ = n0k0,
(25a)
(25b)
gdzie „′” odnosi się do pierwszego rozwiązania. Oznaczając dla niego wektor falowy jako k′ widzimy, że jego
wielkość nie zależy od kierunku propagacji. Wzory (22b) i (25b) dają opis propagacji fali w postaci
k′2 = kx′2 + kz′2 = (n0k0)2 .
(26)
Jest to wzór opisujący koło. W trójwymiarowej przestrzeni k fala związana z n0 jest nazywana falą zwyczajną.
Propaguje się ona zawsze jak fala sferyczna. Fala płaska związana z tym rozwiązaniem zachowuje się tak
samo jak fala płaska w ośrodku izotropowym. Fala płaska opisana wzorem (25) nazywana jest falą
zwyczajną, a główny współczynnik załamania n0 jest nazywany zwyczajnym współczynnikiem załamania.
Rozwiązanie dla D′ można zapisać jako
D′ = Dy = εy Ey = √(n0) E0y exp[i(kx′x + kz′z)],
(27a)
lub
Dy′= D0′ exp[i(kx′x + kz′z)].
Wzór (27b) opisuje liniowo spolaryzowaną falę propagującą się w kierunku k′, stała propagacji k0n0. Fala
zwyczajna jest zawsze liniowo spolaryzowana, wektory D′ lub E′ są prostopadłe do osi symetrii.
(27b)
Drugie rozwiązanie
Uzyskuje się je przyjmując Ey = 0 we wzorze (24b). Warunkiem dla uzyskania rozwiązania jest znikanie
wyznacznika współczynników Ex i Ez we wzorach (24a) i (24b). Mamy wtedy
(kx′′2 / ne2) + (kz′′2 / n02) = k02 ,
(28)
(Ez′′ / Ex′′ ) = - n02 kx′′2 / ne2 kz′′2 .
(29)
Wzór (29) pokazuje, że pole jest ograniczone do płaszczyzny xz, a więc wiązka jest liniowo spolaryzowana.
Wektory E′′ i D′′ znajdują się w płaszczyźnie zdefiniowanej przez k′′ i oś symetrii. W przeciwieństwie do
pierwszego rozwiązania, wzór (26), wzór (28) pokazuje, że zaburzenie nie propaguje się jak sfera, lecz
elipsoida. Zaburzenie to nosi nazwę zaburzenia nadzwyczajnego, a główny współczynnik załamania ne jest
nazywany współczynnikiem nadzwyczajnym. Drugie rozwiązanie można zapisać jako
D′′ = D0′′ exp[i(kx′′x + kz′′z)].
Wzory (26) i (28) ilustruje rys. 1. Wektory k′ i k′′ skierowane są ze
wspólnego ustalonego punktu. Ich końce opisują dwie powierzchnie
obrotowe wokół osi symetrii kryształu. Powierzchnie te noszą nazwę
powierzchni wektorów falowych (normalnych do frontów falowych). Nie
należy ich mylić z powierzchniami prędkości falowych i powierzchniami
prędkości promienia występującymi przy opisie podwójnego załamania.
Ze wzoru (26) wynika, że k′ jest sferą o promieniu n0k0, a ze wzoru (28)
k′′ opisuje elipsoidę, której przekrojem w płaszczyźnie zawierającej oś
jest elipsa. Główny promień elipsy wzdłuż osi symetrii jest równy nek0,
a w kierunku prostopadłym do tej osi jest on równy n0k0. Jeśli ne < n0 to
taki kryształ jednoosiowy jest nazywany kryształem ujemnym. Jeśli
ne > n0 mamy do czynienia z kryształem dodatnim.
Najbardziej znanym przedstawicielem kryształów ujemnych jest kalcyt,
którego współczynniki załamania dla linii D sodu (5893 A) wynoszą
ne = 1.486;
n0 = 1.658
Dla kwarcu, najbardziej znanego kryształy dodatniego
ne = 1.553;
n0 = 1.544
(30)
oś optyczna
E’, D’
Rys. 1 Powierzchnie wektorów falowych
dla jednoosiowego kryształu ujemnego.
2.2. Propagacja światła w ośrodku anizotropowym
Rozważmy teraz propagację światła w ośrodku dwójłomnym opisanym jak powyżej. W pierwszej kolejności
rozważmy propagację wzdłuż osi symetrii. Dla tego przypadku kx = 0. Wzory (26) i (28) redukują się do
kz′ = n0 k0 ,
(31a)
kz′′ = n0 k0 .
(31b)
Stałe propagacji są więc identyczne. Odpowiadające im pola opisują wzory
D′ = D0′ exp[in0k0z] ,
(32a)
D′′ = D0′′ exp[in0k0z] .
(32b)
We współrzędnych prostokątnych ostatnie dwa wzory, korzystając z (26a) i (29) można zapisać jako
Dy = D0y exp[in0k0z] ,
(33a)
Dx = D0x exp[in0k0z] .
(33b)
Wyrazy opisujące fazę są takie same, składowe pola propagują się z tą sama prędkością w kierunku z - wzdłuż
osi symetrii ne. W krystalografii optycznej oś ta jest nazywana również osią krystalograficzną lub osią c. Oś
optyczna odpowiada kierunkowi w krysztale. Pole propagujące się wzdłuż osi optycznej propaguje się tak jak w
ośrodku izotropowym – zjawisko podwójnego załamania nie występuje.
Rozważmy teraz przypadek propagacji w kierunku prostopadłym do osi symetrii. Teraz kz = 0, z (26) i (28)
mamy
kx′ = n0k0 ,
(34a)
kx′′ = nek0 .
(34b)
Składowe pola opisują teraz wzory
Dy = D0y exp[in0k0x] ,
(35a)
Dz = D0z exp[inek0x] .
(35b)
W rozważanym przypadku wyrazy opisujące fazę są różne. Różnica fazy powoduje zjawisko dwójłomności.
Uwzględniając czynnik fazowy ωt
Dy = D0y cos(ωt – n0k0x) ,
(36a)
Dz = D0z cos(ωt – nek0x) .
(36b)
δ = k0 (ne – n0) l .
(37)
Eliminując ωt otrzymuje się równanie elipsy polaryzacji.
Różnica faz między zaburzeniami po przejściu odcinka l wynosi
Tak więc w przypadku propagacji w kierunku prostopadłym do osi optycznej można uzyskać żądane
przesunięcie fazowe kontrolując drogę propagacji x w krysztale. Fakt ten wykorzystuje się przy budowie płytek
opóźniających. Dla ćwierćfalówki δ = π/2, dla półfalówki δ = π.
Dodatkowo, zmieniając drogę propagacji (a więc przesunięcie fazowe δ między składowymi) można zmieniać
stan polaryzacji. Jednym z rozwiązań jest zespół dwóch klinów wykonanych z materiału dwójłomnego o osiach
w klinach wzajemnie równoległych, ale biegnących prostopadle do kierunku propagacji wiązki. Jeden z klinów
pozostaje nieruchomy, drugi jest przesuwany, rys. 2.
Rys. 2 Zespół dwóch klinów wykonanych z materiału dwójłomnego.
Osie optyczne w obydwu klinach są prostopadłe do płaszczyzny
rysunku, równoległe względem siebie i równoległe względem
zewnętrznych płaszczyzn tworzących klinów. Wiązka świetlna pada
prostopadle do płaszczyzn tworzących i osi optycznych.
l
x
Przesunięcie fazowe dla propagacji w pierwszym klinie wynosi
δ1 = k0 (ne – n0) l ,
(38a)
gdzie l oznacza ustaloną grubość klina w jego środku. Przesunięcie fazowe wprowadzane przez drugi klin
(38b)
δ2 = k0 (ne – n0) x .
Całkowite przesunięcie fazowe
δ = δ1 + δ2 = k0 (ne – n0) (l + x).
(39)
Z praktycznego punktu widzenia wygodniejszym jest
rozwiązanie, w którym dla l = x uzyskuje się zerową
intensywność wiązki w układzie polaryzator + kompensator
+ polaryzator (polaryzatory skrzyżowane).
W tym
przypadku zamiast sumy l + x należy otrzymać l – x.
Realizacja: za pomocą klinów tak wyciętych z kryształu, że
ich osie są wzajemnie prostopadłe (kompensator
Babineta). Osie w klinach nadal pozostają prostopadłe do
kierunku propagacji wiązki, rys. 3.
l
x
Rys. 3 Uproszczony schemat kompensatora Babineta.
Mamy teraz
δ1 = k0 (ne – n0) l ,
δ2 = k0 (n0 – ne) x ,
(40a)
(40b)
δ = δ1 + δ2 = k0 (ne – n0) (l – x) .
Kompensator Babineta zostanie bardziej szczegółowo omówiony w dalszej części wykładu.
Podsumowanie
1. W przypadku propagacji wzdłuż osi optycznej dwójłomność i podwójne załamanie (kątowa separacja
między wiązkami opuszczającymi kryształ) nie występują.
2. W przypadku propagacji w kierunku prostopadłym
do osi optycznej występuje dwójłomność,
oś optyczna
podwójne załamanie nie występuje.
oś optyczna
3. Gdy wiązka świetlna nie propaguje się wzdłuż
któregokolwiek kierunku głównych współczynników
załamania, występuje zarówno dwójłomność jak
i podwójne załamanie.
Światło propagujące się w każdym kierunku poza
kierunkiem osi optycznej propaguje się jako zestaw
dwóch fal o różnych prędkościach i tej samej
częstotliwości. Zmianę współczynnika załamania z
kierunkiem propagacji można przedstawić posługując
się tzw. indykatrysą współczynników załamania, rys. 4.
Każdy promień wektor reprezentuje kierunek drgań;
jego długość jest miarą współczynnika załamania
kryształu dla fal świetlnych o kierunku drgań
równoległym do kierunku promienia wektora.
ne> n0
ne< n0
Rys. 4 Indykatrysy współczynników załamania dla
kryształu dodatniego i ujemnego.
(41)