wstep belki MS

Wprowadzenie
Wyznaczanie wykresów sił przekrojowych jest niezbędne w procesie projektowania
konstrukcji prętowych. Na ich podstawie określamy kształt i wymiary przekrojów
poprzecznych prętów (warunek wytrzymałości). W układach statycznie niewyznaczalnych nie
dysponujemy wystarczającą ilością równań równowagi do wyznaczenia sił przekrojowych, a
w przypadku układów zewnętrznie statycznie niewyznaczalnych równieŜ reakcji
podporowych. Jedną z metod rozwiązywania układów statycznie niewyznaczalnych (układów
o nadliczbowych więzach) jest metoda sił. W układach rozwiązywanych metodą sił
niewiadomymi są siły uogólnione, a równania, z których są one wyznaczane, są związkami
geometrycznymi. Sposób rozwiązywania układu statycznie niewyznaczalnego metodą sił jest
następujący:
• Określenie stopnia statycznej niewyznaczalności układu n.
W przypadku belki z przegubami korzystamy ze wzoru
n=r−p−3
gdzie:
r - liczba składowych reakcji podpór
p - liczba połączeń między podukładami (przegubów, teleskopów i tulei).
W przypadku belki ze skratowaniem korzystamy ze wzoru
n = r + 3·z − p − 3
gdzie:
r - liczba składowych reakcji podpór
z - liczba zamkniętych części układu
p - liczba przegubów (z uwzględnieniem ich krotności).
•
Utworzenie układu podstawowego.
W rozwiązywanym układzie usuwamy n nadliczbowych więzów, tworząc w ten sposób
układ podstawowy (statycznie wyznaczalny i geometrycznie niezmienny).
•
ObciąŜenie układu podstawowego.
Układ podstawowy będzie pod względem statycznym równowaŜny rozpatrywanemu
układowi statycznie niewyznaczalnemu, jeŜeli poza obciąŜeniem zewnętrznym
działającym na układ, w miejscach usuniętych więzów wprowadzimy nadliczbowe
X 1 , X 2 , ..., X i ,..., X n - reakcje usuniętych więzów (siłę w miejscu, w którym więz
blokował przesunięcie, natomiast moment w miejscu, w którym więz blokował obrót).
•
Wyznaczenie współczynników przy niewiadomych (nadliczbowych) i wyrazów
wolnych układu równań kanonicznych metody sił.
Układ podstawowy będzie pod względem kinematycznym równowaŜny rozpatrywanemu
układowi statycznie niewyznaczalnemu, jeŜeli pod wpływem obciąŜenia zewnętrznego
oraz niewiadomych nadliczbowych X 1 , X 2 , ..., X i ,..., X n przemieszczenia uogólnione w
układzie podstawowym w miejscach usuniętych n więzów będą równe zeru. Przyjmijmy
załoŜenie, Ŝe rozpatrywana konstrukcja wykonana jest z materiału liniowo-spręŜystego.
Korzystając z zasady superpozycji otrzymamy następujący układ n równań z n
niewiadomymi:
δ 11 ⋅ X 1 + δ 12 ⋅ X 2 + ... + δ 1i ⋅ X i + ... + δ 1n ⋅ X n + δ 10 = 0
δ 21 ⋅ X 1 + δ 22 ⋅ X 2 + ... + δ 2i ⋅ X i + ... + δ 2 n ⋅ X n + δ 20 = 0
........................................................................................
δ i1 ⋅ X 1 + δ i 2 ⋅ X 2 + ... + δ ii ⋅ X i + ... + δ in ⋅ X n + δ i 0 = 0
........................................................................................
δ n1 ⋅ X 1 + δ n 2 ⋅ X 2 + ... + δ ni ⋅ X i + ... + δ nn ⋅ X n + δ n 0 = 0
gdzie:
δ jk - przemieszczenie uogólnione odpowiadające nadliczbowej X j wywołane
działaniem nadliczbowej X k = 1
δ j 0 - przemieszczenie uogólnione odpowiadające nadliczbowej X j wywołane
działaniem obciąŜenia zewnętrznego.
ZałóŜmy, Ŝe rozpatrywana konstrukcja jest układem belkowym złoŜonym z prętów
h 1
smukłych (stosunek wysokości przekroju poprzecznego pręta do jego długości ≤ ).
l 10
MoŜemy wówczas pominąć wpływ sił poprzecznych na wielkość przemieszczeń. Wpływ
sił podłuŜnych działających w prętach zginanych na wielkość przemieszczeń jako mały
teŜ moŜna pominąć. Przyjmijmy równieŜ, Ŝe podpory są niepodatne oraz, Ŝe na układ nie
działa obciąŜenie termiczne ani nie występują w konstrukcji błędy montaŜowe.
Korzystając ze wzoru Maxwella-Mohra otrzymujemy
li
M jMk
δ jk = ∑ ∫
ds
Ei I i
i 0
li
M jM0
δ j0 = ∑ ∫
i
Ei I i
0
ds
gdzie:
M j - moment zginający wywołany działaniem nadliczbowej X j = 1
M k - moment zginający wywołany działaniem nadliczbowej X k = 1
M 0 - moment zginający wywołany działaniem obciąŜenia zewnętrznego
E i I i - sztywność zginania i-tego pręta.
JeŜeli konstrukcja składa się z prętów zginanych oraz z prętów dwuprzegubowych, w
których nie działają momenty gnące i siły poprzeczne (belka ze skratowaniem), to wpływ
sił podłuŜnych na wielkość przemieszczeń uwzględniamy jedynie w prętach
dwuprzegubowych, natomiast w prętach zginanych wpływ ten jako mały moŜna pominąć.
Wówczas wzór Maxwella-Mohra ma postać
li
δ jk = ∑ ∫
i
0
li
δ j0 = ∑ ∫
i
0
M jMk
Ei I i
M jM0
Ei I i
li
ds + ∑ ∫
i
0
li
ds + ∑ ∫
i
gdzie:
2
0
N j Nk
Ei Ai
N j N0
Ei Ai
ds
ds
Nj
- siła podłuŜna wywołana działaniem nadliczbowej X j = 1
Nk
- siła podłuŜna wywołana działaniem nadliczbowej X k = 1
N0
- siła podłuŜna wywołana działaniem obciąŜenia zewnętrznego
E i Ai - sztywność ściskania i-tego pręta.
Z twierdzenia o wzajemności przemieszczeń wynika, Ŝe
δ jk = δ kj
Wartość całek moŜemy wyznaczyć korzystając ze wzoru Wereszczagina. W tym celu
naleŜy sporządzić wykresy sił przekrojowych w układzie podstawowym obciąŜonym
kolejno siłami X 1 = 1, X 2 = 1, ..., X i = 1,..., X n = 1 oraz obciąŜeniem zewnętrznym.
•
Wyznaczenie sił przekrojowych w układzie statycznie niewyznaczalnym.
Po rozwiązaniu układu równań metody sił moŜemy wyznaczyć siły przekrojowe
N = N 1 ⋅ X 1 + N 2 ⋅ X 2 + ... + N i ⋅ X i + ... + N n ⋅ X n + N 0
T = T1 ⋅ X 1 + T2 ⋅ X 2 + ... + Ti ⋅ X i + ... + Tn ⋅ X n + T0
M = M 1 ⋅ X 1 + M 2 ⋅ X 2 + ... + M i ⋅ X i + ... + M n ⋅ X n + M 0
gdzie:
N, T, M - siły przekrojowe w układzie statycznie niewyznaczalnym
N i ,Ti , M i - siły przekrojowe w układzie podstawowym statycznie wyznaczalnym od
obciąŜenia nadliczbową Xi = 1
N 0 ,T0 , M 0 - siły przekrojowe w układzie podstawowym statycznie wyznaczalnym od
obciąŜenia zewnętrznego
X 1 , X 2 , ..., X i ,..., X n - wartości nadliczbowych otrzymane z rozwiązania układu
równań metody sił.
Konstrukcja pod wpływem obciąŜenia odkształca się, a jej punkty doznają
przemieszczeń liniowych i kątowych. Umiejętność wyznaczania tych przemieszczeń jest
konieczna przy sprawdzaniu warunku sztywności (przemieszczenia nie mogą przekraczać
wartości dopuszczalnych, określonych w normie stosownej do rodzaju konstrukcji). W celu
wyznaczenia przemieszczenia moŜemy skorzystać ze wzoru Maxwella-Mohra. W przypadku
belek wzór ma postać
li
M M
δ = ∑∫
ds
i 0 Ei I i
W przypadku belek ze skratowaniem uwzględniamy wpływ sił podłuŜnych w prętach
dwuprzegubowych, w których nie działają momenty gnące i siły poprzeczne. Wpływ sił
podłuŜnych działających w prętach zginanych na wielkość przemieszczeń jako mały moŜna
pominąć. Wzór ma postać
li
li
MM
NN
δ = ∑∫
ds + ∑ ∫
ds
i 0 Ei I i
i 0 E i Ai
W powyŜszych wzorach przyjęto oznaczenia:
M, N - siły przekrojowe (momenty gnące i siły podłuŜne) wywołane działaniem
obciąŜenia rzeczywistego w układzie statycznie niewyznaczalnym
3
M , N - siły przekrojowe (momenty gnące i siły podłuŜne) wywołane działaniem
obciąŜenia wirtualnego w postaci jednostkowej siły uogólnionej w układzie statycznie
niewyznaczalnym
E i I i - sztywność zginania i-tego pręta
E i Ai - sztywność ściskania i-tego pręta.
Wyznaczanie przemieszczeń w układach statycznie niewyznaczalnych moŜemy
znacznie uprościć wykorzystując twierdzenia redukcyjne. W myśl pierwszego twierdzenia
redukcyjnego siły przekrojowe od obciąŜenia wirtualnego moŜemy wyznaczyć w układzie
statycznie wyznaczalnym, otrzymanym poprzez usunięcie nadliczbowych więzów w układzie
statycznie niewyznaczalnym. Wzór na przemieszczenie ma postać
dla belek
li
M (0 ) M
δ = ∑∫
ds
Ei I i
i 0
dla belek ze skratowaniem
li
li
M (0 ) M
N (0 ) N
δ = ∑∫
ds + ∑ ∫
ds
Ei I i
Ei Ai
i 0
i 0
gdzie
M, N - siły przekrojowe (momenty gnące i siły podłuŜne) wywołane działaniem
obciąŜenia rzeczywistego (czynnego) w układzie statycznie niewyznaczalnym
M (0 ) , N (0 ) - siły przekrojowe (momenty gnące i siły podłuŜne) wywołane działaniem
obciąŜenia wirtualnego w postaci jednostkowej siły uogólnionej w układzie statycznie
wyznaczalnym
W myśl drugiego twierdzenia redukcyjnego siły przekrojowe od obciąŜenia czynnego
moŜemy wyznaczyć w układzie statycznie wyznaczalnym, otrzymanym poprzez likwidację
nadliczbowych więzów w układzie statycznie niewyznaczalnym. Wzór na przemieszczenie
ma postać
dla belek
li
M M (0 )
δ = ∑∫
ds
Ei I i
i 0
dla belek ze skratowaniem
li
δ = ∑∫
i
0
i
M M (0 )
N N (0 )
ds + ∑ ∫
ds
Ei I i
Ei Ai
i 0
l
gdzie
M (0 ) , N (0 ) - siły przekrojowe (momenty gnące i siły podłuŜne) wywołane działaniem
obciąŜenia rzeczywistego (czynnego) w układzie statycznie wyznaczalnym
M , N - siły przekrojowe (momenty gnące i siły podłuŜne) wywołane działaniem
obciąŜenia wirtualnego w postaci jednostkowej siły uogólnionej w układzie statycznie
niewyznaczalnym
PowyŜsze zapisy pierwszego i drugiego twierdzenia redukcyjnego są słuszne przy
załoŜeniu, Ŝe podpory są niepodatne oraz, Ŝe na układ nie działa obciąŜenie termiczne ani nie
występują w konstrukcji błędy montaŜowe.
4