Warsztaty metod fizyki teoretycznej Zestaw 8 Pompowanie optyczne

Warsztaty metod fizyki teoretycznej
Zestaw 8
Pompowanie optyczne
Adam Wojciechowski, Jan Kaczmarczyk
23.04.2009
1
Wprowadzenie
Kiedy myślimy o magnetyzacji jakiegoś ośrodka, mamy najczęściej na myśli pewien obiekt, pewne ciało stałe. Tymczasem mało kto zdaje sobie sprawę, że można także namagnetyzować gaz! W
temperaturze pokojowej, w warunkach równowagi termodynamicznej magnetyzacji w gazach nie ma,
ale rozwój technik optycznych pozwolił na wypracowanie metod takiego ”specjalnego przygotowywania” gazów. Za odkrycie pompowania optycznego w 1966 roku Alfred Kastler został uhonorowany
nagrodą Nobla. Dzisiaj ta metoda ma zastosowanie (także w naszym Instytucie) do polaryzacji gazów szlachetnych a następnie obrazowania płuc metodą rezonansu jądrowego, czy też do pomiarów
pól magnetycznych lub we wzorcach (zegarach) atomowych.
2
Sformułowanie problemu
Pompowania optyczne nie wymaga zakładania specjalnej struktury poziomów energetycznych,
poza tym, że potrzebujemy niezerowego momentu pędu. Dla uproszczenia modelu przyjmiemy zatem, że mamy do czynienia z atomami wodoropodobnymi, tzn. takimi, które mają jeden elektron na
powłoce walencyjnej. Całkowity spin w takim atomie wynosi S = h̄/2. Czy to dużo? Stała Plancka
wynosi h̄ = 1, 054 × 10−34 J · s ...
Wróćmy zatem do naszego atomu. Aby móc cokolwiek optycznie przepompować potrzebujemy
wzbudzać atom światłem, a zatem potrzebujemy conajmniej dwa stany energetyczne. Jak zwykle
oznaczymy je jako stan podstawowy g i wzbudzony e.
Zadanie polega na przenalizowaniu jak zmieniają sie obsadzenia poszczególnych poziomów energetycznych stanu podstawowego na skutek odziaływania ze spolaryzowanym światłem.
Zad. 1. Spin 1/2
W przyrodzie można znaleźc wiele przykładów układów, które cechuje całkowity moment pędu
1/2, z których najbardziej popularny to 3 He, powszechnie używany do obrazowania płuc.
1
Rysunek 1: Po lewej: względne prawdopodobieństwa przejść (kwadrat współczynników ClebschaGordana) pomiędzy poszczególnymi stanami magnetycznymi dla układu o kręcie 1/2 (np 3 He).
Po prawej: zdjęcie płuc wykonane metodą magnetycznego rezonansu jąrowego (MRI) z użyciem
spolaryzowanego 3 He. Zdjęcie zaczerpnięte z http://physics.nist.gov.
Rozważ oddziaływanie takiego układu ze światłem spolaryzowanym kołowo, np o polaryzacji σ+ (takie światło indukuje przejścia optyczne ze zmianą krętu atomu o +1. W najprostszym
modelu będziemy zaniedbywać istnienie koherencji optycznych, a zatem zajmujemy się tylko populacjami stanów Ng,−1/2 , Ng,+1/2 stanu podstawowego, a ściślej ich zmianami. Założymy ponadto,
że emisja spontaniczna jest natychmiastowa w naszej skali czasowej, tzn. czas życia stanu wzbudzonego τe = 1/Γe jest znacznie krótszy od średniego czasu po jakim następuje wzbudzenie atomu
τpump = 1/Γpump . Względne prawdopodobieństwa odpowiednich przejść (ważne dla emisji spontanicznej!) są przedstawione na rysunku 1.
Zapisz równania ruchu wektora
~ = (N−1/2 , N+1/2 )
N
(1)
populacji stanu podstawowego zakładając wzbudzanie atomu z pewną częstością Γpump . Zastanów
się co się dzieje z populacjami obu stanów podstawowych.
Zad. 2. Uwzględnienie relaksacji.
Rozpatrując izolowany, zamknięty układ podejmujemy bardzo duże uproszczenie. Niestety, wszelkie układy fizyczne są skazane na oddziaływanie z otaczającym światem, a zatem także dla naszego
atomu musimy uwzględnić dekoherencję z tym związaną. W naszym przypadku może to być ucieczka
atomu, czy zmiana jego stanu na skutek zderzenia z innym atomem, bądź ścianką naczynia.
Dla układu ze spinem 1/2 oblicz wynikający z rozkładu Boltzmana w warunkach równowagi
termodynamicznej stosunek obsadzeń
E+ − E−
,
= exp −
kB T
N+1/2 /N−1/2
(2)
gdzie:
1
E± = ± ge µB B.
(3)
2
Załóż wartość pola magnetycznego 1T oraz temperaturę 300K. Czy można obsadzenia obu stanów
uznać za jednakowe?
2
Rysunek 2: Prawdopodobieństwa przejść dla linii D1 5S1/2 → 5P1/2 w 87 Rb (F=3/2) pomiędzy
różnymi stanami magnetycznymi dla trzech różnych konfiguracji elektronowych. Wartości zostały
podane w jednostkach 1, 44 · 10−56 /960 C 2 · m2 .
Przydatne wielkości:
ˆ ge ≈ 2,
ˆ µB = 927, 40 × 10−26 J/T,
ˆ kB = 1, 38 × 10−23 J/K.
~ . Zastanów się jaką postać
Chcemy teraz uwzględnić relaksację w równaniach ruchu wektora N
przybierze człon odpowiedzialny za relaksację do stanu równowagowego z poprzedniego akapitu.
~.
Rozwiąż następnie równanie na wartość stacjonarną N
Zad. 3. Dokładamy pole magnetyczne.
Aby nadań fizyczny sens obliczonym w poprzednich zadaniach populacjom odpowiednich stanów
~ · B,
~ gdzie M
~
rozważmy klasyczny Hamiltonian oddziaływania z polem magnetycznym: H 0 = −M
oznacza magnetyzację, zaś B pole magnetyczne.
~ = γ S,
~ przy czym
W naszym przypadku moment magnetyczny możemy wyrazić poprzez spin: M
poprzez γ oznaczamy czynnik żyromagnetyczny. Chcąc uwzględnić nie jeden lecz więcej atomów,
musimy zsumować indywidualne momenty magnetyczne, a zatem:
~ =γ
M
X
~i .
S
(4)
i
Przyjmując oś kwantyzacji z w kierunku pola magnetycznego oblicz magnetyzację w kierunku
z wyrażając ją poprzez populacje N+1/2 i N−1/2 .
Zad. 4. Rozszerzenie modelu na atomy o większym kręcie.
Mając model, który uwzględnia relaksację możemy teraz przejść do odrobinę bardziej skomplikowanych schematów poziomów energetycznych. Oznacza to, że musimy uwzględnić więcej poziomów
~.
w naszym wektorze populacji N
3
Rozwiąż równania ruchu dla układów przedstawionych na rysunku 2 zaczynając od zapisania
równania macierzowego na wektor populacji:


. ···
~ =  . . (N
~ ) − Γrelax (N
~ −N
~0 )
N
.. . .
|
{z
A
(5)
}
Znajdź postać macierzy A dla każdego z przypadków. Uwzględnij przy tym:
ˆ wzbudzenie z odpowiednim prawdopodobieństwem,
ˆ emisję spontaniczną do różnych możliwych stanów.
Literatura
[1] A. Kastler, Quelques suggestions concernant la production optique et la détection optique
d’une inégalité de population des niveaux de quantifigation spatiale des atomes. Application
a l’expérience de Stern et Gerlach et a la résonance magnétique, J. Phys. Rad. 11, 255 (1950);
liczba cytowań: 162
[2] A. Kastler, Nobel Lecture: Optical methods for studying Hertzian resonances (1966)
[3] C. Cohen-Tannoudji, A. Kastler, Optical Pumping in Progress in Optics, Vol. V, 1966, ed. by
Wolf E. (North-Holland)
4