"Arrow`s theorem and it`s computer aided proof"

”Arrow’s theorem and it’s computer aided proof”
Łukasz Chodarcewicz, Mikołaj Dądela, Krzysztof Siedlecki
7 marca 2011
Łukasz Chodarcewicz, Mikołaj Dądela, Krzysztof Siedlecki
”Arrow’s theorem and it’s computer aided proof”
Wstęp
”Computer-Aided Proofs of Arrow’s and Other Impossibility
Theorems” by Fangzhen Lin and Pingzhong Tang
Łukasz Chodarcewicz, Mikołaj Dądela, Krzysztof Siedlecki
”Arrow’s theorem and it’s computer aided proof”
Wstęp
Kenneth Joseph Arrow (ur. 23 sierpnia 1921 w Nowym Jorku)
Laureat nagrody Banku Szwecji im. Alfreda Nobla w
dziedzinie ekonomii w 1972 roku za teorię równowagi ogólnej
oraz ekonomii dobrobytu.
W 2004 roku otrzymał National Medal of Science.
Łukasz Chodarcewicz, Mikołaj Dądela, Krzysztof Siedlecki
”Arrow’s theorem and it’s computer aided proof”
Łukasz Chodarcewicz, Mikołaj Dądela, Krzysztof Siedlecki
”Arrow’s theorem and it’s computer aided proof”
Trochę intuicji
Weźmy głosowanie trzech obywateli na kandydatów A, B i C
Pierwszy głosuje: A B C
Drugi głosuje: B C A
Trzeci głosuje: C A B
Łukasz Chodarcewicz, Mikołaj Dądela, Krzysztof Siedlecki
”Arrow’s theorem and it’s computer aided proof”
Twierdzenie Arrowa
Voting model
Model głosowania (voting model) (N, O).
N - zbiór agentów.
O - zbór alternatyw (outcomes)
Preference Profile
Preferencja agenta i to porządek liniowy >i na O.
Profil preferencji > dla (N, O) to krotka (>1 , ..., >n )
Łukasz Chodarcewicz, Mikołaj Dądela, Krzysztof Siedlecki
”Arrow’s theorem and it’s computer aided proof”
Twierdzenie Arrowa
Social welfere function
dla modelu (N, O) funkcja dobrobytu społecznego to funkcja
W: Ln → L
L - zbiór porządków liniowych O
n - rozmiar N
Łukasz Chodarcewicz, Mikołaj Dądela, Krzysztof Siedlecki
”Arrow’s theorem and it’s computer aided proof”
Twierdzenie Arrowa
jednomyślnośc (unanimous, Pareto efficient)
Funkcja W spełnia warunek jednomyślności jeśli z tego że dla
wszystkich i ax >i ay wynika ax >W ay .
Łukasz Chodarcewicz, Mikołaj Dądela, Krzysztof Siedlecki
”Arrow’s theorem and it’s computer aided proof”
...czyli jeśli każdy woli A od B, to grupa jako całość też woli A od
B.
Łukasz Chodarcewicz, Mikołaj Dądela, Krzysztof Siedlecki
”Arrow’s theorem and it’s computer aided proof”
Twierdzenie Arrowa
independence of irrelevant alternatives (IIA)
Funkcja W spełnia warunek IIA jeśli dla wszystkich a1 i a2 i
dla wszystkich profili preferencji >0 i >00 mamy że z
∀i a1 >0i a2 ↔ a1 >00i a2 wynika że a1 >0W a2 ↔ a1 >00W a2
Łukasz Chodarcewicz, Mikołaj Dądela, Krzysztof Siedlecki
”Arrow’s theorem and it’s computer aided proof”
...czyli jeśli cała grupa preferuje A nad B, to jeśli dojdzie nowa
opcja C, to nadal powinniśmy woleć A od B, niezależnie od tego co
myślimy o C.
Łukasz Chodarcewicz, Mikołaj Dądela, Krzysztof Siedlecki
”Arrow’s theorem and it’s computer aided proof”
Twierdzenie Arrowa
Non-dictatorship
Agent i jest dyktatorem jeśli dla funkcji dobrobytu
społecznego W i wszystkich alternatyw ax >W ay ↔ ax >i ay .
Funkcja jest niedyktatorska jeśli nie istnieje taki agent i.
Łukasz Chodarcewicz, Mikołaj Dądela, Krzysztof Siedlecki
”Arrow’s theorem and it’s computer aided proof”
Twierdzenie Arrowa
Twierdzenie
Dla każdego modelu głosowania (N, O), jeśli liczba alternatyw
jest większa równa 3, to każda funkcja która spełnia warunek
jednomyślności i IIA jest również dyktatorska.
Łukasz Chodarcewicz, Mikołaj Dądela, Krzysztof Siedlecki
”Arrow’s theorem and it’s computer aided proof”
Łukasz Chodarcewicz, Mikołaj Dądela, Krzysztof Siedlecki
”Arrow’s theorem and it’s computer aided proof”
Ale czy na pewno?
Łukasz Chodarcewicz, Mikołaj Dądela, Krzysztof Siedlecki
”Arrow’s theorem and it’s computer aided proof”
Dowód
Część indukcyjna
Łukasz Chodarcewicz, Mikołaj Dądela, Krzysztof Siedlecki
”Arrow’s theorem and it’s computer aided proof”
Dowód
base case
rozwiązanie SAT solverem
rozwiązanie CSP
Łukasz Chodarcewicz, Mikołaj Dądela, Krzysztof Siedlecki
”Arrow’s theorem and it’s computer aided proof”
Sposób nr 2, czyli CSP
Ogólnie
Zastosowanie w testowaniu base case’u
Możliwe ulepszenia
Łukasz Chodarcewicz, Mikołaj Dądela, Krzysztof Siedlecki
”Arrow’s theorem and it’s computer aided proof”
Problemy z więzami
Dla każdego problemu mamy:
Stan
Jest to zbiór zmiennych które mogą przyjmować wartości z
określonej dziedziny.
Test celu
Jest to zbiór więzów, które wyznaczają dopuszczalne kombinacje
wartości zmiennych.
Ogólnym celem algorytmu jest wyszukanie wartościowań dla każdej
zmiennej, takich, żeby nie były sprzeczne z więzami.
Łukasz Chodarcewicz, Mikołaj Dądela, Krzysztof Siedlecki
”Arrow’s theorem and it’s computer aided proof”
Rodzaje problemów z więzami
Przeszukiwanie w głąb z więzami
Spójność łukowa
Sprawdzanie wprzód
Łukasz Chodarcewicz, Mikołaj Dądela, Krzysztof Siedlecki
”Arrow’s theorem and it’s computer aided proof”
Przykład DFS z więzami 1
Jesteśmy w jakimś węźle.
Łukasz Chodarcewicz, Mikołaj Dądela, Krzysztof Siedlecki
”Arrow’s theorem and it’s computer aided proof”
Przykład DFS z więzami 2
Po sprawdzeniu więzów z warunku pierwszego.
Łukasz Chodarcewicz, Mikołaj Dądela, Krzysztof Siedlecki
”Arrow’s theorem and it’s computer aided proof”
Przykład DFS z więzami 3
Schodzimy w głąb drzewa.
Łukasz Chodarcewicz, Mikołaj Dądela, Krzysztof Siedlecki
”Arrow’s theorem and it’s computer aided proof”
Przykład DFS z więzami 4
Po sprawdzeniu więzów z warunku pierwszego.
Łukasz Chodarcewicz, Mikołaj Dądela, Krzysztof Siedlecki
”Arrow’s theorem and it’s computer aided proof”
Przykład DFS z więzami 5
Po sprawdzeniu więzów z warunku drugiego.
Łukasz Chodarcewicz, Mikołaj Dądela, Krzysztof Siedlecki
”Arrow’s theorem and it’s computer aided proof”
Pseudokod
bool
hasToBeDictatorDFS ( F u n c t i o n D e f f u n ) {
i f ( f u l l y d e f i n e d ( fun )) {
r e t u r n i s d i c t a t o r ( fun ) ;
}
p r o f i l e p = g e t u n d e f i n e d p r o f i l e ( fun ) ;
l i s t <o r d e r > v a l u e c a n d i d a t e s = ALL ORDERS ;
f i l t e r u n a n i m i t y (p , value candidates ) ;
f i l t e r I I A (p , v a l u e c a n d i d a t e s , fun ) ;
bool r e s u l t = true ;
FOREACH( v a l , v a l u e c a n d i d a t e s ) {
b i n d O r d e r T o P r o f i l e ( fun , p , v a l ) ;
i f ( ! hasToBeDictatorDFS ( f u n ) )
result = false ;
u n b i n d P r o f i l e ( fun , p ) ;
}
return result ;
}
Łukasz Chodarcewicz, Mikołaj Dądela, Krzysztof Siedlecki
”Arrow’s theorem and it’s computer aided proof”
Twierdzenie Muller-Satterthwaiter
Social choice function
dla modelu (N, O) funkcja dobrobytu społecznego to funkcja
W: Ln → O
L - zbiór porządków liniowych O
n - rozmiar N
Łukasz Chodarcewicz, Mikołaj Dądela, Krzysztof Siedlecki
”Arrow’s theorem and it’s computer aided proof”
Twierdzenie Muller-Satterthwaiter
Słaba jednomyślnośc (weakly unanimous)
Funkcja W spełnia warunek słabej jednomyślności jeśli dla
profilu > jest taka para a1 , a2 , że ∀i a1 >i a2 , to C (>) 6= a2
Łukasz Chodarcewicz, Mikołaj Dądela, Krzysztof Siedlecki
”Arrow’s theorem and it’s computer aided proof”
...czyli jeśli każdy woli A od B, to grupa jako całość nie wybierze B.
Łukasz Chodarcewicz, Mikołaj Dądela, Krzysztof Siedlecki
”Arrow’s theorem and it’s computer aided proof”
Twierdzenie Muller-Satterthwaiter
Monotoniczność
Funkcja W jest monotoniczna jeśli dla każdego profilu >
takiego że C (>) = a, jeśli jest takie >0 , że zachodzi
∀i ∀a0 a >i a0 → a >0i a0 to W (>0 ) = a
Łukasz Chodarcewicz, Mikołaj Dądela, Krzysztof Siedlecki
”Arrow’s theorem and it’s computer aided proof”
...czyli jeśli cała grupa wybrała A, to także wybierze A jeśli A nie
zmieni miejsca w preferencjach agentów.
Łukasz Chodarcewicz, Mikołaj Dądela, Krzysztof Siedlecki
”Arrow’s theorem and it’s computer aided proof”
Twierdzenie Muller-Satterthwaiter
Non-dictatorship
Agent i jest dyktatorem jeśli dla funkcji wyboru społecznego
W jeśli dla każdego > zachodzi
C (>) = a ↔ ∀a0 a0 6= a → a >i a0
Funkcja jest niedyktatorska jeśli nie istnieje taki agent i.
Łukasz Chodarcewicz, Mikołaj Dądela, Krzysztof Siedlecki
”Arrow’s theorem and it’s computer aided proof”
Twierdzenie Muller-Satterthwaiter
Twierdzenie
Dla każdego modelu głosowania (N, O), jeśli liczba alternatyw
jest większa równa 3, to każda funkcja która spełnia warunek
słabej jednomyślności i monotoniczności jest również
dyktatorska.
Łukasz Chodarcewicz, Mikołaj Dądela, Krzysztof Siedlecki
”Arrow’s theorem and it’s computer aided proof”
Odkrywanie nowych teorii
Czyli słów kilka podsumowania oraz na temat możliowści...
Łukasz Chodarcewicz, Mikołaj Dądela, Krzysztof Siedlecki
”Arrow’s theorem and it’s computer aided proof”
Łukasz Chodarcewicz, Mikołaj Dądela, Krzysztof Siedlecki
”Arrow’s theorem and it’s computer aided proof”